Ранг матрицы свойства: Ранг матрицы, Свойства ранга матрицы, Нулевая матрица

alexxlab / / Разное

23. Ранг матрицы. Свойства ранга.

Рангом системы строк (столбцов) матрицы с строк и столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Ранг матрицы — Размерность образа линейного оператора, которому соответствует матрица.

Обычно ранг матрицы обозначается () или . Оба обозначения пришли к нам из иностранных языков, потому и употребляться могут оба. Последний вариант свойственен для английского языка, в то время как первый — для немецкого, французского и ряда других языков.

Свойства

  1. базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;

  2. любая строка (столбец) матрицы есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).

  • Следствия:

      • Если ранг матрицы равен , то любыестрок или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы.

      • Если — квадратная матрица, и, то строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.

      • Пусть , тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно.

    1. Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): Введём обозначение для матриц, полученных друг из другаэлементарными преобразованиями. Тогда справедливо утверждение: Если , то их ранги равны.

    2. Теорема Кронекера — Капелли: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности:

      • Количество главных переменных системы равно рангу системы.

      • Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

      24. Линейная зависимость столбцов матрицы. Свойства Линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы

      В предыдущем разделе были введены операции умножения матриц на число и сложения матриц, в частности, для матриц-столбцов и матриц-строк . Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой главе прописными буквами. При помощи этих операций можно составлять некоторые алгебраические выражения. Напомним, что равными считаются столбцы одинаковых размеров с равными соответствующими элементами.

      Столбец называется линейной комбинацией столбцов одинаковых размеров, если

      где — некоторые числа. В этом случае говорят, что столбец разложен по столбцам , а числа называют коэффициентами разложения. Линейная комбинация с нулевыми коэффициентами называется

      тривиальной.

      Если столбцы в (3.1) имеют вид

      то матричному равенству (3. 1) соответствуют поэлементные равенства

      Аналогично формулируется определение линейной комбинации строк одинаковых размеров.

      Набор столбцов одинаковых размеров называется системой столбцов.

      Система из столбцов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что

      Здесь и далее символом о обозначается нулевой столбец соответствующих размеров.

      Система из столбцов называется линейно независимой, если равенство (3.2) возможно только при , т.е. когда линейная комбинация в левой части (3.2) тривиальная. Аналогичные определения формулируются и для строк (матриц-строк).

      Замечания 3.1

      1. Один столбец тоже образует систему: при — линейно зависимую, а при линейно независимую.

      2. Любая часть системы столбцов называется подсистемой.

      Пример 3.1. Используя определение, установить линейную зависимость или линейную независимость систем столбцов

      Решение.  1) Столбцы линейно зависимы, так как можно составить нетривиальную линейную комбинацию, например, с коэффициентами , которая равна нулевому столбцу: .

      2) Столбцы линейно независимы, так как равенство

       равносильное системе  оказывается верным только при .

      3. 05.6. Ранг матрицы

       

      Рассмотрим матрицу размером

      Выберем в ней произвольноРазличных строк иРазличных столбцов, причем

      — меньшее из чиселЭлементы, стоящие на

      Пересечении выбранных строк и столбцов, образуют матрицу порядка s. Определитель этой матрицы называется минором порядка s матрицы. Например, если дана матрица

      То, взяв первую и третью строку, третий и пятый столбец, получим матрицу второго порядка и ее определитель

      Этот определитель является минором второго порядка для исходной матрицы. Аналогично можно получить другие миноры второго порядка, а также миноры третьего порядка Некоторые из миноров могут оказаться равными нулю. равеи рангу исходной Матрицы.

      2. Ранг матрицы не изменится, если вычеркнуть или приписать нулевую строку (т. е. строку, все элементы которой равны нулю) или нулевой столбец.

      При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.Помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к квазитреугольной форме. Ранг квазтреугольной матрицы (5.1) равенПоскольку ее минор с главной диагональюРавен произведениюА все миноры

      Более высокого порядка равны нулю (как содержащие нулевые строки).

      Пример 5.15. Найти ранг матрицы

      1

      Среди. миноров второго порядка этой матрицы имеется один, отличный отнуля:

      Все миноры третьего порядка равны нулю. Следовательно, ранг данной матрицы равен двум

      Пример 5.16. Найти ранг матрицы

      Применяя элементарные преобразования, приводим данную матрицу к квазитреугольной форме:

      (Вторая матрица получена из первой путем поочередного умножения первой строки наИ прибавления ко второй, третьей и четвертой строкам;

      Третья матрица получена из второй путем прибавления второй строки к третьей. )

      Ранг последней матрицы равен Трем, так как имеется отличный от нуля минор третьего порядка этой матрицы  ,

      ‘•51 • «* ‘  ‘• ‘

      А определитель самой матрицы (определитель четвертого порядка) равен нулю (как содержащий нулевую строку). Следовательно, ранг исходной матрицы равен трем’.  ‘¦1 ‘ ‘

      Сл&§а S.

      СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

      < Предыдущая   Следующая >

      линейная алгебра — Доказательства матричного ранга

      Задавать вопрос

      спросил

      Изменено 8 лет, 5 месяцев назад

      Просмотрено 4к раз

      $\begingroup$

      Я пытаюсь доказать следующие два утверждения. Я могу легко доказать их, рассматривая матрицу как представление линейной карты с заданным базисом, но я не знаю доказательства, которое бы использовало только свойства матриц.

      Во-первых, я хочу доказать, что подобные матрицы имеют одинаковый ранг. Это кажется очевидным, поскольку ранг — это просто размерность изображения линейной карты, но эти матрицы представляют одну и ту же карту (только в другом базисе).

      Далее я хочу доказать, что $rank(AB)\le \min(rank(A),rank(B))$. Опять же, это кажется относительно очевидным, если мы просто рассмотрим $AB$ как композицию двух карт, но я не понимаю, как это сделать с матрицами.

      • линейная алгебра
      • матрицы
      • запрос-справка

      $\endgroup$

      3

      $\begingroup$

      Одним чисто матричным определением ранга является ранг разложения: ранг $n\x m$-матрицы – это наименьшее целое число $r$, такое, что матрица может быть разложена как произведение $n\times r$ и матрица $r\times m$.

      {-1}$ для некоторой обратимой матрицы $S $. Чтобы показать, что $\rank(A) = \rank(B)$, достаточно показать, что $\rank(AS) = \rank(SA) = \rank(A)$ для любой обратимой матрицы $S$ . 9Т) = \ ранг (А) $$ Итак, $\rank(AB) \leq \rank(B)$ и $\rank(AB) \leq \rank(A)$. Мы заключаем, что $$ \ ранг (AB) \ le \ мин (\ ранг (A), \ ранг (B)) $$

      $\endgroup$

      1

      $\begingroup$

      Если $n$ векторов $v_1,..v_n$ линейно независимы (зависимы), то для невырожденной матрицы $P$ векторы $Pv_1,…Pv_n$ также будут независимыми (зависимыми). Из этого факта и из определения ранга как числа линейно независимых столбцов (строк) сразу можно сделать вывод, что подобные матрицы имеют одинаковый ранг. Второй факт следует из размерности левого и правого ядер.

      $\endgroup$

      Эффективный ранг матрицы: измерение размерности совокупности активов