Как решать предел: Как решать пределы для чайников, примеры решений

Предел функции онлайн

Число A называется пределом функции y=f(x) в точке x₀, если для любой последовательности точек из области определения функции, отличных от x₀, сходящейся к точке x₀(lim x_n = x₀), последовательность соответствующих значений функции сходится к числу A.

• Решение онлайн
• Видеоинструкция
• Оформление Word
• Также решают

lim x→

Если выбрать вид предела, то подробное решение по шагам будет доступно в MS Word:
1. Не знаю
2. Пределы вида (см. пример).
3. Вычислить предел, используя правило Лопиталя.
4. Пределы простейших иррациональности вида
5. Нахождение пределов, используя свойства первого замечательного предела ,
6. 3/exp(cos(x)). В качестве предела указываем infinity.

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Точки разрыва функции


Производная функции:

Построение графика функции методом дифференциального исчисления

Экстремум функции двух переменных

Вычисление интегралов

см. также нахождение пределов, используя свойства первого замечательного предела и второго замечательного предела.

Примеры.
Вычислить указанные пределы:

1. = .

2. =

3. . Так как числитель и знаменатель обратились в нуль при x=4, то 4 – корень обоих многочленов, а значит, каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет (x-4). Получаем
.

4. .
5. = =

6. – не существует, так как -1<cos(x)<1.

7. . Обозначим , причем заметим, что при x→16, y→2. Получим:
.

8. . (Ответ получается непосредственно подстановкой (-∞) вместо x.)

9. . Здесь следует рассмотреть односторонние пределы:
; .
Следовательно, – не существует (так как у функции разные односторонние пределы).

Найти пределы функции, не применяя правило Лопиталя.
а) =
Ответ: 1/5

б)

=

Ответ: 1/6

в) = e-2/2 = e-1

Ответ: 1/e

г)
Так как числитель и знаменатель обратились в нуль при

x=1, то 1 – корень обоих многочленов, а значит, каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет (x-1).
Найдем корни первого многочлена: x2+2x-3=0
D=2²-4•1•(-3)=16
,
Найдем корни второго многочлена: x²-1=(x-1)(x+1)
Получаем:

Ответ: 2

д)

Ответ: 1/10

Как решать пределы с примерами решения

Содержание:

 

1. Односторонние пределы
2. Предел функции 
3. Основные теоремы о пределах
4. Признаки существования пределов
5. Первый замечательный предел
6. Второй замечательный предел

Пусть функция пределена в некоторой окрестности точки кроме, быть может, самой точки

Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке.

Определение 1 (на «языке последовательностей», или по Гейне). Число называется пределом функции в точке (или при ), если для любой последовательности допустимых значений аргумента сходящейся к (т. е.

), последовательность соответствующих значений функции сходится к числу (т. е )

В этом случае пишут или при Геометрический смысл предела функции: означает, что для всех точек достаточно близких к точке соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением

Определение 2 (на «языке

или по Коши). Число называется пределом функции в точке (или при ), если для любого положительного найдется такое положительное число что для всех удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство

Записывают Это определение коротко можно записать так:

Геометрический смысл предела функции: если для любой окрестности точки найдется такая окрестность точки что для всех из этой -окрестности соответствующие значения функции лежат в -окрестности точки Иными словами, точки графика функции лежат внутри полосы шириной ограниченной прямыми (см. рис. 110). Очевидно, что величина зависит от выбора поэтому пишут

Примеры с решением

Пример 16.1.

Доказать, что

Решение:

Возьмем произвольное найдем такое, что для всех удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство т. е. Взяв видим, что для всех удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство т. е. Взяв видим, что для всех удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство Следовательно,

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Правило Лопиталя: пример решения

Признак Лейбница

Пределы для чайников

Как решать пределы с корнями: в числителе

Пример 16.2.

Доказать, что, если то

Решение:

Для можно взять Тогда при имеем Следовательно,

Односторонние пределы

В определении предела функции считается, что стремится к любым способом: оставаясь меньшим, чем (слева от ), большим, чем (справа от ), или колеблясь около точки

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента к существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов. Число называется пределом функции слева в точке если для любого число существует число такое, что при выполняется неравенство Предел слева записывают так: или коротко: (обозначение Дирихле) (см. рис. 111).

Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с помощью символов:

Коротко предел справа обозначают

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует то существуют и оба односторонних предела, причем

Предел функции 

Пусть функция определена в промежутке Число называется пределом функции при если для любого положительного числа уществует такое число что при всех удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство Коротко это определение можно записан» так

Если то пишут если

Геометрический смысл этого определения таков: для что при или тветствующие значения функции попадают в -окрестность точки т. е. точки графика лежат в полосе шириной ограниченной прямыми (см. рис. 112).

Основные теоремы о пределах

Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функции. Формулировка и доказательство теорем для случаев, когда и аналогичны. В приводимых теоремах будем считать, что пределы существуют

Теорема 17.7. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов

Пусть Тогда по теореме 17.5 о связи функции, ее предела и б.м.ф. можно записать и Следовательно, Здесь б.м.ф. как сумма б.м.ф По теореме 17.6 о связи функции, ее предела и б.м.ф. можно записать т. е

В случае разности функций доказательство аналогично. Теорема справедлива для алгебраической суммы любого конечного числа функций.

Следствие 17.3. Функция может иметь только один предел при

Пусть и По теореме 17.7 имеем:

Отсюда

Теорема 17. 8. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов

Доказательство аналогично предыдущему, проведем его без особых пояснений. Так как

где и — б.м.ф. Следовательно;

т е.

Выражение в скобках есть б.м.ф. Поэтому

т е.

Отметим, что теорема справедлива для произведения любого конечного числа функций.

Следствие 17.4. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Следствие 17.5. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела: В частности,

Теорема 17.9. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю

Доказательство аналогично предыдущему. Из равенств

и

следуют соотношения и Тогда

Второе слагаемое есть б.м.ф. как частное от деления б.м.ф. на функцию, имеющую отличный от нуля предел.

Поэтому

Рассмотрим примеры

Пример 17.3.

Вычислить

Решение:

Пример 17.4.

Вычислить

Решение:

Здесь применить теорему о пределе дроби нельзя, т. к. предел знаменателя, при равен Кроме того, предел числителя равен В таких случаях говорят, что имеем неопределенность вида Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим дробь на

Пример 17.5.

Вычислить

Решение:

Здесь мы имеем дело с неопределенностью вида Для нахождения предела данной дроби разделим числитель и знаменатель

на

Функция есть сумма числа и б.м.ф., поэтому

Признаки существования пределов

Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например, функция при предела не имеет. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедиться в существовании предела функции. В таких случаях пользуются признаками существования предела.

Теорема 17.10 (о пределе промежуточной функции).

Если функция заключена между двумя функциями и стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т. е. если

Из равенств (17.6) вытекает, что для любого существуют две окрестности и точки в одной из которых выполняется неравенство т. е.

а в другой т. е

Пусть — меньшее из чисел и Тогда в — окрестности точки выполняются оба неравенства (17.8) и (17.9). Из неравенств (17.7) находим, что

С учетом неравенств (17.8) и (17.9) из неравенства (17.10) следуют неравенства или Мы доказали, что

то есть

Теорему 17.10 иногда шутливо называют «принципом двух милиционеров». Роль «милиционеров» играют функции и функция «следует за милиционерами».

Теорема 17.11 (о пределе монотонной функции) Если функция монотонна и ограничена при или при то существует соответственно ее левый предел или ее правый предел

Доказательство этой теоремы не приводим.

Следствие 17.6. Ограниченная монотонная последовательность имеет предел.

Первый замечательный предел

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел

называемый первым замечательным пределом. Читается: предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю. Докажем равенство (17.11).

Возьмем круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла через (см. рис. 113). Пусть На рисунке дуга численно равна центральному углу Очевидно, имеем На основании соответствующих формул геометрии получаем Разделим неравенства на получим или Так как и то по признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов

Пусть теперь Имеем где Поэтому

Из равенств (17. 12) и (17.13) вытекает равенство (17.11).

Пример 17.6.

Найти

Решение:

Имеем неопределенность вида Теорема о пределе дроби неприменима. Обозначим тогда при и поэтому

Пример 17.7.

Найти

Решение:

Второй замечательный предел

Как известно, предел числовой последовательности имеет предел, равный (см. (15.6)):

Докажем, что к числу стремится и функция при

1. Пусть Каждое значение заключено между двумя положительными целыми числами: — это целая часть Отсюда следует

поэтому

Если то Поэтому, согласно (17.14), имеем:

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов

2. Пусть Сделаем подстановку тогда

Из равенств (17. 16) и (17.17) вытекает равенство (17.15).

Если в равенстве (17.15) положить при оно запишется в виде

Равенства (17.15) и (17.18) называются вторым замечательным пределом.

Они широко используются при вычислении пределов.

В приложениях анализа большую роль играет показательная функция с основанием Функция называется экспоненциальной, употребляется также обозначение

Пример 17.8.

Найти

Решение:

Обозначим очевидно при Имеем

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя может помочь нам рассчитать предел, который в противном случае может быть трудным или невозможным.

L’Hôpital произносится как «лопиталь». Он был французским математиком 1600-х годов.

 

В нем говорится, что предел , когда мы делим одну функцию на другую, остается тем же самым после того, как мы берем производную каждой функции (с некоторыми особыми условиями, показанными позже).

В символах можно написать:

лим x→c f(x) g(x) = lim x→c f’(x) g’(x)

Предел, когда x приближается к c для «f-of-x над g-of-x» равен
пределу, когда x приближается к c для «f-dash-of-x над g-dash-of-x»

Все, что мы сделали, это добавили маленькую черточку ’’ к каждой функции, что означает получение производной.

Пример:

lim x→2 x ² +x−6 x ² −4

в x = 2 мы обычно получаем:

2 ² +2–6 2 ² — 4 = 0 0

, что является неопределенным, так что так. Или мы?

Давайте попробуем L’Hôpital!

Дифференцировать верх и низ (см. Производные правила):

lim x→2 x ² +x−6 x ² -4 = LIM x → 2 2x+1–0 2x — 0

Теперь мы просто заменим x = 2 , чтобы получить наш ответ:

LIM X → ​​2

LIM X → ​​2

x → 2

x → 2

X → ​​2

+1−0 2x−0 = 5 4

Вот график, обратите внимание на «дыру» в точке x = 2:

см. Оценка пределов .

Пример:

лим x→∞ e ^x x ²

Обычно это является результатом:

LIM x → ∞ E ^x x ² = ∞ ∞

. ОБА. Что неопределенно.

Но давайте различать верх и низ (обратите внимание, что производная от e ^x равна e ^x ):

lim x→∞ e ^x x ² = lim x→∞ e ^x 2x

3 90 But we can use it again:

lim x→∞ e ^x x ² = lim x→∞ e ^x 2x = lim х→∞ e ^х 2

Теперь у нас есть:

lim x→∞ e ^x 2 = ∞

Мы показали, что e ^{2 7 90 x} 0 растет намного быстрее, чем ^{x 90 8904.}

Чемоданы

Мы уже видели пример 0 0 и ∞ ∞ . Вот все неопределенные формы, с которыми может помочь правило Лопиталя:

0 0     ∞ ∞     0×∞     1 ^∞     0 ⁰     ∞ ⁰     ∞−∞

Условия

Дифференцируемый

Для предела, приближающегося к c, исходные функции должны быть дифференцируемы в обе стороны от c, но не обязательно в c.

Точно так же g’(x) не равно нулю ни в одну из сторон от c.

Предел должен существовать

Этот предел должен существовать:

lim x→c f’(x) g’(x)

Почему? Хорошим примером являются функции, которые никогда не устанавливают значение.

Пример:

lim x→∞ x+cos(x) x

Это случай ∞ ∞ . Давайте продифференцируем верх и низ:

lim x→∞ 1−sin(x) 1

И поскольку оно просто колеблется вверх и вниз, оно никогда не приближается к какому-либо значению.

Так что нового предела не существует!

Таким образом, правило Лопиталя в данном случае неприменимо.

Но мы можем сделать это:

LIM x → ∞ x + cos (x) x = Lim x → ∞ (1 + Cos (x) x → ∞ (1 + Cos (x) x → ∞ (1 + Cos (x) x → ∞ (1 + Cos (x) x → ∞ )

Когда x стремится к бесконечности, тогда cos(x) x стремится к −1 ∞ и +1 ∞ , и оба стремятся к нулю.

И у нас осталась только «1», значит:

LIM x → ∞ x + cos (x) x = Lim x → ∞ (1 + Cos (x) x ) = 1

 

лимитов — MATLAB & Simulink

Основное содержание

Фундаментальная идея исчисления состоит в том, чтобы выполнять вычисления функций как переменных «приближается» или приближается к определенному значению. Напомним, что определение производная задается пределом

f'(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h, 9n, n, inf)

, который возвращает

 ans =
exp(x) 

иллюстрируют два наиболее важных предела в математике: производная (в данном случае cos ( x )) и экспоненциальной функции.

Односторонние пределы

Вы также можете рассчитать односторонние пределы с помощью программного обеспечения Symbolic Math Toolbox. Например, можно рассчитать лимит х /| x |, график которого показан ниже цифра, как x приближается к 0 слева или справа.

 символов х
fplot(x/abs(x), [-1 1], 'ShowPoles', 'off') 

Чтобы вычислить предел, когда x приближается к 0 слева,

limx→0−x|x|,

введите

 символ х
limit(x/abs(x), x, 0, 'левый') 

 анс =
 -1 

Чтобы вычислить предел, когда x приближается к 0 справа,

limx→0+x|x|=1,

введите

 syms x
limit(x/abs(x), x, 0, 'право') 

 анс =
1 

Поскольку предел слева не равен пределу справа, двусторонний предела не существует. В случае неопределенных пределов MATLAB ^® возвращает NaN (не число). Например,

 символ х
limit(x/abs(x), x, 0) 

возвращает

 ans =
NaN 

Обратите внимание, что случай по умолчанию limit(f) совпадает с предел(f,x,0) . Изучите варианты для limit в этой таблице, где f — это функция символьного объекта x .

Mathematical Operation	MATLAB Command
limx→0f(x)	limit(f)
limx→ af(x)	предел(f, x, a) или предел(ф, а)
limx→a−f(x)	limit(f, x, a, 'левый')
limx→a+f(x)	limit(f, x, a, «право»)

Вы щелкнули ссылку, соответствующую этой команде MATLAB:

Запустите команду, введя ее в командном окне MATLAB.