Как обозначаются действительные числа: Какие числа называются действительными?

alexxlab / / Разное

Содержание

Действительные числа

Вы уже знакомы с конечными, бесконечными периодическими десятичными дробями, которые являются рациональными числами.

Но в математике существуют и непериодические бесконечные десятичные дроби, которые не являются рациональными числами.

Например, вот такое число: … . Это число является иррациональным.

Итак, иррациональным числом называется бесконечная десятичная непериодическая дробь.

Кстати, иррациональные числа, как и рациональные, могут быть как положительными, так и отрицательными. К примеру, следующие числа:

Первое число положительное иррациональное число, второе – отрицательное иррациональное число.

Числа , , , ,,  являются иррациональными числами, так как эти числа можно представить в виде

бесконечных десятичных непериодических дробей.

С понятием иррациональных чисел мы с вами разобрались. Теперь давайте перейдём к действиям с ними. И ответим на такой вопрос: какие же числа получают в результате выполнения арифметических действий с иррациональными числами?

При сложении, вычитании, умножении и делении иррациональных чисел результат может оказаться как рациональным, так и иррациональным числом.

                  

                    

Множество иррациональных чисел принято обозначать заглавной латинской буквой .

Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел.

Множество действительных чисел принято обозначать заглавной латинской буквой . Запись  означает, что является действительным числом.

Действительным числом называется бесконечная десятичная дробь, то есть … или …, где  – целое неотрицательное число, а каждая из букв , ,  и так далее – это одна из десяти цифр: , , , , , , , , , .

Например, в записи числа …

 , , , , , …

В записи действительного числа …

, , , ,, …

В записи действительного числа …

, , , ,…

В записи действительного числа …

, , , , при . 

Действительные числа могут быть как положительными, так и отрицательными, а могут и равняться нулю.

Если все цифры записи бесконечной десятичной дроби равны нулю, то и дробь равна нулю. А если бесконечная десятичная дробь не равна нулю и перед ней стоит знак «+» либо вообще не стоит знака, то это положительное действительное число. А если стоит знак «–», то это отрицательное действительное число.

Все основные действия и правила над рациональными числами, которые вы знаете, сохраняются и для действительных чисел. Например, переместительный, сочетательный и распределительный законы, правила сравнения, правила раскрытия скобок и так далее.

Только арифметические операции над действительными числами, как правило, заменяют операциями над их приближениями.

Например, давайте вычислим

…

…

Если вычислять сумму этих корней с точностью до единицы, то

.

Если вычислять эту же сумму, но с точностью до одной десятой, то

.

А вот если вычислять сумму наших корней с точностью до одной сотой, то

.

Обратите внимание:; ;   и так далее являются последовательными десятичными приближениями значения  . Причём первые два числа с избытком, последнее с недостатком. Заметим, что при вычислении и корня из  сами числа  и корень  мы заменяли на их приближения, то есть

рациональными числами, а затем выполняли сложение чисел по известным правилам.

Так же, как и для рациональных чисел, модуль действительного числа обозначается и определяется так:

Например,

 …

…

И ещё нам с вами осталось дать геометрическое истолкование действительных чисел.

Итак, геометрически действительные числа изображаются точками числовой прямой. Множество действительных чисел «заполняет» всю числовую прямую. Причём каждому действительному числу соответствует единственная точка на числовой прямой

. Верно и обратное утверждение: каждой точке числовой прямой соответствует единственное действительное число.

Точку, изображающую действительное число , также обозначают буквой .

Отметим, что если действительное число  меньше действительного числа , то на числовой прямой точка  будет лежать левее точки .

А теперь давайте приступим к практической части нашего урока.

Задание 1. Сравните числа ,  и .

Решение.

…

…

…

Видим: у данных чисел совпадают целые части и цифры десятых.

Значит ,.

Теперь сравним  и  .

Видим: у этих чисел совпадают первые четыре цифры после запятой, а вот пятая цифра после запятой у значения.

Следовательно

Отсюда получаем,

Задание 2. Выясните, каким числом (рациональным или иррациональным) является числовое значение выражения .

Решение. Раскроем скобки в нашем выражении, применяя формулу квадрата суммы. Воспользуемся следствием из определения квадратного корня.

.

Затем применим свойство корня из произведения. Приведём подобные.

Получим  .

Данное число является иррациональным, так как содержит иррациональное число .

 

Натуральные действительные. Понятие числа. Виды чисел. Обыкновенные и десятичные дроби

Понятие действительного числа: действительное число — (вещественное число), всякое неотрицательное или отрицательное число либо нуль. С помощью действительных чисел выражают измерения каждой физической величины .

Вещественное , или действительное число возникло из необходимости измерений геометрической и физической величин мира. Кроме того, для проведения операций извлечения корня, вычисления логарифма, решения алгебраических уравнений и т.д.

Натуральные числа образовались с развитием счета, а рациональные с потребностью управлять частями целого, то вещественные числа (действительные) используются для измерений непрерывных величин. Т.о., расширение запаса чисел, которые рассматриваются, привело к множеству вещественных чисел, которое кроме рациональных чисел состоит из других элементов, называемых иррациональные числа .

Множество действительных чисел (обозначается R ) — это множества рациональных и иррациональных чисел собранные вместе.

Действительные числа делят на рациональные и иррациональные .

Множество вещественных чисел обозначают и зачастую называют вещественной или числовой прямой . Вещественные числа состоят из простых объектов: целых и рациональных чисел .

Число, которое возможно записать как отношение, где m — целое число, а n — натуральное число, является

рациональным числом .

Всякое рациональное число легко представить как конечную дробь либо бесконечную периодическую десятичную дробь.

Пример ,

Бесконечная десятичная дробь , это десятичная дробь, у которой после запятой есть бесконечное число цифр.

Числа, которые нельзя представить в виде , являются иррациональными числами .

Пример:

Всякое иррациональное число легко представить как бесконечную непериодическую десятичную дробь.

Пример ,

Рациональные и иррациональные числа создают множество действительных чисел. Всем действительным числам соответствует одна точка координатной прямой, которая называется числовая прямая .

Для числовых множеств используются обозначения:

  • N — множество натуральных чисел;
  • Z — множество целых чисел;
  • Q — множество рациональных чисел;
  • R — множество действительных чисел.

Теория бесконечных десятичных дробей.

Вещественное число определяется как бесконечная десятичная дробь , т.е.:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n …

где ± есть один из символов + или −, знак числа,

a 0 — целое положительное число,

a 1 ,a 2 ,…a n ,… — последовательность десятичных знаков, т.е. элементов числового множества {0,1,…9}.

Бесконечную десятичную дробь можно объяснить как число, которое на числовой прямой находится между рациональными точками типа:

±a 0 ,a 1 a 2 …a n и ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n) для всех n=0,1,2,…

Сравнение вещественных чисел как бесконечных десятичных дробей происходит поразрядно. Например , предположим даны 2 положительны числа:

α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n …

β =+b 0 ,b 1 b 2 …b n …

Если a 0 0, то α; если a 0 >b 0 то α>β

. Когда a 0 =b 0 переходим к сравнению следующего разряда. И т.д. Когда α≠β , значит после конечного количества шагов встретится первый разряд n , такой что a n ≠b n . Если a n n , то α; если a n >b n то α>β .

Но при этом нудно обратить внимание на то, что число a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n . Поэтому если запись одного из сравниваемых чисел, начиная с некоторого разряда это периодическая десятичная дробь, у которой в периоде стоит 9, то её нужно заменить на эквивалентную запись, с нулем в периоде.

Арифметические операции с бесконечными десятичными дробями это непрерывное продолжение соответствующих операций с рациональными числами. Например , суммой вещественных чисел α и β является вещественное число α+β , которое удовлетворяет таким условиям:

∀ a′,a′′,b′,b′′

∈ Q(a′ ⩽ α ⩽ a′′) ∧ (b′ ⩽ β ⩽ b′′) ⇒ (a′+b′ ⩽ α + β ⩽ a′′+b′′)

Аналогично определяет операция умножения бесконечных десятичных дробей.

Цифры в записи многозначных чисел разбивают справа налево на группы по три цифры в каждой. Эти группы называют классами . В каждом классе цифры справа налево обозначают единицы, десятки и сотни этого класса:

Первый класс справа называют классом единиц , второй — тысяч , третий — миллионов , четвёртый — миллиардов , пятый — триллионов , шестой — квадриллионов , седьмой — квинтиллионов , восьмой — секстиллионов .

Для удобства чтения записи многозначного числа, между классами оставляется небольшой пробел. Например, чтобы прочитать число 148951784296, выделим в нём классы:

и прочитаем число единиц каждого класса слева направо:

148 миллиардов 951 миллион 784 тысячи 296.

При чтении класса единиц в конце обычно не добавляют слово единиц.

Каждая цифра в записи многозначного числа занимает определённое место — позицию. Место (позицию) в записи числа, на котором стоит цифра, называют разрядом .

Счёт разрядов идёт справа налево. То есть, первая цифра справа в записи числа называется цифрой первого разряда, вторая цифра справа — цифрой второго разряда и т. д. Например, в первом классе числа 148 951 784 296, цифра 6 является цифрой первого разряда, 9 — цифра второго разряда, 2 — цифра третьего разряда:

Единицы, десятки, сотни, тысячи и т. д. иначе ещё называют разрядными единицами :
единицы называют единицами 1-го разряда (или простыми единицами )
десятки называют единицами 2-го разряда
сотни называют единицами 3-го разряда и т. д.

Все единицы, кроме простых единиц, называются составными единицами . Так, десяток, сотня, тысяча и т. д. — составные единицы. Каждые 10 единиц любого разряда составляют одну единицу следующего (более высокого) разряда. Например, сотня содержит 10 десятков, десяток — 10 простых единиц.

Любая составная единица по сравнению с другой единицей, меньшей её называется единицей высшего разряда , а по сравнению с единицей, большей её, называется единицей низшего разряда . Например, сотня является единицей высшего разряда относительно десятка и единицей низшего разряда относительно тысячи.

Чтобы узнать, сколько в числе заключается всех единиц какого-либо разряда, надо отбросить все цифры, означающие единицы низших разрядов и прочитать число, выражаемое оставшимися цифрами.

Например, требуется узнать, сколько всего сотен содержится в числе 6284, т. е. сколько сотен заключается в тысячах и в сотнях данного числа вместе.

В числе 6284 на третьем месте в классе единиц стоит цифра 2, значит в числе есть две простые сотни. Следующая влево цифра — 6, означает тысячи. Так как в каждой тысяче содержится 10 сотен то, в 6 тысячах их заключается 60. Всего, таким образом, в данном числе содержится 62 сотни.

Цифра 0 в каком-нибудь разряде означает отсутствие единиц в данном разряде. Например, цифра 0 в разряде десятков означает отсутствие десятков, в разряде сотен — отсутствие сотен и т. д. В том разряде, где стоит 0, при чтении числа ничего не произносится:

172 526 — сто семьдесят две тысячи пятьсот двадцать шесть.
102 026 — сто две тысячи двадцать шесть.

Натуральные числа

Числа, используемые при счете называются натуральными числами. Например, $1,2,3$ и т.д. Натуральные числа образуют множество натуральных чисел, которое обозначают $N$ .Данное обозначение исходит от латинского слова naturalis- естественный.

Противоположные числа

Определение 1

Если два числа отличаются только знаками, их называют в математике противоположными числами.

Например, числа $5$ и $-5$ противоположные числа, т.к. отличаются только знаками.

Замечание 1

Для любого числа есть противоположное число, и притом только одно.

Замечание 2

Число нуль противоположно самому себе.

Целые числа

Определение 2

Целыми числами называют натуральные, противоположные им числа и нуль.

Множество целых чисел включает в себя множество натуральных и противоположных им.

Обозначают целые числа $Z.$

Дробные числа

Числа вида $\frac{m}{n}$ называют дробями или дробными числами. Так же дробные числа можно записывать десятичной форме записи, т.е. в виде десятичных дробей.

Например:$\ \frac{3}{5}$ , $0,08$ и Т.Д.

Так же, как и целые, дробные числа могут быть как положительными, так и отрицательными.

Рациональные числа

Определение 3

Рациональными числами называется множество чисел, содержащее в себе множество целых и дробных чисел.

Любое рациональное число, как целое, так и дробное можно представить в виде дроби $\frac{a}{b}$, где $a$- целое число, а $b$- натуральное.

Таким образом, одно и то же рациональное число можно записать разными способами.

Например,

Отсюда видно, что любое рациональное число может быт представлено в виде конечной десятичной дроби или бесконечной десятичной периодической дроби.

Множество рациональных чисел обозначается $Q$.

В результате выполнения любого арифметического действия над рациональными числами полученный ответ будет рациональным числом. Это легко доказуемо, в силу того, что при сложении, вычитании, умножении и делении обыкновенных дробей получится обыкновенная дробь

Иррациональные числа

В ходе изучения курса математики часто приходится сталкиваться в решении с числами, которые не являются рациональными. 2=6$.Корнями этого уравнения будут числа $\surd 6$ и -$\surd 6$. Данные числа не будут являться рациональными.

Так же при нахождении диагонали квадрата со стороной $3$ мы применив теорему Пифагора получим, что диагональ будет равна $\surd 18$. Это число также не является рациональным.

Такие числа называются иррациональными.

Итак, иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь.

Одно из часто встречающихся иррациональных чисел- это число $\pi $

При выполнении арифметических действий с иррациональными числами получаемый результат может оказаться и рациональным, так и иррациональным числом.

Докажем это на примере нахождения произведения иррациональным чисел. Найдем:

    $\ \sqrt{6}\cdot \sqrt{6}$

    $\ \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}$

Решениею

    $\ \sqrt{6}\cdot \sqrt{6} = 6$

    $\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}$

На этом примере видно, что результат может оказаться как рациональным, так и иррациональным числом.

Если в арифметических действиях участвуют рациональное и иррациональные числа одновременно, то в результате получится иррациональное число (кроме, конечно, умножения на $0$).

Действительные числа

Множеством действительных чисел называется множество содержащее множество рациональных и иррациональных чисел.

Обозначается множество действительных чисел $R$. Символически множество действительных чисел можно обозначить $(-?;+?).$

Мы говорили ранее о том, что иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь, а любое рациональное число может быт представлено в виде конечной десятичной дроби или бесконечной десятичной периодической дроби, поэтому действительным числом будет являться любая конечная и бесконечная десятичная дробь.

При выполнении алгебраических действий будут выполняться следующие правила

  1. при умножении и делении положительных чисел полученное число будет положительным
  2. при умножении и делении отрицательных чисел полученное число будет положительным
  3. при умножении и делении отрицательного и положительного чисел полученное число будет отрицательным

Также действительные числа можно сравнивать друг с другом.

Из огромного многообразия всевозможных множеств особый интерес представляют так называемые числовые множества , то есть, множества, элементами которых являются числа. Понятно, что для комфортной работы с ними нужно уметь их записывать. С обозначений и принципов записи числовых множеств мы и начнем эту статью. А дальше рассмотрим, как числовые множества изображаются на координатной прямой.

Навигация по странице.

Запись числовых множеств

Начнем с принятых обозначений. Как известно, для обозначения множеств используются заглавные буквы латинского алфавита. Числовые множества, как частный случай множеств, обозначаются также. Например, можно говорить о числовых множествах A , H , W и т.п. Особую важность имеют множества натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных чисел и т.п., для них были приняты свои обозначения:

  • N – множество всех натуральных чисел;
  • Z – множество целых чисел;
  • Q – множество рациональных чисел;
  • J – множество иррациональных чисел;
  • R – множество действительных чисел;
  • C – множество комплексных чисел.

Отсюда понятно, что не стоит обозначать множество, состоящее, к примеру, из двух чисел 5 и −7 как Q , это обозначение будет вводить в заблуждение, так как буквой Q обычно обозначают множество всех рациональных чисел. Для обозначения указанного числового множества лучше использовать какую-нибудь другую «нейтральную» букву, например, A .

Раз уж мы заговорили про обозначения, то здесь напомним и про обозначение пустого множества, то есть множества, не содержащего элементов. Его обозначают знаком ∅.

Также напомним про обозначение принадлежности и непринадлежности элемента множеству. Для этого используют знаки ∈ — принадлежит и ∉ — не принадлежит. Например, запись 5∈N означает, что число 5 принадлежит множеству натуральных чисел, а 5,7∉Z – десятичная дробь 5,7 не принадлежит множеству целых чисел.

И еще напомним про обозначения, принятые для включения одного множества в другое. Понятно, что все элементы множества N входят в множество Z , таким образом, числовое множество N включено в Z , это обозначается как N⊂Z . Также можно использовать запись Z⊃N , которая означает, что множество всех целых чисел Z включает множество N . Отношения не включено и не включает обозначаются соответственно знаками ⊄ и ⊅. Также используются знаки нестрогого включения вида ⊆ и ⊇, означающие соответственно включено или совпадает и включает или совпадает.

Про обозначения поговорили, переходим к описанию числовых множеств. При этом затронем лишь основные случаи, которые наиболее часто используются на практике.

Начнем с числовых множеств, содержащих конечное и небольшое количество элементов. Числовые множества, состоящие из конечного числа элементов, удобно описывать, перечисляя все их элементы. Все элементы-числа записываются через запятую и заключаются в , что согласуется с общими правилами описания множеств . Например, множество, состоящее из трех чисел 0 , −0,25 и 4/7 можно описать как {0, −0,25, 4/7} .

Иногда, когда число элементов числового множества достаточно велико, но элементы подчиняются некоторой закономерности, для описания используют многоточие. Например, множество всех нечетных чисел от 3 до 99 включительно можно записать как {3, 5, 7, …, 99} .

Так мы плавно подошли к описанию числовых множеств, число элементов которых бесконечно. Иногда их можно описать, используя все тоже многоточие. Для примера опишем множество всех натуральных чисел: N={1, 2. 3, …} .

Также пользуются описанием числовых множеств посредством указания свойств его элементов. При этом применяют обозначение {x| свойства} . Например, запись {n| 8·n+3, n∈N} задает множество таких натуральных чисел, которые при делении на 8 дают остаток 3 . Это же множество можно описать как {11,19, 27, …} .

В частных случаях числовые множества с бесконечным числом элементов представляют собой известные множества N , Z , R , и т.п. или числовые промежутки. А в основном числовые множества представляются как объединение составляющих их отдельных числовых промежутков и числовых множеств с конечным числом элементов (о которых мы говорили чуть выше).

Покажем пример. Пусть числовое множество составляют числа −10 , −9 , −8,56 , 0 , все числа отрезка [−5, −1,3] и числа открытого числового луча (7, +∞) . В силу определения объединения множеств указанное числовое множество можно записать как {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Такая запись фактически означает множество, содержащее в себе все элементы множеств {−10, −9, −8,56, 0} , [−5, −1,3] и (7, +∞) .

Аналогично, объединяя различные числовые промежутки и множества отдельных чисел, можно описать любое числовое множество (состоящее из действительных чисел). Здесь становится понятно, почему были введены такие виды числовых промежутков как интервал, полуинтервал, отрезок, открытый числовой луч и числовой луч: все они в купе с обозначениями множеств отдельных чисел позволяют описывать любые числовых множества через их объединение.

Обратите внимание, что при записи числового множества составляющие его числа и числовые промежутки упорядочиваются по возрастанию. Это не обязательное, но желательное условие, так как упорядоченное числовое множество проще представить и изобразить на координатной прямой. Также отметим, что в подобных записях не используются числовые промежутки с общими элементами, так как такие записи можно заменить объединением числовых промежутков без общих элементов. Например, объединение числовых множеств с общими элементами [−10, 0] и (−5, 3) есть полуинтервал [−10, 3) . Это же относится и к объединению числовых промежутков с одинаковыми граничными числами, например, объединение (3, 5]∪(5, 7] представляет собой множество (3, 7] , на этом мы отдельно остановимся, когда будем учиться находить пересечение и объединение числовых множеств .

Изображение числовых множеств на координатной прямой

На практике удобно пользоваться геометрическими образами числовых множеств – их изображениями на . Например, при решении неравенств , в которых необходимо учитывать ОДЗ, приходится изображать числовые множества, чтобы найти их пересечение и/или объединение. Так что полезно будет хорошо разобраться со всеми нюансами изображения числовых множеств на координатной прямой.

Известно, что между точками координатной прямой и действительными числами существует взаимно однозначное соответствие, что означает, что сама координатная прямая представляет собой геометрическую модель множества всех действительных чисел R . Таким образом, чтобы изобразить множество всех действительных чисел, надо начертить координатную прямую со штриховкой на всем ее протяжении:

А часто даже не указывают начало отсчета и единичный отрезок:

Теперь поговорим про изображение числовых множеств, представляющих собой некоторое конечное число отдельных чисел. Для примера, изобразим числовое множество {−2, −0,5, 1,2} . Геометрическим образом данного множества, состоящего из трех чисел −2 , −0,5 и 1,2 будут три точки координатной прямой с соответствующими координатами:

Отметим, что обычно для нужд практики нет необходимости выполнять чертеж точно. Часто достаточно схематического чертежа, что подразумевает необязательное выдерживание масштаба, при этом важно лишь сохранять взаимное расположение точек относительно друг друга: любая точка с меньшей координатой должна быть левее точки с большей координатой. Предыдущий чертеж схематически будет выглядеть так:

Отдельно из всевозможных числовых множеств выделяют числовые промежутки (интервалы, полуинтервалы, лучи и т.д.), что представляют их геометрические образы, мы подробно разобрались в разделе . Здесь не будем повторяться.

И остается остановиться лишь на изображении числовых множеств, представляющих собой объединение нескольких числовых промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел. Здесь нет ничего хитрого: по смыслу объединения в этих случаях на координатной прямой нужно изобразить все составляющие множества данного числового множества. В качестве примера покажем изображение числового множества (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ {log 2 5, 5}∪(17, +∞) :

И остановимся еще на достаточно распространенных случаях, когда изображаемое числовое множество представляет собой все множество действительных чисел, за исключением одной или нескольких точек. Такие множества частенько задаются условиями типа x≠5 или x≠−1 , x≠2 , x≠3,7 и т. п. В этих случаях геометрически они представляют собой всю координатную прямую, за исключением соответствующих точек. Иными словами, из координатной прямой нужно «выколоть» эти точки. Их изображают кружочками с пустым центром. Для наглядности изобразим числовое множество, соответствующее условиям (это множество по сути есть ):

Подведем итог. В идеале информация предыдущих пунктов должна сформировать такой же взгляд на запись и изображение числовых множеств, как и взгляд на отдельные числовые промежутки: запись числового множества сразу должна давать его образ на координатной прямой, а по изображению на координатной прямой мы должны быть готовы с легкостью описать соответствующее числовое множество через объединение отдельных промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел.

Список литературы.

  • Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. — 16-е изд. — М. : Просвещение, 2008. — 271 с. : ил. — ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 13-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2011. — 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.

Что такое число? ЧИСЛО — одно из основных понятий математики, зародилось в глубокой древности и постепенно расширялось и обобщалось. В связи со счётом отдельных предметов возникло понятие о целых положительных (натуральных) числах, а затем идея о безграничности натурального ряда чисел: 1, 2, 3, Натуральные числа – это числа, используемые при счёте предметов. 1

История. На раскопках стойбища древних людей нашли волчью кость, на которой 30 тысяч лет тому назад, какой – то древний охотник нанёс пятьдесят пять зарубок. Видно, что, делая эти зарубки, он считал по пальцам. Узор на кости состоял из одиннадцати групп, по пять зарубок в каждой. При этом первые пять групп он отделил от остальных длинной чертой. Также в Сибири и в других местах были найдены, сделанные в ту же далёкую эпоху каменные орудия и украшения, на которых тоже были чёрточки и точки, сгруппированные по 3, по 5 или по 7.Кельты — древний народ, живший в Европе 2500 лет тому назад, являющиеся предками французов и англичан, считали двадцатками (две руки и две ноги давали двадцать пальцев). Следы этого сохранились во французском языке, где слово «восемьдесят» звучит как «четыре раза двадцать». Двадцатками считали и другие народы – предки датчан и голландцев, осетин и грузин. 2


Чётные и нечётные числа. Чётное число целое число, которое делится без остатка на 2: …, 2, 4, 6, 8, … Нечётное число целое число, которое не делится без остатка на 2: …, 1, 3, 5, 7, 9, … Пифагор определяя число как энергию и считал, что через науку о числах раскрывается тайна Вселенной, ибо число заключает в себе тайну вещей. Чётные числа Пифагор считал женскими, а нечётные – мужскими: 2+3=5 5- это символ семьи, брака. Чётные и нечётные числа = женские и мужские числа. 4

Простые и составные. Простое число – это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Последовательность простых чисел начинается так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, … Составные числа- это числа имеющие 3 и больше делителей. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел. Таким образом, все натуральные числа больше единицы разбиваются на простые и составные. 5

Совершенные и несовершенные числа. Совершенные числа, целые положительные числа, равные сумме всех своих правильных (т. е. меньших этого числа) делителей. Например, числа 6 = и 28 = являются совершенными. До сих пор (1976) неизвестно ни одного нечётного Сов. ч. и вопрос о существовании их остаётся открытым. Исследования о Сов. ч. были начаты пифагорейцами, приписывавшими особый мистический смысл числам и их сочетаниям. Несовершенными Пифагор называл числа, сумма правильных делителей, которых меньше его самого. 6


Магические числа. Секреты чисел привлекают людей, заставляют вникать, разбираться, сравнивать свои выводы с реальным соотношением дел. К цифрам в древнем мире относились очень трепетно. Люди, познавшие их, считались великими, их приравнивали к божествам. Самый простой пример – это отсутствие во многих странах самолётов с бортовым номером 13, этажей и номеров в гостиницах с номером «13». 8
Магический ряд 2 – число равновесия и контраста, и поддерживающие устойчивость, смешивающие позитивные и негативные качества. 6 – Символ надёжности. Это идеальное число, которое делится как на чётное число(2), так и на нечётное(3), таким образом, объединяя элементы каждого. 8 – Число материального успеха. Оно означает надёжность, доведённую до совершенства, поскольку представлено двойным квадратом. Разделённое пополам, оно имеет равные части (4 и 4). Если его ещё разделить, то части будут тоже равными (2, 2, 2, 2), показывая четырёхкратное равновесие. 9 – Число всеобщего успеха, самое большое из всех цифр. Как трёхкратное числу 3, девятка превращает неустойчивость в стремление. 10



Множества — Аа — Действительные числа Числовые множества Основные понятия теории множеств в математике понятие

С этим файлом связано 3 файл(ов). Среди них: ПЗ№3_Силаевой Е.О.doc, prakticheskoe-zanyatie-3_estestvoznanie (6) (1).doc, Пусто.docx.
Показать все связанные файлы
Подборка по базе: тест на тему натур числа.docx, формула_корня квадратного из числа.docx, Английский язык работа числа.docx, Карточки чисел до 1000. Сложи или вычти числа (1).docx, Карточки множества..docx, модуль числа.docx, противоположные числа 6 класс.docx, Умножение числа 3 на 3. Закрепление.docx, Лекция 4 Комплексные числа Задачи .docx, 3 миром правят числа 1!.pptx


ГЛАВА 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Числовые множества
1.1. Основные понятия теории множеств
В математике понятие множество используют для описания совокупности предметов или объ- ектов. При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличать друг от друга и от предметов, не входящих в данную совокупность. Например, можно говорить о множестве книг в данной библиотеке, множестве вершин данного многоугольника, множестве всех звезд, входя- щих в созвездие Большой Медведицы и т.д.
Объекты, из которых состоит множество, называют его элементами. Множества принято обозна- чать заглавными буквами латинского алфавита

,
,
,
C
B
A
, а элементы множества – строчными буквами

,
,
,
c
b
a
Факт принадлежности элемента
a
множеству
A
записывается:
A
a

, а отрицание этого факта:
A
a

Множество называется:
— конечным, если оно содержит конечное число элементов;
— бесконечным, если оно содержит бесконечное число элементов;
— пустым и обозначается

, если оно не содержит ни одного элемента.
Множество можно задать либо перечислением всех его элементов:


c
b
a
A
,
,

, либо указанием характеристического свойства его элементов:
— множество студентов АнГТУ;
— множество решений уравнения
0 1
2


x
, т.е. множество, состоящее из двух элементов: 1 и -1;
— множество всех чисел, удовлетворяющих неравенствам
7 3


x
, записывается так:


7 3
:



x
x
X
1.2. Числовые множества
В математике (алгебре) чаще всего приходится иметь дело с множествами, элементами которых являются числа. Такие множества называются числовыми.
Определение 1. Числа

,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
, использующиеся для счета предметов или для указания поряд- кового номера того или иного предмета среди однородных, называются натуральными.
Обозначаются натуральные числа буквой
N
, т.е.



,
5
,
4
,
3
,
2
,
1

N
Натуральные числа

,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
, противоположные им числа

,
5
,
4
,
3
,
2
,
1





и число 0 (нуль) образуют множество целых чисел. Обозначаются целые числа буквой
Z
:




3
,
2
,
1
,
0
,
1
,
2
,
3




Z
Определение 2. Числа, которые можно представить в виде
n
m
, где
m
– целое число


Z
m

, а
n
– натуральное число, называются рациональными числами.
Обозначаются рациональные числа буквой
Q
Таким образом, рациональные числа:









N
n
Z
m
n
m
Q
,
:


Всякое рациональное число является либо целым, либо представляется конечной или периодиче- ской бесконечной десятичной дробью.
Например,
 
3
,
0 3333
,
0 3
1
,
3
,
0 10 3
,
3
,
0 10 3
,
25
,
1 4
5
,
3 2
6
,
5 1
5










Числа, которые представляются бесконечными, но непериодическими десятичными дробями, называются иррациональными числами. Иррациональные числа обозначаются буквой
I
. Это числа

414211356
,
1 2

;

14159265
,
3


, где
d
l


– отношение длины
 
l
окружности к ее диаметру
 
d
и т.д.
Совокупность всех рациональных и иррациональных чисел называется множеством действи-
тельных (или вещественных) чисел. Обозначаются действительные числа буквой
R
Действительные числа можно изображать точками числовой оси.
Определение 3. Числовой осью называется бесконечная прямая, на которой выбраны:
1) некоторая точка
O
, называемая началом отсчета,
2) положительное направление, которое указывается стрелкой,
3) масштаб для измерения длин.
Наряду с понятием числовая ось используют понятие координатная прямая.
Чаще всего числовую ось располагают горизонтально и положительное направлении выбирают слева направо (рис. 1).
Рисунок 1
Точка О изображает число нуль. Очевидно, что каждое действительное число изображается опре- деленной точкой числовой оси. Два различных действительных числа изображаются различными точ- ками числовой оси. Например, точке М соответствует число -1. Число -1 называется координатой точки
М и обозначается
 
1

M
. Рассуждая аналогично, получаем, что координата точки N равна 1, т.е.
 
1
N
Таким образом, множество действительных чисел – это множество чисел





,
1. 3. Числовые промежутки
Возьмем два действительных числа
a
и
b
, такие, что
b
a

Определение 4. Множество действительных чисел
x
, удовлетворяющих определенным неравен- ствам, называется числовым промежутком.
Виды числовых промежутков представлены в таблице 1.
Таблица 1
Вид промежутка
Геометрическое изображение
Обозначение
Запись с по-
мощью не-
равенства
Интервал (откры- тый промежуток)
 
b
a ;
b
x
a


Отрезок (закры- тый промежуток)
 
b
a ;
b
x
a


x
-1
0
M
1
N
O
a
b
x
a
b
x


Полуинтервал
(открытый слева)


b
a ;
b
x
a


Полуинтервал
(открытый спра- ва)


b
a ;
b
x
a


Луч




;
a
a
x

Луч


b
;


b
x

Открытый луч




;
a
a
x

Открытый луч


b
;


b
x

1. 4. Модуль действительного числа
Определение 5. Модулем (абсолютной величиной) действительного числа
x
(обозначается
x
) называется неотрицательное действительное число, удовлетворяющее условиям:
0
,
;
0
,





x
если
x
x
x
если
x
x
Например,
2 2

, так как
0 2

;


7
,
3 7
,
3 7
,
3





, так как
0 7
,
3


;
3 3





, так как



14
,
3 0
3





Геометрически
x
означает расстояние на координатной прямой от точки
x
до точки
О
(рис. 2).
Рисунок 2
Свойства модулей:
1.
0

x
2.
x
x


3.
y
x
y
x


4.
0
,


y
y
x
y
x
a
b
x
a
b
x
a
x
b
x
a
x
b
x
O
x


5.
2 2
x
x

Если
x
и
y
– две точки координатной прямой, то расстояниемежду ними
 
y
x ;

выражается формулой:
 
y
x
y
x


;

(рис. 3).
Рисунок 3
Например,


 
7 7
7 5
2 5
;
2











;


 
9 9
9 10 1
10
;
1









1. 5. Правила действий над действительными числами
1. Сумма двух чисел одного знака есть число того же знака.
Правило 1. Чтобы найти сумму двух чисел одного знака, надо сложить модули слагаемых.
Например,
   
   
20 9
11
,
20 9
11










2. Сумма двух чисел с разными знаками есть число, которое имеет тот же знак, что и слага-
емое с большим модулем.
Правило 2. Чтобы найти модуль суммы двух чисел с разными знаками, надо из большего мо-
дуля вычесть меньший и поставить знак большего модуля.
Например,
    

    

2 9
11 9
11
,
2 9
11 9
11















3. Разность двух чисел
Правило 3. Чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число,
противоположное вычитаемому.
Например,
 
 
  

2 9
11 9
11 9
11
,
20 9
11 9
11














4. Произведение (частное) двух чисел одного знака есть число положительное, а произведение
(частное) двух чисел разного знака есть число отрицательное.
Правило 4. Чтобы найти модуль произведения (частного), надо перемножить (разделить)
модули данных чисел.
Например,
   
 
4 9
36 9
:
36
,
99 9
11 9
11












Пример 1.
Вычислить:
1)
  

8
,
6 2
,
3 10 10 2
,
3 10 2
,
3









– в данном примере рассматриваем разность двух чисел: применяем правило 3, а затем 2.
2)


10 1
,
13 1
,
23 1
,
23 1
,
13






– в данном примере рассматриваем сумму двух чисел с разными знаками: применяем правило 2.
y
x


3)

 

2
,
36 1
,
23 1
,
13 1
,
23 1
,
13 1
,
23 1
,
13











– в данном примере рассматриваем разность двух чисел: применяем правило 3, а затем 1.
5. Правило раскрытия скобок
Правило 5. Если перед скобкой стоит знак
«+»
, то, раскрывая скобки, нужно сохранить знак
каждого слагаемого суммы, заключенной в скобки.
Например,


9
,
6 11 9
,
17 11 6
,
15 3
,
2 11 6
,
15 3
,
2








Правило 6. Если перед скобкой стоит знак
«-»
, то, раскрывая скобки, нужно знаки слагаемых
поменять на противоположные.
Например,




77
,
29 77
,
29 28
,
36 28
,
36 28
,
36 77
,
29 28
,
36 28
,
36 77
,
29 28
,
36










Что такое «настоящие цифры» на самом деле?

Что такое «настоящие числа» на самом деле?
Это правда, что настоящие числа — это «точки на прямой», но это еще не все. правда. Эта веб-страница объясняет, что действительная система счисления является Полное по Дедекинду упорядоченное поле. Различные концепции проиллюстрировано также несколькими другими полями. Версия 11 ноября 2009 г., Эрик Шехтер. Если вы обнаружите какие-либо ошибки или увидите что-либо, недостаточно ясно объяснено, или есть какие-либо другие комментарии по поводу эту страницу, пожалуйста, напишите мне.
Что такое «действительные числа»? В самом деле?

Короткий и простой ответ, используемый в курсы исчисления состоит в том, что действительное число равно точкам на номер строки . Это не вся правда, но достаточно для нужд исчисления первокурсников. Курс математики для первокурсников (в большинстве университетов в настоящее время) следует стилю Ньютона 17 века. и Лейбниц, подчеркивая вычисления и опуская многие доказательства. Опущенные доказательства зависят от тщательное объяснение того, что такое «настоящие цифры» действительно есть. Это объяснение и эти доказательства не были обнаружены до 19веке, после Ньютона и Лейбница. давно мертв.

Правильное объяснение реальных чисел в наши дни освещается, если вообще, в курсе «реального анализа» на младших или старших курсах студентов, обучающихся по специальности в математике. Удивительно, но мало студентов берут такое курс; возможно, это потому, что он слишком алгебраичен для вкус аналитиков и слишком аналитичен, чтобы угодить алгебраистам.

На этой веб-странице я расскажу о математическом значении «действительного числа». До этого я хочу обсудить это более элементарный вопрос: откуда взялось название «настоящий» из? (Оказывается, это имеет мало общего с более глубоким свойства действительных чисел.) Чтобы ответить на этот вопрос, я сначала нужно поговорить о комплексных числах.

Обработка точек на плоскости как чисел

Существует естественный способ «сложить» или «умножить» два точки на евклидовой плоскости. Под «естественным» я подразумеваю что определения оказались полезными для много приложений, и что определения достаточно просто. К сожалению, определения берут самое простое формы, если мы используем различных систем координат для операции сложения и умножения.
  • «прибавление» точек описывается максимально просто как добавление вектора . А вектор может быть представлен направленным отрезком линии; два вектора считаются равными, если они направлены в одном направлении и имеют одинаковые длина. (См. диаграмму.) Мы можем изменить представление вектора перемещая его (т. Е. «Переводя» его) в новую позицию параллельно исходному положению.

    Чтобы добавить два вектора V 1 и V 2 , представить их направленными отрезками так, чтобы начальный конец V 2 находится на конце V 1 . Таким образом стрелки на диаграмме образуют путь: начните с начальный конец V 1 , переходим к его конечный конец, затем поверните за угол и следуйте V 2 от его начального конца до его терминальный конец. Сумма или результирующих , В 1 +В 2 , это путешествие, идущее от начального конца V 1 до конечного конца В 2 . Эта сумма представлена ​​одним направленный отрезок, пунктирная третья сторона треугольник.

    Кому представлять векторы в декартовой системе координат, нарисуйте вектор V так, чтобы его начальный конец находился в происхождение (0,0). Тогда координаты места его конечного конца используются в качестве координат вектор. (См. схему.)

    Если мы используем эту координату системы, то формула сложения векторов очень простой: первая координата V 1 +V 2 сумма первых координаты V 1 и V 2 , а также вторая координата V 1 +V 2 есть сумма вторых координат V 1 и В 2 . То есть,

    (а, б) + (в, г) = (а+в, б+г)

  • «умножение», которое мы хотим использовать, также может быть описано в Декартовы координаты: (a,b) ⋅ (c,d) = (ac−bd, ad+bc). Но это немного сложно и неинтуитивно; это выглядит несколько произвольно и надуманный. Мы получаем гораздо более простую и геометрически привлекательную определение, если мы перейдем к полярным координатам. Пусть точка будет представленный , если он имеет радиус r и угол θ, т. е. если расположен на расстоянии r единиц от начала координат и на луче θ радианы против часовой стрелки от луча, который указывает вправо. Эта точка имеет декартовы координаты (r cos θ, r sin θ). Если вы подставите эти значения в нашу декартову формулу умножения, а затем упростить используя некоторые тригонометрические тождества, вы получите это гораздо более простое определение умножения:
    Если P 1 имеет полярные координаты 1 ,θ 1 > и P 2 имеет полярные координаты 2 ,θ 2 >, затем
    произведение P 1 P 2 определяется как точка с полярной координаты 1 r 2 , θ 1 +θ 2 >.

    Другими словами, умножьте радиусы и сложите углы. эффект умножения точек на плоскости на P 2 для повернуть плоскость на угол θ 2 и растянуть (или сжать) плоскости с коэффициентом увеличения r 2 . Этот концепция очень проста и весьма полезна в технике, который часто связан с описанием вращений (например, двигатели).

Если сложение и умножение определены, как указано выше, то точки на плоскости называются комплексными числами , по причинам, которые будут обсуждаться в нескольких абзацах от в настоящее время.

Поскольку (a,0)+(c,0)=(a+c,0) и (a,0)×(c,0)=(ac,0), точки вдоль горизонтальная ось имеет арифметику, как и «обычные» числа; мы будем писать (a,0) короче как a. Например, (5,0) будет записано как 5. Точки вдоль вертикальная ось также имеют более короткое обозначение: точка (0,b) будет короче би; например, (0,5) будет быть записано как 5i. I означает «воображаемый», т. причины описаны ниже.

Важные упражнения. Используя либо формулу (а, б) × (c,d) = (ac−bd, ad+bc) или определение в терминах полярных координат, новичок должен теперь убедитесь, что i 2  = −1 . Это будет важно в обсуждении ниже.

Вот ответы на эти два упражнения: Используя декартову систему координат, вычисляем я 2 = (0,1) × (0,1) = (00−11, 01+10) = (−1,0) = −1. Или, используя полярные координаты: число i имеет радиус 1 и угол π/2. Отсюда число я 2 имеет радиус 11=1 и угол (π/2) + (π/2) = п; комплексное число с этими полярными координатами равно −1.

Что «реального» в реальных числах?

Вероятно, самый простой способ понять «комплексные числа» — это начните с точек на плоскости, как я сделал в предыдущие абзацы. Тем не менее, по историческая случайность, самое простое объяснение было не первое объяснение обнаружено. Действительно, геометрический, Точки в плоскости не были обнаружены до 19й века, спустя много времени после того, как алгебраические вычисления были расследовано. Еще в 16 веке математики были разработка новых «чисел» как способа решения полиномиальных уравнений; они думали алгебраическими формулами, а не картинками. Их особенно интересовали третья и четвертая степень уравнения в то время, но они даже по-новому проникли в суть Квадратное уравнение. Отношение, которое они приняли, было примерно таким:
Мы все знаем, что не существует действительно какого-либо «числа» p. который может удовлетворять уравнению p 2  = −1. Такой «число» может существовать только в нашем воображении. Но если это как-то существовало , что за арифметические правила это должно было следовать?

Вы должны восхищаться гений математиков 16 века: они правильно отработал арифметические правила комплекса числа, несмотря на отсутствие у них простой геометрической модели; они рассчитывали с помощью «чисел», существование которых они не знали даже верь!

Однако их терминология была неудачной. Нет ничего вымышленного или сказочного про обороты двигателей, а название застрявший. Точки на вертикальной оси теперь называются мнимых чисел , несмотря на то, что что у них есть очень осязаемые приложения. Точки на горизонтальной оси (напротив) назвал действительных чисел . Все точки плоскости называются комплексные числа , потому что они сложнее — у них есть и то, и другое. действительная часть и мнимая часть.

Так заканчивается наша сказка о том, откуда взялось имя «действительное число» происходит от. Но мы едва приступили к расследованию математические свойства, связанные с этим именем.

Избавление от картинок

Ответ «точка на линии» не является полностью удовлетворительным ответ, потому что это не так аксиоматический или алгебраический. Он опирается на фотографии, которые мы не действительно понимаю. Например, множество действительных чисел и множество рациональных чисел имеют по существу ту же картину , но их алгебраические свойства различаются способами что очень важно для аналитиков.

Представьте, что вы изучаете изображение линии под супермикроскопом. Если бы вы могли увеличить линию в очень большом увеличении, скажем, в увеличение гуголплекса, а еще лучше увеличение бесконечность — будет ли она по-прежнему выглядеть так же? Или вы бы увидели ряд точек, разделенных пробелами, как точки на картинке в газета? (Оказывается, в каком-то смысле действительные числа по-прежнему будет выглядеть как линия при бесконечном увеличении, но рациональные числа будут точками, разделенными пробелами. Но это только расплывчатое и интуитивное утверждение, а не что-то точное, что мы можем использовать в доказательствах.)

Единственный способ получить точные ответы на эти вопросы — это установил очень тщательную систему аксиом о геометрии… но это то же самое, что установить тщательный набор аксиомы об алгебраических свойствах действительных чисел. Это оказывается, что последнее немного проще, так что мы также можем сосредоточиться на алгебраических аспектах ситуации. Отвечать такие вопросы, в конечном счете, мы должны уйти от картинки; мы должны понимать реальные числа полностью в термины формул.

В качестве предварительного просмотра, вот определение, которое мы собираемся получить: реальная линия является полной по Дедекинду заказанное поле . Это сложно, поэтому мы будем работать путь к нему поэтапно. Мы обсудим:

  • Что такое поле?
  • Что такое упорядоченное поле?
  • Что такое полное по Дедекинду упорядоченное поле?
  • Почему я говорю, что реальная линия Полное по Дедекинду упорядоченное поле? Как это может быть определением?

Группы и поля

Прежде всего, группа — это математический объект; это тройка (X,e,*) со следующими свойствами:
  • X — непустое множество.
  • e — специально выбранный член множества X. Он называется личность группы.
  • * — это бинарная операция над X, которую мы можем назвать групповая операция . Это означает, что всякий раз, когда p и q равны члены X, то p*q также является членом X.
  • (p*q)*r = p*(q*r) для всех p,q,r в X.
  • p*e = e*p = p для каждого p в X.
  • Для каждого p в X существует по крайней мере один соответствующий q в X, удовлетворяющем условию p*q = q*p = e. (Можно показать, что существует не более один такой q, и, таким образом, q однозначно равен определяется по р; мы называем q обратным p.)
Упражнения:
  • Идентификатор уникален определенный — т. е. если р*е 1 = е 1 *р = р а также p*e 2 = e 2 *p = p для всех p в X, то е 1 = е 2 .
  • Обратные значения определяются однозначно — т. е. если p*q 1 = е и p*q 2 = e тогда q 1 = q 2 ,

Группа называется абелевой (или коммутативной ), если она также удовлетворяет этому свойству:

  • p*q = q*p для всех p,q в X.

Примеры:

  • (Z,0,+) — абелева группа, где Z — множество все целые числа
  • ({четные числа}, 0,+) — абелева группа.
  • ({-1,1}, 1, x) — абелева группа
  • (R+,1,x) — абелева группа, где R+ — множество все положительные действительные числа
  • (R\{0},1,x) — абелева группа, где R\{0} — набор всех ненулевые действительные числа. (Здесь «\» означает разность двух множеств.)
  • (T,1,x) — абелева группа, где T — множество все комплексные числа, лежащие вдоль единичной окружности с центром в 0

 

Теперь поле представляет собой пятерку (Y,0,+,1,×) со следующими свойствами:

  • Y — набор, 0 и 1 — два специально выбранных члена Y, а + и × два бинарные операции над Y.
  • 0≠1.
  • Тройка (Y,0,+) является абелевой группой.
  • Тройка (Y\{0},1,×) является абелевой группой. (Обратите внимание, что эта группа набор элементов, все элементы Y, кроме 0.)
  • p×(q+r) = (p×q) + (p×r) для всех p,q,r в Y.
( Упражнение : Некоторые математики не включают требование что 0≠1. Докажите, что существует только одно «поле», в котором 0=1. Для этого поля множество Y имеет только один член)

Вот несколько примеров:

  • Рациональные числа (например, числа 3/4 и -171/25) представляют собой поле.
  • Вещественные числа (например, числа вроде 87,324116279…) являются полем.
  • Комплексные числа представляют собой поле. ( Упражнение: Проверить все аксиомы. Кроме того, каково мультипликативное обратное число 3+2i ?)
  • Комплект всех числа вида p+q√2, где p и q — рациональные числа, — поле; это подмножество в вещественные числа и надмножество рациональных чисел. ( Упражнение: Проверьте все аксиомы. Кроме того, что такое мультипликатив инверсия 3+2√2 ?)

Ниже приведен еще один пример. Мы представим конечное поле — то есть поле с конечным числом членов. Для установите Y, мы будем использовать Y={0,1,2,3,4}. Для его операций сложения и умножения мы будем использовать обычное сложение и умножение, модифицированное этим правилом: Если в результате сложения или умножения получается число больше 4, вычтите 5, или 10, или 15, чтобы снова получить число из множества Y. Другими словами, мы будем использовать эти таблицы для сложения и умножения:

+ . 0 1 2 3 4
.
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 1 2 3 40005 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
× . 0 1 2 3 4
.
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1

Это поле иногда называют арифметическим модулем 5 . ( Упражнения : Покажите, что подобное поле может быть задано с заменой 5 на любое простое число. Покажите, что есть также поле с 4 элементами и поле с 9элементы, но нет поля с ровно 6 элементами. Много много сложнее: можно показать, что существует поле с ровно n элементов для некоторого целого n тогда и только тогда, когда n принадлежит образуют p r для некоторого простого числа p.)

Заказные поля

Далее нам нужно определить упорядоченное поле . это шестерка (Y,0,+,1,×,<) где Реальные и рациональные, с их обычными упорядочения — это два знакомых примера упорядоченных полей. Чуть менее знакомый пример дает набор всех числа вида p+q√2, где p и q — рациональные числа. ( Упражнение . Покажите, что это множество упорядоченное поле.)

Можно показать, что каждое упорядоченное поле содержит в качестве подмножества изоморфная копия рациональных чисел , т. е. множество, которое идентичны рациональным числам во всех своих арифметических операциях; он может отличаться только названиями некоторых вещей, через изменение маркировки. Если немного переименовать вещи, можно сказать, что рациональные числа являются подмножеством каждого упорядоченного поля .

В частности, каждое упорядоченное поле содержит бесконечно много члены. Следовательно, поле арифметики по модулю 5 нельзя превратить в упорядоченное поле определив < каким-то хитрым способом.

Можно также доказать, что в любом упорядоченном поле

  • −1 < 0, и
  • если р ≠ 0, тогда p 2  > 0.
Поскольку i 2  = −1, следует, что мы никак не можем сделать комплексные числа в упорядоченное поле , независимо от того, как мы определять <.

Бесконечно малые

Эта следующая часть не является обязательной, т. е. вы можете пройти через определение действительных чисел, даже не думая о бесконечно малых. Но я думаю эта следующая часть интересна, а также дает определение из действительных чисел легче понять.

Около 300 лет назад Ньютон и Лейбниц изобрели исчисление. Ну, это чрезмерное упрощение. Некоторые идеи о исчисления уже были вокруг, но они очистили его и связал его вместе с тем, что мы теперь называем Основой Теорема исчисления. Ньютон также показал некоторые способы исчисление может быть использовано — он разработал многие из основных законов физики и показал, как вычислить орбиты планеты гораздо проще и точнее, чем кто-либо когда-либо сделано раньше. При этом он внес большой вклад в начало эпохи Просвещения — эпохи, в которой люди поняли, что они могут многого добиться с помощью рассуждения, и что они не должны просто жить в страхе, суеверия и заблуждения. Это может иметь косвенное способствовали таким вещам, как промышленная революция и рождение демократии.

Во всяком случае, Ньютон и Лейбниц знали, как делать многие из вычисления которым мы сейчас обучаем математике, но они не знали, как сделать удовлетворительные доказательств теории, лежащей в основе исчисление. Они пытались делать доказательства, но их объяснения немного не хватало. Многие из их объяснений были на основе бесконечно малых — т. е. чисел, которые бесконечно малы, но не равны нулю. Например, в их объяснения, dy/dx не представляли собой предела меняющихся чисел. Он представлял собой частное неизменные числа, но эти числа были бесконечно малые.

Вычисления Ньютона и Лейбница были приняты другие математики, но доказательств не было. объяснение бесконечно малых не совсем имело смысл, и математикам это было неудобно. В последующие века Коши и Вейерштрасс представил доказательства эпсилон-дельта, которые мы теперь находим в учебниках по математике. Эти доказательства включают числа которые имеют «обычный» размер (не бесконечно малый), но цифры будут варьироваться в зависимости от множества различных обычных размеры; таким образом, мы берем предел, когда эпсилон изменяется к нулю. В наших учебниках dy/dx представляет предел изменения частное двух обыкновенных чисел. В конце 19веке Дедекинд, наконец, дал четкое объяснение реальных чисел (которое мы будем эскиз в конце этой веб-страницы), и мы можем доказать, что в Дедекинде система счисления нет бесконечно малых . Аргументы с бесконечно малыми перестали быть нужными и вышли из употребления. В конце концов бесконечно малые были дискредитированы и отброшены. математиками (хотя они продолжал упоминаться в некоторых книгах по физике много десятилетий спустя).

В 1960-х годах математик Авраам Робинсон наконец понял как сделать смысл из бесконечно малых. Таким образом Родился нестандартный анализ . В нем участвовали некоторые нестандартных действительных чисел , среди которых мы можем найти несколько бесконечно малых. В пунктах ниже я буду приведите пример упорядоченного поля, которое имеет некоторые бесконечно малые. Обсуждение ниже основано на Идеи ХХ века, а не только идеи Ньютона и Лейбница. Я должен упомянуть, однако, что пример, который я приведу настоящее время , а не подход, предпочитаемый нестандартные аналитики. Они предпочитают подход, который более сложнее, но и мощнее. (предполагает создание тщательный логический анализ формального языка первого порядка, но нам не нужно обсуждать это здесь.)

Некоторые из нестандартных аналитиков теперь на самом деле считают, что бесконечно малые дают лучшее понимание исчисления. В конце концов, это дало Ньютону и Лейбницу интуицию, что они нуждались. Мы действительно можем сделать строгую математику, лишь с небольшими коррективами в идеях Ньютона и Лейбниц. (Например, производная должна быть стандартная часть , что частное бесконечно малых; этот термин объясняется в следующем абзаце ниже.) Но большинство математиков по-прежнему предпочитают подход эпсилон-дельта, который, по их мнению, проще. (Оба методы верны, и оба дают одинаковые результаты.) во всяком случае, некоторое обсуждение бесконечно малых может быть полезным в нашем объяснении упорядоченных полей.

Определения. Предположим, что Y — упорядоченное поле. бесконечно малый элементом Y является элемент r, отличный от 0, который удовлетворяет всем из этих бесконечно многих условий:
−1 < r < 1 , −1/2 < r < 1/2 , −1/3 < r < 1/3 , ...

Два члена Y называются бесконечно близкими , если их разница бесконечно мала.

Некоторые упорядоченные поля имеют бесконечно малые значения, а некоторые — нет. Упорядоченные поля, не имеющие бесконечно малых, называются Архимедовы поля ; мы увидим позже, что настоящий система счисления (например, система счисления Дедекинда, также известный как стандартные действительные числа ) является архимедовым. Упорядоченные поля, которые имеют бесконечно малые называются неархимедовыми полями ; мы приведем пример такого поля в следующем несколько абзацев.

Пример будет частично основан на рациональных функциях. Рациональной функцией от переменной t , мы будем означает функцию вида p(t)/q(t), где p(t) и q(t) — многочлены со стандартными действительными коэффициентами, а q — а не постоянный многочлен 0. Обратите внимание, что каждое действительное число можно рассматривать как рациональную функцию, например, число 7 можно рассматривать как 7/1, где 7 и 1 оба полиномы степени 0. Таким образом, множество действительных чисел представляет собой подмножество множества рациональных функций. (Конечно, чтобы понять это, мы должны предположить что у нас уже есть некоторое представление о реальных числах. Но нам не нужно очень глубокое понимание; в концепции «точки на линии» пока будет достаточно.)

Определим сложение и умножение рациональных функций обычным способом, как в школьной алгебре. Однако мы делаем это одно изменение в обычном подходе к рациональным функциям: считать две рациональные функции «одними и теми же», если они согласуются друг с другом, за исключением конечное число значений t. Например, эти две функции

т-3 т 2 -т-6
   и  
1 т+2

на самом деле не совпадают, потому что первый определен в t = −2, а второй равен нет. Но две функции идентичны для всех остальных значений t, поэтому будем рассматривайте их как «одинаковые» для целей настоящего обсуждения. При таком соглашении можно показать, что множество всех рациональные функции это поле .

Кроме того, действительные числа являются подмножеством рациональных функции. Например, константа 1 и константа 7 являются многочленами степени 0, поэтому константа 7/1 является рациональная функция. Таким образом мы можем просматривать каждый действительное число как рациональная функция.

Мы можем преобразовать рациональные функции в упорядоченное поле , если мы просто определить правильный порядок. Для этого мы воспользуемся функцией следующая теорема. (Мы опускаем доказательство теоремы, что немного сложнее, но это просто включает в себя некоторые продвинутые исчисление и немного студенческой алгебры.)

Теорема. Предположим, что q(t) и r(t) заданы рациональными функции от переменной t. Тогда существует некоторое действительное число t 0 (что может зависеть от выбора q и r) такие, что ровно один из этих трех случаев держит:
  1. Для каждого действительного числа t > t 0 действительное число д (т) меньше действительного числа r(t).
  2. Для каждого действительного числа t > t 0 , реальный номер q(t) равно действительному числу р(т).
  3. Для каждого действительного числа t > t 0 действительное число q(t) больше, чем действительное число р(т).
Кроме того, если имеет место случай 2, то q(t) = r(t) для всех, кроме конечного числа значений т.

Теперь мы определим порядок рациональных функций, говоря что

q < г     или q = г     или д > г

если выполнены случаи 1, 2 или 3 соответственно. Другими словами, один рациональный функция меньше другой, если она равна , в конечном итоге меньше , т. е. если она меньше, когда мы уходим достаточно далеко вправо на графиках две функции. Как далеко вправо мы должны идти, может зависеть на какие две функции мы смотрим; но теорема говорит, что для каждого выбора двух рациональных функций существует некоторая точка после чего одна функция остается ниже другой (если только они не «такой же»).

При таком определении порядка получается что множество рациональных функций является упорядоченным полем. Но это также оказывается, что функции

1/т,     2/т, 1/т 2 , так далее.,

являются бесконечно малыми. Таким образом, поле рационального функции неархимедовы, когда они упорядочены, как мы описали.

Как это связано с представлением Ньютона о числах? Я уверен, что Ньютон не думал о своих бесконечно малых как рациональные функции. Но мы можем получить некоторое представление о его смотровая площадка, следующим образом:

Среди стандартных действительных чисел нет бесконечно малых. Но можно представить, что при достаточно мощном микроскопа мы можем обнаружить какие-то дополнительные «нестандартные» числа, которых мы раньше не замечали. Расположен вокруг каждого стандартное действительное число r, бесконечно близкое к нему, бесконечно много новых нестандартных номеров. (Тогда r является стандартной частью любого из этих новых чисел.) В частности, расположенные вокруг 0 — бесконечно малые. Мы также можем получить некоторые другие нестандартные числа, взяв обратные бесконечно малые; эти числа бесконечно велики. сбор всех номеров — как «стандартных», так и «новых», вместе — упорядоченное поле. Его порядок тот же как упорядочение множества рациональных функций.

Наименьшие верхние границы

Предположим, что Y — упорядоченное поле, S — непустое подмножество Y и b является элементом Y. Мы говорим, что b является верхней границей для множества S если у нас есть s  <  b, удовлетворяющее каждому s в S.

Если множество S имеет верхнюю границу, то, вообще говоря, оно имеет много верхних границ. Скажем, B — это множество верхних границ S, и B непусто. Есть ли у Б низший член? Если это так, этот член называется наименьшая верхняя граница из набора С.

Слово «полный» имеет разное значение в разных отраслях. математики. Как правило, объект называется «завершенным», если в нем нет «дыр» — т. е. если ничего такого, что казалось бы, «должен» быть там отсутствует. Это туманное описание имеет разное значение для разных математических объекты — полное упорядоченное поле, полное пространство меры, полная логика и т. д. Здесь мы будем только рассмотреть значение полноты для упорядоченных полей.

Упорядоченное поле Y называется полным или полным по Дедекинду , если он обладает этим свойством, также известным как свойство наименьшей верхней границы :

Всякий раз, когда S является непустым подмножеством Y и S имеет хотя бы одну верхнюю границу, тогда S имеет наименьшую верхнюю границу.

Дедекиндова полнота оказывается решающей в анализе, потому что это позволяет нам брать ограничения.

Некоторые упорядоченные поля являются полными по Дедекинду, а некоторые — нет. Здесь два быстрых примера упорядоченных полей, которые не заполнены:

  • Набор рациональных чисел неполный (то есть не полный). Чтобы убедиться в этом, пусть S будет множеством всех рациональных чисел r, которые удовлетворяют условию r 2 < 5. Тогда S имеет много верхних границ, например, 3 является верхней границей, а 2,24 — еще одна верхняя граница, а 2,23607 — еще одна верхняя граница. Мы можем продолжать находить больше таких чисел — какими бы рациональными они ни были. число, которое мы предлагаем для верхней границы для S, можно найти другое рациональное число, которое все еще немного ниже и также является верхней границей для S. Вероятно, вы уже понимаете, почему: эти числа сходятся к
    √5 = 2,23606797749978969640
  • 6873128. ..

    • Но это число не рационально. Любая рациональная верхняя граница для S будет иметь быть немного на выше , чем √5, и между этим рациональное число и √5 всегда можно найти еще одно Рациональное число. В области рациональных чисел множество S не имеет минимум верхняя граница.

  • Если Y неархимедово поле — т.е. упорядоченное поле с бесконечно малыми — тогда Y является неполным. Один из способов увидеть это пусть S будет множеством всех бесконечно малых. Поскольку некоторые из бесконечно малые положительные, любая верхняя граница для S должна быть больше 0. Обратите внимание, что 1 — это верхняя граница для S, а 1/2 — это другая верхняя граница для S, а 1/3 — другая верхняя граница для S, и так далее. Предположим (от противного), что б были минимум верхняя граница для S. Тогда b должно быть положительным и должно быть меньше или равно всем числа 1, 1/2, 1/3 и т. д. — таким образом, b должно быть положительным бесконечно малый. Тогда 2b также является бесконечно малым, поэтому 2b является член S. Поскольку b является верхней границей для S, это говорит нам 2б < б. Но b < 2b, так как b равно положительный. Это противоречие.
(Обратите внимание, что, наоборот, любое полное упорядоченное поле должно быть архимедовым.)

Заполните поля

Мы использовали реальные числа в некоторых из наших предыдущих обсуждения. Например, комплексные числа упорядочены пары действительных чисел и наш пример бесконечно малых включал рациональные функции с действительными коэффициентами. В эффект, мы «позаимствовали» действительные числа — мы использовали действительные в примерах, хотя формально мы их не определяли пока что; мы просто полагались на неформальный и интуитивный понимание того, что учащиеся уже имеют, на основе геометрическая линия. Поверьте мне, нет круговых рассуждений здесь — я не буду использовать «заимствованные» понятия, когда, наконец, обойти определение реальных чисел. Вы увидите, что если вы на самом деле прорабатываете все детали. (Я не утверждая, что эта веб-страница больше, чем набросок.)

Определение вещественных чисел зависит от еще двух теорем, обе из которых трудно доказать.

Теорема 1. Существует Полное по Дедекинду упорядоченное поле.

Литература содержит множество различных доказательств этой теоремы. Я думаю, что три из них достаточно просты, чтобы заслуживать упоминания здесь:

  • Доказательство с использованием десятичных расширений. Пусть Y будет множеством всех бесконечных десятичных разложений — т. е. такие выражения, как 3,682951… и -17,311897… . Принять конвенцию что 2.719999… «то же самое», что и 2.7200000… и т. д. Используйте обычные операции сложения и умножения. Тогда Y является полным упорядоченным полем, но проверка этого факта крайне утомительно. вообще не до конца проработано деталь. Одно место, где вы можете найти его в довольно полной подробности см. в JF Ritt, Theory of Functions 9.0016, 1946 год. Он также нарисован в М. Розенлихт, Введение в анализ , перепечатано Дувром.
  • Доказательство с использованием разрезов Дедекинда. Пусть Q — множество рациональных чисел; мы предполагаем, что мы уже иметь хорошее представление о тех. Под разрезом Дедекинда мы подразумеваем пару (A,B) со следующими свойствами:
    • A и B — непустые подмножества Q, объединение которых равно Q
    • a < b, для каждого a ∈ A и каждого б е В
    • A не имеет старшего элемента.
    Множество B может иметь или не иметь наименьший элемент. Вот несколько примеров разрезов, в которых B имеет младший элемент:
    A -2 = {x ∈ Q: x < -2}, B -2 = {x ∈ Q:   x > -2} A 3,7 = {x ∈ Q: x < 3,7}, B 3,7 = {x ∈ Q:   x > 3,7}
    а вот пример разреза в котором B не имеет низшего элемента:
    А = {г е Q: г < 0    или г 2 < 5}, B = {r ∈ Q: r >0 и r 2 > 5}.
    (Это сокращение будет называться (А √5 , Б √5 ) если бы у нас было √5.) В наборе можно сделать все разрезов в полное упорядоченное поле, если мы определим сложение и умножение правильный путь. Опять же, это утомительно; вы можете найти некоторые детали разрабатывались у В. Паржинского и П. Ципсе, Введение в математический анализ .
  • Доказательство с использованием последовательностей Коши. Снова начнем с рациональных чисел. Скажите, что последовательность р 1 , р 2 , р 3 , … рациональных чисел является последовательностью Коши , если он обладает тем свойством, что
    для каждого положительного целого числа p существует положительное целое число m (которое может зависят от p и от конкретной изучаемой последовательности), так что всякий раз, когда i и j больше, чем m, то |r i  − r j | < 1/стр.

    Теперь предположим, что две последовательности Коши р 1 , р 2 , р 3 , … а также с 1 , с 2 , с 3 , … рациональных чисел эквивалентны , если они обладают тем свойством, что

    для для каждого положительного целого числа p существует положительное целое число m (что может зависеть от p и от конкретных последовательностей, изучаемый) такой, что всякий раз, когда i больше, чем m, то |r i  − s i | < 1/стр.

    Под классом эквивалентности мы понимаем множество всех последовательностей, которые эквивалентны к какой-то определенной последовательности. Теперь можно показать, что множество всех классов эквивалентности является полным упорядоченным полем, если мы определим сложение и умножение на нем в правильном порядке. Это доказательство, принадлежащее Кантору, представляет собой небольшую модификацию доказательства того, что можно найти во многих книгах по анализу или топологии, показывая, что каждый метрическое пространство имеет метрическое пополнение.

Другую теорему доказать труднее, и я даже не буду набросайте доказательство здесь. На самом деле эта теорема даже трудно сказать:

Теорема 2. Любые два Полные по Дедекинду упорядоченные поля изоморфны т. е. существует взаимно однозначное соответствие между которые сохраняют в обоих направлениях порядок и арифметические действия. Таким образом, любые два Полные по Дедекинду упорядоченные поля по существу «одинаковы»; один является просто перемаркированной копией другого.

В частности, десятичные разложения, разрезы Дедекинда и классы эквивалентности последовательностей Коши, хотя они кажутся полностью разные, у всех оказывается одинаковая арифметика и алгебраика структура — это действительно «один и тот же» объект. Это тот объект которую мы называем действительной системой счисления.

Наконец, настоящее определение реалов

(Не каламбур. )
Определение. Реальная система счисления это уникальная алгебраическая структура, представленная всеми Полные по Дедекинду упорядоченные поля.

Вы можете задаться вопросом, почему математики хотят использовать такую ​​сложную определение. Не проще ли было бы просто определить реальные числа быть сечениями Дедекинда, или определить действительные числа как десятичные расширения или что-то в этом роде? Это подход взятый в некоторых элементарных учебниках, но в конечном итоге это меньше продуктивный. Когда мы на самом деле использовать действительную систему счисления в доказательствах, свойства, которые нам нужны, не являются именно свойствами (например) сокращения Дедекинда или десятичные разложения. Скорее, нужные нам свойства — это аксиомы полного упорядоченного поля Дедекинда. Гораздо проще мыслить в терминах этих аксиом. Думать о «числах» как об сокращениях или расширениях было бы просто обремените нас лишним багажом. Сокращения или расширения модели — они полезны для работы по доказательству теоремы 1, но они мало чем еще полезны. Как только они выполнили эту работу, мы можем их выбросить и забыть.

Если хотите, теперь вы можете думать о точках на линии как представляет членов полного Дедекинда упорядоченное поле. Тогда правильно будет сказать, что настоящая числа — это точки на прямой.

1.1: Действительные числа и числовая строка

  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    18326
    • Анонимный
    • LibreTexts

    НАВЫКИ ДЛЯ РАЗВИТИЯ

    • Постройте числовую прямую и нанесите на нее точки.
    • Используйте числовую прямую для определения порядка действительных чисел.
    • Определить противоположное действительному числу.
    • Определить абсолютное значение действительного числа.

    Определения

    Набор представляет собой набор объектов, обычно сгруппированных в фигурных скобках \(\{\) \(\}\), где каждый объект называется элементом . Например, \(\{\text{красный, зеленый, синий}\}\) — это набор цветов. Подмножество — это набор, состоящий из элементов, принадлежащих данному набору. Например, \(\{\text{зеленый, синий}\}\) является подмножеством цвета, установленного выше. Набор без элементов называется пустым набором и имеет собственное специальное обозначение \(\{\) \(\}\) или \(\varnothing\).

    Изучая математику, мы фокусируемся на специальных наборах чисел. Набор из натуральных (или счетных) чисел , обозначаемый \(\mathbb{N}\), равен

    \( \{1,2,3,4,5 , \dots \} \quad \color{Cerulean }{Natural\: Numbers} \)

    Три точки \((\dots)\) называются многоточием и указывают, что числа продолжаются без ограничений. Набор из целых чисел , обозначаемый \(\mathbb{W}\), представляет собой набор натуральных чисел в сочетании с нулем.

    \( \{0,1,2,3,4,5 , \dots\} \quad \color{Cerulean}{Whole\: Numbers} \)

    Набор из целых чисел , обозначаемый \(\mathbb{Z}\), состоит как из положительных, так и из отрицательных целых чисел, а также нуля.

    \( \{\dots, -3,-2,-1,0,1,2,3 , \dots\} \quad \color{Cerulean}{Integers} \)

    Обратите внимание, что наборы натуральных и целые числа являются подмножествами множества целых чисел.

    Рациональные числа , обозначаемые \(\mathbb{Q}\), определяются как любые числа вида \(\dfrac{a}{b}\), где \(a\) и \(b\ ) являются целыми числами, а \(b\) отличен от нуля. Десятичные числа, которые повторяются или заканчиваются, рациональны. Например,

    \(0,7= \frac{7}{10} \quad \text{and} \quad 0. \overline{3} =0,3333 \dots = \frac{1}{3}\)

    Набор целые числа являются подмножеством множества рациональных чисел, потому что каждое целое число может быть выражено как отношение целого числа и \(1\). Другими словами, любое целое число можно записать над \(1\) и считать рациональным числом. Например,

    \(5= \frac{5}{1}\)

    Иррациональные числа определяются как любые числа, которые не могут быть записаны как отношение двух целых чисел. Неконечные десятичные дроби, которые не повторяются, иррациональны. Например,

    \(\pi =3,14159 \dots \quad \text{and} \quad \sqrt{2} = 1,41421 \dots\)

    Набор из действительных чисел , обозначаемый \(\mathbb{R}\) , определяется как множество всех рациональных чисел в сочетании с множеством всех иррациональных чисел. Следовательно, все числа, определенные до сих пор, являются подмножествами множества действительных чисел. Таким образом,

    Рисунок \(\PageIndex{1}\): Вещественные числа

    Числовая строка

    Строка действительных чисел или просто числовая строка позволяет визуально отображать действительные числа, связывая их с уникальными точками на линии. . Действительное число, связанное с точкой, называется 9. 1016 координата . Точка на прямой с действительными числами, связанная с координатой, называется ее графиком .

    Чтобы построить числовую линию, нарисуйте горизонтальную линию со стрелками на обоих концах, чтобы указать, что она продолжается без границ. Затем выберите любую точку для представления числа ноль; эта точка называется исходной точкой .

    Рисунок \(\PageIndex{2}\)

    Отметьте одинаковые длины по обеим сторонам от исходной точки и пометьте каждую отметку, чтобы определить масштаб. Положительные действительные числа лежат справа от начала координат, а отрицательные — слева. Число ноль \((0)\) не является ни положительным, ни отрицательным. Как правило, каждый тик представляет одну единицу.

    Рисунок \(\PageIndex{3}\)

    Как показано ниже, шкала не всегда должна быть одной единицей. В первой числовой строке каждая галочка представляет две единицы. Во втором каждая галочка представляет \(\frac{1}{7}\) единицы.

    Рисунок \(\PageIndex{4}\)

    График каждого действительного числа отображается в виде точки в соответствующей точке на числовой прямой. Ниже приведен частичный график набора целых чисел \(\mathbb{Z}\):

    Рисунок \(\PageIndex{5}\)

    Пример \(\PageIndex{1}\)

    Нарисуйте следующий набор действительных чисел :

    Решение

    Нанесите числа на числовую прямую со шкалой, где каждая галочка представляет \(\frac{1}{2}\) единицы измерения.

    Рисунок \(\PageIndex{6}\)

    Упорядочивание действительных чисел

    При сравнении действительных чисел на числовой прямой большее число всегда будет лежать справа от меньшего. Ясно, что \(15\) больше, чем \(5\), но может быть не так ясно видеть, что \(-1\) больше, чем \(-5\), пока мы не нанесем каждое число на график. числовая строка.

    Рисунок \(\PageIndex{7}\)

    Мы используем символы, чтобы помочь нам эффективно передать отношения между числами на числовой прямой. Символы, используемые для описания отношения равенства между числами, следующие:

    \[\begin{align*} &= \quad \color{Cerulean}{is\ equal\ to} \\ &\neq \quad \color{ Cerulean}{is\ not\ equal\ to} \\ &\ приблизительно \quad \color{Cerulean}{is\ приблизительно\ равно\ to} \end{align*}\]

    Эти символы используются и интерпретируются в следующим образом:

    \[\begin{align*} &5=5 \qquad &&\color{Cerulean}{5\ is\ equal\ to\ 5} \\ &0 \neq 5 \qquad &&\color{Cerulean}{0\ is \ not\ equal\ to\ 5} \\ &\pi \ приблизительно 3. 14 \quad &&\color{Cerulean}{pi\ is\ приблизительно\ равно\ to\ 3.14} \end{align*}\]

    Далее определить символы, которые обозначают отношение порядка между действительными числами.

    \[\begin{align*} &< \quad \color{Cerulean}{Меньше\ чем} \\ &> \quad \color{Cerulean}{Больше\ чем} \\ &\leq \quad \color{ Cerulean}{Меньше\ или\ равно\ к} \\ &\geq \quad \color{Cerulean}{Больше\ чем\ или\ равно\ к} \end{align*}\]

    Эти символы позволяют сравнивать два числа. Например,

    Поскольку график \(−120\) находится слева от графика \(–10\) на числовой прямой, это число меньше \(−10\). Мы могли бы написать эквивалентное утверждение следующим образом:

    Аналогично, поскольку график нуля находится справа от графика любого отрицательного числа на числовой прямой, ноль больше любого отрицательного числа.

    Символы \(<\) и \(>\) используются для обозначения строгих неравенств , а символы и используются для обозначения включающих неравенств . В некоторых ситуациях можно правильно применить более одного символа. Например, оба следующих утверждения верны:

    Кроме того, компонент «или равно» включающего неравенства позволяет нам правильно написать следующее:

    Логическое использование слова «или» требует, чтобы только один из условий должны быть истинными: «меньше чем» или «равно».

    Пример \(\PageIndex{2}\)

    Заполните пробел символами \(<, =\) или \(>: −2\) ____ \(−12\).

    Решение

    Используйте >, потому что график \(−2\) находится справа от графика \(−12\) на числовой прямой. Следовательно, \(−2 > −12\), что читается как «минус два больше, чем минус двенадцать».

    Рисунок \(\PageIndex{8}\)

    Ответ:

    \(-2>-12\)

    символы, доступные на клавиатуре. Начнем с эквивалентной текстовой записи неравенств:

    \[\begin{align*} &\geq &&»>=» \\ &\leq &&»<=" \\ &\neq &&"!=" \end{align*}\]

    Многие калькуляторы , системы компьютерной алгебры и языки программирования используют эту нотацию.

    Противоположности

    напротив любого действительного числа \(a\) равно \(−a\). Противоположные действительные числа находятся на одинаковом расстоянии от начала координат на числовой прямой, но их графики лежат по разные стороны от начала координат, а числа имеют противоположные знаки.

    Рисунок \(\PageIndex{9}\)

    Например, мы говорим, что противоположным \(10\) является \(−10\).

    Далее рассмотрим противоположное отрицательное число. Учитывая целое число \(−7\), целое число на том же расстоянии от начала координат и с противоположным знаком равно \(+7\) или просто \(7\).

    Рисунок \(\PageIndex{10}\)

    Следовательно, мы говорим, что противоположным \(−7\) является \(−(−7) = 7\). Эта идея приводит к тому, что часто называют двойным отрицательным свойством . Для любого действительного числа \(a\),

    \(-(-a)=a\)

    Пример \(\PageIndex{3}\)

    Что является противоположностью \(-\frac{3}{4}\)?

    Решение

    Здесь мы применяем свойство двойного отрицания.

    \(-(-\frac{3}{4})=\frac{3}{4}\)

    Пример \(\PageIndex{4}\)

    Упростить \(-(-(4) )\)

    Решение

    Начните с самых внутренних скобок, найдя противоположное \(+4\).

    \[\begin{align*} -(-(4)) &= -(\color{Cerulean}{-(4)} \color{Black}{)} \\ &= -(\color{Cerulean }{-4} \color{Черный}{)} \\ &=4 \end{align*}\]

    Ответ

    4

    Пример \(\PageIndex{5}\)

    Упрощение: \(-(-(-2))\).

    Решение

    Примените свойство двойного отрицания, начиная с самых внутренних скобок.

    \[\begin{align*} -(-(-2)) &= -(\color{Cerulean}{-(-2)} \color{Black}{)} \\ &= -(\color {Cerulean}{2} \color{Black}{)} \\ &=-2 \end{align*}\]

    Ответ

    -2

    tip

    Если имеется четное количество последовательных отрицательные знаки, то результат положительный. Если имеется нечетное количество последовательных отрицательных знаков, то результат отрицательный.

    Попробуйте!

    Упражнение \(\PageIndex{1}\)

    Упрощение: \(-(-(-(5)))\).

    Ответить

    -5

    Процедура:

    \[\begin{align*} -(-(-(5))) &= -(\color{Cerulean}{-(-(5))} \color{Black}{)}\\ &= — (\color{Cerulean}{-(-5)} \color{Black}{)} \\ &= -(\color{Cerulean}{5} \color{Black}{)} \\&= -5 \ конец{выравнивание*} \]

    Видео Решение:

    (нажмите, чтобы посмотреть видео)

    Абсолютное значение

    абсолютное значение действительного числа \(a\), обозначаемого \(|a|\), определяется как расстояние между нулем (начало координат) и графиком этого действительного числа на числовая строка. Поскольку это расстояние, оно всегда положительно. Например,

    \(|-4|=4 \quad \text{and} \quad |4|=4\)

    Оба \(4\) и \(−4\) находятся в четырех единицах от начала координат , как показано ниже:

    Рисунок \(\PageIndex{11}\)

    Пример \(\PageIndex{6}\)

    Упрощение:

    a. \(|-12|\)

    b.\(|12|\)

    Решение

    И \(−12\), и \(12\) отстоят на двенадцать единиц от начала координат на числовой прямой. Следовательно,

    \(|-12|=12 \quad \text{and} \quad |12|=12\)

    Ответ

    а.\(12\) б.\(12\)

    Также стоит отметить, что

    \(|0|=0\)

    Абсолютное значение может быть выражено в текстовом виде с использованием записи abs\((a)\). Мы часто сталкиваемся с отрицательными абсолютными значениями, такими как \(-|3|\) или \(-\) абс\((3)\). Обратите внимание, что перед символом абсолютного значения стоит знак минус. В этом случае сначала обработайте абсолютное значение, а затем найдите противоположный результат.

    Не путайте это со свойством двойного отрицания, которое утверждает, что \(-(-7)=+7\).

    Пример \(\PageIndex{7}\)

    Упростите: \(-|-(-7)|\).

    Решение

    Сначала найдите противоположное \(−7\) значение внутри абсолютного значения. Затем найдите противоположный результат.

    \[\begin{align*} -|\color{Cerulean}{-(-7)} \color{Black}{|} &= -|\color{Cerulean}{7} \color{Black}{ |} \\ &=-7 \end{align*}\]

    Ответ

    -7

    Теперь мы можем определить, какие действительные числа имеют конкретное абсолютное значение. Например,

    \(|?|=5\)

    Задумайте действительное число, расстояние от которого до начала координат равно \(5\) единицам. Есть два решения: расстояние справа от начала координат и расстояние слева от начала координат, а именно \(\{\pm 5\}\). Символ \( (\pm) \) читается как «плюс-минус» и указывает на то, что есть два ответа, один положительный и один отрицательный.

    \(|-5|=5\ \quad \text{and} \quad |5|=5\)

    Теперь рассмотрим следующее:

    \(|?|=-5\)

    Здесь мы хотим найти значение, для которого расстояние до начала координат отрицательно. Поскольку отрицательное расстояние не определено, это уравнение не имеет решения. Если уравнение не имеет решения, мы говорим, что решением является пустое множество: \(\varnothing\).

    Ключевые выводы

    • Любое действительное число может быть связано с точкой на прямой.
    • Создайте числовую линию, сначала указав начало координат и отметив шкалу, подходящую для данной задачи.
    • Отрицательные числа лежат слева от начала координат, а положительные числа — справа.
    • Меньшие числа всегда лежат слева от больших чисел на числовой прямой.
    • Положительное число является отрицательным, а отрицательное число положительным.
    • Абсолютное значение любого действительного числа всегда положительно, поскольку оно определяется как расстояние от нуля (начала координат) на числовой прямой.
    • Абсолютное значение нуля равно нулю.

    Упражнение \(\PageIndex{2}\)

    Используйте нотацию множества для перечисления описанных элементов.

    1. Часы на часах.
    2. Дни недели.
    3. Первые десять целых чисел.
    4. Первые десять натуральных чисел.
    5. Первые пять положительных четных целых чисел.
    6. Первые пять положительных нечетных целых чисел.
    Ответить

    1. \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}\)

    3. \(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\)

    5. \(\{2, 4, 6, 8, 10\}\)

    Упражнение \(\PageIndex{3}\)

    Определите, являются ли следующие действительные числа целыми, рациональными или иррациональными.

    1. \(12\)
    2. \(−3\)
    3. \(4,5\)
    4. \(−5\)
    5. \(0,3 \overline{6} \)
    6. \(0. \overline{3} \)
    7. \(1.001000100001 \точки\)
    8. \(1.00 \overline{1} \)
    9. \(e=2.71828 \точек\)
    10. \(\sqrt{7}=2,645751 \точки\)
    11. \(−7\)
    12. \(3.14\)
    13. \(227\)
    14. \(1.33\)
    15. \(0\)
    16. \(8 675 309\)
    Ответить

    1: целое, рациональное

    3: Рационал

    5: Рационал

    7: Иррациональный

    9: Иррациональный

    11: целое, рациональное

    13: Рационал

    15: целое, рациональное

    Упражнение \(\PageIndex{4}\)

    Верно или неверно.

    1. Все целые числа являются рациональными числами.
    2. Все целые числа являются целыми числами.
    3. Все рациональные числа являются целыми числами.
    4. Некоторые иррациональные числа рациональны.
    5. Все конечные десятичные числа рациональны.
    6. Все иррациональные числа действительны.
    Ответить

    1: Правда

    3: Ложь

    5: Правда

    Упражнение \(\PageIndex{5}\)

    Выберите подходящий масштаб и нарисуйте на числовой прямой следующие наборы действительных чисел.

    1. \(\{−3, 0, 3\}\)
    2. \(\{−2, 2, 4, 6, 8, 10\}\)
    3. \(\{−2, −1/3, 2/3, 5/3\}\)
    4. \(\{−5/2, −1/2, 0, 1/2, 2\}\)
    5. \(\{−5/7, 0, 2/7, 1\}\)
    6. \(\{ –5, –2, –1, 0\}\)
    7. \(\{ −3, −2, 0, 2, 5\}\)
    8. \(\{−2,5, −1,5, 0, 1, 2,5\}\)
    9. \(\{0, 0,3, 0,6, 0,9, 1,2\}\)
    10. \(\{−10, 30, 50\}\)
    11. \(\{−6, 0, 3, 9, 12\}\)
    12. \(\{−15, −9, 0, 9, 15\}\)
    Ответить

    1. \(\{−3, 0, 3\}\)

    Рисунок \(\PageIndex{12}\)

    3. \(\{−2, −1/3, 2/3, 5/3\}\)

    Рисунок \(\PageIndex{13}\)

    5. \(\{−5/7, 0, 2/7, 1\}\)

    Рисунок \(\PageIndex{14}\)

    7. \(\{ −3, −2, 0, 2, 5\}\)

    Рисунок \(\PageIndex{15}\)

    9. \(\{0, 0,3, 0,6, 0,9, 1,2\}\)

    Рисунок \(\PageIndex{16}\)

    11. \(\{−6, 0, 3, 9, 12\}\)

    Рисунок \(\PageIndex{17}\)

    Упражнение \(\PageIndex{6}\)

    Заполните пробел символом \(<, =\) или \(>\).

    1. \(−7\) ___ \(0\)
    2. \(30\) ___ \(2\)
    3. \(10\) ___ \(−10\)
    4. \(−150\) ___ \(−75\)
    5. \(−0,5\) ___ \(−1,5\)
    6. \(0\) ___ \(0\)
    7. \(-500\) ___ \(200\)
    8. \(−1\) ___ \(−200\)
    9. \(−10\) ___ \(−10\)
    10. \(−40\) ___ \(−41\)
    Ответить

    1. \(<\)

    3. \(>\)

    5. \(>\)

    7. \(<\)

    9. \(=\)

    Упражнение \(\PageIndex{7}\)

    Верно или неверно.

    1. \(5≠7\)
    2. \(4=5\)
    3. \(1≠1\)
    4. \(−5>−10\)
    5. \(4 \leq 4\)
    6. \(−12 \geq 0\)
    7. \(−10=−10\)
    8. \(3>3\)
    9. \(−1000<−20\)
    10. \(0=0\)
    Ответить

    1. Правда

    3. Ложь

    5. Правда

    7. Правда

    9. Правда

    Упражнение \(\PageIndex{8}\)

    Перечислите числа.

    1. Назовите три целых числа меньше \(−5\).
    2. Назовите три целых числа больше \(−10\).
    3. Назовите три рациональных числа меньше нуля.
    4. Назовите три рациональных числа больше нуля.
    5. Назовите три целых числа от \(−20\) до \(−5\).
    6. Назовите три рациональных числа между \(0\) и \(1\).
    Ответить

    1. \(−10, −7, −6\) (ответы могут быть разными)

    3. \(−1, −2/3, −1/3\) (ответы могут быть разными)

    5. \(−15, −10, −7\) (ответы могут быть разными)

    Упражнение \(\PageIndex{9}\)

    Переведите каждое утверждение в английское предложение.

    1. \(10<20\)
    2. \(−50 \leq −10\)
    3. \(−4 \neq 0\)
    4. \(30 \geq −1\)
    5. \(0=0\)
    6. \(е \примерно 2,718\)
    Ответить

    1. Десять меньше двадцати.

    3. Минус четыре не равен нулю.

    5. Ноль равен нулю.

    Упражнение \(\PageIndex{10}\)

    Переведите следующее в математическое выражение.

    1. Минус семь меньше нуля.
    2. Двадцать четыре не равно десяти.
    3. Ноль больше или равен отрицательной единице.
    4. Четыре больше или равно минус двадцати одному.
    5. Минус два равен минус два.
    6. Минус две тысячи меньше минус одна тысяча.
    Ответить

    1. \(−7<0\)

    3. \(0 \geq −1\)

    5. \(−2=−2\)

    Упражнение \(\PageIndex{11}\)

    Упрощение.

    1. \(-(-9)\)
    2. \(-(-35)\)
    3. \(−(10)\)
    4. \(-(3)\)
    5. \(−(5)\)
    6. \(−(34)\)
    7. \(-(-1)\)
    8. \(-(-(-1))\)
    9. \(-(-(1))\)
    10. \(-(-(-3))\)
    11. \(-(-(-(-11)))\)
    Ответить

    1. \(9\)

    3. \(−10\)

    5. \(−5\)

    7. \(1\)

    9. \(1\)

    11. \(11\)

    Упражнение \(\PageIndex{12}\)

    Ответьте на следующие вопросы.

    1. Что противоположно \(-12\)
    2. Что является противоположностью \(\pi \) ?
    3. Что является противоположным \(−0,01\)?
    4. Является ли противоположное \(−12\) меньше или больше, чем \(−11\)?
    5. Является ли противоположное \(7\) меньше или больше, чем \(−6\)?
    Ответить

    2. \(-\пи \)

    4. Больше

    Упражнение \(\PageIndex{13}\)

    Заполните пробел символом \(<, =\) или \(>\).

    1. \(−7\) ___ \(−(−8)\)
    2. \(6\) ___ \(−(6)\)
    3. \(13\) ___ \(−(−12)\)
    4. \(-(-5)\) ___ \(-(-2)\)
    5. \(−100\) ___ \(−(−(−50))\)
    6. \(44\) ___ \(−(−44)\)
    Ответить

    1. \(<\)

    3. \(>\)

    5. \(<\)

    Упражнение \(\PageIndex{14}\)

    Упрощение.

    1. \(|20|\)
    2. \(|−20|\)
    3. \(|−33|\)
    4. \(|−0,75|\)
    5. \(|−\frac{3}{5}|\)
    6. \(|38|\)
    7. \(|0|\)
    8. \(|1|\)
    9. \(−|12|\)
    10. \(-|-20|\)
    11. \(−|20|\)
    12. \(-|-8|\)
    13. \(−|7|\)
    14. \(-|-316|\)
    15. \(−(−|\frac{8}{9}|)\)
    16. \(|−(−2)|\)
    17. \(-|-(-3)|\)
    18. \(-(-|5|)\)
    19. \(-(-|-45|)\)
    20. \(-|-(-21)|\)
    21. абс\((6)\)
    22. абс\((−7)\)
    23. \(−\)абс\((5)\)
    24. \(-\)абс\((-19)\)
    25. \(-(-\)абс\((9))\)
    26. \(-\)абс\((-(-12))\)
    Ответить

    1. \(20\)

    3. \(33\)

    5. \(\frac{3}{5}\)

    7. \(0\)

    9. \(−12\)

    11. \(−20\)

    13. \(−7\)

    15. \(\frac{8}{9}\)

    17. \(−3\)

    19. \(45\)

    21. \(6\)

    23. \(−5\)

    25. \(9\)

    Упражнение \(\PageIndex{15}\)

    Определите неизвестное.

    1. \(| ? |=9\)
    2. \(| ? |=15\)
    3. \(| ? |=0\)
    4. \(| ? |=1\)
    5. \(| ? |=−8\)
    6. \(| ? |=−20\)
    7. \(|?|−10=−2\)
    8. \(|?|+5=14\)
    Ответить

    1. \(\pm 9\)

    3. \(0\)

    5. \(\varnothing\), Нет решения

    7. \(\pm 8\)

    Упражнение \(\PageIndex{16}\)

    Заполните пробел символами \(<, =\) или \(>\).

    1. \(|−2|\) ____ \(0\)
    2. \(|−7|\) ____ \(|−10|\)
    3. \(−10\) ____ \(−|−2|\)
    4. \(|−6|\) ____ \(|−(−6)|\)
    5. \(-|3|\) ____ \(|-(-5)|\)
    6. \(0\) ____ \(-|-(-4)|\)
    Ответить

    1. \(>\)

    3. \(<\)

    5. \(<\)

    Упражнение \(\PageIndex{17}\)

    Темы форума.

    1. Изучите и обсудите историю числа ноль.
    2. Изучите и обсудите различные системы нумерации на протяжении всей истории.
    3. Исследуйте и обсудите определение и историю \(\pi\).
    4. Исследуйте историю иррациональных чисел. Кому приписывают доказательство того, что квадратный корень из \(2\) иррационален, и что с ним случилось?
    5. Исследовать и обсудить историю абсолютной стоимости.
    6. Обсудите определение абсолютного значения «просто сделайте его положительным»

    Эта страница под названием 1.1: Реальные числа и числовая линия распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 3.0 и была создана, изменена и/или курирована Anonymous.

    1. Наверх
      • Была ли эта статья полезной?
      1. Тип изделия
        Раздел или Страница
        Автор
        Аноним
        Лицензия
        CC BY-NC-SA
        Версия лицензии
        3,0
        Программа OER или Publisher
        Издатель, имя которого нельзя называть
        Показать страницу Содержание
        нет
      2. Теги
        1. комплект

      Что такое действительные числа? | Наука

      Обновлено 24 апреля 2018 г.

      Берт Маркграф

      Действительные числа — это все числа на числовой прямой, простирающейся от отрицательной бесконечности через нуль и до положительной бесконечности. Эта конструкция набора действительных чисел не является произвольной, а скорее является результатом эволюции натуральных чисел, используемых для счета. Система натуральных чисел имеет несколько несоответствий, и по мере усложнения вычислений система счисления расширилась, чтобы устранить ее ограничения. Расчеты с действительными числами дают согласованные результаты, и существует несколько исключений или ограничений, подобных тем, которые присутствовали в более примитивных версиях системы счисления.

      TL;DR (слишком длинно, не читал)

      Множество действительных чисел состоит из всех чисел на числовой прямой. Сюда входят натуральные числа, целые числа, целые числа, рациональные числа и иррациональные числа. Он не включает мнимые числа или комплексные числа.

      Натуральные числа и замыкание

      Замыкание — это свойство набора чисел, которое означает, что если разрешенные вычисления выполняются над числами, которые являются элементами набора, ответы также будут числами, которые являются членами набора. Набор считается закрытым.

      Натуральные числа — это счетные числа 1, 2, 3…, и множество натуральных чисел не замкнуто. Когда в торговле начали использовать натуральные числа, сразу же возникли две проблемы. В то время как натуральные числа учитывали реальные объекты, например коров, если у фермера было пять коров и он продал пять коров, для результата не было натурального числа. Ранние системы счисления очень быстро разработали термин для нуля, чтобы решить эту проблему. Результатом стала система целых чисел, которая представляет собой натуральные числа плюс ноль.

      Вторая проблема тоже была связана с вычитанием. Пока числа учитывали реальные объекты, такие как коровы, фермер не мог продать больше коров, чем у него было. Но когда числа стали абстрактными, вычитание больших чисел из меньших давало ответы вне системы целых чисел. В результате были введены целые числа, которые представляют собой целые числа плюс отрицательные натуральные числа. Система счисления теперь включала полную числовую строку, но только с целыми числами.

      Рациональные числа

      Вычисления в закрытой системе счисления должны давать ответы внутри системы счисления для таких операций, как сложение и умножение, а также для обратных к ним операций, вычитания и деления. Система целых чисел закрыта для сложения, вычитания и умножения, но не для деления. Если целое число делится на другое целое число, результат не всегда является целым числом.

      Деление маленького целого числа на большее дает дробь. Такие дроби были добавлены в систему счисления как рациональные числа. Рациональные числа определяются как любое число, которое может быть выражено как отношение двух целых чисел. Любое произвольное десятичное число может быть представлено как рациональное число. Например, 2,864 — это 2864/1000 и 0,89.632 — это 89632/100 000. Числовая строка теперь казалась завершенной.

      Иррациональные числа

      В числовой строке есть числа, которые не могут быть выражены в виде целых чисел. Один из них — отношение сторон прямоугольного треугольника к гипотенузе. Если две стороны прямоугольного треугольника равны 1 и 1, гипотенуза — это квадратный корень из 2. Квадратный корень из двух — это бесконечное десятичное число, которое не повторяется. Такие числа называются иррациональными, и к ним относятся все действительные числа, не являющиеся рациональными. С этим определением числовая линия всех действительных чисел является полной, потому что любое другое действительное число, которое не является рациональным, включается в определение иррационального.

      Бесконечность

      Хотя говорят, что числовая линия простирается от отрицательной до положительной бесконечности, сама по себе бесконечность — это не действительное число, а скорее понятие системы счисления, которое определяет ее как величину, превышающую любое число. Математически бесконечность — это ответ на 1/x, когда x достигает нуля, но деление на ноль не определено. Если бы бесконечность была числом, это привело бы к противоречиям, потому что бесконечность не подчиняется законам арифметики. Например, бесконечность плюс 1 — это все еще бесконечность.

      Мнимые числа

      Набор действительных чисел закрыт для сложения, вычитания, умножения и деления, за исключением деления на ноль, которое не определено. Множество не закрыто хотя бы для одной другой операции.

      Правила умножения в наборе действительных чисел определяют, что умножение отрицательного и положительного числа дает отрицательное число, а умножение положительного или отрицательного числа дает положительный ответ. Это означает, что частный случай умножения числа на самого себя дает положительное число как для положительных, так и для отрицательных чисел. Обратным для этого особого случая является квадратный корень из положительного числа, дающий как положительный, так и отрицательный ответ. Для квадратного корня из отрицательного числа нет ответа в наборе действительных чисел.

      Концепция множества мнимых чисел решает проблему отрицательных квадратных корней в действительных числах.

      No related posts.

      Добавить комментарий

      Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *