Как решать уравнения с синусами и косинусами: Решение тригонометрических уравнений — 39 примеров!

§ 21. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Е.П. Нелин, В.А. Лазарев

 АЛГЕБРА

и начала математического

анализа

10 класс

Учебник для

общеобразовательных

учреждений. Базовый и

профильный уровень

Работу выполнила: Мусина В.А. студентка группы 45.3

         Системы тригонометрических уравнений решаются с помощью тех же методов, что и алгебраические системы, в частности это исключение неизвестных и замена переменных. Исключить неизвестные можно с помощью одного из двух приемов:из одного уравнения выразить какое-то неизвестное (или функцию от него) и подставить его в другие или преобразовать данные уравнения и потом составить из них комбинации, в которых число неизвестных уменьшается.

Задача 1. Решите систему уравнений

 

 Из первого уравнения находим    и подставляем во второе.        

Получаем   

Отсюда

     

           Замечание.  Если бы для нахождения значения y мы не рассмотрели отдельно формулу (1) со знаком «+» и знаком «–», то вместе с верными решениями получили бы и посторонние решения заданной  системы.

Действительно, в таком случае имеем 

Тогда, например, при n = 0 получаем 

Таким образом, кроме решений, которые вошли в ответ, мы имеем еще две возможности:  

                                               

Но эти пары значений х и у не являются решениями  заданной системы, поскольку они не удовлетворяют первому уравнению.    

 Поэтому следует запомнить:

            Когда решение уравнения cos x = а приходится применять для дальнейших преобразований, то удобно записывать его в виде двух формул: отдельно со знаком «+» и отдельно со  знаком «–».

 

            Задача 2. Решите систему уравнений

            

  Почленно сложим и вычтем эти уравнения. Получим равносильну систему

  

 Представим последнюю систему в виде совокупности двух систем, записывая решения второго уравнения отдельно со знаком «+» и отдельно со знаком «–»:

            

 Почленно складывая и вычитая уравнения этих систем, находим x и y:

         Замечание. В запись ответа вошли два параметра n и k, которые независимо друг от друга «пробегают» множество целых чисел. Если попробовать при решении заданной системы воспользоваться только одним параметром, например n, то это приведет к потере решений. Таким образом, в каждом случае,

когда система тригонометрических уравнений приводится к системе, состоящей из элементарных тригонометрических уравнений (то есть из уравнений вида sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a), при решении каждого из этих уравнений необходимо использовать свой целочисленный параметр.

 

Вопросы для контроля

1.  Какие методы используются для решения систем тригонометрических уравнений?
2. Объясните, в каком случае при формальном решении системы уравнений   мы можем потерять часть решений, а в каком случае —получить посторонние решения. Решите эту систему.

 

Упражнения

        Решите систему уравнений (1–8).

 

          

 

 

Купить

Решение ⭐ однородных тригонометрических уравнений: первая и вторая степень

Что такое тригонометрические уравнения

Определение 1

Тригонометрическим называют такое уравнение, которое содержит неизвестную под знаком тригонометрической функции.

Существует несколько способов решения тригонометрических уравнений, которые пригодятся на уроках в средних классах школы:

• применение формул;
• использование тригонометрической окружности.

С помощью тригонометрической окружности можно измерять углы, определять, какими синусами, косинусами они обладают, и вычислять прочие величины.

Источник: freepng.ru

Пример 1

Следующие уравнения являются тригонометрическими:

6cos2x+5sinx-7=0

sinπx=-1

35sinx+45cosx=1

Пример 2

Наиболее простыми тригонометрическими уравнениями являются:

sinfx=a

cosfx=a

tgfx=a

ctgfx=a

Здесь а определяется, как некоторое постоянное число.

Определение 2

Однородное тригонометрическое уравнение представляет собой уравнение с ненулевыми слагаемыми, каждое из которых включает в себя одинаковое число тригонометрических множителей.

Решение тригонометрических уравнений 1 степени

Определение 3

Однородные тригонометрические уравнения 1 степени — уравнения общего вида:

asinx+bcosx=0

где a и b являются некоторыми константами.

Решение однородного тригонометрического уравнения первой степени заключается в делении уравнения на cosx. В результате данной операции уравнение приобретает следующую форму:

atgx+b=0

Запись ответа данного уравнения предусматривает использование арктангенса.

Здесь важным условием является cosx≠0. В противном случае, при подстановке на место косинуса нуля синус также примет нулевое значение. Известно, что в одно время косинус и синус не могут быть равны нулю, поэтому нулевое значение для косинуса не допустимо.

Решение тригонометрических уравнений 2 степени

Определение 4

Однородное тригонометрическое уравнение 2 степени представляет собой такое уравнение, которое имеет вид:

asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0

Здесь a, b, c определяются, как некие константы.

Решить однородное тригонометрическое уравнение второй степени можно с помощью деления этого уравнения на cos2x. При этом cos2x отличен от нуля.

Примеры решения с пояснениями

Пример 3

Рассмотрим подробное решение задачи на однородное тригонометрическое уравнение первой степени. К примеру, дано уравнение:

sinx+cosx=0

Согласно стандартному порядку решения, поделим уравнение на \cos x. Получим:

tg x + 1 = 0,

tg x =- 1,

x=-π4+πk

Пример 4

Решим однородное тригонометрическое уравнение второй степени:

sin2x-2sinx cosx-3cos2x=0

Работа заключается в том, что нужно разделить уравнение на cos2x. Получим:

tg2x-2tgx-3=0

Выполним замену:

t=tgx

В результате:

t2-2t-3=0

t1=3

t2=-1

Путем обратной замены выполним преобразования:

tgx=3, или tgx=-1,

x=arctan3+πk, или x=-π4+πk

В итоге:

-sin2x+223sinxcosx-3cos2x=-2

Заметим, что полученное в результате вычислений уравнение не является однородным из-за присутствия -2 справа. Следует расписать -2, применяя ключевое тригонометрическое тождество:

-sin2x+223sinxcosx-3cos2x=-2(sin2x+cos2x)

-sin2x+223sinxcosx-3cos2x+2sin2x+2cos2x=0

sin2x+223sinxcosx-cos2x=0

Далее можно поделить уравнение на cos2x. Получим:

tg2x+223tgx-1=0

Выполним замену:

t=tgx

Получим в результате:

t2+223t-1=0

t1=33, t2=-3

Путем обратной замены выполним преобразования:

tgx=33 или tgx=-3

x=-π3+πk

x=π6+πk

Пример 5

Попробуем усложнить задачу и решить следующий пример:

15cosx=3cosx·5sinx

Здесь требуется решить это уравнение и определить его корни, которые соответствуют интервалу 5π;13π2.

В данном случае пригодятся знания ключевых свойств, которыми обладают степени, и навыки использования тригонометрической окружности.

В первую очередь следует записать левую часть уравнения с помощью свойства степени:

(ab)c=ac·bc

В результате:

3cosx·5cosx=3cosx·5sinx

Заметим, что 3cosx не может иметь нулевое значение из-за того, что данная функция является показательной. Таким образом, допускается деление обеих частей рассматриваемого уравнения на 3cosx. Получим:

5cosx=5sinx

Затем целесообразно исключить одинаковые основания степеней:

cosx=sinx

Выполним деление на cosx, который не равен нулю, так как в противном случае синус также имел бы нулевое значение, что невозможно одновременно с косинусом. Данное утверждение подкреплено основным тригонометрическим тождеством. Получим:

1=tgx

Корни данного уравнения можно отметить на окружности:

pi/45 pi/4

Выполним отбор корней с помощью двойного неравенства. Концы обозначенного в условии задания отрезка ограничивают серию решений:

5π⩽π4+πk⩽13π2

Преобразуем уравнение:

5π⩽π4+πk⩽13π2,

5π-π4⩽πk⩽13π2-π4,

19π4⩽πk⩽25π4,

194⩽k⩽254

Исходя из того что k обладает лишь целыми значениями, нашему случаю удовлетворяют:

5=204  и  6=244

Путем подстановки k в серию решений получим:

k=5,  x=π4+5π=21π4

k=6,  x=π4+6π=25π4

Пример 6

Решим следующее уравнение:

(sinx+2cosx)(3sinx+cosx)=sin2x

Определим все решения данного уравнения, которые соответствуют интервалу:

-π2;π2

Область допустимых значений в данном случае: х является произвольным.

Заметим, что здесь можно использовать формулу синуса двойного угла:

sin2x=2sinxcosx

Преобразуем начальное уравнение путем раскрытия скобок и переноса всех слагаемых влево:

3sin2x+5sinxcosx+2cos2x=0

Согласно стандартному алгоритму решения однородных тригонометрических уравнений второй степени, выполним деление обеих частей равенства на cos2x. Заменим tgx=t,t∈R. Получим:

3t2+5t+2=0⇒t1=-1;t2=-23

Далее можно выполнить обратную замену:

Затем следует выполнить отбор корней:

-π2⩽x1⩽π2⇒-14⩽n⩽34⇒n=0⇒x=-π4

Введем обозначение:

tg 23=α

В результате:

-π2⩽x2⩽π2⇒απ-12⩽m⩽απ+12

Наблюдается возрастание тангенса в первой четверти. Также:

23<1⇒0<α<π4⇒0<απ<14

Таким образом, целое m, которое соответствует неравенству, является m=0. Ему соответствует угол:

x=-arctg 23

Ответ: решения уравнения: -π4+πn,-arctg 23+πm, n,m∈ℤ; корни, которые удовлетворяют интервалу -π4;-arctg 23

Пример 7

Решим уравнение и определим все его корни, которые соответствуют промежутку (-1;0):

sin22x+sin4x+cos4x=0

Здесь область допустимых значений: х является произвольным. Вспомним формулу двойного угла применительно к синусу:

sin2α=2sinαcosα

Аналогичная формула для косинуса:

cos2α=cos2α-sin2α

В результате преобразуем уравнение:

Выполним отбор корней:

-1<x1<n<-12

π47⇒-2π-12<-1514⇒n=-1⇒x=-π4 

Введем обозначение:

arcctg 2=α

В результате:

-1<x2<m<π<1π<-2π<-12

Заметим убывание котангенса в первой четверти.  2>1, тогда:

α<π4⇒0<απ<14

Таким образом:

-23<-2π+απ<-14

Условно допустимо записать, что:

 -0,…<m⇒m=0⇒x=-12arcctg 2

Ответ: корни уравнения: π4+π2n,-12arcctg 2+π2m, n,m∈ℤ, решения, которые соответствуют интервалу: -π4;-12arcctg 2

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1

Найти корни уравнения:

sin2x-3sinx·cosx-4cos2x=0.

Решение

Заметим, что уравнение является однородным, где sinx и cosx играют роль неизвестных, степени в сумме в каждом из слагаемых равны 2. Заранее обозначим, что cosx≠0.

Разделим обе части уравнения на cos2x. Получим:

sin2xcos2x-3sinx·cosxcos2x-4cos2xcos2x=0tg2x-3tgx-4=0

Выполним замену:

t=tgx

Остается решить квадратное уравнение:

t2-3t-4=0

Заметим, что полученное уравнение является приведенным. Тогда целесообразно воспользоваться теоремой Виета и выполнить преобразования:

t1+t2=3t1·t2=-4⇔t1=-1t2=4

Путем обратной замены можно вычислить x1 и x2:

tgx1=-1tg x2=4⇔ x1=-π4+πnx2=arctg4+πk n, k∈ℤ.

Ответ:-π4+πn;  arctg4+πk,  n, k∈ℤ

Задача 2

Решить уравнение:

5sin2x-2sinx·cosx-3cos2x=0.

Решение

Выполним деление обеих частей уравнения на cos2x. Получим:

5sin2xcos2x-2sinx·cosxcos2x-3cos2xcos2x=05·sinxcosx2-2·sinxcosx-3=05tg2 x-2tg x-3=0

Заменим t на tgx. Таким образом, получится квадратное уравнение, которое можно легко решить:

5t2-2t-3=0D=b2-4ac=-22-4·5·-3=4+60=64tg x=-b±D2a=2±810=t1=1t2=-0,6

Путем обратной замены вычислим x1 и x2:

tg x1=1tg x2=-0,6=x1=π4+πnx2=-arctg 0,6+πk  n,k∈ℤ

Ответ: π4+πn;   -arctg0,6+πk, n,k∈ℤ

Примечание

Требуется найти корни уравнения на интервале -π;π2:

sin2x-3sinxcosx+2cos2x=0

Решение

Выполним деление обеих частей уравнения на cos2x. Получим:

Выберем нужные корни:

-π⩽x1⩽π2  ⇒  -54⩽n⩽14

В результате получилось выяснить, что целые n, которые соответствуют условию задачи, это n=-1;0. Если взять данные значения n, то корнями уравнения являются:

x=-3π4;π4.  

-π⩽x2⩽π2  ⇒  -1-arctg 2π⩽k⩽12-arctg 2π

Важно, что:

π4<arctg 2<π2.

Таким образом:

14<arctg 2π<12.

В результате:

-112<-1-arctg 2π<-114;0<12-arctg 2π<14.  

Можно сделать вывод, что целые k, которые подходят к данному неравенству, это k=-1;0.

Такие значения k позволяют получить следующие корни:

 x=arctg 2-π; arctg 2.

Ответ: решения уравнения π4+πn;arctg 2+πk;n,k∈ℤ, корни на указанном интервале -3π4;arctg 2-π;π4;arctg 2

Задача 4

Найти решение для следующего уравнения, которые соответствуют промежутку (2;2π):

sinπx2-3cosπx2=0

Решение

Заметим, что областью допустимых значений является х в виде произвольного числа. Заменим:

πx2=y

Получим:

siny-3cosy=0

В результате получилось уравнение, которое является однородным первой степени. Согласно стандартному алгоритму решения таких уравнений, выполним деление всех его частей на cosy:

tg y=3⇒y=π3+πn,n∈ℤ

С помощью обратной замены преобразуем уравнение:

πx2=π3+πn⇒x=23+2n,n∈ℤ

Выполним отбор корней в соответствии с указанным в условии задачи интервалом:

2<23+2n<2π⇒23<n<π-13
Заметим, что:

π~3,14⇒π<3,15⇒2<π-13<3

В результате, целые n, которые соответствуют неравенству, это n=1;2. Таким образом:

x=83;143

Ответ: корни уравнения: 23+2n,n∈ℤ, из них соответствуют заданному интервалу: 83;143

Задача 5

Определить корни уравнения на отрезке -π6;π6:

sin23x=10sin3xcos3x-9cos23x

Решение

Область допустимых значений: х является произвольным. В первую очередь следует выполнить перенос всех слагаемых влево. Заметим, что записано однородное уравнение. Далее можно разделить уравнение на cos23xПолучим:

tg2 3x-10tg 3x+9=0

Выполним замену:

t=tg 3x, t∈ℝ

В результате получим:

t2-10t+9=0

Используя теорему Виета, вычислим корни:

t1=9, t2=1

При обратной замене уравнение примет вид:

Выполним отбор корней:

-π6⩽x1⩽π6 ⇒-2π⩽π+4πk⩽2π⇒-34⩽k⩽14

Целые k, соответствующие данному неравенству, это k=0. В результате:

x1=π12

Введем обозначение:

arctg 9=α

В результате:

-π6⩽x2⩽π6 ⇒-12-απ⩽n⩽12-απ

Исходя из того что тангенс в первой четверти возрастает, получим, что:

π3<α<π2

Таким образом:

-12<-απ<-13⇒-1<-12-απ<-56

Аналогичным образом:

0<12-απ<16

Получим, что целые n, соответствующие неравенству, это n=0. В итоге:

x2=13arctg 9

Ответ: корни уравнения: π12+π3k,13arctg 9+π3n,k,n∈ℤ, из них соответствуют интервалу: π12,13arctg 9.

Задача 6

Требуется решить уравнение и определить его корни на интервале π;5π2:

sin(2x)-23cos2x-4sinx+43cosx=0

Решение

Область допустимых значений определяется х произвольным. Используя формулу синуса двойного угла:

2sinx·cosx-23cos2x-4sinx+43cosx=0

Выполним группировку слагаемых: первое с третьим, второе с четвертым. Получим:

2sinx(cosx-2)-23cosx(cosx-2)=0    ⇔    (cosx-2)(sinx-3cosx)=0

При умножении выражения примут нулевое значение, когда одно из них равно нулю, и каждое из них не утрачивает смысл:

cosx=2    или    sinx-3cosx=0

Заметим, что не подходит cosx=2, так как:

-1≤cosx≤1

sinx-3cosx=0

Выполним деление на cosx, так как значения х, обращающие cosx в ноль, не являются решениями. Получим:

tg x=3

Корни уравнения tg x=a можно записать в виде:

x=arctg a+πk

Здесь k∈ℤ. Таким образом, решения уравнения tg, x=3 будут следующие:

x=π3+πk,k∈ℤ

Выполним отбор корней:

π≤π3+πk≤5π2    ⇔    23≤k≤136

Заметим, что:

k∈ℤ

В таком случае, подойдут x при k = 1 и k = 2:

x=4π3

x=7π3

Ответ: корни уравнения π3+πk,k∈ℤ, из них находятся на заданном отрезке 4π3, 7π3.

Задача 7

Решить уравнение на интервале [-π;π):

10sinx+3cosx=0

Решение

Область допустимых значений определяется произвольным х. При решении данного однородного уравнения первой степени разделим обе его части на cosx:

10tg x+3=0⇒tg x=-0,3⇒x=arctg (-0,3)+πk,k∈ℤ⇒x=-arctg 0,3+πk,k∈ℤ

Выберем подходящие корни. Для этого введем обозначение:

arctg 0,3=α:-π⩽-α+πk<π⇒-1+απ⩽k<1+απ

Заметим, что тангенс в первой четверти возрастает и 0,3<33. Тогда:

0<α<π6⇒-1<-1+απ<-56 и 1<1+απ<116 

Запишем условие, что -0,. 2} = 0$$9(-1) ключ на вашем калькуляторе (на самом деле мне уже приходилось использовать ключ квадратного корня).

Да, и $\arctan$ никогда не достигает $-\pi/2$ или $\pi/2$, так что давайте быстро проверим, являются ли это решениями: $$\quad1\neq 0.6 \\ -1 \neq 0,2$$ Нет, это не так. Мы уже рассмотрели все возможности.

Редактировать: Я заметил ошибку при вычитании двух уравнений, первое значение альфы (в поле) должно быть $0,1$. Это, конечно, меняет другие результаты, но я отредактирую их завтра (в общем, это просто решение квадратичных уравнений).

numpy — Как решить нелинейную систему тригонометрических уравнений в Python (которую легко решить в MATLAB)

Задавать вопрос

спросил 3 года, 1 месяц назад

Изменено 3 года, 1 месяц назад

Просмотрено 2к раз

Я пытаюсь решить систему нелинейных тригонометрических уравнений в Python. Я попробовал следующее:

  из символов импорта sympy, решить, грех, соз, пи, уравнение
измерения = [(5,71403,0,347064), (4,28889, -0,396854), (5,78091, -7,29133e-05),
(2,06098, 0,380579), (8,13321, 0,272391), (8,23589, -0,304111), (6,53473, 0,265354), (1,6023,
0,131908)]
f, a, phi = символы ('f a phi')
eq1 = Eq(a*sin((2.0*pi*f*измерения[0][0])+phi) - измерения[0][1])
eq2 = Eq(a*sin((2.0*pi*f*измерения[4][0])+phi) - измерения[4][1])
eq3 = Eq(a*sin((2.0*pi*f*измерения[6][0])+phi) - измерения[6][1])
решить((eq1,eq2,eq3), (a, f, phi))
 

Python вечно пытается решить уравнения. Однако MATLAB делает это мгновенно.

В чем проблема?

• питон
• numpy
• scipy
• sympy

9

В SymPy, если вам нужны численные решения, вы должны использовать nsolve :

 В [97]: nsolve((eq1,eq2,eq3), (a, f, phi), [1, 1, 1])
Аут[97]:
⎡-0,5538674055548 ⎤
⎢ ⎥
⎢0,837453526933376⎥
⎢ ⎥
⎣6. 95538865037068 ⎦
 

Здесь я использовал начальное предположение [1, 1, 1] . Я уверен, что вы сможете найти больше решений, если будете использовать другие начальные догадки (система имеет бесконечное количество решений).

Обратите внимание, что если вы подставите эти приближенные решения в уравнения, вы получите False. Это потому, что левые и правые как приблизительные числа не равны:

 В [101]: eq1
Out[101]: a⋅sin(11,42806⋅π⋅f + φ) - 0,347064 = 0
В [102]: (sol,) = nsolve((eq1,eq2,eq3), (a, f, phi), [1, 1, 1], dict=True)
В [103]: соль
Выход[103]: {а: -0,5538674055548, е: 0,837453526933376, φ: 6,95538865037068}
В [104]: eq1.subs(sol)
Выход[104]: Ложь
В [105]: eq1.lhs.subs(sol)
Out[105]: -0,347064 - 0,5538674055548⋅sin(6,95538865037068 + 9,57046915300624⋅π)
В [106]: eq1.lhs.subs(sol).evalf()
Выход[106]: -1,29025679909939e-15
 

Поскольку это не равно правой стороне (которая равна нулю), подстановка в уравнение даст False , но мы видим, что это ошибка округления.

Вы можете получить больше цифр точности, используя аргумент prec для nsolve :

 В [107]: (sol,) = nsolve((eq1,eq2,eq3), (a, f, phi), [1, 1, 1], dict=True, prec=50)
В [108]: соль
Выход[108]:
{а: -0,55386740555480009188439615822304411607289430639164, f: 0,83745352693337644862065403386504543698722276260565, φ: 6,9553886
503706758809942541544797040214354242211993}
В [109]: eq1.lhs.subs(sol).evalf()
Выход[109]: -3,27785083138700e-51
 

0

Sympy также может искать численные решения, поэтому вы можете сохранить формат уравнений. Обратите внимание, что nsolve внутренне использует многоточную библиотеку mpmath и требует набора начальных значений.

 из символов импорта sympy, sin, pi, Eq, nsolve
измерения = [(5,71403,0,347064), (4,28889, -0,396854), (5,78091, -7,29133e-05),
(2,06098, 0,380579), (8,13321, 0,272391), (8,23589, -0,304111), (6,53473, 0,265354), (1,6023,
0,131908)]
f, a, phi = символы ('f a phi')
eq1 = Eq(a*sin((2.
No related posts.