Случаи систем уравнений с тремя неизвестными
67. Особенные случаи систем уравнений с тремя неизвестными. Возьмем следующую систему уравнений:
3x + 4y + 5z = 17
2x + 3y + 4z = 15
5x + 7y + 9z = 32
Наблюдательный человек здесь может подметить, что третье уравнение вовсе не является новым, а является следствием двух первых: каждый член 3-го уравнения получается от сложения соответствующих членов 1-го и 2-го уравнения (5x = 3x + 2x, 7y = 4y + 3y; 9z = 5z + 4z; 32 = 17 + 15), и само собою понятно, что если
3x + 4y + 5z должно равняться 17,
2x + 3y + 4z должно равняться 15,
то (3x + 4y + 5z) + (2x + 3y + 4z) должно равняться 32.
Поэтому мы здесь имеем, в сущности, только 2 уравнения с 3 неизвестными, и они имеют бесконечно много решений.
Можно составлять такие системы и более сложным путем. Возьмем два уравнения:
x – 2y + 3z = 7
2x + y – z = 5
Умножим каждое из них на какое-либо число и сложим (или вычтем) по частям полученные уравнения.
–x – 8y + 11z = 11.
Это уравнение является следствием двух первых и поэтому все три уравнения, взятые вместе, должны иметь бесконечно много решений.
Попробуем решать эти уравнения: 1) из 1-го и 3-го сложением по частям исключим x; 2) из 2-го и 3-го, умножив предварительно третье на 2, также исключим x:
Если теперь разделить обе части 1-го из полученных уравнений на 2 и обе части 2-го на 3, то получим одно и то же уравнение, а именно:
–5y + 7z = 9.
Это обстоятельство и является признаком того, что наша система имеет бесконечно много решений.
Если мы изберем такой план: 1) из 1-го и, напр., 3-го уравнений определим x и y через z; 2) подставим полученные выражения в 3-е уравнение, то должны получить само собою очевидное равенство, вроде 0 = 0 или 7 = 7 или 15 = 15 или –11 = –11 и т. п.
В самом деле:
то после предыдущего становится ясным, что эти 3 уравнения совместно решить нельзя. В самом деле, ведь левая часть 3-го уравнения получается от сложения левых частей 1-го и 2-го уравнений, а в таком случае эта сумма должна равняться 17 + 15 или 32, но не может равняться 33.
Также точно можно, взяв 2 уравнения произвольно, составить третье, несовместимое с ними, умножением каждого из взятых двух уравнений на какое-нибудь число и сложением (или вычитанием) полученных уравнений, причем известный член должно как-либо изменить. Например, если первое из взятых уравнений умножим на 2 (получим: 6x + 8y + 10z = 34), второе на 3 (получим: 6x + 9y + 12z = 45), сложим полученные уравнения по частям, но вторую часть как-либо изменим (напр., вместо получающейся суммы 79 возьмем 100), то полученное уравнение
12x + 17y + 22z = 100
не совместимо с первыми двумя.
Если кто-либо стал бы решать систему несовместимых уравнений, то пришел к результату явно нелепому, например:
0 = 5 или 7 = 11 или –5 = +5 и т. п.
как решать систему с тремя неизвестными
Вы искали как решать систему с тремя неизвестными? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и как решать систему уравнений с 3 неизвестными, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «как решать систему с тремя неизвестными».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как как решать систему с тремя неизвестными,как решать систему уравнений с 3 неизвестными,как решать систему уравнений с тремя неизвестными,как решать уравнения с тремя неизвестными,как решить систему из 3 уравнений с 3 неизвестными,как решить систему с тремя неизвестными,как решить систему уравнений с 3 неизвестными,как решить систему уравнений с тремя неизвестными,как решить систему уравнений с тремя переменными,как решить тройную систему уравнений,как решить уравнение с 3 неизвестными,как решить уравнение с тремя неизвестными,решение систем с тремя неизвестными,решение систем трех линейных уравнений с тремя переменными,решение систем уравнений с 3 неизвестными,решение систем уравнений с тремя неизвестными,решение системы с тремя неизвестными,решение системы уравнений из 3 уравнений,решение системы уравнений с 3 неизвестными,решение системы уравнений с тремя неизвестными,решение уравнение с тремя неизвестными,решение уравнений с 3 неизвестными,решение уравнений с тремя неизвестными,решение уравнения с тремя неизвестными,решить уравнение с тремя неизвестными,система квадратных уравнений с тремя неизвестными,система с тремя неизвестными,система уравнений с 3 неизвестными,система уравнений с тремя неизвестными,системы линейных уравнений с 3 неизвестными,системы уравнений с тремя неизвестными,уравнение с тремя неизвестными решение,уравнение с тремя неизвестными решить,уравнения с тремя неизвестными как решать,уравнения с тремя неизвестными примеры,уравнения с тремя неизвестными решение.
Где можно решить любую задачу по математике, а так же как решать систему с тремя неизвестными Онлайн?
Решить задачу как решать систему с тремя неизвестными вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.
Линейные системы с тремя переменными
Мы попытаемся найти значения \(x\), \(y\) и a \(z\), которые будут удовлетворять всем трем уравнениям одновременно. Мы собираемся использовать исключение, чтобы исключить одну переменную из одного уравнения и две переменные из другого уравнения. Причина для этого станет очевидной, как только мы действительно это сделаем.
Метод исключения в этом случае будет работать немного иначе, чем с двумя уравнениями. Как и в случае с двумя уравнениями, мы будем умножать столько уравнений, сколько нам нужно, чтобы, если мы начнем складывать пары уравнений, мы могли исключить одну из переменных.
В этом случае похоже, что если мы умножим второе уравнение на 2, будет довольно просто исключить член \(y\) из второго и третьего уравнений, добавив первое уравнение к ним обоим. Итак, давайте сначала умножим второе уравнение на два.
\[\начать{выравнивать*} x-2y+3z & =7 & \underrightarrow{\text{тот же}}\hspace{0,1in} & & x-2y+3z & =7 \\ 2x + y + z & = 4 & \ underrightarrow {\ times \, \, 2} \ hspace {0,1 дюйма} & & 4x + 2y + 2z & = 8 \\ -3x+2y-2z & =-10 & \underrightarrow{\text{тот же}}\hspace{0,1in} & & -3x+2y-2z & =-10 \\ \конец{выравнивание*}\]
Теперь в этой новой системе мы заменим второе уравнение суммой первого и второго уравнений, а третье уравнение заменим суммой первого и третьего уравнений.
Получившаяся система уравнений.
\[\begin{align*}x — 2y + 3z & = 7\\ 5x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 5z & = 15\\ — 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + z & = — 3\end{align*}\]
Итак, мы исключили одну переменную из двух уравнений. Теперь нам нужно исключить \(x\) или \(z\) из второго или третьего уравнений. Опять же, мы будем использовать исключение, чтобы сделать это. В этом случае мы умножим третье уравнение на -5, так как это позволит нам исключить \(z\) из этого уравнения, добавив второе к is.
\[\начать{выравнивать*}
x-2y+3z & =7 & \underrightarrow{\text{то же}} \hspace{0.1in} & & x-2y+3z & =7 \\
5x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+5z & =15 & \underrightarrow{\text{то же}} \hspace{0.1in} & & 5x\ ,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+5z & =15 \\
-2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+z & =-3 & \underrightarrow{\times \,\,-5} \ hspace{0.
Теперь замените третье уравнение суммой второго и третьего уравнений.
\[\begin{align*}x — 2y + 3z & = 7\\ 5x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 5z & = 15\\ 15x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, & = 30\конец {выровнять*}\]
Теперь обратите внимание, что третье уравнение можно быстро решить, чтобы найти \(x = 2\). Как только мы это узнаем, мы можем подставить это во второе уравнение, и это даст нам уравнение, которое мы можем решить для \(z\) следующим образом.
\[\begin{align*}5\left( 2 \right) + 5z & = 15\\ 10 + 5z & = 15\\ 5z & = 5\\ z & = 1\end{align*}\]
Наконец, мы можем подставить как \(x\), так и \(z\) в первое уравнение, которое мы можем использовать для решения для \(y\). Вот эта работа.
\[\begin{align*}2 — 2y + 3\left( 1 \right) & = 7\\ — 2y + 5 & = 7\\- 2y & = 2\\ y & = — 1\end{align *}\]
Итак, решением этой системы является \(x = 2\), \(y = — 1\) и \(z = 1\).
4.4 Решение систем уравнений с тремя переменными — Алгебра среднего уровня 2e
Цели обучения
К концу этого раздела вы сможете:
- Определить, является ли упорядоченная тройка решением системы трех линейных уравнений с тремя переменными
- Решите систему линейных уравнений с тремя переменными
- Решайте приложения, используя системы линейных уравнений с тремя переменными
Приготовься 4.10
Прежде чем приступить к работе, пройдите этот тест на готовность.
Вычислить 5x−2y+3z5x−2y+3z, когда x=−2,x=−2,y=−4,y=−4 и z=3.z=3.
Приготовься 4.11
Классифицируйте уравнения как условное уравнение, тождество или противоречие, а затем сформулируйте решение. {−2x+y=−11x+3y=9.{−2x+y=−11x+3y=9.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 2.6.
Приготовься 4.12
Классифицируйте уравнения как условное уравнение, тождество или противоречие, а затем сформулируйте решение. {7x+8y=43x−5y=27.{7x+8y=43x−5y=27.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 2.8.
Определить, является ли упорядоченная тройка решением системы трех линейных уравнений с тремя переменными
В этом разделе мы продолжим нашу работу по решению системы линейных уравнений. До сих пор мы работали с системами уравнений с двумя уравнениями и двумя переменными. Теперь будем работать с системами трех уравнений с тремя переменными. Но сначала давайте рассмотрим, что мы уже знаем о решении уравнений и систем, содержащих до двух переменных.
Ранее мы узнали, что график линейного уравнения ax+by=c,ax+by=c представляет собой линию. Каждая точка на линии, упорядоченная пара (x, y), (x, y), является решением уравнения. Для системы двух уравнений с двумя переменными рисуем две линии. Тогда мы увидим, что все точки, являющиеся решениями каждого уравнения, образуют прямую. И, найдя, что общего у линий, мы найдем решение системы.
Большинство линейных уравнений с одной переменной имеют одно решение, но мы видели, что некоторые уравнения, называемые противоречиями, не имеют решений, а для других уравнений, называемых тождествами, решениями являются все числа
Мы знаем, что когда мы решаем систему двух линейных уравнений, представленную графиком из двух линий на одной плоскости, возможны три случая, как показано.
Аналогично, для линейного уравнения с тремя переменными ax+by+cz=d,ax+by+cz=d каждое решение уравнения представляет собой упорядоченную тройку (x,y,z)(x,y,z) , что делает уравнение верным.
Линейное уравнение с тремя переменными
Линейное уравнение с тремя переменными, где a, b, c, и d — действительные числа, а a, b и c — не все 0, имеет вид
ax+by+cz=dax+by+cz=d
Каждое решение уравнения представляет собой упорядоченную тройку , (x,y,z)(x,y,z), что делает уравнение верным.
Все точки, являющиеся решениями одного уравнения, образуют плоскость в трехмерном пространстве. И, обнаружив, что общего у плоскостей, мы найдем решение системы.
Когда мы решаем систему трех линейных уравнений, представленную графиком трех плоскостей в пространстве, возможны три случая.
Чтобы решить систему трех линейных уравнений, мы хотим найти значения переменных, которые являются решениями всех трех уравнений. Другими словами, мы ищем упорядоченную тройку (x,y,z)(x,y,z), которая делает все три уравнения верными. Они называются решениями системы трех линейных уравнений с тремя переменными.
Решения системы линейных уравнений с тремя переменными
Решениями системы уравнений являются значения переменных, при которых все уравнения верны. Решение представлено упорядоченной тройкой (x,y,z).(x,y,z).
Чтобы определить, является ли упорядоченная тройка решением системы трех уравнений, мы подставляем значения переменных в каждое уравнение. Если упорядоченная тройка делает все три уравнения верными, то это решение системы.
Пример 4.31
Определите, является ли упорядоченная тройка решением системы: {x−y+z=22x−y−z=−62x+2y+z=−3.{x−y+z=22x−y−z= −62x+2y+z=−3.
ⓐ (−2,−1,3)(−2,−1,3) ⓑ (−4,−3,4)(−4,−3,4)
Решение
ⓐ
ⓑ
Попытайся 4,61
Определите, является ли упорядоченная тройка решением системы: {3x+y+z=2x+2y+z=-33x+y+2z=4.{3x+y+z=2x+2y+z=- 33x+y+2z=4.
ⓐ (1,−3,2)(1,−3,2) ⓑ (4,−1,−5)(4,−1,−5)
Попытайся 4,62
Определите, является ли упорядоченная тройка решением системы: {x−3y+z=−5−3x−y−z=12x−2y+3z=1.{x−3y+z=−5−3x− y−z=12x−2y+3z=1.
ⓐ (2,−2,3)(2,−2,3) ⓑ (−2,2,3)(−2,2,3)
Решение системы линейных уравнений с тремя переменными
Чтобы решить систему линейных уравнений с тремя переменными, мы в основном используем те же методы, что и для систем с двумя переменными. Мы начинаем с двух пар уравнений, и в каждой паре мы исключаем одну и ту же переменную. Это даст нам систему уравнений только с двумя переменными, и тогда мы будем знать, как решить эту систему!
Затем мы используем значения двух только что найденных переменных, чтобы вернуться к исходному уравнению и найти третью переменную. Мы записываем наш ответ в виде упорядоченной тройки, а затем проверяем наши результаты.
Пример 4,32
Как решить систему уравнений с тремя переменными методом исключения
Решите систему методом исключения: {x−2y+z=32x+y+z=43x+4y+3z=−1.{x−2y+z =32x+y+z=43x+4y+3z=-1.
Решение
Попытайся 4,63
Решите систему методом исключения: {3x+y-z=22x-3y-2z=14x-y-3z=0.{3x+y-z=22x-3y-2z=14x-y-3z=0.
Попытайся 4,64
Решить систему методом исключения: {4x+y+z=−1−2x−2y+z=22x+3y−z=1.{4x+y+z=−1−2x−2y+z=22x+ 3y−z=1.
Здесь приведены шаги.
Как
Решите систему линейных уравнений с тремя переменными.
- Шаг 1.
Запишите уравнения в стандартной форме
- Если какие-либо коэффициенты являются дробями, удалите их.
- Шаг 2.
Исключите одну и ту же переменную из двух уравнений.
- Решите, какую переменную вы удалите.
- Работайте с парой уравнений, чтобы исключить выбранную переменную.
- Умножьте одно или оба уравнения так, чтобы коэффициенты этой переменной были противоположны.
- Добавьте уравнения, полученные на шаге 2, чтобы исключить одну переменную
- Шаг 3. Повторите шаг 2, используя два других уравнения, и исключите ту же переменную, что и в шаге 2.
- Шаг 4. Два новых уравнения образуют систему двух уравнений с двумя переменными. Решите эту систему.
- Шаг 5.
Используйте значения двух переменных, найденных на шаге 4, чтобы найти третью переменную.
- Шаг 6. Запишите решение в виде упорядоченной тройки.
- Шаг 7. Проверить, что упорядоченная тройка является решением все три исходных уравнений.
Пример 4,33
Решите: {3x−4z=03y+2z=−32x+3y=−5.{3x−4z=03y+2z=−32x+3y=−5.
Решение
{3x−4z=0(1)3y+2z=−3(2)2x+3y=−5(3){3x−4z=0(1)3y+2z=−3(2)2x+3y= −5(3)
Мы можем исключить zz из уравнений (1) и (2), умножив уравнение (2) на 2, а затем сложив полученные уравнения.
Обратите внимание, что оба уравнения (3) и (4) содержат переменные xx и yy. Мы решим эту новую систему для xx и yy.
Чтобы найти y , мы подставляем x=−4x=−4 в уравнение (3).
Теперь у нас есть x=−4x=−4 и y=1.y=1. Нам нужно найти z . Мы можем подставить x=−4x=−4 в уравнение (1), чтобы найти z .
Запишем решение в виде упорядоченной тройки. (−4,1,−3)(−4,1,−3)
Проверяем, что решение делает все три уравнения верными.
3x−4z=0(1)3(−4)−4(−3)=?00=0✓3y+2z=−3(2)3(1)+2(−3)=?−3−3 =−3✓2x+3y=−5(3)2(−4)+3(1)=?−5−5=−5✓Решение (−4,1,−3).3x−4z= 0(1)3(−4)−4(−3)=?00=0✓3y+2z=−3(2)3(1)+2(−3)=?−3−3=−3✓ 2x+3y=-5(3)2(-4)+3(1)=?-5-5=-5✓Решение (-4,1,-3).
Попытайся 4,65
Решите: {3x−4z=−12y+3z=22x+3y=6.{3x−4z=−12y+3z=22x+3y=6.
Попытайся 4,66
Решите: {4x−3z=−53y+2z=73x+4y=6.{4x−3z=−53y+2z=73x+4y=6.
Когда мы решаем систему и получаем ложное утверждение без переменных, мы знаем, что решений нет и что система несовместима. В следующем примере показана противоречивая система уравнений.
Пример 4,34
Решите систему уравнений: {x+2y-3z=-1x-3y+z=12x-y-2z=2.{x+2y-3z=-1x-3y+z=12x-y-2z= 2.
Решение
{x+2y-3z=-1(1)x-3y+z=1(2)2x-y-2z=2(3){x+2y-3z=-1(1)x-3y+z =1(2)2x−y−2z=2(3)
Используйте уравнение (1) и (2), чтобы исключить z .
Используйте (2) и (3), чтобы снова исключить zz.
Используйте (4) и (5), чтобы исключить переменную.
Нет решения.
Мы остались с ложным утверждением, и это говорит нам о том, что система несовместима и не имеет решения.
Попытайся 4,67
Решите систему уравнений: {x+2y+6z=5-x+y-2z=3x-4y-2z=1.{x+2y+6z=5-x+y-2z=3x-4y- 2з=1.
Попытайся 4,68
Решите систему уравнений: {2x−2y+3z=64x−3y+2z=0−2x+3y−7z=1.{2x−2y+3z=64x−3y+2z=0−2x+3y− 7з=1.
Когда мы решаем систему и получаем не переменные, а истинное утверждение, мы знаем, что существует бесконечно много решений. Система согласована с зависимыми уравнениями. Наше решение покажет, как две переменные зависят от третьей.
Пример 4,35
Решите систему уравнений: {x+2y-z=12x+7y+4z=11x+3y+z=4.{x+2y-z=12x+7y+4z=11x+3y+z=4.
Решение
{x+2y−z=1(1)2x+7y+4z=11(2)x+3y+z=4(3){x+2y−z=1(1)2x+7y+4z=11 (2)x+3y+z=4(3)
Используйте уравнение (1) и (3), чтобы исключить x .
Используйте уравнение (1) и (2), чтобы снова исключить x .
Используйте уравнения (4) и (5), чтобы исключить yy.
| Существует бесконечно много решений. | |
| Решите уравнение (4) для y . | Представьте решение, показывающее, как x и y зависят от z . у+2г=3у=-2г+3у+2г=3у=-2г+3 |
| Используйте уравнение (1) для решения x . | х+2у-z=1х+2у-z=1 |
| Замените y=−2z+3. y=−2z+3. | х+2(-2z+3)-z=1x-4z+6-z=1x-5z+6=1x=5z-5x+2(-2z+3)-z=1x-4z+6-z =1x−5z+6=1x=5z−5 |
Верное утверждение 0=00=0 говорит нам, что это зависимая система, которая имеет бесконечно много решений. Решения имеют вид (x,y,z)(x,y,z), где x=5z−5;y=−2z+3x=5z−5;y=−2z+3 и z — любое действительное число.
Попытайся 4,69
Решите систему уравнениями: {x+y-z=02x+4y-2z=63x+6y-3z=9.{x+y-z=02x+4y-2z=63x+6y-3z=9.
Попытайся 4,70
Решить систему уравнениями: {x−y−z=1−x+2y−3z=−43x−2y−7z=0.{x−y−z=1−x+2y−3z=−43x− 2y−7z=0.
Решение приложений с использованием систем линейных уравнений с тремя переменными
Приложения, которые моделируются системами уравнений, могут быть решены с использованием тех же методов, которые мы использовали для решения систем. Многие из приложений являются просто расширениями трех переменных типов, которые мы решили ранее.
Пример 4,36
Театральный факультет муниципального колледжа продал три вида билетов на свой последний спектакль. Билеты для взрослых продаются за 15 долларов, студенческие билеты за 10 долларов и детские билеты за 8 долларов. Театральный отдел был в восторге от того, что продал 250 билетов и заработал 2825 долларов за один вечер. Количество проданных студенческих билетов в два раза превышает количество проданных билетов для взрослых. Сколько штук каждого типа продал отдел?
Решение
| Для систематизации информации мы будем использовать таблицу. | |
| Количество учащихся вдвое превышает количество взрослых. | |
| Перепишите уравнение в стандартной форме. | у=2х2х-у=0у=2х2х-у=0 |
| Используйте уравнения (1) и (2) для исключения z . | |
| Используйте (3) и (4), чтобы исключить y.y. | |
| Решить для x . | x=75 x=75 билетов для взрослых |
| Используйте уравнение (3), чтобы найти y . | −2x+y=0−2x+y=0 |
| Замените x=75.x=75. | −2(75)+y=0−150+y=0y=150студенческих билетов−2(75)+y=0−150+y=0y=150студенческих билетов |
| Используйте уравнение (1), чтобы найти z . | х+у+г=250х+у+г=250 |
| Подставить значения x=75,y=150.x=75,y=150. | 75+150+z=250225+z=250z=25детских билетов75+150+z=250225+z=250z=25детских билетов |
| Запишите решение. | Театральный отдел продал 75 билетов для взрослых, 150 билетов для студентов и 25 билетов для детей. |
Попытайся 4,71
Отдел изящных искусств муниципального колледжа продал три вида билетов на свою последнюю танцевальную презентацию. Взрослые билеты продавались по 20 долларов, студенческие билеты по 12 долларов и детские билеты по 10 долларов. Отдел изящных искусств был в восторге от того, что продал 350 билетов и заработал 4650 долларов за одну ночь. Количество проданных детских билетов равно количеству проданных билетов для взрослых. Сколько штук каждого типа продал отдел?
Попытайся 4,72
Футбольная команда муниципального колледжа продала три вида билетов на свою последнюю игру. Билеты для взрослых продаются по 10 долларов, студенческие — по 8 долларов, детские — по 5 долларов. Футбольная команда была в восторге от того, что продала 600 билетов и заработала 4900 долларов за одну игру. Количество билетов для взрослых в два раза превышает количество билетов для детей. Сколько штук каждого типа продала футбольная команда?
Раздел 4.
4 УпражненияПрактика делает совершенным
Определить, является ли упорядоченная тройка решением системы трех линейных уравнений с тремя переменными
В следующих упражнениях определите, является ли упорядоченная тройка решением системы.
162.
{2x−6y+z=33x−4y−3z=22x+3y−2z=3{2x−6y+z=33x−4y−3z=22x+3y−2z=3
ⓐ (3,1,3) (3,1,3) ⓑ (4,3,7)(4,3,7)
163.
{−3x+y+z=−4−x+2y−2z=12x−y−z=−1{−3x+y+z=−4−x+2y−2z=12x−y−z=−1
ⓐ (−5,−7,4)(−5,−7,4) ⓑ (5,7,4)(5,7,4)
164.
{y-10z=-82x-y=2x-5z=3{y-10z=-82x-y=2x-5z=3
ⓐ (7,12,2)(7,12,2) ⓑ (2 ,2,1)(2,2,1)
165.
{x+3y−z=15y=23x−2x−3y+z=−2{x+3y−z=15y=23x−2x−3y+z=−2
ⓐ (−6,5,12)( −6,5,12) ⓑ (5,43,−3)(5,43,−3)
Решение системы линейных уравнений с тремя переменными
В следующих упражнениях решите систему уравнений.
166.
{5x+2y+z=5−3x−y+2z=62x+3y−3z=5{5x+2y+z=5−3x−y+2z=62x+3y−3z=5
167.
{6x−5y+2z=32x+y−4z=53x−3y+z=−1{6x−5y+2z=32x+y−4z=53x−3y+z=−1
168.
{2x−5y+3z=83x−y+4z=7x+3y+2z=−3{2x−5y+3z=83x−y+4z=7x+3y+2z=−3
169.
{5x−3y+2z=−52x−y−z=43x−2y+2z=−7{5x−3y+2z=−52x−y−z=43x−2y+2z=−7
170.
{3x−5y+4z=55x+2y+z=02x+3y−2z=3{3x−5y+4z=55x+2y+z=02x+3y−2z=3
171.
{4x−3y+z=72x−5y−4z=33x−2y−2z=−7{4x−3y+z=72x−5y−4z=33x−2y−2z=−7
172.
{3x+8y+2z=-52x+5y-3z=0x+2y-2z=-1{3x+8y+2z=-52x+5y-3z=0x+2y-2z=-1
173.
{11x+9y+2z=-97x+5y+3z=-74x+3y+z=-3{11x+9y+2z=-97x+5y+3z=-74x+3y+z=-3
174.
{13x−y−z=1x+52y+z=−22x+2y+12z=−4{13x−y−z=1x+52y+z=−22x+2y+12z=−4
175.
{x+12y+12z=015x−15y+z=013x−13y+2z=−1{x+12y+12z=015x−15y+z=013x−13y+2z=−1
176.
{x+13y-2z=-113x+y+12z=012x+13y-12z=-1{x+13y-2z=-113x+y+12z=012x+13y-12z=-1
177.
{13x−y+12z=423x+52y−4z=0x−12y+32z=2{13x−y+12z=423x+52y−4z=0x−12y+32z=2
178.
{x+2z=04y+3z=-22x-5y=3{x+2z=04y+3z=-22x-5y=3
179.
{2x+5y=43y-z=34x+3z=-3{2x+5y=43y-z=34x+3z=-3
180.
{2y+3z=-15x+3y=-67x+z=1{2y+3z=-15x+3y=-67x+z=1
181.
{3x−z=−35y+2z=−64x+3y=−8{3x−z=−35y+2z=−64x+3y=−8
182.
{4x-3y+2z=0-2x+3y-7z=12x-2y+3z=6{4x-3y+2z=0-2x+3y-7z=12x-2y+3z=6
183.
{x-2y+2z=1-2x+y-z=2x-y+z=5{x-2y+2z=1-2x+y-z=2x-y+z=5
184.
{2x+3y+z=12x+y+z=93x+4y+2z=20{2x+3y+z=12x+y+z=93x+4y+2z=20
185.
{x+4y+z=-84x-y+3z=92x+7y+z=0{x+4y+z=-84x-y+3z=92x+7y+z=0
186.
{x+2y+z=4x+y-2z=3-2x-3y+z=-7{x+2y+z=4x+y-2z=3-2x-3y+z=-7
187.
{x+y-2z=3-2x-3y+z=-7x+2y+z=4{x+y-2z=3-2x-3y+z=-7x+2y+z=4
188.
{x+y-3z=-1y-z=0-x+2y=1{x+y-3z=-1y-z=0-x+2y=1
189.
{x-2y+3z=1x+y-3z=73x-4y+5z=7{x-2y+3z=1x+y-3z=73x-4y+5z=7
Решение приложений с использованием систем линейных уравнений с тремя переменными
В следующих упражнениях решите данную задачу.
190.
Сумма мер углов треугольника равна 180. Сумма мер второго и третьего углов в два раза больше меры первого угла. Третий угол на двенадцать больше второго. Найдите меры трех углов.
191.
Сумма мер углов треугольника равна 180. Сумма мер второго и третьего углов в три раза больше меры первого угла. Третий угол на пятнадцать больше второго. Найдите меры трех углов.
192.
После просмотра крупной музыкальной постановки в театре посетители могут приобрести сувениры. Если семья покупает 4 футболки, видео и 1 мягкую игрушку, их общая сумма составляет 135 долларов.
Пара покупает 2 футболки, видео и 3 мягких игрушки для своих племянниц и тратит 115 долларов. Другая пара покупает 2 футболки, видео и 1 мягкую игрушку на сумму 85 долларов. Какова стоимость каждого предмета?
193.
Молодежная группа церкви продает закуски, чтобы собрать деньги для участия в своем съезде. Эми продала 2 фунта конфет, 3 коробки печенья и 1 банку попкорна на общую сумму 65 долларов.