Как произведение возвести в степень: Возведение в степень произведения и степени

5

Оценить урок

Поделиться уроком →

Что можно улучшить?

Изложение материала

Непонятное объяснение

Урок неполный, не хватает информации

Урок перегружен, слишком много информации

Тесты плохого качества

Тестов недостаточно

Тестов слишком много

Тесты слишком легкие

Тесты слишком сложные

Изображения

Изображения плохого качества

Изображений недостаточно

Изображений слишком много

Другое

Войдите, чтобы оценивать уроки

Что нужно исправить?

Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

Проверим знания по теме?

Выражения со степенями. Теория

Объяснение урока: Сила матрицы

В этом объяснении мы узнаем, как использовать умножение матриц для определить квадрат и куб квадратной матрицы.

Существует множество матричных операций, очень похожих на известные операции из обычной алгебры, такие как сложение, вычитание и масштабирование. Кроме того, хотя умножение матриц принципиально более сложный, чем его обычный аналог, он все же в некоторой степени отражает некоторые алгебраические свойства оригинала.

Одна операция, которая занимает центральное место как в традиционной алгебре, так и в алгебре с использованием матрицы — это возведение в степень, которое обычно называют взятием

Определение: Квадрат матрицы

Если 𝐴 — квадратная матрица, 𝐴 определяется как 𝐴=𝐴×𝐴.

Другими словами, точно так же, как для возведения чисел в степень (т. е. 𝑎=𝑎×𝑎), квадрат получается умножением Матрица сама по себе.

Как можно заметить, основное требование для возведения матрицы в степень: определено, что 𝐴 должен быть квадратным. Это потому, что на двоих общие матрицы 𝐴 и 𝐵, матрица умножение 𝐴𝐵 корректно определено только при одинаковом количестве столбцов в 𝐴, так как в 𝐵 есть строки. Если 𝐴 имеет порядок 𝑚×𝑛 и 𝐵 имеет порядок 𝑛×𝑝, то 𝐴𝐵 корректно определен и имеет порядок 𝑚×𝑛. Если бы мы только рассмотрели матрицу 𝐴 и попытались завершить умножение матриц 𝐴=𝐴×𝐴, то мы были бы пытаясь умножить матрицу порядка 𝑚×𝑛 на другая матрица порядка 𝑚×𝑛. Это может быть только хорошо определяется, если 𝑚=𝑛, а это означает, что 𝐴 должно быть матрица порядка 𝑛×𝑛 (другими словами, квадратная). поэтому порядок 𝐴 идентичен исходной матрице 𝐴.

Существуют и другие ограничения на взятие степеней матриц, которые не существуют для действительных чисел. Например, в отличие от обычных чисел, у нас нет способ определения того, что такое 𝐴, и отрицательная сила матрицу вычислить намного сложнее. Кроме того, обычные законы возведение в степень не обязательно распространяется на матрицы так же, как они делают это для чисел, которые мы рассмотрим позже в этом объяснении.

А пока давайте продемонстрируем, как возведение матрицы в квадрат работает на простом, нетривиальном случай. Определим матрицу 𝐴=1−325.

Чтобы вычислить матрицу 𝐴, мы умножаем матрицу 𝐴 само собой. Другими словами, мы имеем 𝐴=𝐴×𝐴=1−3251−325.

Как и ожидалось, это умножение корректно определено, так как у нас есть Матрица 2×2, умноженная на матрицу 2×2 матрица. Теперь осталось завершить умножение матриц, что мы и можем сделать для каждой записи (𝑖,𝑗) путем умножения элементов в строке 𝑖 левой матрицы элементами столбца 𝑗 правой матрицы и суммируя их. Мы демонстрируем это процесс ниже:

Теперь, когда все записи вычислены, мы можем написать, что 𝐴=−5−181219.

Теперь рассмотрим пример, в котором мы можем применить этот метод возведения в квадрат Матрица для решения проблемы.

Пример 1. Нахождение квадрата матрицы

Для 𝐴=4−54−5, напишите 𝐴 как кратное 𝐴.

Ответ

Перед попыткой записать 𝐴 как кратное 𝐴, нам нужно вычислить саму 𝐴. Заполнение необходимой матрицы умножение дает 𝐴=𝐴×𝐴=4−54−54−54−5=−45−45.

Выходная матрица 𝐴 совпадает с исходной матрицей 𝐴, за исключением того, что каждая запись была умножена на -1. Мы следовательно, найдите, что 𝐴 может быть записано в терминах самого себя с помощью выражение 𝐴=−𝐴.

Увидев простой пример взятия степени матрицы, отметим, что мы часто приходится иметь дело с выражениями, которые потенциально включают несколько матрицы, а также другие матричные операции. К счастью, у нас не должно быть проблемы, связанные с такими вопросами, пока мы применяем те же принципы мы только что узнали.

Пример 2. Вычисление матричных выражений с участием степеней

Рассмотрим матрицы 𝑋=−3−35−6,𝑌=136−6. Что такое 𝑋−𝑌?

Ответ

Мы должны начать с вычисления как 𝑋, так и 𝑌 обычным способом. Мы вычисляем, что 136−6=19−15−3054.

Теперь, когда у нас есть и 𝑋, и 𝑌, просто вычислить это 𝑋−𝑌=−627−4521−19−15−3054=−2542−15−33.

Вероятно, неудивительно, что мы можем легко взять, например, третью мощность матрицы, используя наше понимание того, как мы находим вторую степень матрицы, как мы это сделали выше.

Давайте посмотрим, как работает третья степень матрицы. По определению, третья степень квадратной матрицы 𝐴 определяется выражением 𝐴=𝐴×𝐴×𝐴.

Обратите внимание, что, используя ассоциативное свойство матричного умножения, наряду с определение 𝐴, мы можем написать правую часть это как 𝐴×𝐴×𝐴=(𝐴×𝐴)×𝐴=𝐴×𝐴.

В качестве альтернативы, мы можем использовать ассоциативность двух последних терминов, чтобы записать это как 𝐴×𝐴×𝐴=𝐴×(𝐴×𝐴)=𝐴×𝐴.

Итак, мы показали, что 𝐴=𝐴𝐴=𝐴𝐴. В других словами, как только мы вычислили 𝐴, мы можем найти 𝐴 путем умножения 𝐴 справа (или слева) от 𝐴.

Увидев, как работает возведение в степень для возведения в квадрат и куба, мы можем себе представить мы можем применить те же принципы к любой степени 𝐴. С Следуя определению, это возможно.

Определение: степень матрицы

Если 𝐴 — квадратная матрица, а 𝑘 — натуральное число, 𝑘-я степень 𝐴 дана к 𝐴=𝐴×𝐴×⋯×𝐴, где имеется 𝑘 копий матрицы 𝐴.

В дополнение к этому определению отметим, что, используя ту же логику, что и выше, можно вычислить 𝐴 (для любого положительного целого числа 𝑘) сначала вычислив 𝐴 и умножив на дополнительный 𝐴 справа или слева. Так, например, 𝐴=𝐴×𝐴=𝐴×𝐴, и так далее.

Теперь рассмотрим пример, в котором нам нужно вычислить третью степень числа матрица.

Пример 3: вычисление высших степеней матриц

Учитывая матрицу 𝐴=40−37, вычислить 𝐴−3𝐴.

Ответ

Мы должны начать с вычисления 𝐴, а затем использовать этот результат для рассчитать 𝐴. Мы находим, что 𝐴=40−37,𝐴=160−3349, что означает, что мы можем вычислить 𝐴 как умножение матриц между 𝐴 и 𝐴: 𝐴=𝐴×𝐴=40−37160−3349=640−279343.

Теперь у нас есть все необходимое для вычисления искомого выражения: 𝐴−3𝐴=640−279343−3160−3349=640−279343−480−99147=160−180196.

До сих пор мы видели только расчеты с участием матрицы 2 × 2, но расширение до более высоких порядков квадратные матрицы очень естественны. Давайте теперь посмотрим на пример того, как мы могли бы найти мощность матрицы 3×3.

Пример 4. Возведение в квадрат матрицы 3 × 3

Рассмотрим 𝐴=112101210.

Найти 𝐴.

Ответ

Матрица 𝐴 имеет порядок 3×3, значит, 𝐴 также будет иметь этот порядок. Таким образом, мы ожидаем найти матрицу вида где элементы * должны быть вычислены. Мы заполним матрицу умножение полностью, полностью иллюстрируя каждый шаг.

Сначала вычисляем запись в первой строке и первом столбце самой правой матрицы: 112101210112101210=6∗∗∗∗∗∗∗∗.

Расчет 1×1+1×1+2×2=6. Теперь вычисляем запись в первая строка и второй столбец самой правой матрицы: 112101210112101210=63∗∗∗∗∗∗∗.

Расчет 1×1+1×0+2×1=3. Далее мы сосредоточимся на записи в первая строка и третий столбец самой правой матрицы: 112101210112101210=633∗∗∗∗∗∗.

Расчет 1×2+1×1+2×0=3. Теперь переходим ко второму ряду самая правая матрица, сбрасываемая в первый столбец: 112101210112101210=6333∗∗∗∗∗.

Расчет 1×1+0×1+1×2=3. Затем мы берем запись во втором строка и второй столбец: 112101210112101210=63332∗∗∗∗,

Расчет 1×1+0×0+1×1=2. Последняя запись во второй строке затем вычислено: 112101210112101210=633322∗∗∗.

Расчет 1×2+0×1+1×0=2. Запись в третьем ряду и первом столбец вычисляется: 112101210112101210=6333223∗∗.

Расчет 2×1+1×1+0×2=3. Тогда предпоследняя запись завершенный: 112101210112101210=63332232∗.

Расчет 2×1+1×0+0×1=2. Затем обрабатывается окончательная запись: 112101210112101210=633322325.

Расчет 2×2+1×1+0×0=5. Теперь, когда все записи самого правого матрица найдена, ответ можно записать в виде 𝐴=633322325.

Учитывая, что получение степени матрицы включает повторяющуюся матрицу умножение, мы могли бы разумно ожидать, что алгебраические правила матрицы умножение в некоторой степени повлияло бы на правила возведения матрицы в степень Аналогичным образом. Несмотря на то, что это до некоторой степени очевидно, опасно обращаться к правилам обычной алгебры при ответе на вопросы, связанные с матрицы в предположении, что они сохранятся. В следующих Например, мы будем рассматривать каждое утверждение отдельно и представим соответствующие свойства матричного умножения в тандеме, объясняющие, почему данные утверждения выполняются или не выполняются в результате.

Пример 5: Проверка свойств степеней матриц

Какое из следующих утверждений верно для всех 𝑛×𝑛 матрицы 𝐴 и 𝐵?

1. 𝐵)=𝐴𝐵
2. (𝐴+𝐵)=𝐴+2𝐴𝐵+ 𝐵
3. (𝐴+𝐵)(𝐴−𝐵)=𝐴−𝐵

Ответ

1. Умножение матриц ассоциативно, т. е. 𝐴(𝐵𝐶)=(𝐴𝐵)𝐶. Мы могли бы продолжить эту роль, чтобы получить результаты например (𝐴𝐵)(𝐶𝐷)=𝐴(𝐵𝐶)𝐷=𝐴𝐵𝐶𝐷 и так далее. В данном уравнения, левая часть равна 𝐴𝐵, что по определению можно записать как 𝐴𝐵=𝐴𝐴𝐵𝐵. Учитывая ассоциативность свойство матричного умножения, мы можем написать, что 𝐴𝐵=𝐴(𝐴𝐵)𝐵 и, следовательно, подтвердить, что данное утверждение верно.
2. Обычная алгебра коммутативна относительно умножения. Для двух действительных чисел 𝑎 и 𝑏, это означает, что 𝑎𝑏=𝑏𝑎. Этот результат позволяет нам принять такое выражение, как (𝑎−𝑏)=𝑎−𝑎𝑏−𝑏𝑎+𝑏 и использовать коммутативное свойство собрать два средних члена правой части: (𝑎−𝑏)=𝑎−2𝑎𝑏+𝑏. Однако, умножение матриц, как правило, не является коммутативным, а это означает, что 𝐴𝐵≠𝐵𝐴, за исключением особых обстоятельств (таких как диагональные матрицы или одновременно диагональные матрицы). Следовательно, расширение (𝐴−𝐵)=𝐴−𝐴𝐵−𝐵𝐴+𝐵 не может упростить в предположении, что 𝐴𝐵=𝐵𝐴. Следовательно, данное утверждение ложно.
3. Чтобы завершить умножение матриц (𝐴𝐵), мы можем начать с запись (𝐴𝐵)=(𝐴𝐵)(𝐴𝐵)=𝐴(𝐵𝐴)𝐵, где мы использовали свойство ассоциативности для организации окончательное выражение. Поскольку умножение матриц не является коммутативным, член в квадратных скобках (𝐵𝐴) нельзя переставить как (𝐴𝐵), что означает что мы не можем переписать окончательное выражение как 𝐴𝐴𝐵𝐵, что было бы допустили упрощение 𝐴𝐵. Учитывая, что это не случае утверждение ложно.
4. У нас есть, что (𝐴+𝐵)=𝐴+𝐴𝐵+𝐵𝐴+𝐵. Поскольку в общем случае 𝐴𝐵≠𝐵𝐴, мы не можем получить упрощение, указанное в вопросе.
5. Начнем с завершения разложения (𝐴+𝐵)(𝐴−𝐵)=𝐴+𝐵𝐴−𝐴𝐵−𝐵. Мы знаем, что, вообще говоря, 𝐵𝐴≠𝐴𝐵, а это значит, что мы не можем записать правую часть в виде 𝐴−𝐵 и, следовательно, утверждение в вопросе неверно.

Следовательно, правильный ответ — вариант А.

Несмотря на то, что некоторые общепринятые правила алгебры не выполняются для матриц, все еще существуют некоторые правила, определяющие степени матриц, которые мы можем положиться. В частности, законы показателей степени для чисел могут быть распространяется на матрицы следующим образом.

Свойство: сложение и умножение степеней матрицы

Если 𝐴 — квадратная матрица и 𝑟 и 𝑠 — целые положительные числа, то 𝐴𝐴=𝐴,(𝐴)=𝐴.

В последнем примере мы рассмотрим возведение матрицы в гораздо большую степень и посмотрите, как вышеупомянутые свойства могут быть использованы в сочетании с идентификацией образец того, как матрица ведет себя при возведении в степень.

Пример 6. Нахождение степени матрицы высшего порядка путем исследования шаблона его Полномочий

Заполните пропуск: Если 𝐴=403−4, тогда 𝐴=.

Ответить

Как 𝐴=𝐴×𝐴×⋯×𝐴 (пятьдесят раз), очевидно, нам следует избегать попыток вычислить его напрямую. Вместо этого давайте исследуем эффект от того, что 𝐴 имеет малые степени 𝐴 и см. можем ли мы определить закономерность.

Если мы умножим 𝐴 само на себя, другими словами, если мы найдем 𝐴=𝐴×𝐴, имеем 𝐴=403−4403−4=4004. 

Отметим, что, поскольку это диагональная матрица, она может быть полезной для матрица, в которой будет находиться. Продолжая далее, если мы вычислим 𝐴=𝐴×𝐴, имеем 𝐴=4004403−4=404⋅3−4.

Интересно, матрица уже не диагональная. Чтобы продолжить расследование узор, посчитаем 𝐴=𝐴×𝐴. Это 𝐴=404⋅3−4403−4=4004.

В этот момент можно распознать закономерность. Для четных сил 𝐴 мы предполагаем, что матрица является диагональной и ненулевые записи равны 4, где 𝑛 — мощность матрицы. Для нечетных степеней это не так, так как в левом нижнем углу и в правом нижнем углу есть ненулевой элемент запись становится отрицательной. Однако, поскольку нам нужно найти только 𝐴 где 50 — четная степень, нам нужно только рассмотреть первый случай.

Теперь покажем, как можно найти 𝐴, используя четное число. мощность матрицы, 𝐴. Напомним, что 𝐴=4004.

Заметим, что скаляр 4 можно вынести за пределы матрицы, переписав его в виде: 𝐴=41001.

Это единичная матрица 2×2 𝐼 раз постоянная. Теперь мы знаем, что единичная матрица имеет свойство 𝐼𝑋=𝑋𝐼=𝑋, где 𝑋 — любая матрица 2 × 2. В частности, если 𝑋=𝐼, имеем 𝐼=𝐼×𝐼=𝐼.

Мы можем распространить это на любую степень 𝐼, то есть 𝐼=𝐼.

Мы можем использовать это свойство для вычисления 𝐴. Давайте также вспомнить свойство (𝐴)=𝐴, что позволяет нам переписать 𝐴 следующим образом: 𝐴=𝐴.

Поскольку мы имеем 𝐴=4𝐼, это означает

Так как 4=2.

Затем, 4=2=2.

Есть много связанных тем, которые подкрепляют обоснованность изучения возведения матриц в степень. При работе с квадратной матрицей ясно, что многократное умножение такой матрицы само по себе приведет к обычно приводят к результатам, которые последовательно сложнее вычислить, учитывая большие числа участие, как мы видели в нескольких из приведенных выше примеров. Поэтому выгодно иметь возможность максимально уменьшить сложность этих вычислений. При определенных обстоятельств можно диагонализовать матрицу, что значительно уменьшает сложность вычисления его целых степеней.

Давайте закончим рассмотрением основных вещей, которые мы узнали в этом объяснитель.

Ключевые точки

• Для квадратной матрицы 𝐴 и положительного целого числа 𝑘 мы определяем мощность матрицы повторяющейся матрицей умножение; например, 𝐴=𝐴×𝐴×⋯×𝐴, где есть 𝑘 копий матрицы 𝐴 с правой стороны.
• Важно признать, что мощность матрицы зависит только от определяется, если матрица является квадратной матрицей. Кроме того, если 𝐴 имеет порядок 𝑛×𝑛, то это будет случай для 𝐴, 𝐴 и так далее.
• Матрица высших степеней может быть рассчитана относительно меньшие степени матрицы. Другими словами, 𝐴=𝐴×𝐴, 𝐴=𝐴×𝐴, и так далее.
• Если 𝐴 — квадратная матрица и 𝑟 и 𝑠 — целые положительные числа, то 𝐴𝐴=𝐴,(𝐴)=𝐴.

законов экспонентов: силы и продукты

••• Hemera Technologies/AbleStock.com/Getty Images

Обновлено 24 апреля 2017 г.

Автор Кайлин Арнольд

Эффективность и простота показателей степени помогают математикам выражать числа и оперировать ими. Показатель степени или степень — это сокращенный метод обозначения повторного умножения. Число, называемое основанием, представляет значение, которое нужно умножить. Показатель степени, записанный в виде надстрочного индекса, представляет количество раз, которое основание должно быть умножено само на себя. Поскольку показатели степени представляют умножение, многие законы показателей степени касаются произведений двух чисел.

Умножение с одинаковым основанием 96. Некоторые учащиеся путаются, пытаясь вспомнить, когда умножать основания выражения и когда умножать степени.