Как определить знак косинуса синуса: знаки синуса и косинуса

Знаки синуса, косинуса и тангенса угла

Дата проведения:

Группа:

Тема урока:  Знаки синуса, косинуса и тангенса угла

Преподаватель:      Касымова У.Ш.

Тип урока: систематизация знаний.

Цели урока:

1) образовательная: обобщить и проверить знания учащихся о понятиях «синус», «косинус», «тангенс», определении знаков и табличных значений и умения находить значения тригонометрических функций;

2) воспитательная: воспитывать интерес к предмету;

3) развивающая: развивать память, логическое мышление.

Литература: Алгебра и начала математического анализа А.Н.Колмогоров

Ход урока:

I. Организационный момент.

Учитель сообщает тему, цели и задачи урока.

II. Повторение (фронтальная работа с классом).

Устные упражнения 

1) Выразить угол в радианах с помощью π.

45°, 150°, 90°, 360°, 30°, 270°, 135°, 60°, 180°, -720°.

3. Новая тема

Число  (пи) – математическая константа, которая выражает отношение длины окружности к её диаметру. Равна приблизительно 3,14.

Какие знаки имеют координаты точки в зависимости от их положения в системе координат?

У точек первой четверти 

у точек второй четверти 

у точек третьей четверти 

у точек четвёртой четверти 

В какой координатной четверти находятся точки с указанными координатами

Ответ:

A	B	C	D	E	F
2	4	2	3	1	4

А если точка находится на тригонометрической окружности, то как узнать зависимость знака координат точки от угла поворота вокруг начала координат?

Сегодня на уроке мы узнаем знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса, научимся определять положение точки на тригонометрической окружности в зависимости от комбинации знаков синуса и косинуса, тангенса и котангенса.

1.Рассмотрим единичную окружность в прямоугольной системе координат хОу.

Точка Р(1;0) при повороте вокруг начала координат на угол   переместилась в точку Рₐ. Определим её координаты.

Синусом угла является ордината точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол  .

Косинусом угла является абсцисса точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол  .

Если угол  то точка Рₐ находится в первой четверти, здесь  , значит  

Если угол  , то точка Рₐ находится во второй четверти, здесь  ,   , значит ,  .

Если угол  , то точка Рₐ находится в третьей четверти, здесь  ,  , значит   

Если угол  , то точка Рₐ находится в четвертой четверти, здесь  ,  , значит  , 

На рисунке видно какие знаки имеет синус, а какие косинус.

3.Закрепление                                                                  Пример1. Определить знаки синуса и косинуса угла  .

Решение: Выясним, в какой четверти находится точка, полученная поворотом на угол   .

 во второй четверти синусы положительны, косинусы отрицательны.

Ответ: 

Пример 2. Определить знаки синуса и косинуса угла  .

Решение: Полный угол, при котором точка «обойдёт» всю окружность, равен  .

а это значит, что точка после 2 оборотов окажется в первой четверти, где синус и косинус положительны.

Ответ:                                                              

Пример 3.Определить знаки синуса и косинуса угла  .

Решение: Угол отрицательный, значит точка получена поворотом по часовой стрелке.

в 4 четверти синусы отрицательны, косинусы положительны.

Ответ: синус отрицательный, косинус положительный.

Пример 4. Определить знаки .

Решение: Знаем, что , а  . Значит,  . Точка во второй четверти.

Ответ: 

2.Знаки тангенса и котангенса.

Тангенс это отношение синуса угла к его косинусу: 

Котангенс это отношение косинуса угла к его синусу: .

Тангенс и котангенс будут положительными там, где синус и косинус имеют одинаковые знаки. Это первая и третья четверти. Синус и косинус имеют разные знаки во второй и четвёртой четвертях, здесь тангенс и котангенс будут отрицательны. На рисунке изображены знаки тангенса и котангенса.

Пример 5.

Определить знак тангенса угла 

Решение   , угол второй четверти

Ответ: tg> 0

Пример 6

Вывод: чтобы определить знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса, нужно:

1. выяснить в какой координатной четверти находится угол;
2. знак синусов такой же, как ордината точки (у).
3. знак косинусов такой же, как абсцисса точки (х).
4. тангенсы и котангенсы положительны там, где синус и косинус имеют одинаковые знаки(1ч. и 4ч.), отрицательны, где синус и косинус имеют противоположные знаки (2ч. и 3ч.).

 

5.Итог урока

Оценивание

6. Дом/задание.  Определить знак тангенса угла   .

             

Просмотр содержимого документа
«Знаки синуса, косинуса и тангенса угла»

Дата проведения:

Группа:

Тема урока:  Знаки синуса, косинуса и тангенса угла

Преподаватель: Касымова У.Ш.

Тип урока: систематизация знаний.

Цели урока:

1) образовательная: обобщить и проверить знания учащихся о понятиях «синус», «косинус», «тангенс», определении знаков и табличных значений и умения находить значения тригонометрических функций;

2) воспитательная: воспитывать интерес к предмету;

3) развивающая: развивать память, логическое мышление.

Литература: Алгебра и начала математического анализа А.Н.Колмогоров

Ход урока:

I.

Организационный момент.

Учитель сообщает тему, цели и задачи урока.

II. Повторение (фронтальная работа с классом).

Устные упражнения 

1) Выразить угол в радианах с помощью π.

45°, 150°, 90°, 360°, 30°, 270°, 135°, 60°, 180°, -720°.

3. Новая тема

Число  (пи) – математическая константа, которая выражает отношение длины окружности к её диаметру. Равна приблизительно 3,14.

Какие знаки имеют координаты точки в зависимости от их положения в системе координат?

У точек первой четверти 

у точек второй четверти 

у точек третьей четверти 

у точек четвёртой четверти 

В какой координатной четверти находятся точки с указанными координатами

Ответ:

A	B	C	D	E	F
2	4	2	3	1	4

А если точка находится на тригонометрической окружности, то как узнать зависимость знака координат точки от угла поворота вокруг начала координат?

Сегодня на уроке мы узнаем знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса, научимся определять положение точки на тригонометрической окружности в зависимости от комбинации знаков синуса и косинуса, тангенса и котангенса.

1.Рассмотрим единичную окружность в прямоугольной системе координат хОу.

Точка Р(1;0) при повороте вокруг начала координат на угол   переместилась в точку Рₐ. Определим её координаты.

Синусом угла является ордината точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол  .

Косинусом угла является абсцисса точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол  .

Если угол  то точка Рₐ находится в первой четверти, здесь  , значит

Если угол  , то точка Рₐ находится во второй четверти, здесь  ,   , значит ,  .

Если угол  , то точка Рₐ находится в третьей четверти, здесь  ,  , значит

Если угол  , то точка Рₐ находится в четвертой четверти, здесь  ,  , значит  , 

На рисунке видно какие знаки имеет синус, а какие косинус.

3.Закрепление Пример1. Определить знаки синуса и косинуса угла  .

Решение: Выясним, в какой четверти находится точка, полученная поворотом на угол   .

 во второй четверти синусы положительны, косинусы отрицательны.

Ответ: 

Пример 2. Определить знаки синуса и косинуса угла  .

Решение: Полный угол, при котором точка «обойдёт» всю окружность, равен  .

а это значит, что точка после 2 оборотов окажется в первой четверти, где синус и косинус положительны.

Ответ: 

Пример 3.Определить знаки синуса и косинуса угла  .

Решение: Угол отрицательный, значит точка получена поворотом по часовой стрелке.

в 4 четверти синусы отрицательны, косинусы положительны.

Ответ: синус отрицательный, косинус положительный.

Пример 4. Определить знаки .

Решение: Знаем, что , а  . Значит,  . Точка во второй четверти.

Ответ: 

2.Знаки тангенса и котангенса.

Тангенс это отношение синуса угла к его косинусу: 

Котангенс это отношение косинуса угла к его синусу: .

Тангенс и котангенс будут положительными там, где синус и косинус имеют одинаковые знаки.

Это первая и третья четверти. Синус и косинус имеют разные знаки во второй и четвёртой четвертях, здесь тангенс и котангенс будут отрицательны. На рисунке изображены знаки тангенса и котангенса.

Пример 5.

Определить знак тангенса угла 

Решение   , угол второй четверти

Ответ: tg 0

Пример 6

Вывод: чтобы определить знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса, нужно:

1. выяснить в какой координатной четверти находится угол;

2. знак синусов такой же, как ордината точки (у).

3. знак косинусов такой же, как абсцисса точки (х).

4. тангенсы и котангенсы положительны там, где синус и косинус имеют одинаковые знаки(1ч. и 4ч.), отрицательны, где синус и косинус имеют противоположные знаки (2ч. и 3ч.).

5.Итог урока

Оценивание

6.Дом/задание. Определить знак тангенса угла   .

Ответы присылайте на почту.

Укажите Ф.И и группу.
[email protected]

Формулы приведения как определить знак. Формулы приведения

Тригонометрия.Формулы приведения.

Формулы приведения не нужно учить их нужно понять. Понять алгоритм их вывода. Это очень легко!

Возьмем единичную окружность и расставим все градусные меры (0°; 90°; 180°; 270°; 360°) на ней.

Разберем в каждой четверти функции sin(a) и cos(a).

Запомним, что функцию sin(a) смотрим по оси Y, а функцию cos(a) по оси X.

В первой четверти видно, что функция sin(a)>0
И функция cos(a)>0
Первую четверть можно описать через градусную меру, как (90-α) или (360+α).

Во второй четверти видно, что функция sin(a)>0 , потому что ось Y положительна в этой четверти.
А функция cos(a) , потому что ось X отрицательна в этой четверти.
Вторую четверть можно описать через градусную меру, как (90+α) или (180-α).

В третьей четверти видно, что функции sin(a) Третья четверть можно описать через градусную меру, как (180+α) или (270-α).

В четвертой четверти видно, что функция sin(a) , потому что ось Y отрицательна в этой четверти.
А функция cos(a)>0 , потому что ось X положительна в этой четверти.
Четвертую четверть можно описать через градусную меру, как (270+α) или (360-α).

Теперь рассмотрим сами формулы приведения.

Запомним простой алгоритм :
1. Четверть. (Всегда смотрите в какой вы четверти находитесь).
2. Знак. (Относительно четверти смотрите положительны или отрицательный функции косинуса или синуса).
3. Если у вас есть в скобочках (90° или π/2) и (270° или 3π/2), то функция меняется .

И так начнем разбирать по четвертям данный алгоритм.

Выясни чему будет равно выражение cos(90-α)
Рассуждаем по алгоритму:
1. Четверть первая.

Будет cos(90-α) = sin(α)

Выясни чему будет равно выражение sin(90-α)
Рассуждаем по алгоритму:
1. Четверть первая.

Будет sin(90-α) = cos(α)

Выясни чему будет равно выражение cos(360+α)
Рассуждаем по алгоритму:
1. Четверть первая.
2. В первой четверти знак у функции косинуса положительный.

Будет cos(360+α) = cos(α)

Выясни чему будет равно выражение sin(360+α)
Рассуждаем по алгоритму:
1. Четверть первая.
2. В первой четверти знак у функции синуса положительный.
3. В скобочках нет (90° или π/2) и (270° или 3π/2), то функция не меняется.
Будет sin(360+α) = sin(α)

Выясни чему будет равно выражение cos(90+α)
Рассуждаем по алгоритму:
1. Четверть вторая.

3. В скобочках есть (90° или π/2), то функция меняется с косинуса на синус.
Будет cos(90+α) = -sin(α)

Выясни чему будет равно выражение sin(90+α)
Рассуждаем по алгоритму:
1. Четверть вторая.

3. В скобочках есть (90° или π/2), то функция меняется с синуса на косинус.
Будет sin(90+α) = cos(α)

Выясни чему будет равно выражение cos(180-α)
Рассуждаем по алгоритму:
1. Четверть вторая.
2. Во второй четверти знак у функции косинуса отрицательный.
3. В скобочках нет (90° или π/2) и (270° или 3π/2), то функция не меняется.
Будет cos(180-α) = cos(α)

Выясни чему будет равно выражение sin(180-α)
Рассуждаем по алгоритму:
1. Четверть вторая.
2. Во второй четверти знак у функции синуса положительный.
3. В скобочках нет (90° или π/2) и (270° или 3π/2), то функция не меняется.
Будет sin(180-α) = sin(α)

Рассуждаю про третью и четвертую четверть подобным образом составим таблицу:

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

Определение. Формулами приведения называют формулы, которые позволяют перейти от тригонометрических функций вида к функциям аргумента . С их помощью синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла можно привести к синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу угла из интервала от 0 до 90 градусов (от 0 до радиан). Таким образом, формулы приведения позволяют нам переходить к работе с углами в пределах 90 градусов, что, несомненно, очень удобно.

Формулы приведения:

Для использования формул приведения существует два правила.

1. Если угол можно представить в виде (π/2 ±a) или (3*π/2 ±a), то название функции меняется sin на cos, cos на sin, tg на ctg, ctg на tg. Если же угол можно представить в виде (π ±a) или (2*π ±a), то название функции остается без изменений.

Посмотрите на рисунок ниже, там схематично изображено, когда следует менять знак, а когда нет

2. Знак приведенной функции остается прежним. Если исходная функция имела знак «плюс», то и приведенная функция имеет знак «плюс». Если исходная функция имела знак «минус», то и приведенная функция имеет знак «минус».

На рисунке ниже представлены знаки основных тригонометрических функций в зависимости от четверти.

Пример:

Вычислить

Воспользуемся формулами приведения:

Sin(150˚) находится во второй четверти, по рисунку видим что знак sin в этой четверти равен «+». Значит у приведенной функции тоже будет знак «+». Это мы применили второе правило.

Теперь 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ это π/2. То есть имеем дело со случаем π/2+60, следовательно по первому правилу меняем функцию с sin на cos. В итоге получаем Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

Формулы приведения — это соотношения, которые позволяют перейти от синус, косинус, тангенс и котангенс с углами `\frac {\pi}2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac {3\pi}2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` к этим же функциям угла `\alpha`, который находится в первой четверти единичной окружности. Таким образом, формулы приведения «приводят» нас к работе с углами в пределе от 0 до 90 градусов, что очень удобно.

Всех вместе формул приведения есть 32 штуки. Они несомненно пригодятся на ЕГЭ, экзаменах, зачетах. Но сразу предупредим, что заучивать наизусть их нет необходимости! Нужно потратить немного времени и понять алгоритм их применения, тогда для вас не составит труда в нужный момент вывести необходимое равенство. \circ \pm \alpha`):

`sin(2\pi — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi — \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi — \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi — \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Часто можно встретить формулы приведения в виде таблицы, где углы записаны в радианах:

Чтобы воспользоваться ею, нужно выбрать строку с нужной нам функцией, и столбец с нужным аргументом. Например, чтобы узнать с помощью таблицы, чему будет равно ` sin(\pi + \alpha)`, достаточно найти ответ на пересечении строки ` sin \beta` и столбца ` \pi + \alpha`. Получим ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.

И вторая, аналогичная таблица, где углы записаны в градусах:

Мнемоническое правило формул приведения или как их запомнить

Как мы уже упоминали, заучивать все вышеприведенные соотношения не нужно. Если вы внимательно на них посмотрели, то наверняка заметили некоторые закономерности. Они позволяют нам сформулировать мнемоническое правило (мнемоника — запоминать), с помощью которого легко можно получить любую с формул приведения.

Сразу отметим, что для применения этого правила нужно хорошо уметь определять (или запомнить) знаки тригонометрических функций в разных четвертях единичной окружности.
Само привило содержит 3 этапа:

1. 1. Аргумент функции должен быть представлен в виде `\frac {\pi}2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac {3\pi}2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha`, причем `\alpha` — обязательно острый угол (от 0 до 90 градусов).
   2. Для аргументов `\frac {\pi}2 \pm \alpha`, `\frac {3\pi}2 \pm \alpha` тригонометрическая функция преобразуемого выражения меняется на кофункцию, то есть противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот). Для аргументов `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` функция не меняется.
   3. Определяется знак исходной функции. Полученная функция в правой части будет иметь такой же знак.

Чтобы посмотреть, как на практике можно применить это правило, преобразим несколько выражений:

1. \circ`, их значения не изменятся, если на эти величины увеличить или уменьшить аргумент.

Исходя из этого, наше выражение можно записать следующим образом: `cos (\pi+(\frac{\pi}2-\alpha)`. Применив два раза мнемоническое правило, получим: `cos (\pi+(\frac{\pi}2-\alpha)= — cos (\frac{\pi}2-\alpha)= — sin \alpha`.

Ответ: `cos(\frac {7\pi}2 — \alpha)=- sin \alpha`.

Лошадиное правило

Второй пункт вышеописанного мнемонического правила еще называют лошадиным правилом формул приведения. Интересно, почему лошадиным?

Итак, мы имеем функции с аргументами `\frac {\pi}2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac {3\pi}2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha`, точки `\frac {\pi}2`, `\pi`, `\frac {3\pi}2`, `2\pi` — ключевые, они располагаются на осях координат. `\pi` и `2\pi` на горизонтальной оси абсцисс, а `\frac {\pi}2` и `\frac {3\pi}2` на вертикальной оси ординат.

Задаем себе вопрос: «Меняется ли функция на кофункцию?». Чтобы ответить на этот вопрос, нужно подвигать головой вдоль оси, на которой расположена ключевая точка. \circ=-\frac{\sqrt 3}2`.

Пример 2. Выразив косинус через синус по формулам приведения, сравнить числа: 1) `sin \frac {9\pi}8` и `cos \frac {9\pi}8`; 2) `sin \frac {\pi}8` и `cos \frac {3\pi}10`.

Решение: 1)`sin \frac {9\pi}8=sin (\pi+\frac {\pi}8)=-sin \frac {\pi}8`

`cos \frac {9\pi}8=cos (\pi+\frac {\pi}8)=-cos \frac {\pi}8=-sin \frac {3\pi}8`

`-sin \frac {\pi}8> -sin \frac {3\pi}8`

`sin \frac {9\pi}8>cos \frac {9\pi}8`.

2) `cos \frac {3\pi}10=cos (\frac {\pi}2-\frac {\pi}5)=sin \frac {\pi}5`

`sin \frac {\pi}8

`sin \frac {\pi}8

Докажем сначала две формулы для синуса и косинуса аргумента `\frac {\pi}2 + \alpha`: ` sin(\frac {\pi}2 + \alpha)=cos \ \alpha` и` cos(\frac {\pi}2 + \alpha)=-sin \ \alpha`. Остальные выводятся из них.

Возьмем единичную окружность и на ней точку А с координатами (1,0). Пусть после поворота на угол `\alpha` она перейдет в точку `А_1(х, у)`, а после поворота на угол `\frac {\pi}2 + \alpha` в точку `А_2(-у,х)`. Опустив перпендикуляры с этих точек на прямую ОХ, увидим, что треугольники `OA_1H_1` и `OA_2H_2` равны, поскольку равны их гипотенузы и прилежащие углы. Тогда исходя из определений синуса и косинуса можно записать `sin \alpha=у`, `cos \alpha=х`, ` sin(\frac {\pi}2 + \alpha)=x`, ` cos(\frac {\pi}2 + \alpha)=-y`. Откуда можно записать, что ` sin(\frac {\pi}2 + \alpha)=cos \alpha` и ` cos(\frac {\pi}2 + \alpha)=-sin \alpha`, что доказывает формулы приведения для синуса и косинуса угла `\frac {\pi}2 + \alpha`.

Выходя из определения тангенса и котангенса, получим ` tg(\frac {\pi}2 + \alpha)=\frac {sin(\frac {\pi}2 + \alpha)}{cos(\frac {\pi}2 + \alpha)}=\frac {cos \alpha}{-sin \alpha}=-ctg \alpha` и ` сtg(\frac {\pi}2 + \alpha)=\frac {cos(\frac {\pi}2 + \alpha)}{sin(\frac {\pi}2 + \alpha)}=\frac {-sin \alpha}{cos \alpha}=-tg \alpha`, что доказывает формулы приведения для тангенса и котангенса угла `\frac {\pi}2 + \alpha`.

Чтобы доказать формулы с аргументом `\frac {\pi}2 — \alpha`, достаточно представить его, как `\frac {\pi}2 + (-\alpha)` и проделать тот же путь, что и выше. Например, `cos(\frac {\pi}2 — \alpha)=cos(\frac {\pi}2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`.

Углы `\pi + \alpha` и `\pi — \alpha` можно представить, как `\frac {\pi}2 +(\frac {\pi}2+\alpha)` и `\frac {\pi}2 +(\frac {\pi}2-\alpha)` соответственно.

А `\frac {3\pi}2 + \alpha` и `\frac {3\pi}2 — \alpha` как `\pi +(\frac {\pi}2+\alpha)` и `\pi +(\frac {\pi}2-\alpha)`.

Урок и презентация на тему: «Применение формул приведения при решении задач»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса
1С: Школа. Интерактивные задания на построение для 7-10 классов
1С: Школа. Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве для 10–11 классов

Что будем изучать:
1. Немного повторим.
2. Правила для формул приведения.
3. Таблица преобразований для формул приведения.
4. Примеры.

Повторение тригонометрических функций

Ребята, с формулами привидения вы уже сталкивались, но так их еще не называли. Как думаете: где?

Посмотрите на наши рисунки. Правильно, когда вводили определения тригонометрических функций.

Правило для формул приведения

Давайте введем основное правило: Если под знаком тригонометрической функции содержится число вида π×n/2 + t, где n – любое целое число, то нашу тригонометрическую функцию можно привести к более простому виду, которая будет содержать только аргумент t. Такие формулы и называют формулами привидения.

Вспомним некоторые формулы:

• sin(t + 2π*k) = sin(t)
• cos(t + 2π*k) = cos(t)
• sin(t + π) = -sin(t)
• cos(t + π) = -cos(t)
• sin(t + π/2) = cos(t)
• cos(t + π/2) = -sin(t)
• tg(t + π*k) = tg(x)
• ctg(t + π*k) = ctg(x)

формул привидения очень много, давайте составим правило по которому будем определять наши тригонометрические функции при использовании формул привидения :

• Если под знаком тригонометрической функции содержатся числа вида: π + t, π — t, 2π + t и 2π — t, то функция не изменится, то есть, например, синус останется синусом, котангенс останется котангенсом.
• Если под знаком тригонометрической функции содержатся числа вида: π/2 + t, π/2 — t,
  3π/2 + t и 3π/2 — t, то функция изменится на родственную, т. е. синус станет косинусом, котангенс станет тангенсом.
• Перед получившийся функцией, надо поставить тот знак, который имела бы преобразуемая функция при условии 0

Эти правила применимы и когда аргумент функции задан в градусах!

Так же мы можем составить таблицу преобразований тригонометрических функций:

Примеры применения формул приведения

1.Преобразуем cos(π + t). Наименование функции остается, т.е. получим cos(t). Далее предположим, что π/2

2. Преобразуем sin(π/2 + t). Наименование функции изменяется, т.е. получим cos(t). Далее предположим что 0 sin(t + π/2) = cos(t)

3. Преобразуем tg(π + t). Наименование функции остается, т.е. получим tg(t). Далее предположим, что 0

4. Преобразуем ctg(270 0 + t). Наименование функции изменяется, то есть получим tg(t). Далее предположим что 0

Задачи с формулами приведения для самостоятельного решения

Ребята, преобразуйте самостоятельно, используя наши правила:

1) tg(π + t),
2) tg(2π — t),
3) ctg(π — t),
4) tg(π/2 — t),
5) ctg(3π + t),
6) sin(2π + t),
7) sin(π/2 + 5t),
8) sin(π/2 — t),
9) sin(2π — t),
10) cos(2π — t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 — t),
13) cos(π — t).

И еще одна задача B11 на ту же тему — из реального ЕГЭ по математике.

Задача. Найдите значение выражения:

В этом коротком видеоуроке мы узнаем, как применять формулы приведения для решения реальных задач B11 из ЕГЭ по математике. Как вы видите, перед нами — два тригонометрических выражения, каждое из которых содержит синусы и косинусы, а также довольно зверские числовые аргументы.

Прежде чем решать эти задачи, давайте вспомним, что такое формулы приведения. Итак, если у нас есть выражения вида:

То мы можем избавиться от первого слагаемого (вида k · π/2) по специальным правилам. Начертим тригонометрическую окружность, отметим на ней основные точки: 0, π/2; π; 3π/2 и 2π. Затем смотрим на первое слагаемое под знаком тригонометрической функции. Имеем:

1. Если интересующее нас слагаемое лежит на вертикальной оси тригонометрического круга (например: 3π/2; π/2 и т.д.), то исходная функция заменяется на ко-функцию: синус заменяется косинусом, а косинус — наоборот, синусом.
2. Если же наше слагаемое лежит на горизонтальной оси, то исходная функция не меняется. Просто убираем первое слагаемое в выражении — и все.

Таким образом, мы получим тригонометрическую функцию, не содержащую слагаемых вида k · π/2. Однако на этом работа с формулами приведения не заканчивается. Дело в том, что перед нашей новой функцией, полученной после «отбрасывания» первого слагаемого, может стоять знак плюс или минус. Как определить этот знак? Вот сейчас и узнаем.

Представим, что угол α, оставшийся внутри тригонометрической функции после преобразований, имеет очень малую градусную меру. Но что значит «малая мера»? Допустим, α ∈ (0; 30°) — этого вполне достаточно. Рассмотрим для примера функцию:

Тогда, следуя нашим предположениям, что α ∈ (0; 30°), заключаем, что угол 3π/2 − α лежит в третьей координатной четверти, т.е. 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2). Вспоминаем знак исходной функции, т.е. y = sin x на этом интервале. Очевидно, что синус в третьей координатной четверти отрицателен, поскольку по определению синус — это ордината конца подвижного радиуса (короче синус — это координата y ). Ну, а координата y в нижней полуплоскости всегда принимает отрицательные значения. Значит, и в третьей четверти y тоже отрицателен.

На основании этих размышлений мы можем записать окончательное выражение:

Задача B11 — 1 вариант

Вот эти же самые приемы вполне подходят для решения задачи B11 из ЕГЭ по математике. Разница лишь в том, что во многих реальных задачах B11 вместо радианной меры (т.е. чисел π, π/2, 2π и т.д.) используется градусная мера (т. е. 90°, 180°, 270° и т.д.). Давайте посмотрим на первую задачу:

Сначала разберемся с числителем. cos 41° — это нетабличное значение, поэтому мы ничего не можем сделать с ним. Пока так и оставим.

Теперь смотрим на знаменатель:

sin 131° = sin (90° + 41°) = cos 41°

Очевидно, что перед нами формула приведения, поэтому синус заменился на косинус. Кроме того, угол 41° лежит на отрезке (0°; 90°), т.е. в первой координатной четверти — именно так, как требуется для применения формул приведения. Но тогда 90° + 41° — это вторая координатная четверть. Исходная функция y = sin x там положительна, поэтому мы и поставили перед косинусом на последнем шаге знак «плюс» (другими словами не поставили ничего).

Осталось разобраться с последним элементом:

cos 240° = cos (180° + 60°) = −cos 60° = −0,5

Здесь мы видим, что 180° — это горизонтальная ось. Следовательно, сама функция не поменяется: был косинус — и останется тоже косинус. Но вновь возникает вопрос: плюс или минус будет стоять перед полученным выражением cos 60°? Заметим, что 180° — это третья координатная четверть. Косинус там отрицательный, следовательно, перед косинусом в итоге будет стоять знак «минус». Итого, получаем конструкцию −cos 60° = −0,5 — это табличное значение, поэтому все легко считается.

Теперь подставляем полученные числа в исходную формулу и получаем:

Как видим, число cos 41° в числителе и знаменателе дроби легко сокращается, и остается обычное выражение, которое равно −10. При этом минус можно либо вынести и поставить перед знаком дроби, либо «держать» рядом со вторым множителем до самого последнего шага вычислений. Ответ в любом случае получится −10. Все, задача B11 решена!

Задача B14 — 2 вариант

Переходим ко второй задаче. Перед нами снова дробь:

Ну, 27° у нас лежит в первой координатной четверти, поэтому здесь ничего менять не будем. А вот sin 117° надо расписать (пока без всякого квадрата):

sin 117° = sin (90° + 27°) = cos 27°

Очевидно, перед нами снова формула приведения : 90° — это вертикальная ось, следовательно, синус поменяется на косинус. Кроме того, угол α = 117° = 90° + 27° лежит во второй координатной четверти. Исходная функция y = sin x там положительна, следовательно, перед косинусом после всех преобразований все равно остается знак «плюс». Другими словами, там ничего не добавляется — так и оставляем: cos 27°.

Возвращаемся к исходному выражению, которое требуется вычислить:

Как видим, в знаменателе после преобразований возникло основное тригонометрическое тождество: sin 2 27° + cos 2 27° = 1. Итого −4: 1 = −4 — вот мы и нашли ответ ко второй задаче B11.

Как видите, с помощью формул приведения такие задачи из ЕГЭ по математике решаются буквально в пару строчек. Никаких синусов суммы и косинусов разности. Все, что нам нужно помнить — это только тригонометрический круг.

2`. Тогда соотношения:

`sin θ = y/r` `cos θ = x/r` `tan θ = y/x`

`csc θ = r/y` `сек θ = r/x` `кроватка θ = x/y`

Чем это отличается от определений, которые мы уже встречали в разделе 2 «Синус, косинус, тангенс и обратные отношения»? Единственная разница в том, что теперь x или y (или оба) могут быть отрицательными , потому что теперь наш угол может находиться в любом квадранте. Отсюда следует, что тригонометрические отношения могут оказаться как отрицательными, так и положительными. В предыдущем разделе задействованные углы всегда были меньше 92) `=sqrt(4+9)=sqrt13`

Для этого примера мы определяем тригонометрические отношения для θ в следующим образом:

`sin theta=y/r=3/sqrt13=0,83205`

`cos theta=x/r=(-2)/sqrt13=-0,55470`

`tan theta=y/x=3/-2=-1,5`

`csc theta=r/y=sqrt13/3=1.2019`

`sec theta=r/x=sqrt13/-2=-1,80278`

`cot theta=x/y=(-2)/3=-0,6667`

Четыре квадранта — позитив или негатив?

Обратите внимание на пример выше, что наш угол находился во втором квадранте. Также обратите внимание, что во втором квадранте число y -значение положительное. Поскольку r всегда положительно, то y/r всегда будет положительным в квадранте II. Таким образом, мы заключаем, что «греховая тета» всегда будет положительной во втором квадранте.

Также обратите внимание на (в случае `cos theta`), что x было отрицательным. Во втором квадранте x всегда отрицательное. Так что «cos theta» тоже всегда будет отрицательным.

Для случая tan theta y положительно, а x отрицательно, поэтому y/x всегда будет отрицательным.

Рассматривая другие квадранты, мы видим закономерность.

В Квадранте II «sin theta» положительна, «cos theta» и «tan theta» отрицательны.

В квадранте III `tan тета` положительна (и x , и y отрицательны, поэтому `y/x` положительна), `sin theta` и `cos theta` отрицательны.

В Квадранте IV `cos theta` положителен, `sin theta` и `tan theta` отрицателен.

Конечно, обратные соотношения, `csc theta`, `sec theta` и `cot theta` следуют одной и той же схеме:

В Квадранте II «csc theta» положительна, «sec theta» и «cot theta» отрицательны.

В квадранте III «cot theta» положительный, «csc theta» и «sec theta» отрицательный.

В Квадранте IV «sec тета» положительна, «csc тета» и «кот тета» отрицательны.

Нам не нужно запоминать наизусть реципрокные, но рекомендуется запомнить, где `sin theta`, `cos theta` и `tan theta` положительны.

Мы используем эту диаграмму, чтобы запомнить, какие отношения положительны в каждый квадрант. Мы можем запомнить это, используя:

A ll S T o C ентр.

Это означает : В первом квадранте (I), все отношения являются положительными.

Во втором квадранте (II) синус (и cosec) равны положительный.

В третьем квадранте (III) находятся тан (и котан). положительный.

В четвертом квадранте (IV), cos (и сек) являются положительный.

Они просто следуют из знака (+ или -) x или y для каждого квадранта, как мы видели выше.

Эти знаки важны, когда мы находим угол от заданное соотношение.

Интерактивный график

Вот интерактивный график, на котором вы можете изучить концепции тригонометрических соотношений.

Перетащите точку P по кривой во все 4 квадранта и наблюдайте за коэффициентами sin, cos и tan. этот результат. Обратите внимание, в частности, на положительные отношения в каждом квадранте. 92) `=sqrt(9+16)` `=sqrt25=5`

So

`sin\ θ = y/r = -4/5`

`cos\ θ = x/r = -3/5`

`tan\ θ = y/x = (-4) /(-3) = 4/3`

А для обратных соотношений:

`cot\ θ = x/y = 3/4`

Найти значение функций синуса или косинуса угла, заданного точкой на его конечной стороне

Все ресурсы по предварительному исчислению

12 Диагностических тестов 380 практических тестов Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции

Справка по предварительному исчислению » Тригонометрические функции » Круговые функции » Найдите значение функции синуса или косинуса угла по точке на его конечной стороне

Чему равен синус угла, если точка на конечной стороне угла ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Учитывая точку на координатной плоскости , начало этой точки можно вычислить по теореме Пифагора.

Гипотенуза прямоугольного треугольника, образованного началом и точкой.

Длина треугольника равна 1 единице, а высота треугольника равна 5.

Синус угла равен противолежащему катету, деленному на гипотенузу.

Рационализируйте знаменатель.

Сообщить об ошибке

Пожалуйста, выберите лучший ответ из следующих вариантов.

 

Найдите значение секанса  , если это точка на конечной стороне угла в стандартном положении.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Во-первых, используйте теорему Пифагора, чтобы найти все стороны треугольника. Вы знаете, что соседняя сторона имеет длину 4 единицы, а противоположная сторона имеет длину -9 единиц.

Используя теорему Пифагора, вы должны получить гипотенузу .

Секанс определяется как гипотенуза/противоположная.

Таким образом, давая вам ответ .

Сообщить об ошибке

Найдите значение синуса  , если это точка на конечной стороне угла в стандартном положении.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Это треугольник 30-60-90. Треугольник 30-60-90 будет иметь длину катета  и 1 и гипотенузу 2. Чтобы найти значение sin, вам нужно разделить длину противоположного катета на гипотенузу (противоположную/гипотенузу). Таким образом, давая вам .

 

Сообщить об ошибке

Если вы можете найти синус и косинус угла для точки на его конечной стороне, у вас есть достаточно информации, чтобы также найти его тангенс.

 

Что из следующего лучше всего описывает правильность приведенного выше утверждения?

Возможные ответы:

Утверждение верно в некоторых случаях, но не во всех.

Утверждение ложно во всех случаях.

Утверждение верно во всех случаях.

Правильный ответ:

Утверждение верно во всех случаях.

Объяснение:

Вспомните формулу тангенса. Если у нас достаточно информации для нахождения синуса и косинуса, то у нас есть значения противоположного и прилежащего угла.

Сообщить об ошибке

 Метод решения тригонометрических функций угла по заданной точке на его конечной стороне работает только для острых углов.

 

Какое из следующих утверждений лучше всего описывает справедливость приведенного выше утверждения?

Возможные ответы:

Утверждение неверно

Утверждение верно

Правильный ответ:

Утверждение неверно

Объяснение:

Рассмотрим рисунок ниже.

 

Мы можем образовать треугольник, опустив вниз линию из точки (-2,3), перпендикулярную

ось х. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник с катетом высотой 3 единицы и длиной основания 2

единиц. Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти гипотенузу.

Теперь мы можем найти синус и косинус. Используйте тот факт, что . Противоположная сторона угла в данном случае является катетом высотой 3 единицы.

 

 

И мы будем использовать тот факт, что . Сторона, прилежащая к углу, является основанием, длина которого равна 2 единицам. Мы должны отметить, что мы используем, а не .

 

 

Таким образом, несмотря на то, что наш угол был тупым, мы все равно можем использовать тот же метод.

 

 

Сообщить об ошибке

Учитывая, что косинус угла равен , какова высота образованного этим треугольника? (т. е. конечная точка для этого угла равна (1, y), найдите y).

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Начнем с размышлений о том, что означает косинус при работе с прямоугольными треугольниками. Отзывать . Итак, если

 

Тогда прилежащая сторона или основание треугольника равна 1, а гипотенуза равна 2. Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти недостающую сторону.

Сообщить об ошибке

Найдите значение косинуса угла, зная, что точка на конце угла равна (3,4).

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Используя точку (3,4), мы можем увидеть, что это образует прямоугольный треугольник, длина основания которого составляет 3 единицы, а высота примыкающего катета — 4 единицы. Мы можем найти гипотенузу этого треугольника, используя теорему Пифагора. Это даст нам расстояние от точки (3,4) до начала координат.

Итак, гипотенуза этого треугольника (расстояние от нашей точки, с которой мы работаем, до начала координат) составляет 5 единиц длины. Напомним, что при использовании косинуса для прямоугольных треугольников косинус представляет собой следующие

Итак, если мы рассматриваем угол, образованный осью x и нашей гипотенузой, примыкающая сторона будет основанием нашего треугольника; 3 единицы.

Сообщить об ошибке

Найдите синус и косинус следующего угла.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

, 

Пояснение:

Мы видим, что точка на концевой стороне равна (5,6).