Это и есть разложение на множители, там конечно же если тебе нужно продолжить просто вторую скобку раскрой как разность кубов
1 2 > >>
3.6.3.3. Разложение многочлена на множители
Пример 7.
1 | = | A1x + B1 | + |
| A2 x + B2 |
| + | A3 x + B3 | ||||||
x4 ( x2 +1)3 | x2 +1 |
| (x2 +1)2 | ( x2 +1)3 | ||||||||||
|
|
|
| |||||||||||
| + C1 | + | C2 |
| + | C3 | + | C4 | . |
|
| |||
| x2 |
| x3 |
|
|
| ||||||||
|
| x |
|
|
|
|
| x4 |
|
| ||||
Упражнения. Разложите на простые дроби рациональные выражения 1–9:
1) | 1 |
| ; |
| 2) | 1 | ; |
|
| 3) | 5x −1 | ; |
|
| |
( x −3)( x +2) |
| x( x −3)( x +2) |
|
| x( x −3)( x +2) |
|
| ||||||||
4) | 1 | ; |
|
|
| 5) | 5x −1 |
| ; |
| 6) | x −4 |
| ; |
|
x2 ( x −3) |
|
|
| x2 (x −3)( x +2) |
| x3 ( x −3)2 (x +2) |
| ||||||||
7) | 1 |
|
|
| ; | 8) | 1 |
|
| ; | 9) | 1 |
|
| . |
(x +1)( x2 +4) |
| (x +1)( x2 +3x +4)2 | (x +1)2 ( x2 +3x +4)2 | ||||||||||||
Один из этапов разложения правильной дроби на сумму простых дробей заключается в разложении на множители знаменателя Q(x) этой дроби.
В соответствии с основной теоремой алгебры,
Любой многочлен целой степени можно разложить на множители, каждый из которых является либо линейным, либо неприводимым квадратичным многочленом.Примеры, иллюстрирующие основную теорему алгебры.
• В разложении кубического многочлена x3 +2×2 − x −2 содержатся только линейные множители:
x3 +2×2 − x −2 = (x3 − x) +2( x2 −1)
=x(x2 −1) +2( x2 −1)
=(x2 −1)( x +2)
=(x −1)( x +1)( x +2).
• Кубический многочлен x3 −5×2 +11x −15 разлагается на линейный и неприводимый квадратичный многочлены:
x3 −5×2 +11x −15 = ( x3 −3×2 ) −(2×2 −6x) +(5x −15)
=x2 (x −3) −2x(x −3) +5( x −3)
=( x −3)( x2 −2x +5).
• Квадратичный многочлен x2 + 6x +9 представляет собой двукратно вырожденный линейный многочлен x2 + 6x + 9 =(x +3)2 .
66
• Многочлен x4 + 2×2 +1 | представляет собой двукратно вырожденный |
квадратичный многочлен | x4 + 2×2 +1 = (x2 +1)2 . |
•Оба множителя в разложении многочлена x4 +1 являются неприводимыми многочленами второй степени:
| x4 +1 = (x4 + 2×2 +1) − 2×2 = (x2 +1)2 − 2×2 | |
| = (x2 +1 − 2x)(x2 +1 + 2x). | |
Квадратичный | многочлен x2 + px + q , имеющий два различных | |
вещественных корня x1 | и x2 , разлагается на линейные множители (x − x1 ) и | |
(x − x2 ) . Если | x1 = x2 , | то квадратичный многочлен можно представить в |
виде (x − x1 )2 .
• | Квадратичный | многочлен x2 −5x + 4 имеет | два | вещественных | корня, | |||||
| x1 =1 | и x2 = 4 . | Следовательно, его можно | представить | в | виде | ||||
| произведения двух линейных множителей: |
|
|
|
|
| ||||
|
|
|
| x2 −5x + 4 = (x −1)(x − 4) . |
|
|
|
| ||
• | Корни | квадратного | трехчлена | x2 − 4x + 4 совпадают | друг с | другом, | ||||
| x1 = x2 = 2 . |
|
|
|
|
|
| |||
|
|
|
| x2 −4x +4 =(x −2)2 . |
|
|
|
|
| |
• | Дискриминант | квадратного | трехчлена | x2 − 2x + 4 | отрицателен. | |||||
| Следовательно, многочлен является неприводимым. |
|
|
| ||||||
Следовательно,Пусть f ( x) = QP((xx)) — рациональная функция, а степень многочлена P(x)
больше или равна степени многочлена Q( x) . Тогда существуют, и притом единственные, многочлены S( x) и R( x) такие, что
QP((xx)) = S( x) + QR((xx)) ,
где QR((xx)) — правильная дробь.
Многочлен S( x) называется целой частью функции f, а дробь QR((xx)) – ее
остаточным членом.
В частном случае, когда остаточный член равен нулю, говорят, что P( x) делится нацело на Q( x) .
67
Продемонстрируем процедуру деления на конкретных примерах.
Пример 1: Выделить целую часть функции f (x) = 5x3x−2 x+23+x4−x1+ 7 .
Решение: Во-первых, сделаем заготовку для деления столбиком, располагая слагаемые в порядке убывания степеней:
5×3 − x2 +4x +7 | x2 + 3x −1 |
|
|
Затем разделим член 5×3 , содержащий старшую степень x в числителе, на
аналогичный член x2 | знаменателя и запишем ответ 5x ниже линии: | |
5×3 − x2 +4x +7 |
| x2 + 3x −1 |
|
| 5x |
Теперь умножим 5x на делитель x2 +3x −1 и запишем результат | ||
5x(x2 +3x −1) = 5×3 +15×2 −5x
под многочленом числителя, располагая члены с одинаковыми степенями
один под другим: |
|
|
| |||||
| 5×3 | − x2 + 4x +7 |
| x2 + 3x −1 | ||||
|
| |||||||
| 5×3 +15×2 −5x |
| 5x | |||||
Далее произведем вычитание: |
|
|
| |||||
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
| 5×3 | − x2 +4x +7 |
|
| x2 + 3x −1 | ||
|
| 5×3 +15×2 −5x |
|
|
| 5x |
| |
|
|
| −16×2 + 9x + 7 |
|
|
| ||
Затем повторяем процедуру: член (−16×2 ) со старшей степенью многочлена
−16×2 + 9x + 7 | делим на член | x2 делителя, а полученное число (−16) | |||||
прибавляем к | 5x : |
|
|
| |||
|
| 5×3 − x2 + 4x +7 |
| x2 + 3x −1 | |||
|
|
| |||||
|
| 5×3 +15×2 −5x |
|
| 5x −16 |
| |
|
| −16×2 +9x +7 |
|
|
| ||
Умножаем (−16) на делитель x2 + 3x −1, записывая результат | |||||||
|
|
| −16( x2 + 3x −1) = −16×2 − 48x +16 | ||||
под многочленом числителя, один член под другим с такой же степенью:
5×3 − x2 + 4x +7 | x2 +3x −1 | |
5×3 +15×2 −5x |
| 5x −16 |
−16×2 + 9x + 7 |
| |
−16×2 − 48x +16
68
Производим вычитание:
|
| 5×3 | − x2 + 4x +7 |
| x2 + 3x −1 | ||||
|
| 5×3 +15×2 −5x |
|
| 5x −16 |
| |||
|
|
|
|
| −16×2 +9x +7 |
|
|
| |
|
|
|
|
| −16×2 −48x +16 |
|
|
| |
|
|
|
|
| 57x −9 |
|
|
|
|
Степень | полученного многочлена 57x −9 | меньше степени делителя | |||||||
x2 + 3x −1.
Следовательно, процедура деления завершена и, таким образом,
5×3 − x2 +4x +7 | = (5x −16) | + | 57x −9 |
| . | (42) | |||
x2 | +3x −1 | x2 | +3x −1 | ||||||
|
|
|
| ||||||
Целая часть данной функции равна (5x −16) .
Чтобы проверить справедливость полученного результата, умножим обе части равенства (42) на знаменатель; затем раскроем скобки и приведем подобные члены:
5×3 − x2 +4x +7 = (5x −16)( x2 +3x −1) +(57x −9)
5×3 − x2 +4x +7 =5×3 +15×2 −5x −16×2 −48x +16 +57x −9 5×3 − x2 +4x +7 =5×3 − x2 +4x +7 .
Полученное тождество свидетельствует о правильности разложения (42).
Пример 2. Дано рациональное выражение | x3 | −4×2 − x −6 | . Разделить | |||||||
| x2 − x +2 | |||||||||
столбиком многочлен на многочлен. |
|
|
| |||||||
|
|
|
| |||||||
Решение. |
|
|
|
| ||||||
|
| x3 −4×2 − x −6 |
| x2 − x + 2 |
|
| ||||
|
|
|
|
| ||||||
|
| x3 −x2 + 2x |
|
| x − 3 |
|
| |||
|
|
|
|
| −3×2 +3x −6 |
|
|
|
| |
|
|
|
|
| −3×2 +3x −6 |
|
|
|
| |
| 0 |
|
|
|
|
| ||||
Остаточный член равен нулю.