| |||||||||||||||||||||||||||||||||
|
— 160 c.
Б. Васильева и др. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 432 c.
Трикоми. — М.: Издательство иностранной литературы, 2013. — 300 c.
Цлаф. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 2007. — 192 c.
Б., Тихонов Н. А.Интегральные уравнения
Б., Медведев Г. Н., Тихонов Н. А., Уразгильдина Т. А.Дифференциальные и интегральные уравнения. Вариационное исчисление
Д.Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения
Интегральные уравненияЭффективный параллельный программный комплекс для решения уравнений Навье- Стокса разрывным методом Галеркина | Краснов
1.
Cockburn B. Introduction to the Discontinuous Galerkin Method for Convection Dominated Problems, Advanced Numerical Approximation of Nonlinear Hyperbolic Equations, Lecture Notes in Mathematics, 1998, v.1697, pp.151-268.
2. A.K. Pany and S.Yadav. An hp-Local Discontinuous Galerkin method for Parabolic Integro-Differential Equations, OCCAM, Report No. 09/30.
3. Ladonkina M.E., Neklyudova O.A., Tishkin V.F., Utyralov D.I. Realization of the boundary conditions of adhesion for the Galerkin discontinuous method // Prep. M.V. Keldysh, 2014, 16 p.
4. Ladonkina M.E., Tishkin V.F. On methods of Godunov type of high accuracy order // Reports of the Academy of Sciences, 2015, T.461, No. 4, pp. 390-393.
5. Ladonkina M.E., Tishkin V.F. A generalization of the Godunov method, using piecewise polynomial approximations, Differentsial’nye Uravneniya, 2015, Vol. 51, No. 7, pp. 899-907.
6. Krasnov M.M. Operator library for solving three-dimensional grid problems of mathematical physics using graphics cards with CUDA architecture.
// Matematicheskoe Modelirovanie, 2015, vol.27, no. 3, pp.109-120.
7. Bassi F., Rebay S. A High-Order Accurate Discontinuous Finite Element Method for the Numerical Solution of the Compressible Navier-Stokes Equations // Journal of Computational Physics, 1997, 131, pp. 267-279.
8. SK Godunov. Difference method for numerical calculation of discontinuous solutions of hydrodynamics equations // Matem. sb., 1959. 47 (89): 3, pp. 271-306.
9. Rusanov V.V. Calculation of the interaction of non-stationary shock waves with obstacles. // Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1961. Т.I., №2, pp. 267-279.
10. Lax P.D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computation // Сommunications on Pure and Applied Mathematics. 1954,7, No. 1, pp. 159 -193.
11. Arnold D.N., Brezzi F., Cockburn B., Marini L.D. Uni fi ed analysis of discontinuous Galerkin methods for elliptic problems. / / SIAM Journal on Numerical Analysis, 2002, 29, pp.
1749-1779.
12. A.K. Pany and S. Yadav An hp-Local Discontinuous Galerkin method for Parabolic Integro-Differential Equations, OCCAM, Report No. 09/30
13. M.E. Ladonkina, OA Neklyudova, V.F. Tishkin. Investigation of the influence of the limiter on the order of the accuracy of the solution by the Galerkin discontinuous method. // KIAM Preprint. M.V. Keldysh, 2012, No. 34, pp. 31.
14. M.E. Ladonkina, O.A. Neklyudova, V.F. Tishkin. Investigation of the influence of the limiter on the order of accuracy of the solution by the Galerkin discontinuous method, Mat. Model., 2012, Т.24, №12, pp. 124-128.
15. M.E. Ladonkina, OA Neklyudova, V.F. Tishkin. High accuracy limiter for the Galerkin discontinuous method on triangular meshes. // KIAM Preprint. M.V. Keldysh, 2013, No. 53, 26c.
16. Krasnov MM, Kuchugov PA, Ladonkina ME, Tishkin VF Galerkin discontinuous method on three-dimensional tetrahedral grids. Using the Operator Programming Method. // Mathematical Modeling, 2017, Vol.
29, No. 2, P. 3-22.
Математические заметки Уравнения физики ткани красной ручкой тонкой линией
Образцы идеально подходят для предварительного просмотра цвета и масштаба. Однако обратите внимание, что из-за наших методов печати и повторяющихся размеров дизайна мы не можем гарантировать наличие определенной части дизайна в образце образца.
Из-за характера цифровой печати темные цвета и более насыщенные рисунки требуют больше чернил и могут повлиять на ощущение ткани. Тем не менее, ткань должна стать мягче после нескольких стирок!
◆◆◆ВАРИАНТЫ ТКАНИ◆◆◆
Этот рисунок можно напечатать на выбранной вами ткани из следующих тканей:
Хлопок Signature — ширина 42 дюйма — 22 долл. США за ярд
— ткань из 100 % натурального хлопка с универсальным полотняным переплетением
— 4,3 унции на квадратный ярд (145 г/м²)
— Предполагаемая усадка: 2-3% в длину и 4-5% в ширину
— Подходит для квилтинга, поделок, игрушек и аксессуаров
Хлопковый поплин — 42 дюйма в ширину — 23 доллара США за ярд
— 100% натуральный хлопок с тонким переплетением и четким, гладким на ощупь
— 3,3 унции на квадратный ярд (115 г/м²)
— Предполагаемая усадка: 2-4% в длину и ширину
— Подходит для квилтинга, рубашек, юбок, платьев и домашнего декора
Трикотаж из органического хлопка — ширина 56 дюймов — 32 доллара США за ярд
— Трикотаж из 100% органического хлопка с средний вес и ощущение уюта
— 6,3 унции на квадратный ярд (215 г/м²)
— Предполагаемая усадка: 9-11% по длине и 5-7% по ширине
— Трикотаж интерлок растягивается вдоль поперечного волокна примерно на 25%
— Подходит для футболок, платьев, детской одежды, простыней и одеял
Марля из органического хлопка — ширина 56 дюймов — 27 долларов США за ярд
— Двойная марля из 100 % органического хлопка
— 3,5 унции на квадратный ярд (120 г/м²)
— Расчетная усадка: 8 % по ширине и 14 % по длине
— Подходит для пеленки, нагрудники, салфетки для отрыжки и многоразовые сумки
**Принты, скорее всего, будут нешерстяными.
Для более мягкого ощущения выбирайте светлые рисунки.
Сатин из органического хлопка — ширина 56 дюймов — 32 долл. США за ярд
— 100% сатин из органического хлопка с легким блеском и мягкостью на ощупь
— 3,8 унции на квадратный ярд (130 г/м²)
— Предполагаемая усадка: 2-4% по длине и ширине
— Подходит для квилтинга, штор, столового белья, постельного белья, одежды и подушек
Хлопок и спандекс Джерси — ширина 60 дюймов — $32/ярд
— 93% натуральный хлопок, 7% спандекс джерси с растяжением в 4 направлениях
— 5,5 унций на квадратный ярд (185 г/м²)
— Расчетная усадка: 6-8% в длину и 2-4% в ширину
— Подходит для одежды для взрослых и детей, включая домашнюю одежду, леггинсы и футболки
Льняно-хлопковый холст — ширина 54 дюйма — 37 долларов США за ярд
— 55 % льна, 45 % натурального хлопка, универсальная ткань средней плотности и текстурированная на ощупь
— 6,4 унции на квадратный ярд (215 г/м²)
— Предполагаемая усадка: 2- 4% в длину и 0–2% в ширину
— Подходит для штор, скатертей, кухонных полотенец, платьев, сумок и подушек
Хлопковая парусина — 56 дюймов в ширину — 41 доллар США за ярд
— 100% натуральный хлопковый холст со сложной плетеная структура
— 10,6 унций на квадратный ярд (360 г/м²)
— Предполагаемая усадка: 3–4 % в длину и 0–1 % в ширину
— Подходит для обивки, тяжелой драпировки, предметов интерьера и сумок
Современный трикотаж — ширина 56 дюймов — 32 долл.
США за ярд
— 95 % полиэстера , трикотажное полотно из 5 % спандекса, эластичное в 4 направлениях и напоминающее хлопок на ощупь
– 6,2 унции на квадратный ярд (210 г/м²)
– расчетная усадка: 4–6 % по длине и 2 – 4 % по ширине
– подходит для футболок, топов, платьев, длинных юбок, повязок на голову, шарфов и детской одежды
Спортивная лайкра — ширина 56 дюймов — 37 долларов США за ярд
— 88 % полиэстера и 12 % лайкры, влагоотводящая отделка и растяжение в четырех направлениях
— 8,5 унций на квадратный ярд (290 г/м²)
— Расчетная усадка: 0– 2% по длине и ширине
— Подходит для спортивной одежды, леггинсов, купальных костюмов, штанов для йоги и танцевальных костюмов
Пике Performance — ширина 56 дюймов — 27 долл. США за ярд -влагоотводящая отделка
— 4,3 унции на квадратный ярд (145 г/м²)
— Предполагаемая усадка: 1-3% в длину и 1-2% в ширину
— Подходит для топов для йоги, рубашек поло, спортивных платьев и юбок и повязок на голову
Бархат — 54 дюйма в ширину — 61 доллар США за ярд
— 100% полиэфирная бархатная ткань с коротким ворсом и легким мерцанием
— 10,9 унций на квадратный ярд (370 г/м²)
— Предполагаемая усадка: 5-6% по длине и 2-3% по ширине
— Подходит для домашнего декора и обивки коммерческого класса , тяжелая одежда и роскошные аксессуары
Атлас — ширина 54 дюйма — 23 доллара за ярд
— атласная ткань из 100 % полиэстера, шелковистая на ощупь и с блестящим покрытием
— 2,2 унции на квадратный ярд (75 г/м²)
— расчетная усадка: 1–2 % по длине и 0–1 % по ширине
— подходит для подкладки одежда и сумки, свадебный декор и мягкие, шелковистые аксессуары
Шифон — ширина 54 дюйма — 27 долл.
США за ярд
— 100% полиэфирная шифоновая ткань с полупрозрачным видом и тонкой драпировкой
— 1,5 унции на квадратный ярд (50 г/м²)
— Предполагаемая усадка: 0-1% по длине и ширине
— Подходит для шарфов, прозрачных занавесок и предметов декора для особых случаев
Minky — ширина 54 дюйма — 32 долл. США за ярд
— 100 % полиэстер, ткань Minky с мягкой ворсованной отделкой для максимального плюша
— 6,6 унций на квадратный ярд (225 г/м²)
— Предполагаемая усадка: 2–4 % в ширина и 0–2% длины
— Подходит для стегания, одеял, домашней одежды, плюшевых игрушек и аксессуаров для холодной погоды
Флис — ширина 56 дюймов — 24,65 долл. США за ярд эластичный и мягкий, приятный на ощупь
— 6,6 унций на квадратный ярд (225 г/м²)
— расчетная усадка: 1–2 % в длину и 0–1 % в ширину
— подходит для одежды для отдыха взрослых и молодежи, подушек и одеял без швов, а также одежды для прохладной погоды
хлопок газон — ширина 54 дюйма — 24 доллара за ярд
— Легкий, слегка полупрозрачный хлопок для одежды.
— 2,4 унции на квадратный ярд (81 г/м²).
— Предполагаемая усадка: 0–3 % по длине и 1–2 % по ширине. для блуз, сарафанов, шарфов и аксессуаров
Белье Performance — ширина 54 дюйма — 51 долл. США/ярд ◆
— 100 % полиэстер класса люкс с тканым полотняным переплетением, принты с легким блеском
— 7,6 унций на квадратный ярд (260 г/м²)
— Расчетная усадка: 1,5–3 % по длине и 0–2 % по ширине
— Прочный ткань, подходящая для домашних животных и семьи, подходящая для обивки, домашнего декора, подушек и штор
Performance Velvet — ширина 54 дюйма — 61 долл. США/ярд ◆
— трикотаж из 100% полиэстера с маслянистой мягкой текстурой и матовым покрытием
— 11,5 унций на квадратный ярд (389 г/м²)
— Предполагаемая усадка: 1-3,5% по длине x 0-1,5% по ширине
— Мягкая бархатная обивочная ткань устойчива к пятнам и брызгам и обеспечивает высокий порог истирания для домашнего декора и обивки таких предметов, как декоративные подушки, одеяла, шторы и пуфы.
— саржевая ткань из 100% натурального хлопка с прочной драпируемой структурой
— 5,8 унций на квадратный ярд (195 г/м²)
— расчетная усадка: 4–6 % по длине и 1–2 % по ширине
— подходит для домашнего декора, драпировка, столовое белье, подушки, сумки, брюки, пальто и куртки
Джинсовая ткань — ширина 56 дюймов — 41 доллар США за ярд
— Джинсовая ткань из 100% натурального хлопка с прочной саржевой конструкцией
— 11,7 унций на квадратный ярд (395 г/м²)
— Предполагаемая усадка: 7–8 % по длине и 1–2 % по ширине
— Отлично подходит для юбок, шорт, брюк, верхней одежды, сумок и рюкзаков, а также обивки с низкой проходимостью
◆ Belgian Linen™ — ширина 54 дюйма — $86/ярд ◆
Бельгийский лен™ прочнее хлопка и естественно гипоаллергенен смягчается при повседневном использовании и является первоклассным предложением для декораторов и производителей, заинтересованных в непревзойденной элегантности обивки, сумок и домашнего декора.
— 100 % лен
— 9,8 унции на квадратный ярд (360 г/м²)
— Предполагаемая усадка: 9–11 % длины x 3–5 % ширины от декоративных подушек до собачьих ошейников, больших сумок и настенных ковров, эта прочная ткань устойчива к атмосферным воздействиям в помещении и на открытом воздухе в зависимости от сезона
— 50 % переработанного полиэстера REPREVE®, 50 % полиэстера
— 7,1 унции на кв.
ярд (240 г/м²)
— Предполагаемая усадка: 0-3% длины x 0-1% ширины
Идентификация Эйлера: «Самое красивое уравнение»
Когда вы покупаете по ссылкам на нашем сайте, мы можем получать партнерскую комиссию. Вот как это работает.
Уравнение Эйлера (Изображение предоставлено общественным достоянием)Тождество Эйлера — это найденное в математике равенство, которое сравнивают с сонетом Шекспира и описывают как «самое красивое уравнение». Это частный случай основного уравнения сложной арифметики, называемого формулой Эйлера, которую покойный великий физик Ричард Фейнман называл в своих лекциях «нашей жемчужиной» и «самой замечательной формулой в математике».
В интервью BBC профессор Дэвид Перси из Института математики и ее приложений сказал, что «Тождество Эйлера» — это «настоящая классика, и вы не можете сделать ничего лучше этого… пять самых важных математических констант».
Тождество Эйлера записывается просто как: e iπ + 1 = 0
Пять констант:
- Число 0.
- Число 1, 9 0166
- Число π , иррациональное число (с бесконечными цифрами), представляющее собой отношение длины окружности к ее диаметру. Это примерно 3,14159…
- Число e , тоже иррациональное число. Это основа натуральных логарифмов, которая естественным образом возникает в результате изучения сложных процентов и исчисления. Число e пронизывает математику, появляясь, казалось бы, из ниоткуда в огромном количестве важных уравнений. Это примерно 2,71828….
- Число i , определенное как квадратный корень из отрицательной единицы: √(-1). Самое фундаментальное из мнимых чисел, названное так потому, что в действительности ни одно число нельзя умножить само на себя, чтобы получить отрицательное число (и, следовательно, отрицательные числа не имеют действительных квадратных корней). Но в математике есть много ситуаций, когда приходится извлекать квадратный корень из минуса. Поэтому буква и используется как своего рода замена для обозначения мест, где это было сделано.
Плодовитый математик
Леонард Эйлер был швейцарским математиком 18-го века, который разработал множество концепций, которые являются неотъемлемой частью современной математики. Большую часть своей карьеры он провел в Санкт-Петербурге, Россия. По данным Военно-морской академии США (USNA), он был одним из самых плодовитых математиков всех времен, опубликовав 886 статей и книг. Большая часть его творчества пришлась на последние два десятилетия его жизни, когда он был полностью слеп. Работы было так много, что Петербургская Академия продолжала издавать его работы посмертно более 30 лет.
Важный вклад Эйлера включает формулу Эйлера и теорему Эйлера, которые могут означать разные вещи в зависимости от контекста. Согласно USNA, в механике есть «углы Эйлера (для указания ориентации твердого тела), теорема Эйлера (о том, что у каждого вращения есть ось), уравнения Эйлера для движения жидкостей и уравнение Эйлера-Лагранжа (что исходит из вариационного исчисления)».
Умножение комплексных чисел
Тождество Эйлера естественным образом вытекает из взаимодействия комплексных чисел – чисел, состоящих из двух частей: действительного числа и мнимого числа; например 4+3 и . Комплексные числа появляются во множестве приложений, таких как волновая механика (исследование в рамках квантовой механики) и проектирование цепей, использующих переменный ток (обычная практика в электротехнике). Кроме того, комплексные числа (и их родственники, гиперкомплексные числа) обладают свойством, которое делает их особенно полезными для изучения компьютерной графики, робототехники, навигации, динамики полета и орбитальной механики: их умножение приводит к их вращению. Это свойство поможет нам понять причины тождества Эйлера.
В приведенном ниже примере пять комплексных чисел нанесены на комплексную плоскость и вместе образуют «форму дома». Комплексная плоскость похожа на числовую прямую, за исключением того, что она двумерна.
Горизонтальное направление представляет действительные числа, а вертикальная ось представляет мнимые числа. Каждое комплексное число в форме дома умножается на комплексное число 4+3 i и наносится заново (зеленая стрелка). [См. также: Что такое комплексные числа?]
Как видно, умножение на 4+3 i приводит к форме дома , расширяющейся (увеличивая площадь и удаляясь от начала координат 0+0 i на одинаковую величину) и вращая (наклоняясь на некоторый угол). Чтобы показать, что это именно эффект умножения на 4+3i, также показан эффект пятикратного увеличения дома и поворота на 36,9 градуса (красная стрелка). Точно такой же эффект получается.
Тот же эффект получается при умножении вершин фигуры на 4+3i и повороте фигуры на 36,9.градусов и расширив его в пять раз. (Изображение предоставлено Робертом Дж. Кулманом) Различная степень расширения и вращения может привести к эффекту умножения на любое число на комплексной плоскости.
Полярная форма комплексных чисел
Величина вращения и расширения определяется свойствами, присущими числу 4+3 i, , которое, как видно на рисунке ниже, находится в пяти единицах от начала координат ( r = 5) и образует с горизонтальной осью угол 36,9 градусов ( φ = 36,9°). Эти измерения используются в так называемой полярной форме комплексного числа ( re iφ ) в отличие от обычной прямоугольной формы ( a + bi ).
Число 4+3i удалено от начала координат на пять единиц и образует угол 36,9 градусов с горизонтальной осью. (Изображение предоставлено Робертом Дж. Кулманом) Полярная форма требует, чтобы φ измерялось в радианах . Один радиан (1 рад ) составляет примерно 57,3 градуса; это мера угла, образованного, когда радиус круга обернут вокруг окружности этого круга. Мера π радиан охватывает половину окружности; мера 2 π радиан охватывает полный круг.
Мера угла для 4+3 i равно 0,644 радиана (36,9 ° = 0,644 рад ), что означает полярную форму 4+3 i равно 5 e i 0,644 902 48 . Меры для r и φ также могут быть определены для каждой из точек формы дома, и еще один способ добиться расширяющего/вращающего эффекта умножения на 4+3 i — это умножить каждое r на пять, и добавьте 36,9 градуса (или 0,644 рад ) к каждому φ . Из этой демонстрации мы видим, что при перемножении комплексных чисел расстояния умножаются, а углы складываются. Это связано со свойством, присущим показателям степени, которое можно показать алгебраически.
Использование полярной формы комплексных чисел, чтобы показать, почему расстояния умножаются, а углы складываются.
(Изображение предоставлено Робертом Дж. Кулманом)С установленной полярной формой комплексных чисел вопрос Тождества Эйлера является просто частным случаем a + bi для a = -1 и b = 0 , Следовательно, для полярной формы re iφ это дает r = 1 и φ = π (поскольку π ra д = 180°).
Тождество Эйлера — это частный случай a+bi для a = -1 и b = 0 и reiφ для r = 1 и φ = π. (Изображение предоставлено Робертом Дж. Кулманом)Вывод полярной формы
Хотя тождество Эйлера следует из полярной формы комплексных чисел, невозможно вывести полярную форму (в частности, спонтанное появление числа e ) без исчисление.
Общий случай комплексного числа как в прямоугольной (a+bi), так и в полярной (reiφ) формах. (Изображение предоставлено Робертом Дж. Кулманом)Начнем с прямоугольной формы комплексного числа:
a + bi
Из диаграммы и тригонометрии мы можем сделать следующие замены:
( r · cos 90 157 ф ) + ( r ·sin φ ) i
Отсюда мы можем вынести r :
r ·(cos φ + i ·sin φ )
Иногда «cos φ + i ·sin φ ”называется cis φ , что является сокращением от “ c osine plus i maginary s ine.
”
r ·cis φ
Функция cis φ оказывается равной e iφ . Это та часть, которую невозможно показать без исчисления. Ниже показаны два вывода:
Два вывода для cisφ = eiφ. Оба используют некоторую форму исчисления. (Изображение предоставлено Робертом Дж. Кулманом)Таким образом, уравнение r ·cis φ записывается в стандартной полярной форме r ·e iφ .
Дополнительные ресурсы
- ResearchGate: Что особенного в тождестве Эйлера?
- Academia.edu: Тождество Эйлера — математическое доказательство существования Бога, Робин Робертсон
- Science4All: Самое красивое уравнение математики: Тождество Эйлера
Будьте в курсе последних научных новостей, подписавшись на нашу рассылку Essentials.
Свяжитесь со мной, чтобы сообщить новости и предложения от других брендов FutureПолучайте электронные письма от нас от имени наших надежных партнеров или спонсоров Роберт Кулман, доктор философии, преподаватель и независимый научный писатель, живет в Мэдисоне, штат Висконсин.