Как перемножать скобки на скобку: Как правильно раскрывать скобки?

Под раскрытием скобок подразумевают приемы избавления от скобок и рассматривают его обычно в отношении выражений, которые могут содержать:

• знаки «+» или «-» перед скобками, в которые заключены суммы или разности;
• произведение числа, буквы или нескольких букв и суммы или разности, которая помещена в скобки.

Так мы привыкли рассматривать процесс раскрытия скобок в курсе школьной программы. Однако никто не мешает нам посмотреть на это действие шире. Мы можем назвать раскрытием скобок переход от выражения, которое содержит отрицательные числа в скобках, к выражению, не имеющему скобок. К примеру, мы можем перейти от 5+(−3)−(−7) к 5−3+7. Фактически, это тоже раскрытие скобок.

Точно также мы можем заменить произведение выражений в скобках вида (a+b)·(c+d) на сумму a·c+a·d+b·c+b·d. Такой прием также не противоречит смыслу раскрытия скобок.

Вот еще один пример. Мы можем допустить, что в выражениях вместо чисел и переменных могут быть использованы любые выражения. Например, выражению x2·1a-x+sin(b)  будет соответствовать выражение без скобок вида x2·1a-x2·x+x2·sin(b) .

Отдельного внимания заслуживать еще один момент, который касается особенностей записи решений при раскрытии скобок. Мы можем записать начальное выражение со скобками и полученный после раскрытия скобок результат как равенство. Например, после раскрытия скобок вместо выражения 3−(5−7) мы получаем выражение 3−5+7. Оба этих выражения мы можем записать в виде равенства 3−(5−7)=3−5+7.

Проведение действий с громоздкими выражениями может потребовать записи промежуточных результатов. Тогда решение будет иметь вид цепочки равенств. Например,

Правила раскрытия скобок, примеры

Приступим к рассмотрению правил раскрытия скобок.

У одиночных чисел в скобках

Отрицательные числа в скобках часто встречаются в выражениях. Например, (−4) и 3+(−4). Положительные числа в скобках тоже имеют место быть.

Сформулируем правило раскрытия скобок, в которых заключены одиночные положительные числа. Предположим, что а – это любое положительное число. Тогда (а) мы можем заменить на а, +(а) на +а, -(а) на –а. Если вместо а взять конкретное число, то согласно правилу: число (5) запишется как 5, выражение 3+(5) без скобок примет вид 3+5, так как +(5) заменяется на +5, а выражение 3+(−5) эквивалентно выражению 3−5, так как +(−5) заменяется на −5.

Положительные числа обычно записываются без использования скобок, так как скобки в этом случае излишни.

Теперь рассмотрим правило раскрытия скобок, внутри которых содержится одиночное отрицательное число. +(−a) мы заменяем на −a,  −(−a) заменяется на +a. Если выражение начинается с отрицательного числа (−a), которое записано в скобках, то скобки опускаются и вместо (−a) остается −a.

Приведем примеры:  (−5) можно записать как  −5,  (−3)+0,5 принимает вид −3+0,5,  4+(−3) превращается в 4−3, а −(−4)−(−3) после раскрытия скобок принимает вид 4+3, так как −(−4) и −(−3) заменяется на +4 и +3.

Следует понимать, что записать выражение 3·(−5) как 3·−5 нельзя. Об этом речь пойдет в следующих пунктах.

Давайте посмотрим, на чем основываются правила раскрытия скобок.

Согласно правилу разность a−b равна a+(−b). На основе свойств действий с числами мы можем составить цепочку равенств (a+(−b))+b=a+((−b)+b)=a+0=a, которая будет справедлива. Эта цепочка равенств в силу смысла вычитания доказывает, что выражение a+(−b)  — это разность a−b.

Основываясь на свойствах противоположных чисел и правил вычитания отрицательных чисел мы можем утверждать, что −(−a)=a, a−(−b)=a+b.

Встречаются выражения, которые составляются из числа, знаков минуса и нескольких пар скобок. Использование приведенных выше правил позволяет последовательно избавляться от скобок, продвигаясь от внутренних скобок к наружным или в обратном направлении. Примером такого выражения может быть −(−((−(5)))). Раскроем скобки, продвигаясь изнутри наружу: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5))=−(5)=−5. Также этот пример можно разобрать и в обратном направлении: −(−((−(5))))=((−(5)))=(−(5))=−(5)=−5.

Под a и b можно понимать не только числа, но также произвольные числовые или буквенные выражения со знаком «+» впереди, которые не являются суммами или разностями. Во всех этих случаях можно применять правила точно также, как мы делали это в отношении одиночных чисел в скобках.

К примеру, после раскрытия скобок выражение −(−2·x)−(x2)+(−1x)−(2·x·y2:z) примет вид 2·x−x2−1x−2·x·y2:z. Как мы это сделали? Мы знаем, что −(−2·x) есть +2·x, а так как это выражение стоит вначале, то +2·x можно записать как 2·x, −(x2)=−x2, +(−1x)=−1x и −(2·x·y2:z)=−2·x·y2:z.

В произведениях двух чисел

Начнем с правила раскрытия скобок в произведении двух чисел.

Предположим, что a и b – это два положительных числа. В этом случае произведение двух отрицательных чисел −a и −b вида (−a)·(−b) мы можем заменить на (a·b), а произведения двух чисел с противоположными знаками вида (−a)·b и a·(−b) заменить на (−a·b). Умножение минуса на минус дает плюс, а умножение минуса на плюс, как и умножение плюса на минус дает минус.

Верность первой части записанного правила подтверждается правилом умножения отрицательных чисел. Для подтверждения второй части правила мы можем использовать правила умножения чисел с разными знаками.

Рассмотрим несколько примеров.

Рассмотрим алгоритм раскрытия скобок в произведении двух отрицательных чисел -435 и -2, вида(-2)·-435 . Для этого заменим исходное выражение на 2·435 . Раскроем скобки и получим 2·435 .

А если мы возьмем частное отрицательных чисел (−4):(−2), то запись после раскрытия скобок будет иметь вид 4:2

На месте отрицательных чисел −a и −b могут быть любые выражения со знаком минус впереди, которые  не являются суммами или разностями. К примеру, это могут быть произведения, частные, дроби, степени, корни, логарифмы, тригонометрические функции и т.п.

Раскроем скобки в выражении  -3·xx2+1·x·(ln5). Согласно правилу, мы можем произвести следующие преобразования:   -3·xx2+1·x·(ln5)=-3·xx2+1·x·ln5=3·xx2+1·x·ln5.

Выражение (−3)·2 можно преобразовать в выражение (−3·2). После этого можно раскрыть скобки: 

 23·-45=-23·45=-23·45

 Деление чисел с разными знаками также может потребовать предварительного раскрытия скобок:  (−5):2=(−5:2)=−5:2 и  234:(-3,5)=-234:3,5=-234:3,5.

Правило может быть использовано для выполнения умножения и деления выражений с разными знаками. Приведем два  примера.

-1x+1:x-3=-1x+1:x-3=-1x+1:x-3

и 

sin(x)·(-x2)=(-sin(x)·x2)=-sin(x)·x2

В произведениях трех и большего количества чисел

Перейдем к произведенимя и частным, которые содержат большее количество чисел. Для раскрытия скобок здесь будет действовать следующее правило. При четном количестве отрицательных чисел можно опустить скобки, заменив числа противоположными. После этого необходимо заключить полученное выражение в новые скобки. При нечетном количестве отрицательных чисел, опустив скобки, заменить числа на противоположные. После этого полученное выражение необходимо взять в новые скобки и поставить перед ним знак минус.

Для примера, возьмем выражение 5·(−3)·(−2), которое представляет собой произведение трех чисел. Отрицательных чисел два, следовательно, мы можем записать выражение как  (5·3·2) и затем окончательно раскрыть скобки, получив выражение 5·3·2.

В произведении (−2,5)·(−3):(−2)·4:(−1,25):(−1)  пять чисел являются отрицательными. поэтому (−2,5)·(−3):(−2)·4:(−1,25):(−1)=(−2,5·3:2·4:1,25:1). Окончательно раскрыв скобки, получаем  −2,5·3:2·4:1,25:1.

Обосновать приведенное выше правило можно следующим образом. Во-первых, такие выражения мы можем переписать как произведение, заменив умножением на обратное число деление. Представляем каждое отрицательное число как произведение множительного числа и -1 или -1 заменяем на (−1)·a.

Используя переместительное свойство умножения меняем местами множители и переносим все множители, равные 

Если бы мы не использовали правило, то цепочка действий по раскрытию скобок в выражении -23:(-2)·4:-67 выглядела бы следующим образом:

-23:(-2)·4:-67=-23·-12·4·-76==(-1)·23·(-1)·12·4·(-1)·76==(-1)·(-1)·(-1)·23·12·4·76=(-1)·23·12·4·76==-23·12·4·76

Приведенное выше правило может быть использовано при раскрытии скобок в выражениях, которые представляют собой произведения и частные со знаком минус, не являющихся суммами или разностями. Возьмем для примера выражение

 x2·(-x):(-1x)·x-3:2.

Его можно привести к выражению без скобок  x2·x:1x·x-3:2 .

Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «+»

Рассмотрим правило, которое можно применить для раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс, а «содержимое» этих скобок не умножается и не делится на какое-либо число или выражение.

Согласно правилу скобки вместе со стоящим перед ними знаком опускаются, при этом знаки всех слагаемых в скобках сохраняются. Если перед первым слагаемым в скобках не стоит никакого знака, то нужно поставить знак плюс.

Для примера приведем выражение (12−3,5)−7.  Опустив скобки, мы сохраняем знаки слагаемых в скобках и ставим перед первым слагаемым знак плюс. Запись будет иметь вид (12−3,5)−7=+12−3,5−7. В приведенном примере знак перед первым слагаемым ставить не обязательно, так как +12−3,5−7=12−3,5−7.

Рассмотрим еще один пример. Возьмем выражение  x+2a-3×2+1-x2-4+1x и проведем с ним действия  x+2a-3×2+1-x2-4+1x==x+2a-3×2+1-x2-4+1x

Вот еще один пример раскрытия скобок:

2+x2+1x-x·y·z+2·x-1+(-1+x-x2)==2+x2+1x-x·y·z+2·x-1-1+x+x2

Как раскрываются скобки, перед которыми стоит знак минус

Рассмотрим случаи, когда перед скобками стоит знак минус, и которые не не умножаются (или делятся) на какое-либо число или выражение.

К примеру:

—12=12,-1x+1=-1x+1,-(-x2)=x2

Выражения с переменными могут быть преобразованы с использованием того же правила:

—x+x3-3—2·x2+3·x3·x+1x-1-x+2,

получаем x-x3-3+2·x2-3·x3·x+1x-1-x+2.

Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку

Здесь мы рассмотрим случаи, когда нужно раскрыть скобки, которые умножаются или делятся на какое-либо число или выражение. Тут применимы формулы вида (a1±a2±…±an)·b=(a1·b±a2·b±…±an·b) или b·( a1±a2±…±an)=(b·a1±b·a2±…±b·an), где a1, a2, …, an и b – некоторые числа или выражения.

Например, проведем раскрытие скобок в выражении (3−7)·2

Раскрыв скобки в выражении 3·x2·1-x+1x+2, получаем  3×2·1-3·x2·x+3·x2·1x+2.

Умножение скобки на скобку

Рассмотрим произведение двух скобок вида (a1+a2)·(b1+b2). Это поможет нам получить правило для раскрытия скобок при проведении умножения скобки на скобку.

Для того, чтобы решить приведенный пример, обозначим выражение (b1+b2) как b. Это позволит нам использовать правило умножения скобки на выражение. Получим (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2)·b=(a1·b+a2·b)=a1·b+a2·b. Выполнив обратную замену b на (b1+b2), снова применим правило умножения выражения на скобку:  a1·b+a2·b==a1·(b1+b2)+a2·(b1+b2)==(a1·b1+a1·b2)+(a2·b1+a2·b2)==a1·b1+a1·b2+a2·b1+a2·b2

Благодаря ряду несложных приемов мы можем прийти к сумме произведений каждого из слагаемых из первой скобки на каждое из слагаемых из второй скобки. Правило можно распространить на любое количество слагаемых внутри скобок.

Сформулируем правила умножения скобки на скобку: чтобы перемножить между собой две суммы, необходимо каждое из слагаемых первой суммы перемножить на каждое из слагаемых второй суммы и сложить полученные результаты.

Формула будет иметь вид:

(a1+a2+…+am)·(b1+b2+…+bn)==a1b1+a1b2+…+a1bn++a2b1+a2b2+…+a2bn++…++amb1+amb1+…ambn

Проведем раскрытие скобок в выражении (1+x)·(x2+x+6) Оно представляет собой произведение двух сумм.  Запишем решение: (1+x)·(x2+x+6)==(1·x2+1·x+1·6+x·x2+x·x+x·6)==1·x2+1·x+1·6+x·x2+x·x+x·6

Отдельно стоит остановиться на тех случаях, когда в скобках присутствует знак минус наряду со знаками плюс. Для примера возьмем выражение  (1−x)·(3·x·y−2·x·y3).

Сначала представим выражения в скобках в виде сумм: (1+(−x))·(3·x·y+(−2·x·y3)). Теперь мы можем применить правило: (1+(−x))·(3·x·y+(−2·x·y3))==(1·3·x·y+1·(−2·x·y3)+(−x)·3·x·y+(−x)·(−2·x·y3))

Раскроем скобки: 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x·2·x·y3.

Раскрытие скобок в произведениях нескольких скобок и выражений

При наличии в выражении трех и более выражений в скобках, раскрывать скобки необходимо последовательно. Начать преобразование необходимо с того, что два первых множителя берут в скобки. Внутри этих скобок мы можем проводить преобразования согласно правилам, рассмотренным выше. Например, скобки в выражении (2+4)·3·(5+7·8).

В выражении содержится сразу три множителя (2+4), 3 и (5+7·8). Будем раскрывать скобки последовательно. Заключим первые два множителя еще в одни скобки, которые для наглядности сделаем красными: (2+4)·3·(5+7·8)=((2+4)·3)·(5+7·8).

В соответствии с правилом умножения скобки на число мы можем провести следующие действия: ((2+4)·3)·(5+7·8)=(2·3+4·3)·(5+7·8).

Умножаем скобку на скобку: (2·3+4·3)·(5+7·8)=2·3·5+2·3·7·8+4·3·5+4·3·7·8.

Скобка в натуральной степени

Степени, основаниями которых являются некоторые выражения, записанные в скобках, с натуральными показателями можно рассматривать как произведение нескольких скобок. При этом по правилам из двух предыдущих пунктов их можно записать без этих скобок.

Рассмотрим процесс преобразования выражения  (a+b+c)2. Его можно записать в виде произведения двух скобок  (a+b+c)·(a+b+c).  Произведем умножение скобки на скобку и получим a·a+a·b+a·c+b·a+b·b+b·c+c·a+c·b+c·c.

Разберем еще один пример:

1x+23=1x+2·1x+2·1x+2==1x·1x+1x·2+2·1x+2·2·1x+2==1x·1x·1x+1x·2·1x+2·1x·1x+2·2·1x+1x·1x·2++1×2·2+2·1x·2+2·2·2

Деление скобки на число и скобки на скобку

Деление скобки на число предполагает, что необходимо разделить на число все заключенные в скобки слагаемые. Например, (x2-x):4=x2:4-x:4 .

Деление можно предварительно заменить умножением, после чего можно воспользоваться подходящим правилом раскрытия скобок в произведении. Это же правило применимо и при делении скобки на скобку.

Например, нам необходимо раскрыть скобки в выражении (x+2):23 . Для этого сначала заменим деление умножением на обратное число (x+2):23=(x+2)·23. Умножим скобку на число (x+2)·23=x·23+2·23.

Вот еще один пример деления на скобку:

1x+x+1:(x+2) .

Заменим деление умножением: 1x+x+1·1x+2.

Выполним умножение:  1x+x+1·1x+2=1x·1x+2+x·1x+2+1·1x+2.

Порядок раскрытия скобок

Теперь рассмотрим порядок применения правил, разобранных выше в выражениях общего вида, т.е. в выражениях, которые содержат суммы с разностями, произведения с частными, скобки в натуральной степени.

Порядок выполнения действий:

• первым делом необходимо выполнить возведение скобок в натуральную степень;
• на втором этапе производится раскрытие скобок в произведениях и частных;
• заключительным шагом будет раскрытие скобок в суммах и разностях.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примере выражения  (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Намнем преобразование с выражений 3·(−2):(−4) и 6·(−7), которые должны принять вид (3·2:4) и (−6·7). При подстановке полученных результатов в исходное выражение получаем: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6·7). Раскрываем скобки:−5+3·2:4+6·7.

Имея дело с выражениями, которые содержат скобки в скобках, удобно проводить преобразования, продвигаясь изнутри наружу.

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

MadMath: Умножение в скобках?

Являются ли скобки умножением? Мои студенты, изучающие коррекционную алгебру, почти всегда ответят «да» на этот вопрос; Я думаю, их нужно учить этому явно на других курсах. Я чертовски уверен, что ответ «нет», и я пытаюсь выбить из них это в первый день занятий.

Даже профессиональные исследователи, изучающие распространенные ошибки в алгебраическом образовании, склонны отвечать «да» на этот вопрос, например:

Неправильные представления: использование скобок. Изучающие алгебру, начинающие изучать алгебру, как правило, не знают, что скобки могут использоваться для обозначения группировки двух терминов (в аддитивной ситуации) и в качестве мультипликативного оператора Подготовка к алгебре», слайд 7; ссылки Линчевский, 1995; ссылка]

Но являются ли скобки мультипликативным оператором? Кажется очевидным, что ответ «нет». Теперь ясно, что все следующее является умножением 9, между и и b будет что-то другое; но учитывая, что умножение, вероятно, является наиболее распространенной операцией, мы читаем отсутствие письменного оператора, указывающего на умножение. 2»: «Да или нет, есть ли какая-то работа внутри скобок?» В первый день занятий по алгебре почти весь класс ответит на это «да» (и захочет умножить), после чего я объясняю, что ответ на самом деле «нет». Если нет упрощения внутри круглых скобок , то первой частью фактической работы будет применение операции экспоненты. И это все, что означают скобки. (Здесь, конечно, есть умножение — не из-за круглых скобок, а из-за поставленных рядом 3, и оно должно происходить после оператора возведения в степень.) Большинство учеников поймут это позже, но не все — — некоторая часть класса будет продолжать говорить «да» и будет сбита с толку этим конкретным вопросом в течение всего семестра. (Еще один пример: по этой и другим причинам некоторые учащиеся склонны оценивать что-то вроде «(5)-2 = -10». )

Находится ли множитель рядом с чем-то в круглых скобках или нет, не имеет значения для умножения; круглые скобки — это отдельная и отдельная проблема. Что скажешь? Вы когда-нибудь говорили, что скобки на самом деле означают умножение?

Что такое скобки? Определение, правила, примеры

Что такое скобки?

Скобки или «круглые скобки» — это знакомые ( ) символы, которые используются парами для группировки элементов или указания порядка операций в уравнении.

В математике вам часто придется использовать скобки при составлении или решении уравнений. Они помогают группировать числа и определять порядок операций. В таких случаях используются три типа скобок:

• круглые скобки или ( )
• квадратные скобки или квадратные скобки или [ ]
• фигурные скобки или угловые скобки или { }

скобки всегда идут парами, и если есть открывающая скобка, должна быть закрывающая скобка. Открывающие скобки: (, [  и {. Соответствующие им закрывающие скобки: ), ] и }.

 В этой статье мы изучим правила использования скобок в математике.

В математике вы можете использовать скобки для разделения чисел. Например, вы можете использовать их для упоминания отрицательных чисел при написании уравнения сложения.

Вот пример, чтобы лучше понять это:

3 + (-5) = -2

Второй способ использования скобок в математике — умножение чисел. Если в уравнении нет арифметической операции, наличие скобок означает, что вы должны применить умножение.

Разберем это на примере:

6 (4 + 2)

можно записать как 6 х (4 + 2)

Следовательно, ответ 6 х 6 = 36.

Третий и последний скобки в математике используются для группировки чисел и определения порядка операций.

Скобки изменяют порядок операций.

Вот порядок, которому вы можете следовать, когда в уравнении присутствует несколько символов:

Если вы столкнетесь со скобками в уравнении, вы сначала посмотрите на термины, присутствующие в них.

Давайте лучше разберемся на примере.

Возьмем задачу: 9 – 10 ÷ 5 – 3 x 2 + 7

Давайте решим ее, используя изученный вами порядок операций.

= 9 – 10 ÷ 5 – 3 x 2 + 7

= 9 – 2 – 3 x 2 + 7 (сначала делим)

= 9 – 2 – 6 + 7 (затем умножаем)

= 7 – 6 + 7 (Затем вычесть)

= 1 + 7 (Затем вычесть)

= 8 (И, наконец, добавить)

Теперь давайте рассмотрим ту же задачу со скобками: 

9 – 10 ÷ (5 – 3) x 2 + 7

Сначала нужно вычислить числа в скобках.

= 9 – 10 ÷ 2 x 2 + 7 (Решите выражение в скобках)

= 9 – 5 x 2 + 7 (Деление)

= 9 – 10 + 7 (Умножение)

= –1 + 7 (Добавить)

= 6

Вы заметили? Ответ на то же уравнение изменился, потому что в уравнении присутствовали круглые скобки!

Обратите внимание: если внутри других скобок есть скобки, сначала нужно решить внутреннее выражение.

Давайте разберем это на примере:

Упростим выражение (2 + (3 x 4))

Здесь мы сначала решим внутреннюю скобку.

Таким образом, выражение примет вид (2 + 12) = 14

Решенные примеры

Пример 1: Упростим выражение: (2 + 4 x 6) – 4 + (2 x 3)

Решение . Начните с решения выражений в скобках.

= (2 + 24) – 4 + 6 (умножить в скобках)

= 26 – 4 + 6 (Решите члены в скобках)

= 22 + 6 (Добавить)

= 28

Пример 2: Упростите выражение: ( 2 x (7 – 5)) – ((6 ÷ 3) + 4)

Начните с решения самых внутренних скобок

= (2 x 2) – (2 + 4)

= 4 – 6

= –2

8 Пример

Предварительные алгебраические практические вопросы: FOILing с двумя наборами скобок с онлайн-практикой

Рабочая тетрадь по основам математики и предварительной алгебры для чайников с онлайн-практикой

Изучение книги Купить на Amazon

Слово FOIL — это запоминающее устройство для слов First, Outside, Inside, Last, , которое помогает отслеживать умножение, когда оба набора скобок содержат по два термина.

Практические вопросы

1. Упростите выражение ( x + 7)( x – 2).
2. Упростите выражение 6 x – ( x – 2)( x – 4) + 7 x ² .

Ответы и пояснения

1. Ответ: x ² + 5 x – 14.

   Начните с того, что закройте круглые скобки. Начните с умножения двух первых членов:

   Умножьте два внешних члена:

   Умножьте два внутренних члена:

   Наконец, умножьте два последних члена:

   Сложите эти четыре произведения вместе и упростите, объединив одинаковые члены:

2. Ответ: 6 x ² + 12 x – 8.

   Начните с круглых скобок: Умножьте первый, внешний, внутренний и последний члены:

   Сложите эти четыре произведения вместе и поместите результат в один набор скобок, заменив два набора скобок, которые были там изначально:

   6 x – ( x – 2)( x – 4) + 7 x ² = 6 x — ( x ² — 4 x — 2 x + 8) + 7 x ²

   знаком минус, поэтому измените знак каждого члена на противоположный и опустите круглые скобки:

   = 6 x — x ² + 4 x + 2 x — 8 + 7 x ²

   Теперь упростите выражение, объединив такие термины и переупорядочение вашего решения:

   .

Об этой статье

Эта статья взята из книги:

• Рабочая тетрадь по базовой математике и алгебре для чайников с онлайн-практикой,

Об авторе книги:

Марк Зегарелли — учитель математики и подготовки к экзаменам, который написал множество книг по базовой математике и предварительной алгебре в Для чайников серии .

Эту статью можно найти в категории:

• Базовая математика ,

1.3 Легкое раскрытие скобок

На прошлом уроке мы вычислили \(23\times37\) с помощью модели площади:

02 (23\times37=\left(20+3\right)\cdot\left(30+7\right)=20\cdot30+20\cdot7+3\cdot30+3\cdot7\)

Наша работа в расширение \(\left(20+3\right)\left(30+7\right)\) означает выбор одного числа из первого набора скобок – 20 или 3 – и одного числа из второго набора скобок – 30 или 7 – перемножив их между собой, а затем сложив из каждого все возможные комбинации по одному числу. Каждый отдельный продукт соответствует площади одной части разделенного прямоугольника.

Та же работа применима и к более крупным продуктам. Например, при вычислении \(371\times42\) как \(\left(300+70+1\right)\left(40+2\right)\) мы снова выбираем по одному члену из каждого набора скобок, вычисляем их произведение, и просуммируем все возможные произведения, образованные таким образом.

\(\влево(300+70+1\вправо)\влево(40+2\вправо)=300\cdot40+70\cdot40+1\cdot40+300\cdot2+70\cdot2+1\cdot2 \)

В прошлом уроке мы видели и более абстрактный пример:

\(\left(a+b+c+d\right)\cdot\left(e+f+g\right)=ae+af+ag+be+bf+bg+ce+cf+cg+de+ df+dg\)

РАСШИРЯЮЩИЕ СКОБКИ (США) / РАСШИРЯЮЩИЕ СКОБКИ (Великобритания)

продукты, которые могут возникнуть таким образом.

напр. \(\left(a+b+c\right)\left(x+y+w+z\right)=ax+bx+cx+ay+\ldots\)

т.е. \(\влево(a+b\вправо)\times c=ac+bc\)

например, \(\left(x+y\right)\left(p+q\right)=xp+yp+xq+yq\)

Комментарий к ПРАВИЛУ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ: Второй пример выше можно рассматривать как произведение двух сумм в круглых скобках, если мы думаем о \(\left(a+b\right)c\) как \(\left(a+b\right)\left(c\right)\) . Выбор одного термина из каждого набора скобок соответствует всегдаму выбору \(c\)  во втором наборе и, таким образом, приводит к расширению: \(ab+ac\). Этот единственный пример или его вариант \(a\left(b+c\right)=ab+ac\) называется 9Распределительное правило 0019 в школьных учебниках.

Я лично не считаю педагогически полезным выделять этот единственный пример из всей концепции раскрытия скобок. Математики в продвинутой работе доказали, что все примеры раскрытия скобок логически следуют из этого единственного правила, но эта работа, вполне уместно, никогда не делится со студентами. В студенческом опыте математики нет причин делать этот единственный пример раскрытия скобок особенным. Просто раскройте все скобки!

Комментарий к FOIL (А почему бы не LIFO, FLIO, OILF и ….?)

Если вы не знаете, что это такое, отлично! Если вы знаете, что это такое, мой категорический совет: ЗАБУДЬТЕ ОБ ЭТОМ! Это не помогает для таких выражений, как \(\left(x+y+2\right)\left(a+b+c+7\right)\) .

Гораздо проще всегда просто раскрывать скобки: выбирать по одному члену из каждого набора скобок по очереди, умножать и суммировать все возможные произведения. Это намного лучше, чем запоминать специальное правило, которое работает только для одного конкретного типа примеров. (А как быть систематичным, учащиеся сами разберутся. Пусть!)

УПРАЖНЕНИЕ: Если вы развернете \(\влево(x+y+2\вправо)\влево(a+b+c+7\вправо)\), сколько отдельных терминов вы ожидаете увидеть?

Получаем, что \(\left(3+7\right)\left(4+5\right)\) соответствует делению прямоугольника на четыре части. Итак, тогда …

Чему соответствует \(\left(2+3\right)\cdot\left(4+5\right)\cdot\left(6+7\right)\) соответствует геометрически?

Подумайте об этом, прежде чем читать дальше.

Ответ :   \(\left(2+3\right)\cdot\left(4+5\right)\cdot\left(6+7\right)\) соответствует делению трехмерного блок на ВОСЕМЬ частей.

(Где  \(3\times4\times7\) фигура на картинке?)

Вот перечисленные восемь частей:

\(\left(2+3\right)\cdot \влево(4+5\вправо)\cdot\влево(6+7\вправо)\)

\(=2\times4\times6+2\times4\times7+3\times4\times6+3\times4\times7 +2\раз5\раз6\)

\(+2\times5\times7+3\times5\times6+3\times5\times7\)

УВЕДОМЛЕНИЕ СНОВА: мы выбираем один термин из каждого набора скобок и покрываем все возможные комбинации!

Этот пример говорит, что \(5\cdot9\cdot13=48+56+72+84+60+70+90+105\), что действительно так.

ПРИМЕР : Если расширить \(\left(x+y+z\right)\left(a+b+c+d\right)\left(r+s\right )\) сколько членов будет? Что происходит геометрически? 9{2}а\) ? \(акси\) ? \(хуц\) ?

(Ответы приведены в конце этого урока)

УПРАЖНЕНИЕ 2 : Если расширить это выражение,

)\left(w+x\right)\left(a+x+b+t+r\right)\left(e+f\right)\)

сколько членов будет? Есть ли геометрическая интерпретация этого выражения?

УПРАЖНЕНИЕ 3 : БЕЗ КАЛЬКУЛЯТОРА вычислить:

a) \(24\times14\)

b) \(106\times 21\)

c) \(213\times31\) 9 0 9 например, (13\times26=\left(10+3\right)\left(20+6\right)=200+60+60+18=338\). )

Попробуйте сделать это в уме!

УПРАЖНЕНИЕ 4 : Можно вычислить \(\left(2+3\right)\cdot\left(7+4\right)\) двумя способами:

Короткий путь: \( \влево(2+3\вправо)\cdot\влево(7+4\вправо)=5\cdot11=55\)

Длинный путь: \(\влево(2+3\вправо)\cdot\влево(7+4\вправо)=2\cdot7+2\cdot4+3\cdot7+3\cdot4\)

Вычислите каждое из следующих значений как в коротком, так и в длинном пути.

a) \(\left(2+3\right)\cdot\left(3+7\right)\cdot\left(1+5+5\right)\)

b) \ (\left(2+4+6\right)\cdot\left(2+6+1+3\right)\)

В заключение отметим из того, что многие люди считают, что трехмерное мышление оправдывает ассоциативный закон умножения:

\(\left(ab\right)c=a\left(bc\right)\) для всех счетных чисел \(a\), \(b\) и \(c\).

Видите ли вы, как вычисление объема следующего твердого тела двумя разными способами оправдывает это убеждение? (Возможно, здесь тоже присутствует некоторое коммутативное мышление!)

Ответы на упражнение:

1.