Как посчитать вероятность события: Калькулятор вероятности | Рассчитать вероятность события

CFA — Как оценивать вероятность событий при принятии финансовых решений? | программа CFA

Все инвестиционные решения принимаются в условиях риска. Инструменты, которые позволяют нам принимать решения последовательно и логично в этой ситуации, относятся к категории вероятностных. В этом чтении представлены основные вероятностные инструменты, необходимые для решения многих реальных проблем, связанных с риском.

Мы покажем, как эти инструменты применяются к решению таких вопросов, как прогнозирование эффективности работы инвестиционного управляющего, прогнозирование финансовых показателей и ценообразование облигаций таким образом, чтобы они справедливо компенсировали своим держателям риск дефолта.

При этом мы сфокусируемся на практических аспектах: подробно исследуем концепции, которые наиболее важны для инвестиционных исследований и практики.

Одной из таких концепций является независимость событий, поскольку она связана с предсказуемостью доходов и финансовых показателей. Другая — ожидание, так как аналитики постоянно смотрят в будущее в своих анализах и решениях.

Аналитики и инвесторы также должны справляться с изменчивостью. Здесь мы рассмотрим дисперсию или изменчивость ожиданий как концепцию риска, важную для инвестиций.

В этом разделе рассматриваются:

  • Основные инструменты вероятности, в том числе математическое ожидание и дисперсия.
  • Ковариация и корреляция (показатели взаимосвязи между случайными величинами) и принципы расчета ожидаемой доходности и дисперсии портфеля.
  • Формула Байеса и подсчет результатов.

Формула Байеса — это процедура обновления (корректировки) убеждений на основе новой информации. В нескольких областях, включая широко используемую биномиальную модель ценообразования опционов, расчет вероятностей включает в себя определение и подсчет результатов.

Что такое вероятность события?

Вероятностные концепции и инструменты, необходимые для большей части работы финансового аналитика, относительно немногочисленны и просты, но требуют обдуманного применения.

В этом разделе представлены основы работы с вероятностью, ожиданиемым значением и дисперсией, — на примерах анализа рынка капитала и инструментов с фиксированным доходом.

Внимание инвестора сфокусировано на доходности. Доходность рискованного актива является примером случайной величины (англ. ‘random variable’), то есть величины, результаты (возможные значения) которой являются неопределенными.

Например, портфель может иметь целевую доходность 10% годовых. На данный момент портфельный менеджер может сосредоточиться на вероятности получения прибыли, которая в следующем году составит менее 10%.

10 процентов — это конкретное значение или результат случайной величины «доходность портфеля». Хотя мы можем быть обеспокоены одним результатом, часто наш интерес может быть связан с рядом результатов: понятие «событие» охватывает оба варианта.

Определение события.

Событие (англ. ‘event’) — это определенный набор результатов или исходов (англ.

‘outcomes’).

Мы можем определить событие как единый результат — например, портфель приносит доход 10% (курсивом выделено определение события).

Мы также можем отразить озабоченность менеджера портфеля, определив событие следующим образом: портфель приносит доход ниже 10%.

Это второе событие, относящееся ко всем возможным доходам, которые \( \geq \) -100% (наихудший возможный доход), но \(

Определенное событие обычно выделяется в тексте заглавной буквой и курсивом. Мы могли бы определить событие \(A\) = портфель с доходностью 10% и событие \(B\) = портфель с доходностью ниже 10%.


Насколько вероятно, что портфель получит доход ниже 10%?

Ответ на этот вопрос — вероятность (англ. ‘probability’): число от 0 до 1, которое измеряет вероятность того, что указанное событие произойдет. Если вероятность того, что портфель принесет доход ниже 10% составляет 0.40, это означает, что вероятность этого события составляет 40%.

  • Если событие невозможно, оно имеет вероятность 0.
  • Если событие обязательно произойдет, оно имеет вероятность 1.
  • Если событие невозможно или произойдет в любом случае, оно вовсе не случайно.
  • Диапазон от 0 до 1 включает все возможные значения вероятности.

Вероятность имеет два свойства, которые вместе составляют ее определение.

Определение вероятности.

Два определяющих свойства вероятности таковы:

  1. Вероятность любого события \(E\) представляет собой число от 0 до 1:
    \( 0 \leq P(E) \leq 1\).
  2. Сумма вероятностей любого набора взаимоисключающих и исчерпывающих событий равна 1.

\(P\) с последующими круглыми скобками означает «вероятность (событие в скобках)», то есть \(P(E)\) — это «вероятность события \(E\)». Мы также можем думать о P как о правиле или функции, которая присваивает числовые значения событиям, соответствующим указанным выше свойствам 1 и 2.

В приведенном выше определении термин взаимоисключающий (англ. ‘mutually exclusive’) означает, что одновременно может происходить только одно событие; термин исчерпывающий (англ. ‘exhaustive’) означает, что события охватывают все возможные результаты.

События \(A\) = портфель с доходностью 10% и \(B\) = портфель с доходностью ниже 10% являются взаимоисключающими, поскольку \(A\) и \(B\) не могут происходить одновременно.

Например, доходность 8.1% означает, что событие \(B\) произошло, а событие \(A\) не произошло. Хотя события \(A\) и \(B\) являются взаимоисключающими, они не являются исчерпывающими, поскольку они не охватывают такие результаты, как доходность в 11%.

Предположим, мы определили третье событие: \(C\) = портфель приносит доход выше 10%.

Очевидно, что \(A\), \(B\) и \(C\) являются взаимоисключающими и исчерпывающими событиями. Каждое из событий \(P(A)\), \(P(B)\) и \(P(C)\) является числом от 0 до 1, и

\(P(A) + P(B) + P(C) = 1\)

Самым основным видом взаимоисключающих и исчерпывающих событий является набор всех различных возможных результатов случайной величины. Если мы знаем и этот набор, и распределение вероятностей для этих результатов (распределение вероятностей случайной величины) — у нас есть полное описание случайной величины, и мы можем назначить вероятность любому событию, которое мы можем описать.

В чтении об общих распределениях вероятностей мы опишем некоторые из распределений вероятностей, наиболее часто используемых в инвестиционной практике.


Вероятность любого события — это сумма вероятностей различных результатов, включенных в определение события.

Предположим, что интересующим событием является D = портфель приносит доход выше безрисковой ставки, и мы знаем распределение вероятностей доходности портфеля.

Предположим, безрисковая ставка составляет 4%. Чтобы вычислить P(D), т.е. вероятность события D, мы суммируем вероятности результатов, которые удовлетворяют определению события; то есть мы суммируем вероятности доходности портфеля более 4%.

Ранее, чтобы проиллюстрировать концепцию, мы предполагали вероятность 0. 40 для портфеля с доходностью менее 10%, без обоснования конкретного предположения. Мы также говорили об использовании распределения вероятностей результатов для вычисления вероятности событий, не объясняя, как можно получить распределение вероятностей.

Принятие фактических финансовых решений с использованием неточных вероятностей может иметь серьезные последствия.

Как на практике мы оцениваем вероятность события?

Эта тема сама по себе является предметом изучения, но существует 3 основных подхода к оценке вероятностей.


1. В инвестициях мы часто оцениваем вероятность события как относительную частоту его возникновения, основываясь на исторических данных. Этот метод позволяет найти эмпирическую вероятность (англ. ’empirical probability’).

Например, Thanatawee (2013) сообщает, что в его выборке из 1927 ежегодных наблюдений за нефинансовыми фирмами SET (Фондовая биржа Таиланда) в период с 2002 по 2010 год 1382 были фирмами, выплачивающими дивиденды, и 545 были компаниями, не выплачивающими дивиденды. Таким образом, эмпирическая вероятность того, что тайская фирма выплатит дивиденды, составляет приблизительно 1 382/1 927 = 0,72.


2. Результаты должны стабильно прослеживаться с течением времени, чтобы эмпирические вероятности были точными. Мы не можем рассчитать эмпирическую вероятность события, отсутствующего в исторической записи, или достоверную эмпирическую вероятность очень редкого события.

Таким образом, существуют случаи, когда мы можем скорректировать эмпирическую вероятность, чтобы учесть восприятие меняющихся результатов.


3. В других случаях у нас вообще нет возможности использовать эмпирическую вероятность. Поэтому мы также можем сделать личную оценку вероятности без ссылки на какие-либо конкретные данные.


Каждый из этих трех типов вероятности является субъективной вероятностью (англ. ‘subjective probability’), основанной на личном или субъективном суждении.

Субъективные вероятности имеют большое значение в инвестициях. Инвесторы, принимая решения о покупке и продаже, которые определяют цены активов, часто опираются на субъективные вероятности.

Субъективные вероятности появляются в разных местах в этом чтении, особенно в обсуждении формулы Байеса.

В более узком диапазоне четко определенных проблем мы иногда можем вывести вероятности, рассуждая о проблеме. Результирующая вероятность — это априорная вероятность (англ. ‘a priori probability’), основанная на логическом анализе, а не на наблюдении или личном суждении.

Мы будем использовать этот тип вероятности в приведенном далее, в Примере (6).

Методы подсчета, которые мы обсудим позже, особенно важны при вычислении априорной вероятности.

Поскольку априорные и эмпирические вероятности обычно не зависят от конкретного человека, они часто группируются как объективные вероятности.

Вероятность. Основы 10 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Тема 1: Текстовые задачи

  • Видео
  • Тренажер
  • Теория

Заметили ошибку?

Вероятность. Основы

Вероятность – это шанс, что какое-то событие произойдёт. Если вероятность события 50%, подразумевается, что событие с равной вероятностью либо произойдёт, либо нет.

Вероятность = количество подходящих вариантов количество возможных вариантов

Также любая вероятность может измеряться в процентах:

Вероятность(%)= количество подходящих вариантов количество возможных вариантов·100%

Принято, что вероятность изменяется от 0 (никогда не произойдет) до 1 (абсолютно точно произойдет). Чтобы не потерять балл из-за неправильного оформления, в бланк записывается значение десятичной дроби, а не процента!

Пример 1

Какова вероятность, что при бросании монеты выпадет «орел»? Ответ очевиден – 12 (орёл либо выпадет, либо нет). В задачах подразумевается, что монета симметричная, поэтому вероятность выпадения «орла» равна вероятности выпадения «решки». Шанс получить «решку» при подбрасывании монеты тоже 12: есть два возможных варианта (орёл и решка), из них нам подходит один (решка), 1 делим на 2, получаем вероятность 1/2.

Пример 2

Нужно найти вероятность выпадения числа, кратного трём. Сначала нужно посчитать, сколько чисел на игральном кубике кратны трём (то есть делятся нацело на три) — это 3 и 6. У кубика 6 граней, тогда искомая вероятность 26=13 .

Если нужно найти вероятность выпадения числа, НЕ кратного трем, нужно будет посчитать вероятность выпадения, числа кратного трём, и затем вычесть его из единицы.

Вероятность подходящих событий + вероятность неподходящих событий = 1

Вероятность нескольких событий

Пример 1

Ученик сдаёт зачёт по геометрии, в котором есть несколько билетов, при этом известно, что с вероятностью 0,16 он вытянет билет с темой «Окружность», а с вероятностью 0,25 он вытянет билет с темой «Треугольники». Какова вероятность, что ученик вытянет билет с темой «Окружность» или «Треугольники»?

Ученик готов к двум темам и будет рад, если вытянет одну из двух тем, при этом ему не важно, что именно он вытянет. Тогда нужно сложить вероятности, чтобы увеличить шансы ученика сдать зачёт: 0,16+0,25=0,41.

Ответ: 0,41

Пример 2

Купили компьютер и в инструкции к нему прописано, что вероятность того, что он прослужит больше года, равна 0,96, а вероятность того, что он прослужит больше двух лет равна 0,84. Какова вероятность того, что компьютер прослужит больше года, но меньше двух лет?

Допустим, было 100 новых компьютеров, то, согласно условию, 96 из них проработают больше года, а 84 больше двух лет. Тогда 96 – 84=12 компьютеров сломаются на втором году использования. Тогда 12 компьютеров из 100 проработают больше года и меньше двух лет, следовательно, ответ на вопрос задачи 12100=0,12 .

Ответ: 0,12

Заметили ошибку?

Расскажите нам об ошибке, и мы ее исправим.

Поведенческая статистика в действии

Поведенческая статистика в действии

Статистика поведения наук

Урок 9

Вероятность

Роджер Н. Моррисетт, доктор философии

 


 I. Теория вероятностей (видео Урок 9I) (версия для YouTube)

Вероятность есть мера того, насколько вероятно, что данное событие или поведение произойдет. Вероятность измеряется пропорциями или процентами. Если вероятность событие происходит 0 , тогда событие никогда не произойдет . Если вероятность событие происходит 1 , тогда событие будет однозначно случиться. Если вероятность событие происходит между 0 и 1 , тогда событие может произойти . Чем ближе вероятность к 1, тем сильнее вероятность того, что произойдет. Вероятность «p» любого Произошедшее событие «А» — это количество возможных способов, которыми оно может произойти, «n (A)», разделенное на на общее количество всех возможных событий, относящихся к одному событию «n».

 

р (А) = п (А) / п

 

Формула гласит: Вероятность A число возможных случаев А, деленное на общее количество количество всех происходящих событий (например, B, C, D и т. д.).


II. Вероятность одного события Происходящее (Видео Урок 9 II) (версия для YouTube) (Расчет вероятности — версия YouTube) (версия mp4)

A. Пример 1: подбрасывание монеты

 

Мы можем использовать вероятности, чтобы измерить, как часто монета падает решкой при подбрасывании:

 

p (голов) = n (голов) / n (орел или решка)

 

так как при подбрасывании монеты только может выпасть орёл или решка, то есть только один способ выпадения орла и только два возможных исхода (орел или решка). Таким образом, можно вычислить вероятность вот так:

 

р (голов) = 1/2

 

Вероятность переворота головки 0,50 или 50%

Б . Пример 2: Соединение с «Мистером Справа»

 

Для этого примера предположим следующее Характеристики студента колледжа Паломар:

 

Характеристика Частота
Привлекательный 6100
богатые (более 50 тысяч в год) 1700
В среднем 910
Б средний 2460
C средний 5760
Д средний 480
Всего студентов мужского пола 10 000

 

Предположим, вы посещаете занятия и профессор требует, чтобы вы заставили представителей противоположного пола ответить на 10-минутный опрос. Субъекты должны быть выбраны случайным образом. Вы надеетесь, что эта пара даст вам возможность встретиться с «мистером Правильно». Предположим также, что при во-первых, вы не так придирчивы к своему «господину Право» и немного поверхностно на данном этапе вашей жизни. Все, что вы ищете, это привлекательный человек. Вы вычисляете эту вероятность следующим образом:

 

п (привлекательный) = 6100 привлекательных мужчин / 10 000 мужчин

 

р (привлекательный) = 6100/ 10 000

 

Вероятность спаривания с привлекательным мужчиной 0,61 или 61%


III. Вероятность двух событий Происходит: (Видео Урок 9 IIIA) (версия для YouTube) (Расчет вероятности — версия YouTube) (версия mp4)

А. Вероятность события А И Событие B Происшествие

Если вы хотите определить вероятность возникновения двух независимых событий вместе просто перемножить две вероятности. Это называется Правило умножения вероятности.

 

Ваш первый опыт поиска «Mr. «Правильно» прошло не так хорошо. Вы нашли привлекательного мужчину, но он был специалистом по искусству, живет с мамой и очень беден. На этот раз вы ищете мужчину, который привлекателен и богат (вы все еще немного поверхностны). Вы вычисляете это вероятность следующим образом:

p (привлекательный И богатый) = p (привлекательный) x p (богатый)

 

p (привлекательный И богатый) = (6100/10 000) x (1700/10 000)

 

p (привлекательный И богатый) = (0,61) x (0,17)

 

Вероятность спаривания с привлекательным и богатым мужчиной — 0,104 или 10,4%


B. Вероятность события А ИЛИ Событие Б (Видео Урок 9IIIB) (версия для YouTube) (Расчет вероятности — версия YouTube) (версия mp4)

1. Взаимоисключающие события

Если два события не могут произойти одновременно, мы добавляем каждую вероятность. Этот называется правилом сложения вероятностей . Два события должны быть взаимоисключающими . Это означает, что нет никаких шансов, что одновременно произойдет событие А и событие В. в то же время.

 

Оказывается, нужно много спаривания найти привлекательного и богатого мужчину, а когда вы его нашли, он был не очень яркий. Так как вы интеллигентная женщина и жаждете интеллектуальных бесед вы решаете изменить всю свою стратегию. Теперь вы были бы абсолютно довольны с мужчиной, у которого средний балл «А» или «В» (вы менее поверхностны и немного меньше привередлив на данном этапе жизни)..

p (среднее значение A ИЛИ среднее значение B) = p (среднее значение A) + p (среднее значение B)

 

p (среднее A ИЛИ среднее B) = (910/10 000) + (2460/10 000)

 

p (среднее значение ИЛИ среднее значение B) = (0,091) + (0,246)

 

Вероятность спаривания с мужчиной, имеющим либо «А», либо «В», в среднем составляет 0,337 или 33,7%

2. Не взаимоисключающие события:

Это действительно не сработало. Вы понимаете, что вы все еще немного поверхностны. В этот момент вы получаете немного расстроен. Вы не уверены, чего хотите. Теперь вы согласитесь на мужчину который либо имеет средний балл «А», либо привлекателен. Умный или красивый, а затем вы будете иметь дело с их ограничениями. Вы понимаете, что вам может повезти и познакомлюсь с умным и красивым мужчиной. Тот факт, что оба эти события могут быть реализованы означает, что вероятность равна не взаимоисключающие и должны быть рассчитывается следующим образом:

p (средний ИЛИ привлекательный) = p (средний) + p (привлекательный) — p (средний и привлекательный) привлекательный)

p (средний ИЛИ привлекательный) = (910/10 000) + (6100/10 000) — [p (910/10 000) x р (6100/10 000)]

p (средний ИЛИ привлекательный) = (0,091) + (0,61) — [(0,091) x (0,61)]

 

p (средний ИЛИ привлекательный) = (0,091) + (0,61) — (0,056)

 

p (средний ИЛИ привлекательный) = (0,701) — (0,056)

 

p (средний ИЛИ привлекательный) = 0,645

Вероятность спаривания с мужчиной со средней оценкой «А» ИЛИ привлекательность составляет 0,645 или 64,5%

 


IV. Вероятность более чем двух событий Происходит: (Видео Урок 9IV) (версия для YouTube) (Расчет вероятности — версия YouTube) (версия mp4)

Это был долгий семестр, и вы много узнала о мужчинах в Паломарском колледже. У вас есть еще один комплект пары для вашего класса. К настоящему времени вы думаете, что действительно знаете, чего хотите. «Идеальный мужчина, мистер Совершенство.» Вам надоело соглашаться на второе место, поэтому вы решили стрелять для луны и ждать и видеть. Сейчас вы ищете мужчину, который либо отличник или отличник, привлекателен и богат. Вы вычисляете это множественная вероятность следующим образом:

p («мистер Справа») = [p (среднее значение A) + p (среднее значение B)] x [p (привлекательный) x p (богатый)]

p («Мистер Правый») = [p (910/10 000) + p (2460/10 000)] x [p (6100/10 000) x p (1700/10 000)]

 

p («Мистер Правый») = [p (0,091) + p (0,246)] x [p (0,61) x p (0,17)]

 

p («Мистер Правый») = (0,337) x (0,104)

 

p («Мистер Правый») = 0,035 или 3,5%

 

Вероятность спаривания с вашей новой версией «Мистера Правильного» это жалкие 3,5%

 

Хотя это небольшие шансы вы приходите к удивительному выводу, что вы должны сосредоточиться на своей школе работа, а не поиск «мистера Правильного». Пусть он возьмет статистику и найдет вас.



Дополнительные ссылки о концепциях, которые могут помочь:

 



Простая вероятность

Вероятностный урок

Правила Вероятность

Вероятность Введение

Общие правила вероятности

 

 

 

 

 

 

3. Объединение вероятностей

2. Создание вероятностной модели

4. Вероятность независимых событий

В этом разделе мы узнаем о сложении вероятностей событий, которые являются непересекающимися , то есть событиями, не имеющими общих исходов. Два события называются непересекающимися, если оба не могут произойти одновременно. Другое название непересекающихся событий — взаимоисключающие. Этот раздел относительно прост, поэтому эти заметки будут довольно короткими.

В последующем обсуждении заглавные буквы E и F обозначают возможные результаты эксперимента, а P(E) обозначает вероятность увидеть результат E.

Для непересекающихся событий результаты E или F могут быть перечислены как исходы E, за которыми следуют исходы F. Правило сложения для вероятности непересекающихся событий: ( Ф )

Таким образом, мы можем найти P ( E или F ), если мы узнаем оба P (6666666666666666666666688888888888888888888888888888888888888888666666666696666666666696688888866666666696669666966696669666966698888). Ф ). Это верно и для более чем двух непересекающихся событий. Если E, F, G,  не пересекаются (ни у одного из них нет общих исходов), то:

P ( E or F or G or …) = P ( E ) + P ( F ) + P ( G ) + ⋯

The addition rule only applies to события, которые не пересекаются. Если два (или более) события не пересекаются, то это правило необходимо изменить, поскольку некоторые исходы могут учитываться более одного раза. Для формулы P ( E или F ) = P ( E ) + P ( F ) , все исходы, находящиеся как в E, так и в F, будут учитываться дважды. Таким образом, чтобы вычислить P ( E или F ) , эти результаты с двойным подсчетом должны быть вычтены (один раз), чтобы каждый результат учитывался только один раз.

The General Addition Rule is:

P ( E or F ) = P ( E ) + P ( F ) – P ( E и F ) ,

где P ( E и F ) множество исходов как в E, так и в F. Это правило верно как для непересекающихся, так и для непересекающихся событий. , поскольку, если два события действительно не пересекаются, то P ( E и F ) = 0 , и общая формула сложения просто сводится к основной формуле сложения для непересекающихся событий.

Пример

При случайном выборе карты из колоды из 52 карт, какова вероятность того, что вы выберете даму или черву? Определить:

E = «выбор дамы»
F = «выбор червы»

E и F не пересекаются, потому что есть одна карта, которая является и дамой, и червой, поэтому мы должны использовать общее дополнение Правило. Используя классический (подсчет, равновероятные исходы) метод, мы знаем следующие вероятности: ) = P (сердце) = 13/52
P ( E и F ) = P (Queen of Hearts) = 1/52

Следовательно,


, это часто бывает более легким, вероятность того, что это часто бывает более легким, вероятность того, что это часто бывает более легким, вероятность того, что это часто бывает с вероятностью


.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *