Геометрическая Пропорция
370. Но если величины находятся в геометрической пропорции, произведение её крайних членов равно произведению их средних членов.
Если a:b = c:d, ad = bc
Согласно допущению, (Статьи. 341, 359.) $\frac{a}{b } =\frac{c}{d } $
Умножив на bd, (Аксиома 3.) $\frac{abd}{b } =\frac{cbd}{d } $
Упростив дроби, ad = bc.
Так 12:8 = 15:10, поэтому 12*10 = 8*15.
Соотв: Любой множитель может быть перенесён от одной средней величины к другой, без влияния на пропорцию. Если a:mb = x:y, то a:b = mx:y. При этом произведение средних величин в обоих случаях одинаково. И если na:b = x:y, то a:b = x:ny.
371. С другой стороны, если произведение двух величин равно произведению двух других, то четыре величины сформируют пропорцию, где они сгруппированы таким образом, что одна сторона уравнения будет содержать средние члены, а другая — крайние.
Если my = nh, то m:n = h:y, то есть$\frac{m}{n } =\frac{h}{y } $
Упростив дроби, $\frac{m}{n } =\frac{h}{y } $.
Соотв. То же самое должно быть верно по отношению любых множителей, которые образуют две стороны равенства.
Если (a + b).c = (d — m).y, то a + b:d — m = y:c.
372. Если три величины пропорциональны, то произведение их крайних членов равно квадрату средних. Таким образом одновременно пропорциональны также второй член первой пары и предыдущий член последней. (Статья. 366.) Следовательно они должны быть умножены на себя, то есть возведены в квадрат.
Если a:b = b:c, тогда умножение крайних и средних членов, ac = b2.
Следовательно, среднее пропорциональное двух величин может быть найдено путём извлечения квадратного корня из их произведения.
Если a:x = x:c, то x2 = ac, и x√ac.
373. Из Статьи. 370 следует, что соотношение любого из крайних членов равно произведению средних, разделённых на другой крайний член. И любой из средних членов равен произведению крайних членов, разделённому на другой средний член.
1. Если a:b = c:d, то ad = bc
2. Разделим на d, $a=\frac{bc}{d} $
3. Сначала разделим на c, $b=\frac{ad}{c} $
4. Разделим это на b, $c=\frac{ad}{b} $
5. Разделим на a, $d=\frac{bc}{a} $ ; Это значит, что
четвёртый член равен произведению второго и третьего, разделённому на первый.
На этом принципе основаны простые пропорции арифметики, которые часто называют Тройным Правилом. Три числа даны, чтобы найти четвёртое, которое получают путём умножения второго на третье и деления на первое.
374. Утверждение относительно произведений средних и крайних членов предоставляет очень простой и удобный критерий определения того, пропорциональны ли любые четыре величины. Нам только нужно перемножить средние и крайние члены. Если произведения равны, то величины пропорциональны. Если произведения не равны, то величины не пропорциональны.
375. В математических исследованиях, когда даны отношения нескольких величин, то они часто определены в виде пропорции.
Но, как правило, необходимо, чтобы эта первая пропорция претерпела ряд трансформаций прежде, чем отчётливо выявится неизвестная величина или утверждение, которое мы хотели доказать. Она может пройти изменения, которые не окажут влияние на равенство отношений или которые обнаружат произведение средних членов равное произведению крайних.
В первую очередь очевидно, что любая перемена в расстановке, которая не окажет влияния на эти равенство этих двух произведений, не уничтожит пропорции. Поэтому, если a:b = c:d, то порядок этих величин может варьироваться, что в любом случае приведёт к ad = bc. Отсюда,
376. Если четыре величины пропорциональны, то порядок средних членов, или крайних членов, или членов обоих пар, может быть инвертирован без разрушения пропорции.
Если a:b = c:d,
И 12:8 = 6:4
тогда
1. Инвертируя средние члены,
a:c = b:d
12:6 = 8:4
то есть
Первый относится к третьему
Как второй к четвёртому.
Другими словами, отношение предыдущих членов равно отношению последующих.
Эта инверсия средних членов часто упоминается в геометрии под названием Альтернация.
2. Инвертируя крайние члены,
d:b = c:a
4:8 = 6:12
то есть,
Четвёртый
Как третий к первому.
3. Инвертируя члены каждой пары,
b:a = d:c
8:12 = 4:6
то есть,
Второй относится к первому,
Как четвёртый к третьему.
Технически это называется Инверсией.
Каждое из этого также может варьироваться, меняя порядок двух пар. (Статья. 365.)
Соотв. Порядок всей пропорции может быть инвертирован.
Если a:b = c:d, то d:c = b:a.
В каждом из данных случаев будет немедленно видно, что вычисляя произведения средних и крайних членов, у нас получается ad = bc, и 12.
4 = 8.6.
Если члены только одной из пар инвертированы, то пропорция становится обратной. (Статья 367.)
Если a:b = c:d, то a относится к b, обратно тому, как d относится к c.
Некоторые из утверждений могут быть доказаны более простым способом, возможно, путём умножения крайних и средних членов. Но это не даст ясного понимания Было показано, что если оба члена пары умножены или разделены на одинаковую величину, то их соотношение остаётся одинаковым (Статья. 355.) Так умножая предыдущий член (антецедента) проявится в умноженном соотношении, а деление последующего члена (консеквента) — в делении соотношения. (Статья. 352.) и следующие показывают, что умножение консеквента проявится в делении соотношения, а его деление — в произведении соотношения. (Статья. 353.) Так как соотношения в пропорции равны, то если их перемножить или разделить на одинаковую величину, то они всё ещё будут равны (Аксиома. 3.) Одно будет увеличено или уменьшено, так же как и второе. Отсюда,
378. Если четыре величины пропорциональны, два аналогичных или гомологичных члена могут быть умножены или разделены на одну и ту же величину, без нарушения пропорции.
Если аналогичные члены будут умножены или разделены, то их соотношения не поменяются. (Статья, 355.) Если гомологичные члены будут умножены или разделены, оба соотношения одинаково увеличатся или уменьшатся. (Статьи. 352, 353.)
Если a:b = c:d, то,
1. Умножая первые два члена, ma:mb = c:d
2. Умножая последние два члена, a:b = mc:md
3. Умножая два первых члена (антецедента), ma:b = mc:d
4. Умножая два последних члена (консеквента), a:mb = c:md
5. Разделив два первых члена, $\frac{a}{m}:\frac{b}{m}=c:d$
6. Разделив два последних члена, $a:b=\frac{c}{m}:\frac{d}{m }$
7. Разделив два антецедента, $\frac{a}{m}:b=\frac{c}{m}:d$ a/m:b = c/m:d
8. Разделив два консеквента, $a:\frac{b}{m}=c:\frac{d}{m}$ a:b/m = c:d/m.
Следствие. 1. Все члены могут быть умножены или разделены на одну и ту же величину.
Следствие. 2. В любом случае, в данной статье умножение консеквентов может быть заменено делением антецедентов той же самой пары, и деление консеквентов — умножением антецедентов.
(Статья. 354, след.)
379. Часто бывает необходимо не только изменить члены пропорции и варьировать их расположение, но и сравнить одну пропорцию с другой. Из этого сравнения часто возникает новая пропорция, которая может быть необходима для решения задачи или перехода к доказательству. Один из самых важных случаев, когда сравниваемые два члена одной пропорции такие же как два в другой. Похожие члены могут исчезнуть, и новая пропорция может быть сформирована из оставшихся четырёх членов. Так,
380. Если два соотношения соответсвтенно равны третьему, то они также равны между собой.Это не что иное, как 11ая аксиома, применяемая к соотношениям.
1. Если a:b = m:n
И c:d = m:n
тогда a:b = c:d,или a:c = b:d. (Статья.376.)
2. Если a:b = m:n
И m:n = c:d
то a:b = c:d,или a:c = b:d.
След. Если a:b = m:n
m:n > c:d
то a:b > c:d.
Так если соотношение m:n больше, чем c:d, то это показывает, что соотношение a:b, которое равно соотношению m:n, также больше чем соотношение c:d.
381. В этих примерах схожие члены двух пропорций это два первых и два последних. И порядок не важен. Порядок членов может быть изменён разными способами без влияния на равенство соотношений.
1. Похожими членами могут быть два антецедента, или два косеквента в каждой пропорции. Таким образом,
Если m:a = n:b
тогда
Чередуем, m:n = a:b
И m:n = c:d
Отсюда a:b = c:d, или a:c = b:d, согласно последнему параграфу.
2. Антецеденты в одной пропорции, могут быть такими же как консеквенты в другой.
Если m:a = n:b
И c:m = d:n
Инветрируя и чередуя a:b = m:n
Чередуя c:d = m:n:
Поэтому a:b, и так далее как ранее.
3. Два гомологичных члена в одной из пропорций могут быть такими же, как два аналогичные члены в другой.
Если a:m = b:n
и c:d = m:n
Чередуя, a:b = m:n
И c:d = m:n
Поэтому, a:b, и так далее.
Всё это примеры равенства между соотношениями в одной пропорции с соотношениями в другой.
В геометрии на предположение, к которому они принадлежат обычно ссылаются как на «ex aequo«или «ex aequali» (по справедливости). Второй случай в этой статье более всего отвечает объяснению Евклида. Но оба они все согласуются с одним и тем же принципом и часто к ним обращаются без разграничений.
382. Любое число пропорций может быть сравнено аналогичным способом, если два первых или два последних члена в каждой предыдущей пропорции такие же, как два первые и два последние члена в последующей.
Поэтому если a:b = c:d
И c:d = h:l
И h:l = m:n
И m:n = x:y
то a:b = x:y.
То есть два первых члена первой пропорции имеют такое же соотношение, как два последних члена последней пропорции. Это показывает, что соотношение всех пар одинаково.
И если члены не находятся в том же порядке как здесь, но могут быть упрощены к данному виду, применяется тот же самый принцип.
поэтому если a:c = b:d
И c:h = d:l
И h:m = l:n
И m:x = n:y
тогда чередуя
a:b = c:d
c:d = h:l
h:l = m:n
m:n = x:y.
Поэтому a:b = x:y, как и ранее.
Во всех примерах в этой и предшествующих статьях, два члена в одной пропорции, у которых есть равные члены в другой, не являются ни двумя средними членами, ни двумя крайними членами, а одним средним и одним крайним членом, из чего следует, что пропорция однородна и непрерывна.
383. Но если два средних или два крайних члена в одной пропорции такие же, как средние и крайние члены в другой, то оставшиеся четыре члена будут взаимно пропорциональны.
Если a:m = n:b
И c:m = n:d
тогда a:c = $\frac{1}{b}:\frac{1}{d} $, или a:c = d:b
Для ab = mn
И cd = mn
(Статья. 370) Поэтому ab = cd, и a:c = d:b.
В данном примере два средних члена в одной пропорции, такие же как те же в другой. Но принцип будет тем же, если крайние члены не равны или если крайние члены одной пропорции не равны средним членам другой.
Если m:a = b:n
И m:c = d:n
тогда a:c = d:b.
Или if a:m = n:b
И m:c = d:n
тогда a:c = d:b.
Теорема в геометрии, которая применима в данном случае обычно именуется словами «ex aequo perturbate» (по правде запутанная).
384. Другой способ варьировать члены в пропорции это сложение или вычитание.
Если к или от двух гомологичных членов пропорци вычитаются или прибавляются две другие величины, которые находятся в том же соотношении, то пропорция остаётся верной.
Соотношение не меняется, если добавить или отнять от него другое равное соотношение. (Статья. 357.)
Если a:b = c:d
И a:b = m:n
Тогда добавляя или отнимая от a и b, члены с равным соотношением m:n, мы получим
a+m:b+n = c:d, и a-m:b-n = c:d.
И добавляя или отнимая m и n к или от c и d, мы получим,
a:b = c+m:d+n, и a:b = c-m:d-n.
Здесь сложение и вычитание производится к и от аналогичных членов.
Но путём чередования (Статья. 376,) эти члены будут гомологичными, и мы получим,
a+m:c = b+n:d, и a-m:c = b-n:d.
След. 1. Это добавление может распространяться на любое число равных соотношений.
Таким образом, если
a:b = c:d
a:b = h:l
a:b = m:n
a:b = x:y
Тогда a:b = c+h+m+x:d+l+n+y.
След. 2. Если a:b = c:d
И m:b = n:d
тогда a+m:b = c+n:d.
Чередуем a:c = b:d
И m:n = b:d
таким образом
a+m:c+n = b:d
или a+m:b = c+n:d.
385. Из последней статьи следует, что если в любой пропорции члены прибавляются или отнимаются друг от друга, то,
Если аналогичные и гомологичные члены добавляются или отнимаются от двух других, то пропорция сохраняется верной.
Таким образом, если a:b = c:d, и 12:4 = 6:2, тогда,
1. Добавляя два последних члена к двум первым.
a+c:b+d = a:b 12+6:4+2 = 12:4
и a+c:b+d = c:d 12+6:4+2 = 6:2
или a+c:a = b+d:b 12+6:12 = 4+2:4
и a+c:c = b+d:d 12+6:6 = 4+2:2.
2. Складывая два антецедента с двумя консеквентами.
a+b:b = c+d:d 12+4:4 = 6+2:2
a+b:a = c+d:c, т.д.. 12+4:12 = 6+2:6, т.д..
Это называется Композицией.
3. Отнимая два первых члена от двух последних.
c-a:a = d-b:b
c-a:c = d-b:d, т.д..
4. Отнимая два последних члена от двух первых.
a-c:b-d = a:b
a-c:b-d = c:d, т.д..
5. Отнимая консеквенты от антецедентов.
a-b:b = c-d:d
a:a-b = c:c-d, etc.
Преобразование, показанное в последней форме называется Конверсией.
6. Отнимая антецеденты от консеквентов.
b-a:a = d-c:c
b:b-a = d:d-c, etc.
7. Добывляя и вычитая,
a+b:a-b = c+d:c-d.
То есть сумма первых двух членов относится к их разности, как сумма двух последних к их разности.
След. Если любые сложные величины, расставленые как в предыдущих примерах, пропорциональны, то простые величины, из которых они состоят также пропорциональны.
Таким образом, если a+b:b = c+d:d, то a:b = c:d.
Это называется Делением.
386. Если соответствующие члены двух или более разрядов пропорциональных величин перемножить между собой, то произведение также будет пропорционально.
Это смешанные соотношения (Статья. 347,) или смешанные пропорции. Это нужно уметь отличать от того, что называется композицией, которая является сложением членов соотношения. (Статья 385. 2.)
Если a:b = c:d 12:4 = 6:2
И h:l = m:n 10:5 = 8:4
Тогда ah:bl = cm:dn 120:20 = 48:8.
Исходя из определения пропорции два соотношения первого разряда равны, как и соотношения второго разряда. И умножение соответствующих членов является умножением соотношений, (Статья. 352.
соотв.), то есть умножением равных на равные (Аксиома. 3.), так что соотношения будут всё так же равными, и поэтому все четыре произведения должны быть пропорциональны.
Такое же доказательство применимо к любому числу пропорций.
Если
a:b = c:d
h:l = m:n
p:q = x:y
Тогда ahp:blq = cmx:dny.
Из этого следует, что если члены пропорции перемножить на самих себя, то есть, если они возведены в какую-либо степень, то они всё равно будут пропорциональны.
Если a:b = c:d 2:4 = 6:12
a:b = c:d 2:4 = 6:12
Тогда a2:b2 = c2:d2 4:16 = 36:144
Пропорциональные величины также получаются реверсируя этот процесс, то есть вычисляя корни членов пропорции.
Если a : b:: c : d, тогда √a:√b = √c:√d.
Перемножив средние и крайние члены, ad = bc
И извлекя корень из обеих сторон, √ad = √bc
То есть, (Статья.
254, 371,) √a:√b = √c:√d.
Отсюда,
387. Если некоторые величины пропорциональны, то продукты их возведения в степень или извлечения корней пропорциональны.
Если a:b = c:d
Тогда an:bn = cn:dn, и m√a:m√b = m√c:m√d.
И m√an:m√bn = m√cn:√dn, то есть, am/n:bm/n = cm/n:dm/n.
388. Если члены одного разряда пропорций разделить на соответствующие члены другого разряда, то частные будут пропорциональны.
Это иногда называют решением соотношений.
Если a:b = c:d 12:6 = 18:9
И h:l = m:n 6:2 = 9:3
Тогда $\frac{a}{h}:\frac{b}{l }=\frac{c}{m}:\frac{d}{n} $ $\frac{a}{h}:\frac{b}{l }=\frac{c}{m}:\frac{d}{n} $.
Это просто реверсия процесса в Статье. 386, и может быть доказана похожим образом.
Это нужно уметь различать от того, что в геометрии называется разделением, которое является вычитанием членов соотношения. (Статья. 385. соотв.)
389. В сложных смешанных пропорциях, равные множители или делители двух аналогичных или гомологичных членов могут быть отвергнуты.
Если
a:b = c:d 12:4 = 9:3
b:h = d:l 4:8 = 3:6
h:m = l:n 8:4 = 6:15
Тогда a:m = c:n 12:20 = 9:15.
Это правило может быть применено к случаям, к которым относятся термины «ex aequo» и «ex aequo perturbate«. Смотрите Статьи. 381 и 383. Один из методов может служить для того, чтобы подтвердить другой.
394. Изменения, которые могут быть сделаны в пропорциях без нарушения равенства соотношений, так многочислены, что они стали бы обременительны к запоминанию, если бы их нельзя было бы упростить до нескольких общих принципов. Они обычно получаются,
1. Инвертируя порядок членов, Статья.
376.
2. Умножая или деля на одинаковую величину, Статья. 378.
3. Сравнивая пропорции, в которых есть схожие члены. Статьи. 380, 381, 382, 383.
4. Складывая или отнимая члены одинаковых соотношений, Статьи. 384, 385.
5. Умножая или деля одну пропорцию на другую, Статьи. 386, 387, 388.
6. Возводя в степень или извлекая корни членов, Статья. 387.
391. Когда четыре величины пропорциональны, если первая больше чем вторая, то третья будет больше чем четвёртая; если равны, то равны, а если меньше, то, соответственно, меньше.
Для одинаковых соотношений двух пар, если одно является соотношением равенства, то и второе тоже, и поэтому антецедент в каждой паре равен её консеквенту. (Статья. 345,) Если одно соотношение большего неравенства, то и второе тоже, и поэтому антецедент каждого из них больше чем соответствующий консеквент.
А если одно соотношение меньшего неравенства, то и второе так же, и поэтому антецедент каждого из них меньше чем консеквент.
Пусть a:b = c:d; тогда если
a = b, c = d
a > b, c > d
a < b, c < d.
След. 1. Если первый член больше третьего, то тогда второй больше четвёртого, если равен — то равен, если меньше — то, соответсвенно, меньше.
В случае чередования, a:b = c:d становится a:c = b:d, без какого-либо чередования величин. Таким образом, если a = b, c = d, и т.д., как и ранее.
След. 2. Если a:m = c:n
и m:b = n:d
тогда if a = b, c = d, и т.д.
Для равенства соотношений, (Статья. 381. 2.) или смешанных соотношений, (Статьи. 386, 389.)
a:b = c:d. Таким образом, если a = b, c = d, и т.д. как ранее.
След. 3. Если a:m = n:d
и m:b = c:n
тогда if a = b, c = d.
391. b. Если четыре величины пропорциональны, то обратные им величины тоже пропорциональны и наоборот.
Если a:b = c:d, тогда $\frac{a}{h}:\frac{b}{l }=\frac{c}{m}:\frac{d}{n} $.
Для каждой из этих пропорций, при сокращении получаем ad = bc.
Как решать системы уравнений в 4-5 классе
Рассмотрим уравнение с двумя неизвестными:
x + y = 10
У этого уравнения может быть много решений: x=1, y=9; x=2, y=8; x=3, y=7 и т.д.
Какое из решений выбрать — непонятно. Ситуация становится более определённой, если мы знаем, что между x и y существует ещё какая-то другая взаимосвязь. Например, мы знаем про те же самые x и y, что y-x = 2.
Итак, мы можем записать:
{
x + y = 10
y — x = 2
То, что мы записали, называется системой уравнений. Уравнения, входящие в систему, объединяются большой фигурной скобкой. Чтобы система уравнений имела решение, число уравнений должно быть равно числу неизвестных.
Так как это связанные между собой уравнения, то мы можем выразить, например, y через x в первом уравнений, и подставить получившееся выражение вместо y во второе уравнение — тем самым во втором уравнении останется только одно неизвестное (x) и мы сможем решить уравнение.
Запишем это в виде формул.
x + y = 10
y = 10 — x
Подставляем полученное выражение 10 — x вместо y во второе уравнение:
y — x = 2
10 — x — x = 2
10 — 2 = x + x
8 = 2x
x = 4
Мы нашли x. Теперь найдём y, зная, что y = 10 — x
y = 10 — 4 = 6
Мы нашли x и y. x = 4, y = 6
Проверим наше решение, подставим x и y в оба уравнения системы:
x + y = 10
y — x = 2
4 + 6 = 10
6 — 4 = 2
10 = 10
2 = 2
В обеих уравнениях левые и правые части равны, то есть x и y мы нашли правильно.
Почему мы смогли воспользоваться этим приёмом — выразить y через x в первом уравнении и подставить получившееся выражение вместо y во второе? Потому что у нас система уравнений и в этих двух уравнениях эти x и y — это одни и те же неизвестные, поэтому мы можем в одном уравнении заменять на выражения, полученные в другом
Не имеет значения — будем ли мы y выражать через x в первом уравнении и подставлять во второе, или во втором и подставлять в первое.
Точно также не имеет значение, что именно мы будем подставлять — y, выраженный через x, или x, выраженные через y. Мы выражаем и подставляем то, что нам удобнее в дальнейших расчётах.
Существует и другой метод решения уравнений
Хотите, чтобы ваш ребёнок обучался самостоятельно?
Вам поможет наш ВИДЕОКУРС
Вычитание одного уравнения из другого
Рассмотрим систему уравнений:
{
5x + 6y = 80
2x + 3y = 35
Глядя на эту систему уравнений мы понимаем, что мы не можем выразить x или y через целые числа — 80 делится на цело на 5, но не делится нацело на 6, а 35 не делится нацело ни на 2, ни на 3. Если мы не умеем работать с дробными числами, то уравнение мы можем решить по другому.
Для решения этого уравнения надо из левой части первого уравнения вычесть левую часть второго уравнения, а из правой части первого вычесть правую часть второго. При этом не принципиально вычитать именно из первого уравнения второе — можно и из второго первое.
Но если мы в данной системе уравнений вычтем из правой части второго уравнения правую часть
первого уравнения, то у нас получится 35 — 80 = -45, отрицательное число. Если с отрицательными числами мы работать ещё не умеем, то у нас остаётся только один вариант — из первого уравнения вычитать второе.
Почему мы можем вычесть из из левой части одного уравнения левую часть другого, а из правой части одного правую часть другого и при этом быть уверенными, что равенство сохранится? Потому что это свойство систем уравнений. При вычитании соответствующих частей уравнений друг из друга, равенство сохраняется.
Итак, запишем соответствующую операцию вычитания частей уравнений в виде формулы:
5x + 6y — (2x + 3y) = 80 — 35
5x + 6y — 2x — 3y = 45
3x + 3y = 45
x + y = 15
Итак, мы получили простое уравнение x + y = 15, где отсутствуют множители у x и y.
Теперь мы можем выразить x через y (или y через x — это без разницы) и подставить получившееся выражение в одно из уравнений системы.
x = 15 — y
Подставим это выражение вместо x во второе уравнение
2x + 3y = 35
2(15 — y) + 3y = 35
30 — 2y + 3y = 35
y = 35 — 30
y = 5
Мы нашли y, осталось найти x
x = 15 — y
x = 15 — 5 = 10
Наш ответ: x = 10, y = 5
Проверим наше решение, подставив найденные x и y в систему уравнений:
{
5x + 6y = 80
2x + 3y = 35
5∙10 + 6∙5 = 80
2∙10 + 3∙5 = 35
50 + 30 = 80
20 + 15 = 35
80 = 80
35 = 35
Обе части в обеих уравнениях равны друг другу, значит наше решение верное.
Ответ: x = 10, y = 5
Сложение одного уравнения с другим
Уравнения можно не только вычитать друг из друга, но и складывать.
Например:
{
5x + 3y = 71
2x + 4y = 48
Если мы просуммируем оба уравнения, то у нас в правой части у неизвестных x и y будут одинаковые коэффициенты 7 — нам будет удобно на эту 7 поделить, чтобы оставить x и y без коэффициентов.
Сложим два уравнения:
5x + 3y + 2x + 4y = 48 + 71
7x + 7y = 119
x + y = 17
x = 17 — y
Подставим x во второе уравнение:
2x + 4y = 48
Сначала разделим обе части уравнения на 2
x + 2y = 24
Подставим x:
17 — y + 2y = 24
y = 24 — 17
y = 7
x = 17 — y
x = 17 — 7 = 10
Ответ: x = 10, y = 7
Пример 1
{
2n + 3m = 19
3n – m = 12
Выразим m через n во втором уравнении:
3n – m = 12
3n – 12 = m
m = 3n – 12
Подставим 3n – 12 вместо m в первое уравнение
2n + 3m = 19
2n + 3(3n – 12) = 19
2n + 9n – 36 = 19
11n = 55
n = 5
Мы нашли n, теперь найдём m
m = 3n – 12
m = 3∙5 – 12
m = 3
Проверка решения:
2∙5 + 3∙3 = 19
3∙5 – 3 = 12
Ответ: m=3, n = 5
Пример 2
{
2x – 4y = 12
13x + 6y = 142
2x – 4y = 12
x – 2y = 6
x = 6 + 2y
13x + 6y = 142
13(6 + 2y) + 6y = 142
78 + 26y + 6y = 142
32y = 64
y = 2
x = 6 + 2y
x = 6 + 2∙2 = 10
Проверка:
2∙10 – 4∙2 = 12
13∙10 + 6∙2 = 142
Ответ: x = 10, y = 2
Пример 3
{
2x + 3y = 117
8x – 2y = 34
8x – 2y = 34
Разделим левую и правую части уравнения на 2:
4x – y = 17
4x – 17 = y
Теперь в первое уравнение вместо y подставим 4x-17:
2x + 3y = 117
2x + 3(4x – 17) = 117
2x + 12x – 51 = 117
14x = 117+51
14x = 168
x = 12
y = 4x – 17
y = 4∙12 – 17
y = 31
Ответ: x = 12, y = 31
ВИДЕОКУРС 2plus2.
online по решению олимпиадных задач по математике для 4 класса и задач из вступительных экзаменов в 5-й класс физматшколы.
Пример 4
{
2x + 3y – 2z = 19
3x – 2y + 3z = 69
4z + y – x = 97
Мы имеем дело с системой уравнений, где три уравнения и три неизвестных.
Нас это не должно пугать. Для начала выразим одну неизвестную через две других, например, x через z и y. Так как в третьем уравнении у нас возле x нет никакого множителя, то именно через третье уравнение мы и будем выражать x.
4z + y – x = 97
4z + y – 97 = x
x = 4z + y – 97
Теперь подставим полученное выражение для x во второе уравнение.
3x – 2y + 3z = 69
3(4z + y – 97) – 2y + 3z = 69
12z + 3y – 291 – 2y + 3z = 69
15z + y = 360
y = 360 — 15z
Ранее мы выразили x через z и y:
x = 4z + y – 97
Теперь полученное выражение для y (y = 360 — 15z) подставим в это выражение для x
x = 4z + 360 – 15z – 97
x + 15z – 4z = 263
x + 11z = 263
x = 263 – 11z
Итак, теперь у нас есть x, выраженный через z, и y, выраженный через z.
Запишем эти выражение ещё раз:
x = 263 – 11z
y = 360 – 15z
Теперь мы можем эти выражения подставить в первое уравнение системы, и у нас получится уравнение с одним неизвестным — z
2x + 3y – 2z = 19
2(263 – 11z) + 3(360 – 15z) — 2z = 19
526 – 22z + 1080 – 45z – 2z = 19
526 + 1080 – 19 = 2z + 45z + 22z
1587 = 69z
z = 23
Теперь подставим z в выражения для x и y:
x = 263 – 11z = 263 – 11∙23 = 10
y = 360 – 15z = 360 – 15∙23 = 15
x = 10
y = 15
z = 23
Проверка:
2∙10 + 3∙15 – 2∙23 = 19
3∙10 – 2∙15 + 3∙23 = 69
4∙23 + 15 – 10 = 97
Ответ: x = 10, y = 15, z = 23
Пример 5
{
5x — z = 17
3x – 2y + 3z = 11
2x + 8y – 6z = 30
Эта система уравнений отличается от предыдущих тем, что в первом уравнении тут не три
неизвестных, а два.
Но нас это не должно пугать — наоборот, нам это только упрощает задачу.
Выразим z через x в первом уравнении:
5x – z = 17
5x – 17 = z
z = 5x – 17
Подставим полученное выражение для z во второе уравнение.
3x – 2y + 3z = 11
3x – 2y + 3(5x – 17) = 11
3x – 2y + 15x – 51 = 11
18x – 2y = 62
9x – y = 31
9x – 31 = y
y = 9x – 31
Итак, теперь у нас есть z и y, выраженные через x. Запишем их ещё раз:
z = 5x – 17
y = 9x – 31
Теперь подставим эти выражения в третье уравнение
2x + 8y – 6z = 30
2x + 8(9x – 31) – 6(5x – 17) = 30
2x + 72x – 248 – 30x + 102 = 30
44x = 30 + 248 – 102
44x = 176
x = 4
Мы нашли x, теперь найдём z и y
z = 5x — 17
z = 5∙4 – 17 = 3
y = 9x – 31
y = 9∙4 – 31 = 5
x = 4
y = 5
z = 3
Проверка:
2∙4 + 8∙5 – 6∙3 = 30
3∙4 – 2∙5 + 3∙3 = 11
5∙4 – 3 = 17
Ответ: x = 4, y = 5, z = 3
ВИДЕОКУРС 2plus2.
online по решению олимпиадных задач по математике для 4 класса и задач из вступительных экзаменов в 5-й класс физматшколы.
Пример 6
{
4x + 3y = 61
4x + 5y = 75
Тут мы не можем выразить ни x, ни y, т.к. левая и правая части уравнений не делятся на цело и на 3, и на 4, ни на 5.
Поэтому воспользуемся описанным ранее способом — вычитанием частей уравнений друг из друга. Вычтем из второго уравнения первое:
4x + 5y – (4x + 3y) = 75 – 61
4x + 5y – 4x – 3y = 14
2y = 14
y = 7
Найденный y подставим в первое уравнение:
4x + 3∙7 = 61
4x + 21 = 61
4x = 40
x = 10
x = 10
y = 7
Проверка:
4∙10 + 3∙7 = 61
4∙10 + 5∙7 = 75
40 + 21 = 61
40 + 35 = 75
Ответ: x = 10, y = 7
Пример 7
{
2x + 5y = 50
3x + 7y = 71
Эту систему уравнений можно решить двумя способами.
Первый способ
Вычтем из второго уравнение первое.
3x + 7y – (2x + 5y) = 71 – 50
3x + 7y – 2x – 5y = 21
x + 2y = 21
x = 21 – 2y
Подставим выражение для x в первое уравнение.
2(21 – 2y) + 5y = 50
42 – 4y + 5y = 50
y = 8
Подставим найденный y в выражение для x
x = 21 – 2y
x = 21 – 2∙8 = 21 – 16 = 5
Проверка:
2∙5 + 5∙8 = 50
3∙5 + 7∙8 = 71
10 + 40 = 50
15 + 56 = 71
Второй способ
{
2x + 5y = 50
3x + 7y = 71
Умножим обе части первого уравнения на 3, а обе части второго уравнения на 2.
Тем самым мы в обеих уравнениях получим множитель 6 у x, после чего при вычитании одного
уравнения из другого x у нас уйдёт (6x — 6x = 0), и останется только y.
3(2x + 5y) = 3∙50
2(3x + 7y) = 2∙71
6x + 15y = 150
6x + 14y = 142
Вычтем из первого уравнения второе.
6x + 15y – (6x + 14y) = 150 – 142
6x + 15y – 6x – 14y = 8
y = 8
Подставим найденный y в первое уравнение системы:
2x + 5y = 50
2x + 5∙8 = 50
2x + 40 = 50
2x = 50 – 40
2x = 10
x = 5
В этой системе уравнений мы применили такой приём, как умножение обеих уравнений на разные числа так, чтобы у одного из неизвестных (в нашем случае у x) в обеих уравнениях оказался один и тот же множитель. После этого мы вычли одно уравнение из другого, x у нас исчез, и мы легко смогли найти y.
Ответ: x = 5, y = 8
Решение пропорций
Этот урок посвящен решению пропорций с использованием перекрестного произведения для поиска неизвестных членов.
Мы также покажем некоторые принципы, специальные приемы или сокращения, которые можно использовать для быстрого решения пропорции.
Термины, которые необходимо знать:
x, y или любая другая буква используется для обозначения неизвестного числа.
Неизвестный термин: Отсутствующее или неизвестное число в пропорции.
В уроке о пропорциях мы видели, что мы можем использовать перекрестное произведение, чтобы определить, являются ли дроби или отношения пропорциями.
Перекрестные произведения также можно использовать для нахождения неизвестного члена в пропорции. Вот как!
Если а / б «=» | с / д тогда a × d = b × c |
Если а / б «=» | с / д тогда a × d = b × c |
Проиллюстрируем это парой примеров.
Пример №1:
Найдите х, если 5 / х | «=» 10 / 16 |
Поскольку эти две дроби или отношения находятся в пропорциях, мы знаем, что перекрестный продукт должен быть равен.
Используя векторное произведение, мы получаем:
5 × 16 = x × 10
80 = 10x
Если вы знаете свою таблицу умножения, вы можете быстро получить ответ.
Если 10 × х = 80, то х должно быть равно 8, потому что 10 × 8 равно 80.
х = 8
Пропорция становится 5 / 8 | «=» 10 / 16 |
Обратите внимание, что 5 × 16 = 8 × 10 = 80
Вы также можете разбить задачу на несколько шагов, если хотите, как показано ниже:
Первое векторное произведение: 5 × 16 = 80
Второе векторное произведение: 10 × x
Приравняв векторные произведения, мы получим:
10 × х = 80
Есть более быстрый способ получить ответ при решении пропорций. Посмотрите еще раз на пропорцию:
«=» 10 / 16 |
Обратите внимание: чтобы получить 10, нужно 5 умножить на 2.
Точно так же, чтобы получить 16, нужно что-то или число умножить на 2. Какое число, умноженное на 2, даст вам 16? Без сомнения, это 8!
Пример №2:
Решите для n, если 8 / 10 | «=» нет / 25 |
Используя векторное произведение, мы получаем:
8 × 25 = 10 × n
200 = 10n
Вместо того, чтобы спрашивать себя «10 умножить на то, что равно 200?», мы на этот раз решим уравнение, чтобы показать вы другой способ получить n.
Разделите обе стороны на 10
200 / 10 | «=» 10н / 10 |
200 разделить на 10 равно 20, а 10 разделить на 10 равно 1
20 = 1n
20 = n
Полезные эквивалентные пропорции, которые можно использовать при решении пропорций.
Принцип №1:
Если а / б | «=» с / д затем, | а + б / б | «=» в + г / д |
Доказательство:
Добавьте 1 к обеим частям уравнения и выполните математические действия, как показано:
х — 8 / 8
«=»
6 / 4
Приведенное выше уравнение становится
х — 8 + 8 / 8 | «=» 6 + 4 / 4 |
или
«=» 10 / 4 |
Приведенное выше, конечно, намного проще решить
Принцип №2:
Если х / г | «=» х / 4 тогда у = 4 |
Например, если 50 / г | «=» 50 / 100 тогда у = 100 |
Если 18 / г | «=» х / у тогда х = 18 |
Принцип №3:
Если а / б | «=» с / д затем, | а + в / б + д | «=» а / б |
Фактор a с правой стороны.а + в / б + д | «=» а / б |
Почему принцип №3 полезен при решении пропорций?
Скажи, что у тебя есть х + 2 / 8 + 4 | «=» х / 8 |
Это эквивалентно х / 8 | «=» 2 / 4 |
Опять же последний формат имеет дружественный вид и решается быстрее.
Просто помните эти 3 принципа при решении пропорций, и это облегчит вам упражнение с пропорциями.
Спасибо за прочтение!
Проиллюстрируем это парой примеров.
Пример №1:
Найдите х, если 5 / х | «=» 10 / 16 |
Поскольку эти две дроби или отношения находятся в пропорциях, мы знаем, что перекрестное произведение должно быть равно.
Используя векторное произведение, мы получаем:
5 × 16 = x × 10
80 = 10x
Если вы знаете свою таблицу умножения, вы можете быстро получить ответ.
Если 10 × x = 80, то x должно быть равно 8, потому что 10 × 8 равно 80.
x = 8
Пропорция становится 5 / 8 | «=» 10 / 16 |
Обратите внимание, что 5 × 16 = 8 × 10 = 80
Вы также можете разбить проблему на несколько шагов, если хотите, как показано ниже:
Первое векторное произведение: 5 × 16 = 80
Второе векторное произведение: 10 × x
Приравняв векторные произведения, мы получим:
10 × x = 80
Есть более быстрый способ получить ответ, когда решение пропорций.
Посмотрите еще раз на пропорцию:
«=» 10 / 16 |
Обратите внимание: чтобы получить 10, нужно 5 умножить на 2. Точно так же, чтобы получить 16, нужно что-то или число умножить на 2. Какое число, умноженное на 2, даст вам 16? Без сомнения, это 8!
Пример #2:
Решите для n, если 8 / 10 | «=» нет / 25 |
Используя векторное произведение, мы получаем:
8 × 25 = 10 × n
200 = 10n
Вместо того, чтобы спрашивать себя «10 умножить на то, что равно 200?», мы на этот раз решим уравнение, чтобы показать есть другой способ получить n
Разделите обе части на 10
200 / 10 | «=» 10н / 10 |
200 разделить на 10 равно 20, а 10 разделить на 10 равно 1 3
Принцип №1:
Если а / б | «=» с / д затем, | а + б / б | «=» в + г / д |
Доказательство:
Добавьте 1 к обеим частям уравнения и выполните математические действия, как показано:
х — 8 / 8
«=»
6 / 4
Приведенное выше уравнение становится
х — 8 + 8 / 8 | «=» 6 + 4 / 4 |
Или
«=» 10 / 4 |
Приведенное выше, конечно, намного проще решить
Принцип №2:
Если х / г | «=» х / 4 тогда у = 4 |
Например,
Если 50 / г | «=» 50 / 100 тогда у = 100 |
Если 18 / г | «=» х / у тогда х = 18 |
Принцип №3:
Если а / б | «=» с / д затем, | а + в / б + д | «=» а / б |
Фактор a из правой частиа + в / б + д | «=» а / б |
Почему принцип №3 полезен при решении пропорций?
Скажи, что у тебя есть х + 2 / 8 + 4 | «=» х / 8 |
Это эквивалентно х / 8 | «=» 2 / 4 |
Опять же последний формат имеет дружественный вид и решается быстрее.
Просто помните эти 3 принципа при решении пропорций, и это облегчит вам упражнение на пропорции.
Спасибо, что прочитали
Решение викторины пропорций. Сможете ли вы пройти этот тест на 100%?
Треугольник 45-45-90
01, 23 мая 07:00
Что такое треугольник 45-45-90? Определение, доказательство, площадь и простые примеры из реальной жизни.
Подробнее
Теоретическая вероятность — определение, объяснение и примеры
24, 23 апреля 07:02
Узнайте, как вычислить правдоподобие или вероятность события с помощью формулы теоретической вероятности.
Подробнее
Решение пропорций и их применение
В этом разделе рассматриваются следующие темы:
- Использование определения пропорции
- Решение пропорций
- Решение приложений с использованием пропорций
- Запись процентных уравнений в виде пропорций
- Преобразование и решение процентных пропорций
Когда два соотношения или скорости равны, уравнение, связывающее их, называется пропорцией . ПРОПОРЦИЯ Пропорция – это уравнение вида $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, где $b \neq 0, d \neq 0$.
Пропорция указывает, что два соотношения или скорости равны. Пропорция читается как «$a$ к $b$, как $c$ к $d$».
Уравнение $\frac{1}{2} = \frac{4}{8}$ является пропорцией, поскольку две дроби равны. Пропорция $\frac{1}{2} = \frac{4}{8}$ читается как «$1$ к $2$, как $4$ к $8$».
Если мы сравниваем количества с единицами, мы должны быть уверены, что сравниваем их в правильном порядке. Например, в пропорции $\frac{20\ \mathrm{студенты}}{1\ \mathrm{учитель}} = \frac{60\ \mathrm{студенты}}{3\ \mathrm{учителя}}$ мы сравните количество учеников с количеством учителей. Ставим учеников в числители, а учителей в знаменатели.
Пример 1Напишите каждое предложение в виде пропорции:
- 3$ к 7$, как 15$ к 35$.
- $5$ попаданий в летучих мышах за $8$ равносильно попаданию $30$ в летучих мышей за $48$.
- $ \$1,50$ за 6$ унций эквивалентно $\$2,25$ за 9$ унций.
| Часть 1. | |
| От 3$ до 7$, а от 15$ до 35$. | |
| Напишите в виде пропорции. | $\frac{3}{7} = \frac{15}{ 35}$ |
| Часть 2. | $5$ попадает в $8$ у летучих мышей то же самое, что $30$ ударов в летучих мышах за $48$. |
| Запишите каждую дробь для сравнения попаданий с летучими мышами. | $\frac{\mathrm{hits}}{\mathrm{at-bats}} = \frac{\mathrm{hits}}{\mathrm{at-bats}}$ |
| Запишите в виде пропорции. | $\frac{5}{8} = \frac{30}{ 48}$ |
| Часть 3. | |
$ \$1,50$ за $6$ унций эквивалентно $\$2. 25$ за 9$ унций. | |
| Напишите каждую дробь, чтобы сравнить доллары с унциями. | $\frac{$}{\mathrm{унции}} = \frac{$}{\mathrm{унции}}$ |
| Запишите в виде пропорции. | $\frac{1.50}{6} = \frac{2.25}{ 9}$ |
Посмотрите на соотношение $\frac{1}{2} = \frac{4}{8}$ и $\frac{2}{3} = \frac{6}{9}$. Из нашей работы с эквивалентными дробями мы знаем, что эти уравнения верны. Но как узнать, является ли уравнение пропорцией с эквивалентными дробями, если оно содержит дроби с большими числами?
Чтобы определить, верна ли пропорция, мы находим перекрестных произведения каждой пропорции. Чтобы найти перекрестные произведения, мы умножаем каждый знаменатель на противоположный числитель (по диагонали через знак равенства). Результаты называются перекрестными произведениями из-за образовавшегося перекрестия. Взаимные произведения пропорции равны.
ПЕРЕКРЕСТНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРОПОРЦИИ Для любой пропорции вида $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, где $b \neq 0, d \neq 0$, его перекрестные произведения равны.
Перекрестные произведения можно использовать для проверки правильности пропорции. Чтобы проверить, составляет ли уравнение пропорцию, мы находим перекрестные произведения. Если они равны, мы имеем пропорцию.
Пример 2Определить, является ли каждое уравнение пропорцией:
- $\frac{4}{9} = \frac{12}{28}$
- $\frac{17.5}{37.5} = \frac{7}{15}$
| Часть 1. | |
| $\frac{4}{9} = \frac{12}{28}$ | |
| Найдите перекрестные произведения. | $28 \cdot 4 = 112$ и $9 \cdot 12 =108$ |
Поскольку перекрестные произведения не равны, $28 \cdot 4 \neq 9 \cdot 12$, уравнение не является пропорцией.
| Часть 2. | ||
| . | $15 \cdot 17,5 = 262,5$ и $37,5 \cdot 7 =262,5$ |
Поскольку перекрестные произведения равны, $15 \cdot 17,5 = 37,5 \cdot 7$, уравнение является пропорцией.
Чтобы решить пропорцию, содержащую переменную, мы помним, что пропорция представляет собой уравнение. Все методы, которые мы использовали до сих пор для решения уравнений, все еще применимы. В следующем примере мы решим пропорцию путем умножения на наименьший общий знаменатель (НОД), используя свойство равенства умножения.
Пример 3Решите: $\frac{x}{63} = \frac{4}{7}$.
Решение| $\frac{x}{63} = \frac{4}{7}$ | |
| Чтобы изолировать $x$, умножьте обе части на LCD, $63$. | $63( \frac{x}{63} ) = 63( \frac{4}{7} )$ |
| Упростить. | $x= \frac{9 \cdot \cancel{7} \cdot 4}{\cancel{7}}$ |
| Разделите общие делители. | $x=36$ |
| Проверка: Чтобы проверить наш ответ, подставляем в исходную пропорцию. | |
| $\frac{x}{63} = \frac{4}{7}$ | |
| Подставить $x=36$ | $\frac{x}{63} \stackrel{? }{=} \frac{4}{7}$ |
Показать общие множители. | $\frac{4 \cdot 9}{7 \cdot 9} \stackrel{?}{=} \frac{4}{7}$ |
| Упростить. | $\frac{4}{7} = \frac{4}{7}$✓ |
Когда переменная находится в знаменателе, мы будем использовать тот факт, что перекрестные произведения пропорциональности равны, чтобы решить пропорции.
Мы можем найти перекрестные произведения пропорции и приравнять их. Затем мы решаем полученное уравнение, используя наши знакомые методы.
Пример 4Решите: $\frac{144}{a} = \frac{9}{4}$.
Решение Обратите внимание, что переменная находится в знаменателе, поэтому мы будем решать, находя перекрестные произведения и приравнивая их.
| Найдите перекрестные произведения и приравняйте их. | $4 \cdot 144 = a \cdot 9$ |
| Упрощение. | $576=9a$ |
| Разделите обе части на $9$. | $\frac{576}{9} = \frac{9a}{9}$ |
| Упростить. | $64=a$ |
| Проверьте свой ответ. | |
| $\frac{144}{a} = \frac{9}{4}$ | |
| Подставить $a=64$ | $\frac{144}{64} \stackrel{? }{=} \frac{9}{4}$ |
| Показать общие множители. | $\frac{9 \cdot 16}{4 \cdot 16} \stackrel{?}{=} \frac{9}{4}$ |
| Упростить. | $\frac{9}{4} = \frac{9}{4}$✓ |
Другим способом решения этой проблемы может быть умножение обеих сторон на LCD, $4a$. Попробуйте и убедитесь, что вы получили такое же решение.
Пример 5 Решите: $\frac{52}{91} = \frac{-4}{y}$.
| Найдите перекрестные произведения и приравняйте их. | |
| $y \cdot 52 = 91(-4)$ | |
| Упростить. | $52y=-364$ |
| Разделите обе части на $52$. | $\frac{52y}{52} = \frac{-364}{52}$ |
| Упростить. | $y=-7$ |
| Чек. | |
| $\frac{52}{91} = \frac{-4}{y}$ | |
| Замена $a=-7$ | $\frac{52}{91} \stackrel {?}{=} \frac{-4}{-7}$ |
| Показать общие факторы. | $\frac{4 \cdot 13}{7 \cdot 13} \stackrel{?}{=} \frac{-4}{-7}$ |
| Упростить. | $ \ frac {4} {7} = \ frac {4} {7} $ ✓ |
5.3. в этой главе также работает для пропорций, так как пропорции являются уравнениями. Когда мы устанавливаем пропорцию, мы должны убедиться, что единицы измерения правильные — единицы в числителях совпадают, а единицы в знаменателях совпадают. Пример 6 Когда педиатры назначают детям ацетаминофен, они назначают 5 долларов США миллилитров (мл) ацетаминофена на каждые 25 долларов США фунтов веса ребенка. Если Зоя весит 80 фунтов, сколько миллилитров ацетаминофена пропишет ее врач?
Решение| Определите, что вас просят найти. | Сколько мл ацетаминофена выпишет врач |
| Выберите переменную для ее представления. | Пусть $a=$ мл ацетаминофена. |
| Напишите предложение, которое дает информацию, чтобы найти его. | Если 5$ мл прописано за каждые 25$ фунтов, сколько будет прописано за 80$ фунтов? |
| Перевести в пропорцию. | $\frac{\mathrm{ml}}{\mathrm{pounds}} = \frac{\mathrm{ml}}{\mathrm{pounds}}$ |
Подставьте указанные значения — будьте осторожны с единицами измерения . | $\frac{5}{25} = \frac{a}{80}$ |
| Умножьте обе стороны на 80$. | $80 \cdot \frac{5}{25} = 80 \cdot \frac{a}{80}$ |
| Умножьте и покажите общие множители. | $\frac{16 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{80a}{80}$ |
| Упростить. | $16=a$ |
| Проверьте правильность ответа. | |
| Да. Поскольку 80 долларов — это примерно 3 доллара, умноженные на 25 долларов, стоимость лекарства должна быть примерно 3 доллара, умноженная на 5 долларов. | |
| Напишите полное предложение. | Педиатр пропишет Зои 16$ мл ацетаминофена. |
Вы также можете решить эту пропорцию, приравняв перекрестные произведения.
Пример 7Порция попкорна одной марки содержит 120 долларов США калорий. Целый пакет этого попкорна стоит 3,5 $ порции. Сколько калорий в целом пакете этого попкорна для микроволновки?
Решение Определите, что вас просят найти. | Сколько калорий в целом пакете попкорна для микроволновки? |
| Выберите переменную для ее представления. | Пусть $c=$ количество калорий. |
| Напишите предложение, которое дает информацию, чтобы найти его. | Если на порцию приходится 120$ калорий, то сколько калорий содержится в целой упаковке с порцией по 3,5$? |
| Перевести в пропорцию. | $\frac{\mathrm{калории}}{\mathrm{порция}} = \frac{\mathrm{калории}}{\mathrm{порция}}$ |
| Подставьте указанные значения. | $\frac{120}{1} = \frac{c}{3.5}$ |
| Умножьте обе части на $3,5$. | $(3.5)( \frac{120}{1} ) = (3.5) ( \frac{c}{3.5} )$ |
| Умножить. | $420=c$ |
| Проверьте правильность ответа. | |
| Да. Поскольку 3,5$ составляет от 3$ до 4$, общее количество калорий должно составлять от 360$ (3 \cdot 120)$ до 480$ (4 \cdot 120 )$. | |
Напишите полное предложение. | Весь пакет попкорна для микроволновки содержит 420$ калорий. |
Джозайя поехал в Мексику на весенние каникулы и обменял $\$325$ долларов на мексиканские песо. В то время обменный курс $\$1$ США был равен 12,54$ мексиканских песо. Сколько мексиканских песо он получил за поездку?
Решение| Определите, что вас просят найти. | Сколько мексиканских песо получил Иосия? |
| Выберите переменную для ее представления. | Пусть $p=$ количество песо. |
| Напишите предложение, которое дает информацию, чтобы найти его. | Если $ \$1$ США равен $12,54$ мексиканских песо, тогда $\$325$ сколько песо? |
| Перевести в пропорцию. | $\frac{$}{\mathrm{pesos}} = \frac{$}{\mathrm{pesos}}$ |
| Подставьте указанные значения. | $\frac{1}{12,54} = \frac{325}{p}$ |
Переменная стоит в знаменателе, поэтому найдите перекрестные произведения и приравняйте их. | $p \cdot 1 = 12,54(325)$ |
| Упростить. | $c=4 075,5$ |
| Проверить правильность ответа. | |
| Да. $ \ $ 100 $ будет $ \ $ 1,254 $ песо. $ \$325$ чуть более чем в 3$ раза превышает эту сумму. | |
| Напишите полное предложение. | У Джозайи есть 4 075,5 песо на поездку на весенние каникулы. |
Ранее мы решали процентные уравнения, применяя свойства равенства, которые мы использовали для решения уравнений в этом тексте. Некоторые люди предпочитают решать процентные уравнения, используя метод пропорций. Метод пропорций для решения процентных задач предполагает процентную пропорцию. Пропорция процентов – это уравнение, в котором процент равен эквивалентному отношению.
Например, $60 \% = \frac{60}{100}$, и мы можем упростить $\frac{60}{100} = \frac{3}{5}$.
Поскольку уравнение $\frac{60}{100} = \frac{3}{5}$ показывает процент, равный эквивалентному отношению, мы называем его пропорцией процентов . Используя словарь, который мы использовали ранее:
$\large \frac{\mathrm{amount}}{\mathrm{base}} = \frac{\mathrm{percent}}{100}$
$\large \frac{ 3}{5} = \frac{60}{100}$
ПРОЦЕНТНАЯ ПРОПОРЦИЯСумма указана к основанию, так как процент равен 100$.
$\large \frac{\mathrm{amount}}{\mathrm{base}} = \frac{\mathrm{percent}}{100}$
Если мы переформулируем задачу словами пропорции, она может быть проще настроить пропорцию:
𝑇ℎ𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑢𝑛𝑡 𝑖𝑠 𝑡𝑜 𝑡ℎ𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑎𝑠 𝑡ℎ 𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡 𝑖𝑠 𝑡𝑜 𝑜𝑛𝑒 ℎ𝑢𝑛𝑑𝑟𝑒𝑑.
Мы могли бы также сказать:
𝑇ℎ𝑒 𝑎𝑚𝑜𝑢𝑛𝑡 𝑜𝑢𝑡 𝑜𝑓 𝑡ℎ𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑖 𝑠 𝑡ℎ𝑒 𝑠𝑎𝑚𝑒 𝑎𝑠 𝑡ℎ𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡 𝑜𝑢𝑡 𝑜𝑓 𝑜𝑛𝑒 ℎ 𝑢𝑛𝑑𝑟𝑒𝑑.
Сначала потренируемся переводить в процентную пропорцию. Позже решим пропорцию.
Пример 9 Преобразование в пропорцию.
Какое число равно $75\%$ от $90$?
Если вы ищете слово «из», это может помочь вам определить основу.
| Определите части процентной доли. | |
| Пересчитайте в виде пропорции. | Какое число из 90$ совпадает с 75$ из 100$? |
| Установите пропорцию. Пусть $n=$ число. | $\frac{n}{90} = \frac{75}{100}$ |
Преобразование в пропорцию. $19$ равно $25\%$ от какого числа?
Решение| Определите части процентной доли. | |
| Пересчитайте в виде пропорции. | 19$ из какого числа равно 25$ из 100$? |
| Установите пропорцию. Пусть $n=$ число. | $\фракция{19}{n} = \frac{25}{100}$ |
Преобразование в пропорцию. Какой процент от 27$ составляет 9$?
Решение Определите части процентной доли. | |
| Пересчитайте в виде пропорции. | 9$ из 27$ равно какому числу из 100$? |
| Установите пропорцию. Пусть $p=$ процентов. | $\frac{9}{27} = \frac{p}{100}$ |
Теперь, когда мы записали уравнения процентов в виде пропорций, мы готовы решать уравнения.
Пример 12Переведите и решите, используя пропорции: Какое число составляет $45\%$ от $80$?
Решение| Определите части процентной доли. | |
| Пересчитайте в виде пропорции. | Какое число из 80$ совпадает с 45$ из 100$? |
| Установите пропорцию. Пусть $n=$ число. | $\frac{n}{80} = \frac{45}{100}$ |
| Найдите перекрестные произведения и приравняйте их. | 100$ \cdot n = 80 \cdot 45$ |
Упростить. | 100$n=3600$ |
| Разделите обе части на 100$. | $\frac{100n}{100} = \frac{3,600}{100}$ |
| Упростить. | $n=36$ |
| Проверить правильность ответа. | |
| Да. 45 долларов — это чуть меньше половины от 100 долларов, а 36 долларов — чуть меньше половины 80 долларов. | |
| Напишите полное предложение, отвечающее на вопрос. | $36$ равно $45\%$ 0f $80$. |
В следующем примере процент превышает 100 долл. США, что составляет более одного целого. Значит, неизвестное число будет больше основания.
Пример 13Переведите и решите, используя пропорции: 125$ \%$ от 25$ это какое число?
Решение| Определите части процентной доли. | |
| Пересчитайте в виде пропорции. | Какое число из 25$ равно 125$ из 100$? |
Установите пропорцию. Пусть $n=$ число. | $\frac{n}{25} = \frac{125}{100}$ |
| Найдите перекрестные произведения и приравняйте их. | 100$ \cdot n = 25 \cdot 125$ |
| Упростить. | 100$n=3125$ |
| Разделите обе части на 100$. | $\frac{100n}{100} = \frac{3,125}{100}$ |
| Упростить. | $n=31,25$ |
| Проверить правильность ответа. | |
| Да. 125$ больше 100$, а 31,25$ больше 25$. | |
| Напишите полное предложение, отвечающее на вопрос. | $125\%$ от $25$ составляет $31,25$. |
Проценты с десятичными знаками и деньгами также используются в пропорциях.
Пример 14Переведите и решите: $6,5 \%$ из какого числа $ \$1,56$?
Решение| Определите части процентной доли. | |
Пересчитайте в виде пропорции. | $ \$1,56$ из какого числа равно $6,5$ из $100$? |
| Установите пропорцию. Пусть $n=$ число. | $\frac{1.56}{n} = \frac{6.5}{100}$ |
| Найдите перекрестные произведения и приравняйте их. | 100$(1,56) = n \cdot 6,5$ |
| Упростить. | $156=6,5n$ |
| Разделите обе части на $6,5$, чтобы изолировать переменную. | $\frac{156}{6,5} = \frac{6,5n}{16,5}$ |
| Упростить. | $24=n$ |
| Проверить правильность ответа. | |
| Да. $6,5\%$ — это небольшая сумма, а $\$1,56$ намного меньше, чем $\$24$. | |
| Напишите полное предложение, отвечающее на вопрос. | $6,5\%$ от $\$24$ составляет $\$1,56$. |
Переведите и решите, используя пропорции: Сколько процентов от 72$ составляет 9$?
Решение Определите части процентной доли. | |
| Пересчитайте в виде пропорции. | 9$ из 72$ равно какому числу из 100$? |
| Установите пропорцию. Пусть $n=$ число. | $\frac{9}{72} = \frac{n}{100}$ |
| Найдите перекрестные произведения и приравняйте их. | 72$ \cdot n = 100 \cdot 9$ |
| Упростить. | 72$n=900$ |
| Разделите обе части на 72$. | $\frac{72n}{72} = \frac{900}{72}$ |
| Упростить. | $n=12,5$ |
| Проверить правильность ответа. | |
| Да. $9$ – это $\frac{1}{8}$ из $72$, а $\frac{1}{8}$ – $12,5 \%$. | |
| Напишите полное предложение, отвечающее на вопрос. | $12,5 \%$ от $72$ составляет $9$. |
CC Лицензионный контент, оригинал
- Пересмотр и адаптация.
