Как раскрыть модуль в уравнении функции: Решение уравнений с модулем

Содержание

Как убрать модуль в уравнении

Как решать уравнения с модулем: основные правила

Модуль — одна из тех вещей, о которых вроде-бы все слышали, но в действительности никто нормально не понимает. Поэтому сегодня будет большой урок, посвящённый решению уравнений с модулями.

Сразу скажу: урок будет несложный. И вообще модули — вообще тема относительно несложная. «Да конечно, несложная! У меня от неё мозг разрывается!» — скажут многие ученики, но все эти разрывы мозга происходят из-за того, что у большинства людей в голове не знания, а какая-то хрень. И цель этого урока — превратить хрень в знания.:)

Немного теории

Итак, поехали. Начнём с самого важного: что такое модуль? Напомню, что модуль числа — это просто то же самое число, но взятое без знака «минус». Т.е., например, $\left| -5 \right|=5$. Или $\left| -129,5 \right|=129,5$.

Вот так всё просто? Да, просто. А чему тогда равен модуль положительного числа? Тут ещё проще: модуль положительного числа равен самому этому числу: $\left| 5 \right|=5$; $\left| 129,5 \right|=129,5$ и т. д.

\[\left| -a \right|=\left| a \right|\]

Ещё один важный факт: модуль никогда не бывает отрицательным. Какое бы число мы ни взяли — хоть положительное, хоть отрицательное — его модуль всегда оказывается положительным (или в крайнем случае нулём). Именно поэтому модуль часто называют абсолютной величиной числа.

Кроме того, если объединить определение модуля для положительного и отрицательного числа, то получим глобальное определение модуля для всех чисел. А именно: модуль числа равен самому этому числу, если число положительное (или ноль), либо равен противоположному числу, если число отрицательное. Можно записать это в виде формулы:

Ещё есть модуль нуля, но он всегда равен нулю. Кроме того, ноль — единственное число, которое не имеет противоположного.

Таким образом, если рассмотреть функцию $y=\left| x \right|$ и попробовать нарисовать её график, то получится вот такая «галка»:

График модуля и пример решения уравнения

Из этой картинки сразу видно, что $\left| -m \right|=\left| m \right|$, а график модуля никогда не опускается ниже оси абсцисс. Но это ещё не всё: красной линией отмечена прямая $y=a$, которая при положительных $a$ даёт нам сразу два корня: $_>$ и $_>$, но об этом мы поговорим позже.:)

Помимо чисто алгебраического определения, есть геометрическое. Допустим, есть две точки на числовой прямой: $_>$ и $_>$. В этом случае выражение $\left| _>-_> \right|$ — это просто расстояние между указанными точками. Или, если угодно, длина отрезка, соединяющего эти точки:

Модуль — это расстояние между точками на числовой прямой

Из этого определения также следует, что модуль всегда неотрицателен. Но хватит определений и теории — перейдём к настоящим уравнениям. 🙂

Основная формула

Ну хорошо, с определением разобрались. Но легче-то от этого не стало. Как решать уравнения, содержащие этот самый модуль?

Спокойствие, только спокойствие. Начнём с самых простых вещей. Рассмотрим что-нибудь типа такого:

Итак, модуль$x$ равен 3. Чему может быть равен $x$? Ну, судя по определению, нас вполне устроит $x=3$. Действительно:

А есть ли другие числа? Кэп как бы намекает, что есть. Например, $x=-3$ — для него тоже $\left| -3 \right|=3$, т.е. требуемое равенство выполняется.

Так может, если поискать, подумать, мы найдём ещё числа? А вот обломитесь: больше чисел нет. Уравнение $\left| x \right|=3$ имеет лишь два корня: $x=3$ и $x=-3$.

Теперь немного усложним задачу. Пусть вместо переменной $x$ под знаком модуля тусуется функция $f\left( x \right)$, а справа вместо тройки поставим произвольное число $a$. Получим уравнение:

\[\left| f\left( x \right) \right|=a\]

Ну и как такое решать? Напомню: $f\left( x \right)$ — произвольная функция, $a$ — любое число. Т.е. вообще любое! Например:

\[\left| 2x+1 \right|=5\]

\[\left| 10x-5 \right|=-65\]

Обратим внимание на второе уравнение. Про него сразу можно сказать: корней у него нет. Почему? Всё правильно: потому что в нём требуется, чтобы модуль был равен отрицательному числу, чего никогда не бывает, поскольку мы уже знаем, что модуль — число всегда положительное или в крайнем случае ноль.

А вот с первым уравнением всё веселее. Тут два варианта: либо под знаком модуля стоит положительное выражение, и тогда$\left| 2x+1 \right|=2x+1$, либо это выражение всё-таки отрицательное, и тогда $\left| 2x+1 \right|=-\left( 2x+1 \right)=-2x-1$. В первом случае наше уравнение перепишется так:

\[\left| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]

И внезапно получается, что подмодульное выражение $2x+1$ действительно положительно — оно равно числу 5. Т.е. мы можем спокойно решать это уравнение — полученный корень будет кусочком ответа:

\[2x+1=5\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2\]

Особо недоверчивые могут попробовать подставить найденный корень в исходное уравнение и убедиться, что действительно под модулем будет положительное число.

Теперь разберём случай отрицательного подмодульного выражения:

\[\left\& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end \right.\Rightarrow -2x-1=5\Rightarrow 2x+1=-5\]

Опа! Снова всё чётко: мы предположили, что $2x+1 \lt 0$, и в результате получили, что $2x+1=-5$ — действительно, это выражение меньше нуля. Решаем полученное уравнение, при этом уже точно зная, что найденный корень нас устроит:

\[2x+1=-5\Rightarrow 2x=-6\Rightarrow x=-3\]

Итого мы вновь получили два ответа: $x=2$ и $x=3$. Да, объём вычислений оказался малость побольше, чем в совсем уж простом уравнении $\left| x \right|=3$, но принципиально ничего не изменилось. Так может, существует какой-то универсальный алгоритм?

Да, такой алгоритм существует. И сейчас мы его разберём.

Избавление от знака модуля

Пусть нам дано уравнение $\left| f\left( x \right) \right|=a$, причём $a\ge 0$ (иначе, как мы уже знаем, корней нет). Тогда можно избавиться от знака модуля по следующему правилу:

\[\left| f\left( x \right) \right|=a\Rightarrow f\left( x \right)=\pm a\]

Таким образом, наше уравнение с модулем распадается на два, но уже без модуля. Вот и вся технология! Попробуем решить парочку уравнений. Начнём вот с такого

\[\left| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Отдельно рассмотрим, когда справа стоит десятка с плюсом, и отдельно — когда с минусом. Имеем:

\[\begin& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac=-2,8. \\\end\]

Вот и всё! Получили два корня: $x=1,2$ и $x=-2,8$. Всё решение заняло буквально две строчки.

Ок, не вопрос, давайте рассмотрим что-нибудь чуть посерьёзнее:

\[\left| 7-5x \right|=13\]

Опять раскрываем модуль с плюсом и минусом:

\[\begin& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\end\]

Опять пара строчек — и ответ готов! Как я и говорил, в модулях нет ничего сложного. Нужно лишь запомнить несколько правил. Поэтому идём дальше и приступаем с действительно более сложным задачам.

Случай переменной правой части

А теперь рассмотрим вот такое уравнение:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\]

Это уравнение принципиально отличается от всех предыдущих. Чем? А тем, что справа от знака равенства стоит выражение $2x$ — и мы не можем заранее знать, положительное оно или отрицательное.

Как быть в таком случае? Во-первых, надо раз и навсегда понять, что если правая часть уравнения окажется отрицательной, то уравнение не будет иметь корней — мы уже знаем, что модуль не может быть равен отрицательному числу.

А во-вторых, если права часть всё-таки положительна (или равна нулю), то можно действовать точно так же, как раньше: просто раскрыть модуль отдельно со знаком «плюс» и отдельно — со знаком «минус».

Таким образом, сформулируем правило для произвольных функций $f\left( x \right)$ и $g\left( x \right)$ :

\[\left| f\left( x \right) \right|=g\left( x \right)\Rightarrow \left\& f\left( x \right)=\pm g\left( x \right), \\& g\left( x \right)\ge 0. \\\end \right.\]

Применительно к нашему уравнению получим:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end \right. \]

Ну, с требованием $2x\ge 0$ мы как-нибудь справимся. В конце концов, можно тупо подставить корни, которые мы получим из первого уравнения, и проверить: выполняется неравенство или нет.

Поэтому решим-ка само уравнение:

\[\begin& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac; \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\end\]

Ну и какой их этих двух корней удовлетворяет требованию $2x\ge 0$? Да оба! Поэтому в ответ пойдут два числа: $x=/\;$ и $x=0$. Вот и всё решение.:)

Подозреваю, что кто-то из учеников уже начал скучать? Что ж, рассмотрим ещё более сложное уравнение:

Хоть оно и выглядит злобно, по факту это всё то же самое уравнение вида «модуль равен функции»:

\[\left| f\left( x \right) \right|=g\left( x \right)\]

И решается оно точно так же:

С неравенством мы потом разберёмся — оно какое-то уж слишком злобное (на самом деле простое, но мы его решать не будем). Пока лучше займёмся полученными уравнениями. Рассмотрим первый случай — это когда модуль раскрывается со знаком «плюс»:

Ну, тут и ежу понятно, что нужно всё собрать слева, привести подобные и посмотреть, что получится. >$ за скобку и получаем очень простое уравнение:

Тут мы воспользовались важным свойством произведения, ради которого мы и раскладывали исходный многочлен на множители: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Теперь точно так же разберёмся со вторым уравнением, которое получается при раскрытии модуля со знаком «минус»:

Опять то же самое: произведение равно нулю, когда равен нулю хотя бы один из множителей. Имеем:

Ну вот мы получили три корня: $x=0$, $x=1,5$ и $x=/\;$. Ну и что из этого набора пойдёт в окончательный ответ? Для этого вспомним, что у нас есть дополнительное ограничение в виде неравенства:

Как учесть это требование? Да просто подставим найденные корни и проверим: выполняется неравенство при этих $x$ или нет. Имеем:

Таким образом, корень $x=1,5$ нас не устраивает. И в ответ пойдут лишь два корня:

Как видите, даже в этом случае ничего сложного не было — уравнения с модулями всегда решаются по алгоритму. Нужно лишь хорошо разбираться в многочленах и неравенствах. Поэтому переходим к более сложным задачам — там уже будет не один, а два модуля.

Уравнения с двумя модулями

До сих пор мы изучали лишь самые простые уравнения — там был один модуль и что-то ещё. Это «что-то ещё» мы отправляли в другую часть неравенства, подальше от модуля, чтобы в итоге всё свелось к уравнению вида $\left| f\left( x \right) \right|=g\left( x \right)$ или даже более простому $\left| f\left( x \right) \right|=a$.

Но детский сад закончился — пора рассмотреть что-нибудь посерьёзнее. Начнём с уравнений вот такого типа:

\[\left| f\left( x \right) \right|=\left| g\left( x \right) \right|\]

Это уравнение вида «модуль равен модулю». Принципиально важным моментом является отсутствие других слагаемых и множителей: только один модуль слева, ещё один модуль справа — и ничего более.

Кто-нибудь сейчас подумает, что такие уравнения решаются сложнее, чем то, что мы изучали до сих пор. А вот и нет: эти уравнения решаются даже проще. Вот формула:

\[\left| f\left( x \right) \right|=\left| g\left( x \right) \right|\Rightarrow f\left( x \right)=\pm g\left( x \right)\]

Всё! Мы просто приравниваем подмодульные выражения, ставя перед одним из них знак «плюс-минус». А затем решаем полученные два уравнения — и корни готовы! Никаких дополнительных ограничений, никаких неравенств и т.д. Всё очень просто.

Давайте попробуем решать вот такую задачу:

\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\]

Элементарно, Ватсон! Раскрываем модули:

\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left( 2x-7 \right)\]

Рассмотрим отдельно каждый случай:

\[\begin& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left( 2x-7 \right)\Rightarrow 2x+3=-2x+7. \\\end\]

В первом уравнении корней нет. Потому что когда это $3=-7$? При каких значениях $x$? «Какой ещё нафиг $x$? Ты обкурился? Там вообще нет $x$» — скажете вы. И будете правы. Мы получили равенство, не зависящее от переменной $x$, и при этом само равенство — неверное. Потому и нет корней.:)

Со вторым уравнением всё чуть интереснее, но тоже очень и очень просто:

\[2x+3=-2x+7\Rightarrow 4x=4\Rightarrow x=1\]

Как видим, всё решилось буквально в пару строчек — другого от линейного уравнения мы и не ожидали.:)

В итоге окончательный ответ: $x=1$.

Ну как? Сложно? Конечно, нет. Попробуем что-нибудь ещё:

Опять у нас уравнение вида $\left| f\left( x \right) \right|=\left| g\left( x \right) \right|$. Поэтому сразу переписываем его, раскрывая знак модуля:

Возможно, кто-то сейчас спросит: «Эй, что за бред? Почему «плюс-минус» стоит у правого выражения, а не у левого?» Спокойно, сейчас всё объясню. Действительно, по-хорошему мы должны были переписать наше уравнение следующим образом:

Затем нужно раскрыть скобки, перенести все слагаемые в одну сторону от знака равенства (поскольку уравнение, очевидно, в обоих случаях будет квадратным), ну и дальше отыскать корни. Но согласитесь: когда «плюс-минус» стоит перед тремя слагаемыми (особенно когда одно из этих слагаемых — квадратное выражение), это как-то более сложно выглядит, нежели ситуация, когда «плюс-минус» стоит лишь перед двумя слагаемыми. >-3x+2 \right|; \\& \left| x-1 \right|=\left| \left( x-1 \right)\left( x-2 \right) \right|. \\\end\]

Как видим, у нас действительно возник общий множитель. Теперь, если собрать все модули с одной стороны, то можно вынести этот множитель за скобку:

Ну а теперь вспоминаем, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

\[\left[ \begin& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\end \right.\]

Таким образом, исходное уравнение с двумя модулями свелось к двум простейшим уравнениям, о которых мы говорили в самом начале урока. Такие уравнения решаются буквально в пару строчек.:)

Данное замечание, возможно, покажется излишне сложным и неприменимым на практике. Однако в реальности вам могут встретиться куда более сложные задачи, нежели те, что мы сегодня разбираем. В них модули могут комбинироваться с многочленами, арифметическими корнями, логарифмами и т.д. И в таких ситуациях возможность понизить общую степень уравнения путём вынесения чего-либо за скобку может оказаться очень и очень кстати.:)

Теперь хотелось бы разобрать ещё одно уравнение, которое на первый взгляд может показаться бредовым. На нём «залипают» многие ученики — даже те, которые считают, что хорошо разобрались в модулях.

Тем не менее, это уравнение решается даже проще, чем то, что мы рассматривали ранее. И если вы поймёте почему, то получите ещё один приём для быстрого решения уравнений с модулями.

Нет, это не опечатка: между модулями именно плюс. И нам нужно найти, при каких $x$ сумма двух модулей равна нулю. >+x-2=0\Rightarrow \left( x+2 \right)\left( x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin& x=-2 \\& x=1 \\\end \right.\]

Таким образом, у нас есть три точки, в которых обнуляется первый модуль: 0, 1 и −1; а также две точки, в которых обнуляется второй модуль: −2 и 1. Однако нам нужно, чтобы оба модуля обнулялись одновременно, поэтому среди найденных чисел нужно выбрать те, которые входят в оба набора. Очевидно, такое число лишь одно: $x=1$ — это и будет окончательным ответом.

Метод расщепления

Что ж, мы уже рассмотрели кучу задач и изучили множество приёмов. Думаете, на этом всё? А вот и нет! Сейчас мы рассмотрим заключительный приём — и одновременно самый важный. Речь пойдёт о расщеплении уравнений с модулем. О чём вообще пойдёт речь? Давайте вернёмся немного назад и рассмотрим какое-нибудь простое уравнение. Например, это:

\[\left| 3x-5 \right|=5-3x\]

В принципе, мы уже знаем, как решать такое уравнение, потому что это стандартная конструкция вида $\left| f\left( x \right) \right|=g\left( x \right)$. Но попробуем взглянуть на это уравнение немного под другим углом. Точнее, рассмотрим выражение, стоящее под знаком модуля. Напомню, что модуль любого числа может быть равен самому числу, а может быть противоположен этому числу:

Собственно, в этой неоднозначности и состоит вся проблема: поскольку число под модулем меняется (оно зависит от переменной), нам неясно — положительное оно или отрицательное.

Но что если изначально потребовать, чтобы это число было положительным? Например, потребуем, чтобы $3x-5 \gt 0$ — в этом случае мы гарантированно получим положительное число под знаком модуля, и от этого самого модуля можно полностью избавиться:

\[3x-5 \gt 0\Rightarrow \left| 3x-5 \right|=3x-5\]

Таким образом, наше уравнение превратится в линейное, которое легко решается:

\[3x-5=5-3x\Rightarrow 6x=10\Rightarrow x=\frac\]

Правда, все эти размышления имеют смысл только при условии $3x-5 \gt 0$ — мы сами ввели это требование, дабы однозначно раскрыть модуль. Поэтому давайте подставим найденный $x=\frac$ в это условие и проверим:

\[x=\frac\Rightarrow 3x-5=3\cdot \frac-5=5-5=0\]

Получается, что при указанном значении $x$ наше требование не выполняется, т.к. выражение оказалось равно нулю, а нам нужно, чтобы оно было строго больше нуля. Печалька.:(

Но ничего страшного! Ведь есть ещё вариант $3x-5 \lt 0$. Более того: есть ещё и случай $3x-5=0$ — это тоже нужно рассмотреть, иначе решение будет неполным. Итак, рассмотрим случай $3x-5 \lt 0$:

\[3x-5 \lt 0\Rightarrow \left| 3x-5 \right|=5-3x\]

Очевидно, что в модуль раскроется со знаком «минус». Но тогда возникает странная ситуация: и слева, и справа в исходном уравнении будет торчать одно и то же выражение:

Интересно, при каких таких $x$ выражение $5-3x$ будет равно выражению $5-3x$? От таких уравнений даже Капитан очевидность подавился бы слюной, но мы-то знаем: это уравнение является тождеством, т.е. оно верно при любых значениях переменной!

А это значит, что нас устроят любые $x$. Вместе с тем у нас есть ограничение:

\[3x-5 \lt 0\Rightarrow 3x \lt 5\Rightarrow x \lt \frac\]

Другими словами, ответом будет не какое-то отдельное число, а целый интервал:

\[x\in \left( -\infty ;\frac \right)\]

Наконец, осталось рассмотреть ещё один случай: $3x-5=0$. Тут всё просто: под модулем будет ноль, а модуль нуля тоже равен нулю (это прямо следует из определения):

\[3x-5=0\Rightarrow \left| 3x-5 \right|=0\]

Но тогда исходное уравнение $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ перепишется следующим образом:

\[0=3x-5\Rightarrow 3x=5\Rightarrow x=\frac\]

Этот корень мы уже получали выше, когда рассматривали случай $3x-5 \gt 0$. Более того, это корень является решением уравнения $3x-5=0$ — это ограничение, которое мы сами же и ввели, чтобы обнулить модуль.:)

Таким образом, помимо интервала нас устроит ещё и число, лежащее на самом конце этого интервала:

Объединение корней в уравнениях с модулем

Итого окончательный ответ: $x\in \left( -\infty ;\frac \right]$. Не очень-то привычно видеть такую хрень в ответе к довольно простому (по сути — линейному) уравнению с модулем, правда? Что ж, привыкайте: в том и состоит сложность модуля, что ответы в таких уравнениях могут оказаться совершенно непредсказуемыми.

Куда важнее другое: мы только что разобрали универсальный алгоритм решения уравнения с модуляем! И состоит этот алгоритм из следующих шагов:

Приравнять каждый модуль, имеющийся в уравнении, к нулю. Получим несколько уравнений;
Решить все эти уравнения и отметить корни на числовой прямой. В результате прямая разобьётся на несколько интервалов, на каждом из которых все модули однозначно раскрываются;
Решить исходное уравнение для каждого интервала и объединить полученные ответы.

Вот и всё! Остаётся лишь один вопрос: куда девать сами корни, полученные на 1-м шаге? Допустим, у нас получилось два корня: $x=1$ и $x=5$. Они разобьют числовую прямую на 3 куска:

Разбиение числовой оси на интервалы с помощью точек

Ну и какие тут интервалы? Понятно, что их три:

Самый левый: $x \lt 1$ — сама единица в интервал не входит;
Центральный: $1\le x \lt 5$ — вот тут единица в интервал входит, однако не входит пятёрка;
Самый правый: $x\ge 5$ — пятёрка входит только сюда!

Я думаю, вы уже поняли закономерность. Каждый интервал включает в себя левый конец и не включает правый.

На первый взгляд, такая запись может показаться неудобной, нелогичной и вообще какой-то бредовой. Но поверьте: после небольшой тренировки вы обнаружите, что именно такой подход наиболее надёжен и при этом не мешает однозначно раскрывать модули. Лучше уж использовать такую схему, чем каждый раз думать: отдавать левый/правый конец в текущий интервал или «перекидывать» его в следующий.

На этом урок заканчивается. Скачивайте задачи для самостоятельного решения, тренируйтесь, сравнивайте с ответами — и увидимся в следующем уроке, который будет посвящён неравенствам с модулями.:)

Решение уравнений с модулем

Решение уравнений и неравенств с модулем часто вызывает затруднения. Однако, если хорошо понимать, что такое модуль числа, и как правильно раскрывать выражения, содержащие знак модуля, то наличие в уравнении выражения, стоящего под знаком модуля, перестает быть препятствием для его решения.

Немного теории. Каждое число имеет две характеристики: абсолютное значение числа, и его знак.

Например, число +5, или просто 5 имеет знак «+» и абсолютное значение 5.

Число -5 имеет знак «-» и абсолютное значение 5.

Абсолютные значения чисел 5 и -5 равны 5.

Абсолютное значение числа х называется модулем числа и обозначается |x|.

Как мы видим, модуль числа равен самому числу, если это число больше или равно нуля, и этому числу с противоположным знаком, если это число отрицательно.

Это же касается любых выражений, которые стоят под знаком модуля.

Правило раскрытия модуля выглядит так:

|f(x)|= f(x), если f(x) ≥ 0, и

|f(x)|= — f(x), если f(x) < 0

Например |x-3|=x-3, если x-3≥0 и |x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0.

Чтобы решить уравнение , содержащее выражение, стоящее под знаком модуля, нужно сначала раскрыть модуль по правилу раскрытия модуля.

Тогда наше уравнение или неравенство преобразуется в два различных уравнения, существующих на двух различных числовых промежутках.

Одно уравнение существует на числовом промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно.

А второе уравнение существует на промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля отрицательно.

Рассмотрим простой пример.

|x-3|=-x 2 +4x-3

1. Раскроем модуль.

|x-3|=x-3, если x-3≥0, т.е. если х≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0, т.е. если х<3

2. Мы получили два числовых промежутка: х≥3 и х<3.

Рассмотрим, в какие уравнения преобразуется исходное уравнение на каждом промежутке:

А) При х≥3 |x-3|=x-3, и наше уранение имеет вид:

Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х≥3!

Раскроем скобки, приведем подобные члены:

и решим это уравнение.

Это уравнение имеет корни:

Внимание! поскольку уравнение x-3=-x 2 +4x-3 существует только на промежутке х≥3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. 2 — 1) ==> x(x + 1) / (x — 1)(x + 1) = ==> x/ x — 1.

Не до конца понимаю, как правильно раскрыть модуль в модуле, и, соответственно, какой знак внутри модуля в который вложен другой модуль…

В этом примере проще ввести замену: , тогда получится выражение с одним модулем. В общем случае сначала раскрываем внутренний модуль, потом внешний. При раскрытии модуля необходимо указывать промежуток, на котором мы находимся. Например: . Cначала рассматриваем случай , Получаем систему: . И теперь система разбивается на совокупность двух систем: и . Так же рассматриваем второй случай, когда .

Внутренний модуль |x| может быть x >= 0, x = 0, |x — 1| = 0, 0 <= x < 1, |x — 1|* x = -x(x — 1)/(x — 1)(x + 1).
Второй случай x < 0 |-(x) — 1| * (-x) = тут мне не ясно, знак -x выносится за скобки или происходит арифметическое действие внутри модуля-скобок т.е. -x — 1 < 0 = -(x + 1)….

Я так решал, но ответ не верен, и, понять, как получается правильный ответ, я не могу. https://b.radikal.ru/b03/2011/21/d7a886752231.jpg

Здравствуйте, Инна! обязательно ли при раскрытии модуля чередовать знак равно? Например, в первом случае х больше или равно трех, а в другом — строго меньше трех.

Нет, не обязательно. Если конец промежутка входит в область допустимых значений, то его можно включать в оба промежутка.

Как убрать модуль в уравнении

Определение модуля может быть дано следующим образом: Абсолютной величиной числа a (модулем) называется расстояние от точки, изображающей данное число a на координатной прямой, до начала координат. Из определения следует, что:

Таким образом, для того чтобы раскрыть модуль необходимо определить знак подмодульного выражения. Если оно положительно, то можно просто убирать знак модуля. Если же подмодульное выражение отрицательно, то его нужно умножить на «минус», и знак модуля, опять-таки, больше не писать.

Основные свойства модуля:

Некоторые методы решения уравнений с модулями

Существует несколько типов уравнений с модулем, для которых имеется предпочтительный способ решения. При этом данный способ не является единственным. Например, для уравнения вида:

Предпочтительным способом решения будет переход к совокупности:

А для уравнений вида:

Также можно переходить к почти аналогичной совокупности, но так как модуль принимает только положительные значения, то и правая часть уравнения должна быть положительной. Это условие нужно дописать в качестве общего ограничения для всего примера. Тогда получим систему:

Оба этих типа уравнений можно решать и другим способом: раскрывая соответствующим образом модуль на промежутках где подмодульное выражение имеет определённый знак. В этом случае будем получать совокупность двух систем. Приведем общий вид решений получающихся для обоих типов уравнений приведённых выше:

Для решения уравнений в которых содержится более чем один модуль применяется метод интервалов, который состоит в следующем:

Сначала находим точки на числовой оси, в которых обращается в ноль каждое из выражений, стоящих под модулем.
Далее делим всю числовую ось на интервалы между полученными точками и исследуем знак каждого из подмодульных выражений на каждом интервале. Заметьте, что для определения знака выражения надо подставить в него любое значение x из интервала, кроме граничных точек. Выбирайте те значения x, которые легко подставлять.
Далее на каждом полученном интервале раскрываем все модули в исходном уравнении в соответствии с их знаками на данном интервале и решаем полученное обычное уравнение. В итоговый ответ выписываем только те корни этого уравнения, которые попадают в исследуемый промежуток. Еще раз: такую процедуру проводим для каждого из полученных интервалов.

Назад
Вперёд

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен, где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

ЗАПРЕЩЕНО использование представленных на сайте материалов или их частей в любых коммерческих целях, а также их копирование, перепечатка, повторная публикация или воспроизведение в любой форме. Нарушение прав правообладателей преследуется по закону. Подробнее.

Как раскрыть модуль в модуле в уравнении. Уравнения с модулем. Решение неравенств с модулем

Инструкция

Если модуль представлен в виде непрерывной функции, то значение ее аргумента может быть как положительным, так и отрицательным: |х| = х, х ≥ 0; |х| = — х, х

Модуль нулю, а модуль любого положительного числа – ему . Если аргумент отрицательный, то после раскрытия скобок его знак меняется с минуса на плюс. На основании этого вытекает вывод, что модули противоположных равны: |-х| = |х| = х.

Модуль комплексного числа находится по формуле: |a| = √b ² + c ², а |a + b| ≤ |a| + |b|. Если в аргументе присутствует в виде множителя положительное число, то его можно вынести за знак скобки, например: |4*b| = 4*|b|.

Если аргумент представлен в виде сложного числа, то для удобства вычислений допускается порядка членов выражения, заключенного в прямоугольные скобки: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, поскольку (2-3) меньше нуля.

Возведенный в степень аргумент одновременно находится под знаком корня того же порядка – он решается при помощи : √a² = |a| = ±a.

Модуль нуля равен нулю, а модуль любого положительного числа – ему самому. Если аргумент отрицательный, то после раскрытия скобок его знак меняется с минуса на плюс. На основании этого вытекает вывод, что модули противоположных чисел равны: |-х| = |х| = х.

Модуль комплексного числа находится по формуле: |a| = √b ² + c ², а |a + b| ≤ |a| + |b|. Если в аргументе присутствует в виде множителя целое положительное число, то его можно вынести за знак скобки, например: |4*b| = 4*|b|.

Отрицательным модуль быть не может, поэтому любое отрицательное число преобразуется в положительное: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Если аргумент представлен в виде сложного числа, то для удобства вычислений допускается изменение порядка членов выражения, заключенного в прямоугольные скобки: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, поскольку (2-3) меньше нуля.

Если перед вами задача, в которой не указано условие раскрытия скобок модуля, то избавляться от них не нужно – это и будет конечный результат. А если требуется их раскрыть, то необходимо указать знак ±. Например, нужно найти значение выражения √(2 * (4-b)) ². Его решение выглядит следующим образом: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Поскольку знак выражения 4-b неизвестен, то его нужно оставить в скобках. Если добавить дополнительное условие, например, |4-b| > 0, то в итоге получится 2 * |4-b| = 2 *(4 — b). В качестве неизвестного элемента также может быть задано конкретное число, которое следует принимать во внимание, т.к. оно будет влиять на знак выражения.

Модуль – это абсолютная величина выражения. Чтобы хоть как-то обозначить модуль, принято использовать прямые скобки. То значение, которое заключено в ровных скобках, и является тем значением, которое взято по модулю. Процесс решения любого модуля заключается в раскрытии тех самых прямых скобок, которые математическим языком именуются модульными скобками. Их раскрытие происходит по определенному ряду правил. Также, в порядке решения модулей, находятся и множества значений тех выражений, которые находились в модульных скобках. В большей части всех случаев, модуль раскрывается таким способом, что выражение, которое было подмодульным, получает и положительные, и отрицательные значения, в числе которых также и значение ноль. Если отталкиваться от установленных свойств модуля, то в процессе составляются различные уравнения или же неравенства от исходного выражения, которые затем необходимо решить. Разберемся же с тем, как решать модули.

Процесс решения

Решение модуля начинается с записи исходного уравнения с модулем. Чтобы ответить на вопрос о том, как решать уравнения с модулем, нужно раскрыть его полностью. Для решения такого уравнения, модуль раскрывается. Все модульные выражения должны быть рассмотрены. Следует определить при каких значениях неизвестных величин, входящих в его состав, модульное выражение в скобках обращается в ноль. Для того чтобы это сделать, достаточно приравнять выражение в модульных скобках к нулю, а затем высчитать решение образовавшегося уравнения. Найденные значения нужно зафиксировать. Таким же способом нужно определить еще и значение всех неизвестных переменных для всех модулей в данном уравнении. Далее необходимо заняться определением и рассмотрением всех случаев существования переменных в выражениях, когда они отличны от значения ноль. Для этого нужно записать некоторую систему из неравенств соответственно всем модулям в исходном неравенстве. Неравенства должны быть составлены так, чтоб они охватывали все имеющиеся и возможные значения для переменной, которые находят на числовой прямой. Затем нужно начертить для визуализации эту самую числовую прямую, на которой в дальнейшем отложить все полученные значения.

Практически все сейчас можно сделать в интернете. Не является исключением из правил и модуль. Решить онлайн его можно на одном из многочисленных современных ресурсов. Все те значения переменной, которые находятся в нулевом модуле, будут особым ограничением, которое будет использовано в процессе решения модульного уравнения. В исходном уравнении требуется раскрыть все имеющиеся модульные скобки, при этом, изменяя знак выражения, таким образом, чтобы значения искомой переменной совпадали с теми значениями, которые видно на числовой прямой. Полученное уравнение необходимо решить. То значение переменной, которое будет получено в ходе решения уравнения, нужно проверять на ограничение, которое задано самим модулем.

Если значение переменной полностью удовлетворяет условие, то оно является правильным. Все корни, которые будут получены в ходе решения уравнения, но не будут подходить по ограничениям, должны быть отброшены.
Одна из самых сложных тем для учащихся – это решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. Давайте разберемся для начала с чем же это связано? Почему, например, квадратные уравнения большинство детей щелкает как орешки, а с таким далеко не самым сложным понятием как модуль имеет столько проблем?
На мой взгляд, все эти сложности связаны с отсутствием четко сформулированных правил для решения уравнений с модулем. Так, решая квадратное уравнение, ученик точно знает, что ему нужно сначала применять формулу дискриминанта, а затем формулы корней квадратного уравнения. А что делать, если в уравнении встретился модуль? Постараемся четко описать необходимый план действий на случай, когда уравнение содержит неизвестную под знаком модуля. К каждому случаю приведем несколько примеров.

Но для начала вспомним определение модуля . Итак, модулем числа a называется само это число, если a неотрицательно и -a , если число a меньше нуля. Записать это можно так:
|a| = a, если a ≥ 0 и |a| = -a, если a
Говоря о геометрическом смысле модуля, следует помнить, что каждому действительному числу соответствует определенная точка на числовой оси – ее координата. Так вот, модулем или абсолютной величиной числа называется расстояние от этой точки до начала отсчета числовой оси. Расстояние всегда задается положительным числом. Таким образом, модуль любого отрицательного числа есть число положительное. Кстати, даже на этом этапе многие ученики начинают путаться. В модуле может стоять какое угодно число, а вот результат применения модуля всегда число положительное.

Теперь перейдем непосредственно к решению уравнений.
1. Рассмотрим уравнение вида |x| = с, где с – действительное число. Это уравнение можно решить с помощью определения модуля.
Все действительные числа разобьем на три группы: те, что больше нуля, те, что меньше нуля, и третья группа – это число 0. Запишем решение в виде схемы:
{±c, если с > 0
Если |x| = c, то x = {0, если с = 0
{нет корней, если с
1) |x| = 5, т.к. 5 > 0, то x = ±5;
2) |x| = -5, т.к. -5
3) |x| = 0, то x = 0.
2. Уравнение вида |f(x)| = b, где b > 0. Для решения данного уравнения необходимо избавиться от модуля. Делаем это так: f(x) = b или f(x) = -b. Теперь необходимо решить отдельно каждое из полученных уравнений. Если в исходном уравнении b

1) |x + 2| = 4, т.к. 4 > 0, то
x + 2 = 4 или x + 2 = -4
2) |x 2 – 5| = 11, т.к. 11 > 0, то
x 2 – 5 = 11 или x 2 – 5 = -11
x 2 = 16 x 2 = -6
x = ± 4 нет корней
3) |x 2 – 5x| = -8 , т.к. -8
3. Уравнение вида |f(x)| = g(x). По смыслу модуля такое уравнение будет иметь решения, если его правая часть больше или равна нулю, т.е. g(x) ≥ 0. Тогда будем иметь:
f(x) = g(x) или f(x) = -g(x) .
1) |2x – 1| = 5x – 10. Данное уравнение будет иметь корни, если 5x – 10 ≥ 0. Именно с этого и начинают решение таких уравнений.
1. О.Д.З. 5x – 10 ≥ 0
2. Решение:
2x – 1 = 5x – 10 или 2x – 1 = -(5x – 10)
3. Объединяем О.Д.З. и решение, получаем:
Корень x = 11/7 не подходит по О.Д.З., он меньше 2, а x = 3 этому условию удовлетворяет.

Ответ: x = 3
2) |x – 1| = 1 – x 2 .
1. О.Д.З. 1 – x 2 ≥ 0. Решим методом интервалов данное неравенство:
(1 – x)(1 + x) ≥ 0
2. Решение:
x – 1 = 1 – x 2 или x – 1 = -(1 – x 2)
x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0
x = -2 или x = 1 x = 0 или x = 1
3. Объединяем решение и О.Д.З.:
Подходят только корни x = 1 и x = 0.
Ответ: x = 0, x = 1.
4. Уравнение вида |f(x)| = |g(x)|. Такое уравнение равносильно двум следующим уравнениям f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).
1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Данное уравнение равносильно двум следующим:
x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 или x 2 – 5x +7 = -2x + 5
x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0
x = 3 или x = 4 x = 2 или x = 1
Ответ: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.
5. Уравнения, решаемые методом подстановки (замены переменной). Данный метод решения проще всего объяснить на конкретном примере. Так, пусть дано квадратное уравнение с модулем:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. По свойству модуля x 2 = |x| 2 , поэтому уравнение можно переписать так:
|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда будем иметь:
t 2 – 6t + 5 = 0. Решая данное уравнение, получаем, что t = 1 или t = 5. Вернемся к замене:
|x| = 1 или |x| = 5
x = ±1 x = ± 5
Ответ: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.
Рассмотрим еще один пример:
x 2 + |x| – 2 = 0. По свойству модуля x 2 = |x| 2 , поэтому
|x| 2 + |x| – 2 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда:
t 2 + t – 2 = 0. Решая данное уравнение, получаем, t = -2 или t = 1. Вернемся к замене:
|x| = -2 или |x| = 1
Нет корней x = ± 1
Ответ: x = -1, x = 1.
6. Еще один вид уравнений – уравнения со «сложным» модулем. К таким уравнениям относятся уравнения, в которых есть «модули в модуле». Уравнения данного вида можно решать, применяя свойства модуля.

1) |3 – |x|| = 4. Будем действовать так же, как и в уравнениях второго типа. Т.к. 4 > 0, то получим два уравнения:
3 – |x| = 4 или 3 – |x| = -4.
Теперь выразим в каждом уравнении модуль х, тогда |x| = -1 или |x| = 7.
Решаем каждое из полученных уравнений. В первом уравнении нет корней, т.к. -1
Ответ x = -7, x = 7.
2) |3 + |x + 1|| = 5. Решаем это уравнение аналогичным образом:
3 + |x + 1| = 5 или 3 + |x + 1| = -5
|x + 1| = 2 |x + 1| = -8
x + 1 = 2 или x + 1 = -2. Нет корней.
Ответ: x = -3, x = 1.
Существует еще и универсальный метод решения уравнений с модулем. Это метод интервалов. Но мы его рассмотрим в дальнейшем.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Одна из самых сложных тем для учащихся – это решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. Давайте разберемся для начала с чем же это связано? Почему, например, квадратные уравнения большинство детей щелкает как орешки, а с таким далеко не самым сложным понятием как модуль имеет столько проблем?

На мой взгляд, все эти сложности связаны с отсутствием четко сформулированных правил для решения уравнений с модулем. Так, решая квадратное уравнение, ученик точно знает, что ему нужно сначала применять формулу дискриминанта, а затем формулы корней квадратного уравнения. А что делать, если в уравнении встретился модуль? Постараемся четко описать необходимый план действий на случай, когда уравнение содержит неизвестную под знаком модуля. К каждому случаю приведем несколько примеров.
Но для начала вспомним определение модуля . Итак, модулем числа a называется само это число, если a неотрицательно и -a , если число a меньше нуля.
Записать это можно так:
|a| = a, если a ≥ 0 и |a| = -a, если a
Говоря о геометрическом смысле модуля, следует помнить, что каждому действительному числу соответствует определенная точка на числовой оси – ее координата. Так вот, модулем или абсолютной величиной числа называется расстояние от этой точки до начала отсчета числовой оси. Расстояние всегда задается положительным числом. Таким образом, модуль любого отрицательного числа есть число положительное. Кстати, даже на этом этапе многие ученики начинают путаться. В модуле может стоять какое угодно число, а вот результат применения модуля всегда число положительное.
Теперь перейдем непосредственно к решению уравнений.
1. Рассмотрим уравнение вида |x| = с, где с – действительное число. Это уравнение можно решить с помощью определения модуля.
Все действительные числа разобьем на три группы: те, что больше нуля, те, что меньше нуля, и третья группа – это число 0. Запишем решение в виде схемы:

{±c, если с > 0
Если |x| = c, то x = {0, если с = 0
{нет корней, если с
1) |x| = 5, т. к. 5 > 0, то x = ±5;
2) |x| = -5, т.к. -5
3) |x| = 0, то x = 0.
2. Уравнение вида |f(x)| = b, где b > 0. Для решения данного уравнения необходимо избавиться от модуля. Делаем это так: f(x) = b или f(x) = -b. Теперь необходимо решить отдельно каждое из полученных уравнений. Если в исходном уравнении b
1) |x + 2| = 4, т.к. 4 > 0, то
x + 2 = 4 или x + 2 = -4
2) |x 2 – 5| = 11, т.к. 11 > 0, то
x 2 – 5 = 11 или x 2 – 5 = -11
x 2 = 16 x 2 = -6
x = ± 4 нет корней
3) |x 2 – 5x| = -8 , т.к. -8
3. Уравнение вида |f(x)| = g(x). По смыслу модуля такое уравнение будет иметь решения, если его правая часть больше или равна нулю, т.е. g(x) ≥ 0. Тогда будем иметь:
f(x) = g(x) или f(x) = -g(x) .
1) |2x – 1| = 5x – 10. Данное уравнение будет иметь корни, если 5x – 10 ≥ 0. Именно с этого и начинают решение таких уравнений.
1. О.Д.З. 5x – 10 ≥ 0
2. Решение:
2x – 1 = 5x – 10 или 2x – 1 = -(5x – 10)
3. Объединяем О.Д.З. и решение, получаем:
Корень x = 11/7 не подходит по О.Д.З., он меньше 2, а x = 3 этому условию удовлетворяет.
Ответ: x = 3
2) |x – 1| = 1 – x 2 .
1. О.Д.З. 1 – x 2 ≥ 0. Решим методом интервалов данное неравенство:
(1 – x)(1 + x) ≥ 0
2. Решение:
x – 1 = 1 – x 2 или x – 1 = -(1 – x 2)
x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0
x = -2 или x = 1 x = 0 или x = 1
3. Объединяем решение и О.Д.З.:
Подходят только корни x = 1 и x = 0.
Ответ: x = 0, x = 1.
4. Уравнение вида |f(x)| = |g(x)|. Такое уравнение равносильно двум следующим уравнениям f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).
1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Данное уравнение равносильно двум следующим:
x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 или x 2 – 5x +7 = -2x + 5
x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0
x = 3 или x = 4 x = 2 или x = 1
Ответ: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.
5. Уравнения, решаемые методом подстановки (замены переменной). Данный метод решения проще всего объяснить на конкретном примере. Так, пусть дано квадратное уравнение с модулем:
x 2 – 6|x| + 5 = 0. По свойству модуля x 2 = |x| 2 , поэтому уравнение можно переписать так:
|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда будем иметь:
t 2 – 6t + 5 = 0. Решая данное уравнение, получаем, что t = 1 или t = 5. Вернемся к замене:
|x| = 1 или |x| = 5
x = ±1 x = ± 5
Ответ: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.
Рассмотрим еще один пример:
x 2 + |x| – 2 = 0. По свойству модуля x 2 = |x| 2 , поэтому
|x| 2 + |x| – 2 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда:
t 2 + t – 2 = 0. Решая данное уравнение, получаем, t = -2 или t = 1. Вернемся к замене:
|x| = -2 или |x| = 1
Нет корней x = ± 1
Ответ: x = -1, x = 1.
6. Еще один вид уравнений – уравнения со «сложным» модулем. К таким уравнениям относятся уравнения, в которых есть «модули в модуле». Уравнения данного вида можно решать, применяя свойства модуля.
1) |3 – |x|| = 4. Будем действовать так же, как и в уравнениях второго типа. Т.к. 4 > 0, то получим два уравнения:
3 – |x| = 4 или 3 – |x| = -4.
Теперь выразим в каждом уравнении модуль х, тогда |x| = -1 или |x| = 7.
Решаем каждое из полученных уравнений. В первом уравнении нет корней, т.к. -1
Ответ x = -7, x = 7.
2) |3 + |x + 1|| = 5. Решаем это уравнение аналогичным образом:
3 + |x + 1| = 5 или 3 + |x + 1| = -5
|x + 1| = 2 |x + 1| = -8
x + 1 = 2 или x + 1 = -2. Нет корней.
Ответ: x = -3, x = 1.
Существует еще и универсальный метод решения уравнений с модулем. Это метод интервалов. Но мы его рассмотрим в дальнейшем.
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Термин (module) в буквальном переводе с латинского означает «мера». Это понятие было введено в математику английским учёным Р. Котесом. А немецкий математик К. Вейерштрасс ввёл в обращение знак модуля — символ, которым это понятие обозначается при написании.
Вконтакте
Впервые данное понятие изучается в математике по программе 6 класса средней школы. Согласно одному из определений, модуль — это абсолютное значение действительного числа. Другими словами, чтобы узнать модуль действительного числа, необходимо отбросить его знак.
Графически абсолютное значение а обозначается как |a| .
Основная отличительная черта этого понятия заключается в том, что он всегда является неотрицательной величиной.
Числа, которые отличаются друг от друга только знаком, называются противоположными. Если значение положительное, то противоположное ему будет отрицательным, а ноль является противоположным самому себе.
Геометрическое значение
Если рассматривать понятие модуля с позиций геометрии, то он будет обозначать расстояние, которое измеряется в единичных отрезках от начала координат до заданной точки. Это определение полностью раскрывает геометрический смысл изучаемого термина.
Графически это можно выразить следующим образом: |a| = OA.
Свойства абсолютной величины
Ниже будут рассмотрены все математические свойства этого понятия и способы записи в виде буквенных выражений:
Особенности решения уравнений с модулем
Если говорить о решении математических уравнений и неравенств, в которых содержится module, то необходимо помнить, что для их решения потребуется открыть этот знак.
К примеру, если знак абсолютной величины содержит в себе некоторое математическое выражение, то перед тем как раскрыть модуль, необходимо учитывать действующие математические определения.
|А + 5| = А + 5 , если, А больше или равняется нулю.
5-А , если, А значение меньше нуля.
В некоторых случаях знак может раскрываться однозначно при любых значениях переменной.
Рассмотрим ещё одни пример. Построим координатную прямую, на которой отметим все числовые значения абсолютной величиной которых будет 5.
Для начала необходимо начертить координатную прямую, обозначить на ней начало координат и задать размер единичного отрезка. Кроме того, прямая должна иметь направление. Теперь на этой прямой необходимо нанести разметки, которые будут равны величине единичного отрезка.
Таким образом, мы можем увидеть, что на этой координатной прямой будут две интересующие нас точки со значениями 5 и -5.
Креативный урок алгебры в 9-м классе по теме «Графики уравнений, содержащих символ модуля» / Открытый урок
Тема урока: Графики уравнений, содержащих символ модуля.

Предмет: алгебра.

Тип урока: комбинированный.

  Рис. 1. Блок-схема урока

Продолжительность занятия: 90 минут.

Главная дидактическая цель урока: выявление области приложения темы «График уравнения» в алгебре и в её связи с геометрией, формирование знаний по данной теме при решении стандартных и нестандартных алгебраических задач. Развитие у учащихся навыков исследовательской работы.

Цели урока:

Формирование умений распознавать стандартные задачи в различных формулировках.

Формирование способности к интеграции знаний из различных тем курса математики.

Содействовать развитию логического мышления учащихся, умение выделять главное, обобщать.

Формирование исследовательской, креативной работы учащихся.

Воспитание графической культуры учащихся.

Совершенствование коммуникативной культуры учащихся.

Оборудование: доска, мультимедийное оборудование, раздаточный дидактический материал для учащихся.

План урока

1. Блок мотивации. Изучая темы «Графики функций» и «Векторы», мы обнаруживаем тесную связь геометрии и алгебры, и, естественно, возникает вопрос – нельзя ли геометрические фигуры такие как квадрат, прямоугольник, ромб, треугольник задавать алгебраическими уравнениями и иследовать свойства этих фигур алгебраическими методами. Выявлению этой связи между геометрией и алгеброй и будет посвящён урок. Мы введём новое понятие «График уравнения» и рассмотрим графики уравнений в алгебраических и графических задачах. (3 мин.)

2. Блок творческого разогрева. Повторение определения функции и графика функции. Обсуждение необходимости введения понятия «График уравнения».

Устная работа (20 мин.)

Актуализация знаний учащихся: повторение, анализ, обобщение.

Работа учащихся в следующих режимах: диалог, обсуждение, самостоятельная деятельность.

Материалы для проведения устной работы оформлены на доске.

Повторение определения функции и графика функции.

На доске представлены следующие чертежи (Рис. 2).

Каждый ученик получает раздаточный материал с этими чертежами.

Обсуждение:

1) На каких чертежах представлены графики функций? Почему?

2) Графики каких функций представлены на этих чертежах?

3) На каких чертежах графики не задают функции? Почему?

Обсуждается необходимость введения понятия графика уравнения.

Определение: Графиком уравнения называют множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению.

Рис. 2.

3. Теоретический блок 1. Изображение множества точек, координаты которых удовлетворяют заданным условиям. Ведущие идеи: симметрия, сдвиг графика уравнения (Рис. 3).

Рис. 3.

Обсуждается наилучший способ построения графика этого уравнения.

Варианты:
1. Решить задачу “в лоб”: раскрыть модули в четырёх случаях:

3. Замечаем, что переменные

входят в уравнение симметрично.

Так как, то график уравнения должен быть симметричным как относительно оси , так и относительно оси

Рис. 4

Рис. 5

4. Блок экспериментов.

Эксперимент. Преобразовать уравнение которое описывает квадрат так, чтобы уравнение задавало ромб.

Гипотеза: уравнение должно иметь вид:

После обсуждения учащиеся получают задание на два варианта:

Построить графики уравнений:

Рис. 6 Рис. 7

Рис. 8.

Гипотеза: график уравнения получается из графика уравнения в результате сдвига на две единицы вправо вдоль оси и на две единицы в отрицательном направлении вдоль оси График уравнения будет представлять собой квадрат, центр симметрии которого находится в точке Осями симметрии квадрата будут прямые

Рис. 9.

Выполняется непосредственная проверка гипотезы. Раскрываются модули в четырёх случаях:

6. Блок экспериментов 2.

Эксперимент 1. Построить график уравнения:

Рассматриваем четыре случая:

График уравнения представляет собой квадрат центром симметрии которого является точка сторона Рис. 10.

которого а площадь .

Рис. 11.

Рис. 12

7. Теоретический блок 3. Методика применения полученных знаний и навыков при решении уравнений некоторых типов с модулем и   параметром.

Задание: Решить уравнение

При решении уравнений и неравенств с одним неизвестным, содержащих параметр, удобно проводить исследование на координатно-параметрической плоскости (Значение параметра будем откладывать по вертикальной оси, а значение неизвестного по горизонтальной оси).

Построим на плоскости график данного уравнения. Для этого построим прямые и , которые разобьют плоскость на 4 части.

Рис. 13

8. Блок постановки творческих задач.

Обсуждение и комментарии к домашнему заданию (7 мин.).

Домашнее задание к следующему уроку будет содержать:

1) Обязательная часть (индивидуальная работа) (Рис. 14).

Рис. 14.

При решении задания 4 допускается совместное творчество.

2) Творческая часть (допускается совместное творчество) (Рис. 15).

Рис. 15.

Учащиеся должны построить графики этих уравнений и убедиться в том, что одно уравнение описывает параллелограмм, а второе – треугольник. Учащимся предлагается поэкспериментировать с этими уравнениями, меняя коэффициенты при неизвестных, и понаблюдать как это влияет на геометрию получаемых геометрических фигур. Результаты этой самостоятельной работы учащиеся смогут продемонстрировать на следующем уроке.

Блок резюме.

1. Учащиеся формулируют главные выводы урока:

— Дано определение графика уравнения в сравнении с определением графика функции.

— Научились строить графики уравнений, содержащих символ модуля.

— Установили связь геометрии с алгеброй: различные геометрические фигуры могут быть заданы алгебраическими уравнениями. В частности, были построены квадрат, ромб и прямоугольник.

— Познакомились графическим методом решения уравнений с модулем и параметром, с использованием навыков полученных при построении графиков уравнений.

2. Оценивание работы учащихся: самооценка, взаимооценка, оценка работы учащихся учителем.
3. Выяснение мнения учащихся об уроке.

Ссылки на источники

А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев Алгебра 9. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2013.

И. Ф. Шарыгин. Факультативный курс по математике 10. – М. «Просвещение», 1989.

В. Г. Болтянский, Ю. В. Сидоров, М. И Шабунин. Лекции и задачи по элементарной математике. Издательство “Наука”, М. 1974.

Скачать публикацию
уравнений абсолютного значения | Brilliant Math & Science Wiki
Возьмите пример для описания следующей методологии:
1) Понимание абсолютного значения — положительный, отрицательный регистр (или графовой подход)
2) Определение возможных решений
3) Проверка решений
Объясните — как мы используем эту технику для решения уравнений абсолютного значения?
Не забудьте проверить возможные решения — почему и как?
2-3 примера в порядке возрастания сложности — объясняющие, как мы возводили обе стороны в квадрат для решения более сложных задач 92. (3x+4)2=(2x−7)2. Здесь нам не нужно расширять обе стороны; просто примените разницу двух квадратов, чтобы найти множители: (3x+4+2x−7)(3x+4−2x+7)=0(5x−3)(x+11)=0.\begin{выровнено} (3х+4+2х-7)(3х+4-2х+7)&=0 \\ (5x-3)(x+11)&=0. \end{выровнено} (3x+4+2x−7)(3x+4−2x+7)(5x−3)(x+11)=0=0. Решения {35,−11}. □ \ влево \ {\ гидроразрыва {3} {5}, -11 \ вправо \}. \ _ \квадрат{53,−11}. □
Поскольку абсолютное значение может быть определено как кусочная функция, в зависимости от того, где находится значение xx x относительно числовой прямой, вам придется работать с другой «частью» кусочной функции.
Общие шаги:
Используя определение абсолютного значения как кусочной функции, «отменить» знак(и) абсолютного значения и записать случаи. Например, мы знаем, что выражение в знаке абсолютного значения может быть как положительным, так и отрицательным.
Решите каждый случай для x xx.
Проверьте решения.
Найдите все действительные значения xxx такие, что ∣3x−4∣−2=3. | 3x — 4 | — 2 = 3.∣3x−4∣−2=3.
Сначала мы изолируем абсолютное значение на одной стороне:
∣3x−4∣−2=3∣3x−4∣=5.\begin{выровнено} | 3x — 4 | — 2 & = 3\\ | 3x — 4 | &= 5. \end{выровнено}∣3x−4∣−2∣3x−4∣=3=5.
Теперь мы «отменяем» знаки абсолютного значения и разделяем уравнение на два его случая, положительный случай и отрицательный случай:
(3x−4)=5 или −(3x−4)=53x−4=5 или −3x+4=53x=9, либо −3x=1x=3, либо x=−13. □\begin{массив}{rlcccrl} (3x — 4) &= 5 &&\text{ или } && -(3x — 4) &= 5\\ 3x — 4 &= 5 &&\text{ или } && -3x + 4 &= 5\\ 3x &= 9&&\текст{ или } && -3x &= 1\\ x &= 3 &&\text{ или } && x &= -\frac{1}{3}. \ _\площадь \end{массив}(3x−4)3x−43xx=5=5=9=3или  или  или  или −(3x−4)−3x+4−3xx=5=5=1= −31. □
Найдите все действительные значения xx x такие, что ∣x+1∣+∣2x+3∣=5 |x+1| + |2x+3| = 5 ∣х+1∣+∣2х+3∣=5.
Возможны четыре случая, но один будет исключен из-за невозможности:
Случай 1. Если x+1x+1 x+1 и 2x+3 2x+3 2x+3 оба положительны, то
х+1+2х+3=53х+4=53х=1х=13.\begin{выровнено} х+1 + 2х+3 &= 5 \\ 3x + 4 &= 5 \\ 3x &= 1 \\ х &= \dfrac{1}{3}. \end{выровнено} x+1+2x+33x+43xx=5=5=1=31.
Случай 2. Если x+1 x+1 x+1 отрицательно, а 2x+3 2x + 3 2x+3 положительно, то −x−1+2x+3=5x+2=5x=3.\begin{выровнено} — х — 1 + 2х + 3 &= 5 \ х + 2 &= 5 \\ х &= 3. \end{выровнено} −x−1+2x+3x+2x=5=5=3. Однако, когда x=3 x = 3 x=3, x+1 x+1 x+1 и 2x+3 2x+3 2x+3 оба положительны, поэтому это неверное решение уравнения.
Случай 3. Если x+1 x+1 x+1 и 2x+3 2x+3 2x+3 оба отрицательны, то −x−1−2x−3=5−3x−4=5−3x=9x=−3.\begin{выровнено} -х — 1 — 2х — 3 &= 5 \\ -3x — 4 &= 5\ -3x&=9\ х &= -3. \end{выровнено} −x−1−2x−3−3x−4−3xx=5=5=9=−3.
Случай 4. Если x+1 x +1 x+1 положительно, а 2x+3 2x + 3 2x+3 отрицательно, то это невозможный случай. Нарисуйте две линии, если вы не уверены.
Таким образом, набор решений равен {−3,13}. □\влево \{-3, \frac{1}{3} \right \}.\ _\квадрат{−3,31}. □
Найдите все действительные значения xxx такие, что
∣x+2∣+∣2x+6∣+∣3x−3∣=12.|x+2|+|2x+6|+|3x-3|=12.∣x+2∣+∣2x+ 6∣+∣3x−3∣=12.
В этой задаче мы имеем дело с тремя членами абсолютных значений. Их поворотные точки (значения xxx, при которых они меняют знак) трех членов: x=-2,x=-3,x=1,x=-2, x=-3, x=1,x=- 2,x=−3,x=1 соответственно. Следовательно, нам нужно проверить случаи −∞
Случай 1. −∞ В этом случае три члена всегда будут отрицательными. Следовательно, −(x+2)−(2x+6)−(3x−3)=12x=−176.\begin{выровнено} -(х+2)-(2х+6)-(3х-3)&=12 \\ х &= -\фракция{17}{6}. \end{выровнено}-(x+2)-(2x+6)-(3x-3)x=12=-617. Однако x=−176>−3x=-\frac{17}{6} >-3x=−617>−3 не входит в область значений −∞ Таким образом, это решение недействительно.
Случай 2. −3 В этом случае три условия будут отрицательными, положительными и отрицательными соответственно. Следовательно, −(x+2)+(2x+6)−(3x−3)=12x=−52.\begin{выровнено} -(х+2)+(2х+6)-(3х-3)&=12 \\ х &= -\фракция{5}{2}. \end{выровнено}−(x+2)+(2x+6)−(3x−3)x=12=−25. x=−52x=-\frac{5}{2}x=−25 лежит между −3-3−3 и −2-2−2. Таким образом, x=−52\boxed{x=-\frac{5}{2}}x=−25 является одним из решений.
Случай 3. −2 В этом случае три члена будут положительными, положительными и отрицательными соответственно. Однако, (x+2)+(2x+6)−(3x−3)=11≠12.\begin{выровнено} (х+2)+(2х+6)-(3х-3)=11 \neq 12. \end{выровнено}(x+2)+(2x+6)−(3x−3)=11=12. Таким образом, в этой области решения нет.
Случай 4. 1 В этом случае три члена всегда положительны. Следовательно, (x+2)+(2x+6)+(3x−3)=12x=76,\begin{выровнено} (х+2)+(2х+6)+(3х-3)&=12 \\ х &= \фракция{7}{6}, \end{выровнено}(x+2)+(2x+6)+(3x−3)x=12=67, который лежит между 111 и ∞\infty∞. Таким образом, x=76\boxed{x=\frac{7}{6}}x=67 – другое решение.
Таким образом, x=−52x=-\frac{5}{2}x=−25 и x=76x=\frac{7}{6}x=67 являются решениями данного уравнения. □_\квадрат□ 92 + х + 2 &= 0 \\ x &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 — 4 \cdot 1 \cdot 2 }}{2}. \end{выровнено} −x(x+1)−2−x2−x−2×2+x+2x=0=0=0=2−1±1−4⋅1⋅2. Мы просили только реальные решения, поэтому на данный момент мы игнорируем этот случай, потому что собираемся получить воображаемые результаты.
Случай 3. x\, xx положительный, x+1 x +1 x+1 отрицательный
Это невозможный случай (нарисуйте линии, и вы поймете, почему), поэтому мы можем его игнорировать.
Случай 4. x,x+1\, x, x+1 x,x+1 оба отрицательные
Поскольку они оба отрицательные, отрицательные в конечном итоге «отменяются» и становятся положительными, что и было в Случае 1. Однако ограничение отличается от Случая 1 (здесь как x x x, так и x+1 x +1 x +1 должен быть отрицательным, а не положительным ), поэтому вместо отклонения x=−2 x = -2 x=-2 мы отклоняем x=1 x = 1 x=1 из этого случая. По сути, в этом конкретном случае 4 x=1 x = 1 x=1 не является возможным решением, но это не означает, что это невозможно решение для случая 1, потому что мы просто идем по частям в этой кусочной функции: — в итоге возьмем объединение всех возможных решений.
Таким образом, решения равны {−2,1} \left \{ -2, 1 \right \} {−2,1}. □_\квадрат□
Иногда уравнения с абсолютными значениями имеют смехотворное количество случаев, и рассмотрение каждого случая заняло бы слишком много времени. Следовательно, вместо этого мы можем построить графики уравнений абсолютного значения, используя определение абсолютного значения как кусочной функции. Чтобы получить каждую часть, вы должны выяснить домен каждой части. Этот метод очень полезен, когда автор вопроса запрашивает количество решений, а не фактические решения. Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы увидеть, как это делается.
Найдите все действительные решения уравнения ∣3x−4∣=5 |3x-4| = 5 ∣3x−4∣=5.
На графике есть два возможных случая: когда 3x−4 3x — 43x−4 положительно, и когда 3x−4 3x-4 3x−4 отрицательно.
Когда 3x−4 3x-4 3x−4 положительно? 3x−4>03x>4x>43.\begin{выровнено} 3x — 4 &> 0 \ 3x &> 4 \\ х &> \dfrac{4}{3}. \end{выровнено} 3x−43xx>0>4>34. (Кроме того, когда x<43 x < \frac{4}{3} x<34, 3x−4 3x- 4 3x−4 будет отрицательным.)
Мы знаем, что будет «поворотный момент» в точке x=43 x = \frac{4}{3} x=34 для графика y=∣3x−4∣ y = |3x-4| у=∣3x−4∣.
Наконец, используя определение абсолютной величины, мы знаем, что когда x>43 x > \frac{4}{3} x>34, y=3x−4 y = 3x — 4 y=3x−4, а когда x⩽43 x \leqslant \frac{4}{3} x⩽34, y=−3x+4 y = -3x + 4 y=−3x+4. Теперь нам просто нужно построить график y=5 y = 5 y=5 и найти пересечения.
Вы видите, что решения равны {−13,3}. □\left \{ -\frac{1}{3} , 3 \right \}.\ _\square{−31,3}. □.
Еще одним преимуществом этого графического метода является то, что вам не нужно проверять какое-либо из решений — поскольку мы рисуем только те части, которые действительно математически возможны, мы получаем все решения, которые мы ищем, не меньше и не больше. Если вы не смогли различить решения на картинке, вы можете просто решить уравнение для каждого случая.
Найдите все действительные решения уравнения ∣x+1∣+∣2x+3∣=5 |x+1| + |2x+3| = 5 ∣х+1∣+∣2х+3∣=5.
Возможные случаи
\hspace{0.5cm} 1. x+1,2x+3 \, x+1, 2x+3 x+1,2x+3 оба положительны;
\hspace{0.5cm} 2. x+1 \, x+1 x+1 отрицательно и 2x+3 2x+3 2x+3 положительно;
\hspace{0.5cm} 3. x+1,2x+3 \, x+1 , 2x + 3 x+1,2x+3 оба отрицательны.
Нам нужно определить домены, для которых выполняется каждое из этих условий.
Случай 1 имеет место, когда x>−1 x > -1 x>−1.
Случай 2 выполняется, когда −32 Случай 3 выполняется, когда x<−32 x < -\frac{3}{2} x<−23.
Теперь давайте напишем нашу кусочную функцию.
Когда x>-1 x > -1 x>-1, мы имеем y=x+1+2x+3=3x+4 y = x+1 + 2x + 3 = 3x + 4 y=x+1+2x +3=3x+4.
Когда −32 Когда x<−32 x < - \dfrac{3}{2} x<−23, мы имеем y=−x−1−2x−3=−3x−4 y = -x - 1 -2x - 3 = -3x -4 y=-x-1-2x-3=-3x-4.
Как вы можете видеть на графике, решения данного уравнения равны {−3,13}. □\влево \{-3, \frac{1}{3} \right \}.\ _\квадрат{−3,31}. □ .
Найдите все действительные решения ∣x∣∣x+1∣=2 |x||x+1| = 2 ∣x∣∣x+1∣=2.
Для построения графика снова рассмотрим только возможные случаи и когда они произойдут:
\hspace{0.5cm} 1. x,x+1\, x, x+1 x,x+1 оба положительные
\hпробел{0,5 см} 2. 92 — х у=-х(х+1)=-х2-х.
Очевидно, что решения равны {−2,1}. □\{-2, 1\}.\ _\квадрат{−2,1}. □
Какой-либо другой метод (факт, определение), который вы можете использовать для решения проблем? В противном случае переходите к следующему.
3-4 примера, решенные с использованием комбинации более чем одного из вышеперечисленных методов
Добавить вспомогательный текст между ними. Направляющий текст означает формулировку раздела таким образом, чтобы он продолжал сообщать читателю, что происходит в этом разделе. 92-2x-4&=0\\ х&=1\pm \sqrt{5}\\ х&=1+\кварт{5}. \qquad (\text{с } x\ge 1) \end{align}x2−xx2−2x−4xx=x−1+5=0=1±5=1+5.(так как x≥1)
Таким образом, приведенные выше три случая дают два решения x=−1−7x=-1-\sqrt{7}x=−1−7 и x=1+5,x=1+\sqrt{5}, x=1+5, сумма которых равна 5−7.\sqrt{5}-\sqrt{7}.5−7. □_\квадрат□
[IMO 1959/2] Решите уравнение x+2x−1+x−2x−1=A\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=Ax +2x−1+x−2x−1=A для действительных xxx (где квадратные корни определены только для неотрицательных значений), когда 92+2}{4}=\frac{3}{2}.\ _\squarex=422+2=23. □
Что произойдет, если мы позволим квадратным корням принимать отрицательные значения?
Иногда в задачах минимизации нам часто помогает увидеть, что значение выражения внутри абсолютного значения не меньше 0.
-5 0 5 10
y=∣∣∣x−5∣+5∣−5∣+5 y = \Big| \большой| \маленький| х — 5 \маленький| + 5 \большой| — 5 \Большой| + 5 y=∣∣∣∣∣∣x−5∣+5∣∣−5∣∣∣+5
Каково наименьшее возможное значение yyy?
Обозначение : ∣⋅∣ | \кдот | ∣⋅∣ обозначает функцию абсолютного значения.
Абсолютное значение – свойства и примеры
Что такое абсолютное значение?
Абсолютное значение относится к расстоянию точки от нуля или начала координат на числовой прямой, независимо от направления. Абсолютное значение числа всегда положительно.
Абсолютное значение числа обозначается двумя вертикальными чертами, заключающими число или выражение. Например, абсолютное значение числа 5 записывается как |5| = 5. Это означает, что расстояние от 0 равно 5 единицам:
Точно так же абсолютное значение отрицательного числа 5 обозначается как |-5| = 5. Это означает, что расстояние от 0 составляет 5 единиц:
Число не только показывает расстояние от начала координат, но также важно для построения графика абсолютного значения.
Рассмотрим выражение | х | > 5. Чтобы представить это на числовой прямой, вам нужны все числа, абсолютная величина которых больше 5. Это делается графически, помещая открытую точку на числовой строке.
Рассмотрим другой случай, когда | х | = 5. Сюда входят все абсолютные значения, которые меньше или равны 5. Это выражение изображается на графике путем помещения закрытой точки на числовую прямую. Знак равенства указывает, что все сравниваемые значения включены в график.
Простой способ представления выражений с помощью неравенств заключается в следовании следующим правилам.
Для | х | < 5, -5 < x < 5
Для | х | = 5, -5 = x = 5
Для |x + 6| < 5, -5 < x + 6 < 5
Свойства абсолютного значения
Абсолютное значение обладает следующими фундаментальными свойствами:
Неотрицательность |a| ≥ 0
Положительная определенность |a| = 0a = 0
Мультипликативность         |ab| = |а| |б|
Субаддитивность |a + b| ≤ |а| + |б|
Идемпотентность ||a|| = |а|
Симметрия |−a| = |а|
Тождество неразличимого |a − b| = 0 ⇔ а = б
Неравенство треугольника |a − b| ≤ |а — с| + |с — б|
Сохранение деления |a/b|=|a|/|b| если  b ≠ 0
Пример 1
Упростить -|-6|
Решение
Преобразование символов абсолютного значения в круглые скобки
–| –6 | = – (6)
Теперь я могу взять минус через скобки:
– (6) = – 6
Пример 2
Найдите возможные значения x.
|4x| = 16
Решение
В этом уравнении 4x может быть как положительным, так и отрицательным. Таким образом, мы можем написать его как:
4x = 16 или -4x = 16
Разделите обе стороны на 4.
x = 4 или x = -4
Следовательно, два возможных значения x равны -4 и 4.
Пример 3
Решите следующие задачи:
а)        Решить | –9|
Ответить
| –9| = 9
б)        Упростить | 0 – 8 |.
Ответить
| 0 – 8 | = | –8 | = 8
c)        Решить | 9 – 3 |.
Ответить
| 9 – 3 | = | 6| = 6
d)        Упростить | 3 – 7 |.
Ответить
| 3 – 7 | = | –4 | = 4
e)        Тренировка | 0 (–12) |.
Ответить
| 0(–12) | = | 0 | = 0
f)         Упростить | 6 + 2(–2) |.
Ответить
| 6 + 2(–2) | = | 6 – 4 | = | 2| = 2
г)        Решить –| –6 |.
Ответить
–| –6| = – (6) = –6
ч)        Упростить –| (–7) ² |.
Ответить
–| (–7) ² | = –| 49 | = –49
i)         Вычислить –| –9| ²
Ответить
–| –9 | ² = – (9) ² = –(4) = –81
j)         Упростить (–| –3|) ² .
Ответ
( — | –3 |) ² = ( — (3)) ² = (–3) ² = 9
Пример 4 9
2
. -|-7 + 4|
Решение
Прежде всего, начните с вычисления выражений в символах абсолютного значения:
-|-7 + 4| = -|-3|
Ввести круглые скобки
-|-3| = -(3) = -3
Итак, ответ равен -3.
Пример 5
Водолаз находится на -20 футов ниже поверхности воды. Какое расстояние ему нужно проплыть, чтобы выбраться на поверхность?
Решение
Ему нужно поплавать |-20| = 20 футов.
Пример 6
Вычислить абсолютное значение 19 – 36(3) + 2(4 – 87)?
Решение
19 -36 (3) + 2 (4 -87)
= 19 -108 + 2 (-83)
= 19 -108 -166
= -255
Пример 7
Решите уравнение, определив абсолютные значения,
2 |-2 × – 2| – 3 = 13
Решение
Перепишите выражение со знаком абсолютного значения с одной стороны.
Добавьте 3 к обеим частям выражения
2 | – 2 × – 2| – 3 + 3 = 13 + 3
2 | – 2 × – 2| = 16
Разделите обе части на 2.
|- 2 × – 2| = 8
Оставшееся уравнение такое же, как и для записи выражения в виде:
– 2 × – 2 = 8 или – 8
a) -2 x – 2 = 8
Теперь найдите x
х = – 5
б) – 2 х – 2 = – 8
х = 3
Правильный ответ: (-5, 3).
Пример 8
Вычислить действительные значения выражения с абсолютным значением.
|х – 1| = 2x + 1
Решение
Один из методов решения этого уравнения заключается в рассмотрении двух случаев:
a) Предположим, что x – 1 ≥ 0, и перепишем выражение в следующем виде:
x – 1 = 2x + 1
Вычислить значение x
x = -2
b) Предположим, что x – 1 ≤ 0, и перепишем это выражение как
-(x – 1) = 2x + 1
– x + 1 = 2x + 1
найти x как
x = 0
Важно проверить правильность решений уравнения, поскольку все значения x были приняты.
Замена x на – 2 в обеих частях выражения дает.
| (-2) – 1| = |-2 + 1| = 1 в левой части и 2(-2) + 1 = – 3 в правой части
Поскольку два уравнения не равны, следовательно, x = -2 не является ответом на это уравнение.
Проверка x = 0
Замена x на 0 в обеих частях уравнения дает:
|(0) – 1| = 1 слева и 2(0) + 1 = 1 справа.
Два выражения равны, поэтому x = 0 является решением этого уравнения.
Полное руководство — Mashup Math
Следующее пошаговое руководство покажет вам, как легко решать уравнения с абсолютными значениями и функции с абсолютными значениями (алгебра)
Добро пожаловать в это бесплатное пособие, которое прилагается к этому учебному пособию по решению уравнений с абсолютными значениями, где вы узнаете ответы на следующие ключевые вопросы и информацию:
Как решить уравнение с абсолютными значениями
Как решить функцию абсолютного значения
Как найти оба решения уравнения абсолютного значения
Почему абсолютное значение всегда положительное?
Это Полное руководство по решению уравнений с абсолютными значениями включает несколько примеров, пошаговое руководство и анимированное видеоруководство.
*Это руководство к уроку сопровождает наше анимированное объяснение решения уравнений с абсолютными значениями! видео.
Хотите больше бесплатных уроков математики и видео? Подпишитесь на наш канал бесплатно!
Перед тем, как приступить к нескольким примерам уравнений с абсолютными значениями, давайте быстро просмотрим некоторую важную информацию:
Факт: Любое значение внутри полос абсолютного значения представляет собой либо положительное число, либо ноль.
Обратите внимание, что график абсолютного значения на рис. 1 имеет диапазон y больше или равен 0 (никогда не бывает отрицательным)
Рисунок 1: Родительская функция для абсолютного значения.
Кроме того, рассмотрим пример ниже:
Есть два значения, которые сделают это уравнение верным!
Абсолютное значение 5 И абсолютное значение -5 оба равны положительным 5.
Это должно иметь смысл, когда вы рисуете линию y=5 на графике функции абсолютного значения, потому что вы можете видеть, что есть два пересечения точки и, следовательно, два решения.
Функции абсолютного значения могут иметь до двух решений!
Теперь вы знаете, что АБСОЛЮТНЫЕ УРАВНЕНИЯ МОГУТ ИМЕТЬ ДВА РЕШЕНИЯ.
Теперь вы готовы попробовать несколько примеров.
Мы будем использовать следующий трехэтапный процесс, который можно использовать для решения любого уравнения абсолютного значения:
ШАГ ПЕРВЫЙ: Изолируйте абсолютное значение
В этом примере абсолютное значение уже изолировано с одной стороны от знака равенства, что означает, что кроме абсолютного значения нет других членов, поэтому вы можете перейти к шагу два.
ШАГ ВТОРОЙ: Найдите положительное И Найдите отрицательное
На втором шаге вы должны взять исходное уравнение |x+3| = 6 и разделите его на два уравнения, одно из которых равно ПОЗИТИВНОМУ 6, а другое равно ОТРИЦАТЕЛЬНОМУ 6. Вы также избавитесь от полос абсолютного значения.
Составьте два уравнения (положительное и отрицательное) и уберите столбцы абсолютных значений.
Теперь вам нужно решить каждое уравнение относительно x следующим образом:
Теперь вы пришли к выводу, что есть два решения для |x+3|=6, x=3 и x=-9.
ШАГ ТРЕТИЙ: Проверьте свой ответ
Наконец, сделайте быструю проверку, подставив оба ответа в исходное уравнение |x+3|=6, чтобы убедиться, что они верны:
Слева: заменить x на 3. Справа: заменить x на -9
Оба уравнения верны.
Поскольку проверки выполнены, вы можете заключить, что:
Окончательный ответ: Решениями для |x+3|=6 являются x=3 и x=-9
Опять же, вы будете следовать трехэтапному процессу решения этого уравнения абсолютного значения:
ШАГ ПЕРВЫЙ: Изолируйте абсолютное значение
В отличие от последнего примера, абсолютное значение еще не изолировано с одной стороны от знака равенства, потому что снаружи находится +8, которое необходимо переместить на другую сторону следующим образом:
Шаг первый: Выделите абсолютное значение!
Теперь абсолютное значение изолировано.
Теперь, когда вы выделили абсолютное значение с одной стороны знака равенства, вы готовы к следующему шагу.
No related posts.