Внешний угол треугольника. Теорема о внешнем угле
Содержание
Мы привыкли рассматривать треугольники, в особенности их углы, только «изнутри». Однако, знаете ли, «снаружи» треугольника тоже кипит жизнь. В этом уроке предлагаем узнать, что в геометрии треугольников имеется также внешний угол. А что же такое внешний угол? Какие свойства внешнего угла треугольника существуют? Может, есть какая-нибудь теорема о внешнем угле треугольника? Вот, сейчас будем все выяснять.
Что такое внешний угол?Начертим треугольник $\bigtriangleup{ABC}$ и построим при вершине $B$ угол, смежный с $\angle{B}$. Теперь в $\bigtriangleup{ABC}$ при вершине $B$ появилось два угла — один «внутри», другой «снаружи». Угол «снаружи» называется внешним углом при вершине $B$. Дадим ему определение.
Как обозначается внешний угол?Внешний угол при данной вершине — угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.
Углы в треугольнике обозначаются согласно вершинам, где они располагаются, либо по трем точкам.
Например, в треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$ угол при вершине $B$ обозначается как $\angle{B}$, либо как $\angle{ABC}$. А если при вершине $B$ в том числе имеется внешний угол? Его тоже обозначать как $\angle{B}$?
Или лучше указать дополнительную точку на продолжении стороны? Вопрос отличный. Для того, чтобы подобной путаницы не возникало, в геометрии принят термин «внутренний угол».
К примеру, в ходе задачи или доказательства вы пользуетесь внешним углом при некоторой вершине. Скажем, вновь при вершине $B$ в треугольнике $\bigtriangleup{ABC}$. Когда вы ссылаетесь к углу треугольника внутри, можно уточнить: «Внутренний угол $\angle{B}$».
Когда ссылаетесь к углу снаружи, уточняйте: «Внешний угол $\angle{B}$».
Способ с уточнениями «внутренний угол», «внешний угол» проще и не требует дополнительных точек. К тому же, такое обозначение облегчает понимание, где в треугольнике располагается угол. Ведь вы акцентируете внимание только на вершине.
Такое особенно полезно, когда решения или чертежи к задачам громоздкие. Бывает, что при одной вершине нужно рассматривать два внешних угла. Они все равно равны как вертикальные, но все же… Мало ли. Тут удобнее дать углам обозначение в стиле «$\angle{1}$» или, например, «$\angle{x}$».
{"questions":[{"content":"[[image-1]] В треугольнике $\\bigtriangleup{AHF}$ при вершине $A$ построен внешний угол. Как этот угол можно обозначить? Выберите <i><b>все</b></i> подходящие варианты. [[choice-5]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/04/test-O.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["$\\angle{A}$","Внешний $\\angle{A}$","$\\angle{OAH}$","$\\angle{OAF}$"],"answer":[1,2]}}}]}Теорема о внешнем угле треугольникаПрименим наши знания теоремы о сумме углов треугольника к внешним углам.
\\circ$»,»answer»:»110″}}}]}
Официально теорему о внешнем угле треугольника впервые доказал Евклид — древнегреческий математик, считающийся «отцом геометрии». Примечательно, что его доказательство не имеет ничего общего с теоремой о сумме углов треугольника — математик воспользовался свойствами углов при параллельных и секущей. Оно в принципе и понятно: Евклид огромное количество времени посвятил изучению параллельных прямых.
В качестве практики и повторения материала по параллельным прямым и секущим мы приводим евклидовое доказательство. Оно очень даже достойно внимания. Итак, посмотрим, как внешний угол треугольника «общается» с параллельными прямыми.
Доказательство
Рассмотрим $\bigtriangleup{ABC}$ с внешним углом при вершине $B$. Проведем через эту вершину луч, параллельный стороне $AC$. Отметим на полученном луче точку $B_1$. На продолжении стороны $AB$ отметим точку $B_2$.
Теперь рассмотрим параллельные отрезки $BB_1$ и $AC$ при секущей $AB$. Внутренний угол $\angle{A}$ и угол $\angle{B_{1}BB_2}$ равны как соответственные. Далее рассмотрим отрезки $BB_1$ и $AC$ при секущей $CB$. Углы $\angle{B_{1}BC}$ и $\angle{ACB}$ равны как накрест лежащие.
Видим, что внешний $\angle{B}$ состоит из суммы внутренних углов $\angle{A}$ и $\angle{C}$. Что и требовалось доказать.
Свойства внешнего угла
Не сказать, что свойства внешнего угла многочисленные. В основном, когда затрагивается внешний угол, для решения задач или доказательства чего-либо хватает теоремы о внешнем угле треугольника. Ну, и смежности внутреннего и внешнего углов.
То есть базового определения.
Правда если к делу подключается биссектриса, свойства внешнего угла, помимо «классических», таки обнаруживаются. Разберем одно наиболее полезное.
Свойство биссектрис внешнего и внутреннего углов треугольника.
ДЛИНА ОТРЕЗКА. ТРЕУГОЛЬНИК
УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ И СТРУКТУРА УРОКА МАТЕМАТИКИ В ПЯТОМ КЛАССЕ НА ТЕМУ
«ОТРЕЗОК. ДЛИНА ОТРЕЗКА. ТРЕУГОЛЬНИК»
УЧЕБНЫЙ ПАРАГРАФ
Отрезок. На этом уроке вы познакомитесь с некоторыми понятиями геометрии. Геометрия – наука об «измерении земли». Это слово происходит от латинских слов: geo – земля и metr – мера, мерить. В геометрии изучаются различные геометрические объекты, их свойства и связи с окружающим миром. Простейшие геометрические объекты – это точка, линия, поверхность. Более сложные геометрические объекты – геометрические фигуры и тела.
Длина отрезка. Если приложить к двум точкам А и В линейку и вдоль нее провести линию, соединяющую эти точки, то мы получим отрезок, который называют АВ или ВА (читаем: «а – бэ», «бэ– а»). Точки А и В называются концами отрезка (рисунок 1).
Расстояние между концами отрезка, измеренное в единицах длины, называется длиной отрезка. .рис1 Единицы длины. Единицы длины: м – метр, см — сантиметр, дм – дециметр, мм – миллиметр, км – километр и др. (1 км = 1000 м; 1м =10 дм; 1 дм = 10 см; 1 см = 10 мм). Для измерения длины отрезков используют линейку, рулетку. Измерить длину отрезка, значит, выяснить, сколько раз в нем укладывается та или иная мера длины.
Равные отрезки. Равными называются два отрезка, которые можно совместить, наложив один на другой (рисунок 2). Например, можно вырезать реально или мысленно один из отрезков и приложить к другому так, чтобы совпали их концы. Если отрезки АВ и СК равны, то пишут АВ = СК. Равные отрезки имеют равные длины. Верно обратное: два отрезка, имеющие равные длины, равны. Если два отрезка имеют различные длины, то они не равны. Из двух неравных отрезков меньше тот, который составляет часть другого отрезка.
Сравнивать отрезки наложением можно, используя циркуль.
Прямая и луч. Если мысленно продлить отрезок АВ в обе стороны до бесконечности, то мы получим представление о прямой АВ (рисунок 3). Любая точка, лежащая на прямой, разбивает ее на два луча (рисунок 4). Точка С разбивает прямую АВ на два луча СА и СВ. Точка С называется началом луча.
ОБУЧАЮЩИЕ БЛОКИ. Блок 1. Дополнительный
Треугольник. Если три точки, не лежащие на одной прямой, соединить отрезками, то получим фигуру, называемую треугольником. Данные точки называются вершинами
треугольника, а отрезки, их соединяющие, сторонами треугольника (рисунок 5). FNM — треугольник, отрезки FN, NM, FM – стороны треугольника, точки F, N, M – вершины треугольника. Стороны всех треугольников обладают следующим свойством: длина любой из сторон треугольника всегда меньше суммы длин двух других его сторон. Плоскость. Если мысленно продлить во все стороны, например, поверхность крышки стола, то получим представление о плоскости. Точки, отрезки, прямые, лучи располагаются на плоскости (рисунок 6).
Мир, в котором мы живем, все, что нас окружает, древние называли природой или космосом. Пространство, в котором мы живем, считается трехмерным, т.е. имеет три измерения. Их часто называют: длина, ширина и высота (например, длина комнаты 4 м, ширина комнаты 2 м и высота 3 м).
Представление о геометрической (математической) точке дает нам звезда на ночном небе, точка в конце этого предложения, след от иглы и т.д. Однако все перечисленные объекты имеют размеры, в отличие от них размеры геометрической точки считаются равными нулю (её измерения равны нулю). Поэтому реальную математическую точку можно лишь мысленно представить.
Провода, висящие на столбах, видимая линия горизонта (граница между небом и землей или водой), русло реки, изображенное на карте, гимнастический обруч, струя воды, бьющая из фонтана дают нам представление о линиях (рисунок 8). Различают замкнутые и незамкнутые линии, гладкие и негладкие линии, линии с самопересечением и без самопересечения (рисунок 9).
Лист бумаги, лазерный диск, оболочка футбольного мяча, картон упаковочной коробки, новогодняя пластиковая маска и т.д. дают нам представление о поверхностях (рисунок 10).
Тело человека, камень, кирпич, головка сыра, мяч, ледяная сосулька и т.д. дают нам представление о геометрических телах (рисунок 12).
Наиболее простая из всех линий – это прямая. Приложим к листу бумаги линейку и проведем карандашом вдоль неё прямую линию. Мысленно продолжив эту линию до бесконечности в обе стороны, мы получим представление о прямой. Считают, что прямая имеет одно измерение – длину, а два других ее измерения равны нулю (рисунок 13).
При решении задач прямую изображают в виде линии, которую проводят вдоль линейки карандашом или мелом. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: a, b, n, m (рисунок 13). Можно обозначать прямую также двумя буквами, соответствующими точкам, лежащим на ней. Например, прямую n на рисунке 13 можно обозначить: АВ или ВА, АD или DА, DВ или ВD.
Точки могут лежать на прямой (принадлежать прямой) и не лежать на прямой (не принадлежать прямой). На рисунке 13 изображены точки A, D, B, лежащие на прямой AB (принадлежащие прямой AB). При этом пишут . Читают: точка A принадлежит прямой AB, точка В принадлежит AB, точка D принадлежит АВ. Точка D принадлежит также и прямой m, ее называют общей точкой. В точке D прямые AB и m пересекаются. Точки P и R не принадлежат прямым AB и m:
Через любые две точки всегда можно провести прямую и причем только одну. Из всех видов линий, соединяющих любые две точки, наименьшую длину имеет отрезок, концами которого служат данные точки (рисунок 14).
Фигура, которая состоит из точек и соединяющих их отрезков называется ломаной (рисунок 15). Отрезки, образующие ломаную, называются звеньями ломаной, а их концы — вершинами ломаной. Называют (обозначают) ломаную, перечисляя по порядку все ее вершины, например, ломаная ABCDEFG.
Замкнутая ломаная называется многоугольником, ее вершины называются вершинами многоугольника, а ее звенья сторонами многоугольника (рисунок 16). Называют (обозначают) многоугольник, перечисляя по порядку все его вершины, начиная с любой, например, многоугольник (семиугольник) ABCDEFG , многоугольник (пятиугольник) RTPKL: рис17
Сумма длин всех сторон многоугольника называется периметром многоугольника и обозначается латинской буквой p (читаем: пэ). Периметры многоугольников на рисунке 16:
PABCDEFG = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA.
PRTPKL = RT + TP + PK + KL + LR.
Мысленно продлив поверхность крышки стола или оконного стекла до бесконечности во все стороны, получим представление о поверхности, которая называется плоскостью (рисунок 17).
Калькулятор вершин треугольника
Вы хотите научиться вычислять вершины треугольника по математике? У вас есть треугольник, для которого вы хотели бы найти вершины? Если вы ответили утвердительно на любой из этих вопросов, вы попали по адресу.
Наш калькулятор вершин треугольника поможет вам найти координаты вершин, используя координаты средних точек.
Продолжайте читать, чтобы узнать:
- Что такое вершина треугольника;
- Как использовать наш калькулятор вершин треугольника; и
- Как найти вершины треугольника, используя середины.
Каковы вершины треугольника?
Точка, в которой встречаются две стороны треугольника, называется вершиной.
Инструкции по использованию нашего калькулятора вершин треугольника
Чтобы найти вершины треугольника AAA, BBB и CCC , вам нужно вставить xxx и yyy координаты средних точек DDD, EEE и FFF, и наш калькулятор сгенерирует координаты вершин в режиме реального времени.
Как найти вершины треугольника — вершины треугольника формула
Рассмотрим следующую задачу.
Треугольник имеет вершины AAA, BBB и CCC. Середины сторон, обозначенные DDD, EEE и FFF, равны (2,32, 32,3), (4,34, 34,3) и (3,13, 13,1) соответственно. Как нам найти вершины, используя эти средние точки?
- Поймите, что: DDD это (x1,y1x_1, y_1x1,y1), EEE это (x2,y2x_2, y_2x2,y2), а FFF это (x3,y3x_3, y_3x3,y3)
- Используя формулу средней точки:
Найдите вершину AAA:A=(x1+x3-x2,y1+y3-y2)A = (x_1+ x_3 — x_2, y_1 + y_3-y_2) A=(x1+x3−x2,y1+y3−y2)
Подставьте значения:
A=(2+3−4,3+1−3)A = ( 2+ 3 — 4, 3 + 1-3)А=(2+3-4,3+1-3)
А=(1,1)А = (1,1) А=(1,1)
- Найти вершину BBB:
B=(x1+x2−x3,y1+y2−y3)B = (x_1+x_2-x_3, y_1+y_2-y_3)B=(x1+x2-x3,y1+y2- y3)
Подставьте значения:
B=(2+4−3,3+3−1)B = (2+4-3, 3+3-1)B=(2+4 −3,3+3−1)
B=(3,5)B = (3,5)B=(3,5)
- Найти вершину CCC:
C=(x2+x3−x1,y2+y3−y1)C = (x_2+x_3-x_1, y_2 + y_3 -y_1)C=(x2+x3-x1,y2+y3- y1)
Подставьте значения:
С=(4+3-2,3+1-3)С = (4 + 3-2, 3 + 1-3)С=(4+3-2,3+1-3)
С =(5,1)C = (5, 1)C=(5,1)
Вот некоторые связанные калькуляторы, которые могут вас заинтересовать:
- Калькулятор равнобедренного треугольника;
- Калькулятор равнобедренного прямоугольного треугольника;
- Равнобедренный треугольник найти Калькулятор;
- Калькулятор углов равнобедренного треугольника;
- Калькулятор площади равнобедренного треугольника;
- Калькулятор стороны равнобедренного треугольника;
- Калькулятор высоты равнобедренного треугольника.
Часто задаваемые вопросы
Сколько сторон и вершин у треугольника?
Три. Треугольник имеет три стороны и три вершины. Вершины — это точки, в которых встречаются три стороны треугольника.
Как найти вершины треугольника, используя середины?
Чтобы найти вершины треугольника, используя средние точки, мы используем следующие шаги:
- Определите значения
xиyсредних точек;- Используйте формулу средней точки:
A = (x₁+x₃-x₂, y₁+y₃-y₂);B = (x₁+x₂-x₃, y₁+y₂-y₃);C = (x₂+x₃-x₁, y₂+y₃-y₁);- Замените соответствующие значения
xиy;- Рассчитать.
Нахождение вершин треугольника через середины треугольника (геометрия)
Перейти к основному содержанию0016
Wyckoff, NJ River Dell, NJ New Milford, NJ Ramsey, NJ Wayne, NJ Oakland, NJ Pearl River, NY
- Нью-Джерси
- Лучшие национальные новости
- Просмотреть все сообщества
Это сообщение было опубликовано участником сообщества.
Здоровье и фитнес
Mathnasium — Math Learning Center , Neighbor
просто нужно проделать больше работы, чтобы прийти к окончательному решению) вопрос в школьной программе геометрии. Вам даны середины треугольника, и вы должны найти координаты фактического треугольника. Для нашего примера нам даны середины треугольника как A (-4, 1) B (-2, 2) C (-5, 3), и нам нужно будет найти вершины. Я полагаю, что большинству учащихся визуальное (мысленное) изображение реального треугольника, охватывающего эти средние точки, поможет немного лучше прояснить проблему.
Чтобы «набросать» настоящий треугольник, вам нужно будет найти 3 линии, которые параллельны линиям, созданным треугольником, используя средние точки. Таким образом, для отрезка AB будет параллельная линия, которая будет включать точку C (теперь называемую Line1).
В этом типе задачи вам будет предложено вспомнить информацию, которую вы узнали еще на уроке алгебры 1. Сначала вам нужно написать уравнение прямой, учитывая 2 балла. Затем вам нужно будет решить пересечение 2 линий, а это значит, что он предоставит вам координаты пересечения. Это пересечение между двумя линиями является одной из вершин треугольника. И это также означает, что вам нужно будет повторить этот процесс для двух других вершин (используя комбинацию двух других линий).
Итак, давайте найдем уравнение Line1. Сначала нам нужно узнать наклон Line1. Поскольку Line1 параллельна AB, это означает, что если мы найдем наклон AB, то мы нашли наклон Line1. Если мы знаем наклон Line1, мы можем использовать точку C, чтобы найти уравнение Line1.
A (-4, 1) B (-2, 2)
Наклон AB = (2 — 1)/(-2 + 4) = 1/2
Используя наклон 1/2 и точку C (- 5, 3) можно найти уравнение Line1.y = mx + b
3 = 1/2(-5) + b
b = 11/2
Линия 1: y = x/2 + 11/2B (-2, 2) C (-5, 3)
Наклон BC = (3 — 2)/(-5 + 2) = 1/-3 = -1/3
Используя наклон 1/2 и точку A (-4, 1), мы можем найти уравнение Line2.y = mx + b
1 = -1/3(-4) + b
b = -1/3
Строка 2: y = -x/3 — 1/3A (-4, 1) C (-5, 3)
Наклон AC = (3 — 1)/(-5 + 4) = 2/-1 = -2
Используя наклон -2 и точку B (-2, 2), мы можем найти уравнение Line3.у = mx + b
2 = -2(-2) + b
b = -2
Line3: y = -2x — 2Теперь, когда мы построили линии из 3 строк, нам нужно будет решить 3 линейных уравнения 3 раза.
Решим Line1, пересекающую Line2:
Line1: y = x/2 + 11/2
Line2: y = -x/3 — 1/3x/2 + 11/2 = -x/3 — 1 /3
x/2 + x/3 = -1/3 — 11/2
5x/6 = (-2 — 33)/6
5x = -35
x = -7
Решите, используя Линию 1 или Строку 2 :
y = 1/2(-7) + 11/2
y = -7/2 + 11/2 = 4/2 = 2Vertex1 = (-7, 2)
Решим Line2, пересекающую Line3:
Line2: y = -x/3 — 1/3
Line3: y = -2x — 2-2x — 2 = -x/3 — 1/3
-2x + x/3 = -1/3 + 2
(-6x + x)/3 = (-1 + 6)/3
-5x = 5
x = -1
Найдите y с помощью Line2 или Line3:y = -2x — 2 = -2(-1) — 2 = 2 — 2 = 0
Vertex2 = (-1, 0)Решим Line1, пересекающую Line3:
Line1: y = x/2 + 11/2
Строка 3: y = -2x — 2x/2 + 11/2 = -2x — 2
x/2 + 2x = -2 — 11/2
(x + 4x)/2 = (-4 — 11)/2
5x = -15
x = -3Замените y, используя Строку 1 или Строку 3:
y = -2x — 2 = -2(- 3) — 2 = 4
Vertex3 = (-3, 4)Если у вас есть какие-либо вопросы относительно этого типа проблем, пожалуйста, не стесняйтесь обращаться ко мне или любому из инструкторов в моем центре.
Майкл Хуанг
Директор центра
Mathnasium of Glen Rock/Ridgewood
T: 201-444-8020
E: [email protected]
www.mathnasium.com/glenrockМнения, выраженные в этом посте, принадлежат автору. Хотите опубликовать патч?
Правила ответа:
Преступность и безопасность|
Общественный уголок|
Сезон и праздники|
Featured Events
Bach to Rock Wyckoff Winter Open House / Caroling Fun in Boulder Run
Мужской хор Orpheus Club
ПЕРМОНТ Праздничный рынок
\circ$. 
Можно также сказать, в каком месте она находится. Поставив авторучкой в тетради точку, мы не изобразим геометрическую точку, но будем считать, что построенный объект есть геометрическая точка (рисунок 7). Точки обозначают заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, D, (читают «точка а, точка бэ, точка цэ, точка дэ»)
Когда красят пол комнаты или автомобиль, то покрывают краской именно поверхность пола или автомобиля.
Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев. Значит, длина ломаной ABCDEFG равна сумме: AB + BC + CD + DE + EF + FG.
Обозначают плоскости малыми буквами греческого алфавита: α, β, γ, δ,… (читаем: плоскость альфа, бетта, гамма, дельта, и т.д.). рис 18
Слово, используемое для обозначения более чем одной вершины, — вершины.
Мнения, высказанные здесь, принадлежат автору.
Также будет отрезок, параллельный BC, который будет включать точку A (Line2), и то же самое касается линии, параллельной AC, которая будет включать точку B (Line3).
