Системы неравенств с двумя переменными: алгоритм графического решения, примеры
- Алгоритм графического решения системы неравенств с двумя переменными
- Примеры
п.1. Алгоритм графического решения системы неравенств с двумя переменными
На входе система: \(\left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{F(x,y) \lt 0} & \\ \mathrm{G(x,y \gt 0)} & \end{array}\right. \)
Шаг 1. Построить на координатной плоскости кривую F(x, y) = 0. Заштриховать область F(x, y) < 0.
Шаг 2. Построить на координатной плоскости кривую G(x, y) = 0. Заштриховать область G(x, y) > 0.
Шаг 3. Множество решений данной системы – это пересечение двух заштрихованных областей.
Системы с другими знаками сравнения (≤, ≥ и т.д.), а также системы с любым количеством неравенств решаются аналогично.
Например:
Найти на координатной плоскости множество решений системы неравенств: $$ \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x^2+y^2\leq 9} & \\ \mathrm{x+y\gt 3} & \end{array}\right. Строим окружности. Заштриховываем области вне первой окружности и внутри второй. Находим пересечение – кольцо. Пример 2. Задайте системой неравенств треугольник с вершинами AB \begin{gather*} \mathrm{ \frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}\Rightarrow\frac{x-2}{4-2}=\frac{y-3}{4-3}\Rightarrow x-2=2(y-3) }\\ \mathrm{ x-2y+4=0} \end{gather*} BC \begin{gather*} \mathrm{ \frac{x-x_B}{x_C-x_B}=\frac{y-y_B}{y_C-y_B}\Rightarrow\frac{x-4}{3-4}=\frac{y-4}{0-4}\Rightarrow -4(x-4)=-(y-4) }\\ \mathrm{ 4x-y-12=0} \end{gather*} AC \begin{gather*} \mathrm{ \frac{x-x_A}{x_C-x_A}=\frac{y-y_A}{y_C-y_A}\Rightarrow\frac{x-2}{3-2}=\frac{y-3}{0-3}\Rightarrow -2(x-2)=y-3 }\\ \mathrm{ 3x+y-9=0} \end{gather*} Чтобы расставить знаки ≤, ≥, выбираем произвольную точку внутри треугольника, например D(3; 2), подставляем в полученные уравнения и получаем необходимые знаки: Искомая система неравенств: \( \left\{ \begin{array}{ l } \mathrm{x-2y+4\geq 0} & \\ \mathrm{4x-y-12\leq 0} & \\ \mathrm{3x+y-9\geq 0} & \end{array}\right. Система неравенств — решение. Система линейных неравенствНеравенства и системы неравенств — это одна из тем, которая проходится в средней школе по алгебре. По уровню сложности она является не самой трудной, т. к. имеет незамысловатые правила (о них немного позже). Как правило, решение систем неравенств школьники усваивают достаточно легко. Это связано ещё и с тем, что учителя попросту «натаскивают» своих учеников по данной теме. И они не могут этого не делать, ведь она изучается и в дальнейшем с применением иных математических величин, а также проверяется на ОГЭ и ЕГЭ. В школьных учебниках тема, посвящённая неравенствам и системам неравенств, раскрыта очень подробно, поэтому если вы собираетесь её изучить, то лучше всего прибегнуть именно к ним. Данная статья лишь пересказывает большие материалы, и в ней могут быть некоторые опущения. Понятие системы неравенствЕсли обратиться к научному языку, то можно дать определение понятию «система неравенств». Системы неравенств и системы уравненийВ процессе изучения новой темы очень часто возникают недопонимания. С одной стороны, всё ясно и скорее хочется приступить к решению заданий, а с другой — какие-то моменты остаются в «тени», не совсем хорошо осмысливаются. Также некоторые элементы уже полученных знаний могут переплетаться с новыми. В результате такого «наложения» зачастую случаются ошибки. Поэтому перед тем как приступить к разбору нашей темы, следует вспомнить про отличия уравнений и неравенств, их систем. Для этого нужно ещё раз пояснить, что представляют собой данные математические понятия. Виды неравенствВыделяют два вида неравенств: числовые и с неизвестной переменной. Первый тип представляет собой предоставленные величины (цифры), неравные друг другу, например, 8 > 10. Второй — это неравенства, содержащие в себе неизвестную переменную (обозначается какой-либо буквой латинского алфавита, чаще всего X). Данная переменная требует своего нахождения. Два последних вида по степени своего построения и уровню сложности решения делятся на простые и сложные. Простые называют ещё линейными неравенствами. Они, в свою очередь, подразделяются на строгие и нестрогие. Строгие конкретно «говорят», что одна величина обязательно должна быть либо меньше, либо больше, поэтому это в чистом виде неравенство. Можно привести несколько примеров: 8 x + 9 > 2, 100 — 3 x > 5 и т. д. Нестрогие включают в себя ещё и равенство. То есть одна величина может быть больше или равна другой величине (знак «≥») либо меньше или равна другой величине (знак «≤»). Ещё в линейных неравенствах переменная не стоит в корне, квадрате, не делится на что-либо, из-за чего они называются «простыми». Сложные включают в себя неизвестные переменные, нахождение которых требует выполнения большего количества математических операций. Свойства неравенствК свойствам неравенств относятся следующие положения:
Теперь после изучения основных положений теории, относящейся к неравенствам, можно приступить непосредственно к рассмотрению правил решения их систем. Решение систем неравенств. Общие сведения. Способы решенияКак уже говорилось выше, решением выступают значения переменной, подходящие ко всем неравенствам данной системы. Решение систем неравенств — это осуществление математических действий, которые в итоге приводят к решению всей системы или доказывают, что у неё решений не имеется. В таком случае говорят, что переменная относится к пустому числовому множеству (записывается так: буква, обозначающая переменную ∈ (знак «принадлежит») ø (знак «пустое множество»), например, x ∈ ø (читается так: «Переменная «икс» принадлежит пустому множеству»). Выделяют несколько способов решения систем неравенств: графический, алгебраический, способ подстановки. Стоит заметить, что они относятся к тем математическим моделям, которые имеют несколько неизвестных переменных. В случае, когда имеется только одна, подойдёт способ интервалов. Графический способПозволяет решить систему неравенств с несколькими неизвестными величинами (от двух и выше). Чтобы выполнить решение системы неравенств с помощью графического способа, необходимо все члены каждого неравенства перенести в их левую часть. Знаки поменяются на противоположные, справа следует записать ноль, затем нужно записать каждое неравенство отдельно. В итоге из неравенств получатся функции. После этого можно доставать карандаш и линейку: теперь потребуется нарисовать график каждой полученной функции. Алгебраический способПозволяет решить систему неравенств с двумя неизвестными переменными. Также неравенства должны обладать одинаковым знаком неравенства (т. е. обязаны содержать либо только знак «больше», либо только знак «меньше» и пр.) Несмотря на свою ограниченность, этот способ к тому же и более сложный. Он применяется в двух этапах. Первый включает себя действия по избавлению от одной из неизвестных переменных. Сначала нужно её выбрать, затем проверить на наличие чисел перед этой переменной. Если их нет (тогда переменная будет выглядеть, как одиночная буква), то ничего не изменяем, если есть (вид переменной будет, например, таким — 5y или 12y), то тогда необходимо сделать так, чтобы в каждом неравенстве число перед выбранной переменной было одинаковым. Для этого нужно умножить каждый член неравенств на общий множитель, например, если в первом неравенстве записано 3y, а во втором 5y, то необходимо все члены первого неравенства умножить на 5, а второго — на 3. Второй этап решения. Нужно левую часть каждого неравенства перенести в их правые части с изменением знака каждого члена на противоположный, справа записать нуль. Затем наступает самое интересное: избавление от выбранной переменной (по-другому это называется «сокращение») во время складывания неравенств. Получится неравенство с одной переменной, которое необходимо решить. После этого следует проделать то же самое, только с другой неизвестной переменной. Полученные результаты и будут решением системы. Способ подстановкиПозволяет решить систему неравенств при наличии возможности ввести новую переменную. Обычно этот способ применяется, когда неизвестная переменная в одном члене неравенства возведена в четвёртую степень, а в другом члене имеет квадрат. Таким образом, данный метод направлен на понижение степени неравенств в системе. Неравенство образца х4 — х2 — 1 ≤ 0 данным способом решается так. Вводится новая переменная, например, t. Метод интерваловЭто самый простой способ решения систем неравенств, и в то же время он является универсальным и распространённым. Он используется и в средней школе, и даже в высшей. Его суть заключается в том, что ученик ищет промежутки неравенства на числовой прямой, которая рисуется в тетради (это не график, а просто обычная прямая с числами). Там, где промежутки неравенств пересекаются, находится решение системы. Чтобы использовать метод интервалов, необходимо выполнить следующие шаги:
Какой способ использоватьОчевидно тот, который кажется наиболее лёгким и удобным, но бывают такие случаи, когда задания требуют определённого метода. Чаще всего в них написано, что нужно решать либо с помощью графика, либо методом интервалов. Алгебраический способ и подстановка используются крайне редко или не используются вообще, поскольку они достаточно сложные и запутанные, да и к тому же больше применяемы для решения систем уравнений, а не неравенств, поэтому следует прибегать к рисованию графиков и интервалов. Они привносят наглядность, которая не может не способствовать эффективному и быстрому проведению математических операций. Если что-то не получаетсяВо время изучения той или иной темы по алгебре, естественно, могут возникнуть проблемы с её пониманием. И это нормально, ведь наш мозг устроен так, что он не способен уяснить сложный материал за один раз. РешебникА ещё очень хорошо подойдёт решебник, только не для списывания домашних заданий, а для самопомощи. В них можно найти системы неравенств с решением, посмотреть на них (как на шаблоны), попытаться понять, как именно автор решения справился с поставленной задачей, а затем попытаться выполнить подобное в самостоятельном порядке. ВыводыАлгебра — это один из самых сложных предметов в школе. Ну что же тут поделать? Математика всегда была такой: кому-то она даётся легко, а кому-то с затруднением. Но в любом случае следует помнить, что общеобразовательная программа построена так, что с ней может справиться любой ученик. К тому же, надо иметь в виду огромное количество помощников. Как решать системы линейных неравенств?Линейные неравенства — это выражения, в которых два линейных выражения сравниваются с использованием символов неравенства. В этом пошаговом руководстве вы узнаете о решении систем линейных неравенств. Решением системы линейных неравенств называется область, в которой перекрываются графики всех линейных неравенств в системе. Похожие темы
Система линейных неравенств представляет собой систему уравнений линейного неравенства, содержащих одни и те же переменные. Некоторые методы решения систем линейных уравнений переводятся в систему линейных неравенств. Однако решение системы линейных неравенств несколько отличается от решения линейных уравнений, поскольку знаки неравенства не позволяют решить методом замены или исключения. Чтобы решить систему неравенств, постройте график каждого линейного неравенства в системе на одной и той же оси \(x-y\), выполнив следующие шаги:
Решите следующую систему неравенств. \(\begin{case}x\:-\:5y\ge \:6\\ \:3x\:+\:2y>1\end{case}\) Решение: Первый , изолируем переменную \(y\) слева в каждом неравенстве: \(х -5у≥ 6\) \(х≥6 + 5у\) \(5у≤ х- 6\) \(у≤0,2 х -1,2\) И: \(3x+ 2y> 1\) \(2y>1-3x\) \(y> 0,5-1,5x\) Теперь график \(y≤ 0,2x-1,2\) и \( у > 0,5—1,5х\) сплошной и ломаной линиями соответственно. Решение системы неравенств представляет собой более темную заштрихованную область, которая является перекрытием двух отдельных областей решения. Упражнения для решения систем линейных неравенств Найдите решение следующей системы неравенств.
Effortless Math Team
Неравенство Линейные неравенства Другие математические статьи
Математика без усилий: мы помогаем учащимся полюбить математику — © 2022 Решение систем неравенств – легко В вашем браузере отключен JavaScript. Чтобы в полной мере использовать наш веб-сайт, Попробуйте 30 дней бесплатно Узнайте, почему более 1,2 МИЛЛИОНА студентов выбирают диван-репетитор!
Ø 5,0 / 2 балла Вы должны войти в систему, чтобы иметь возможность дать оценку. Вау, спасибо! Перейти в Google Авторы Джейкоб Шотвелл Основы по темеРешение систем неравенств Одним из способов найти множество решений системы линейных неравенств с двумя переменными является построение графика. Чтобы построить график системы линейных неравенств и увидеть набор ее решений, сначала начертите соответствующую систему линейных уравнений. При построении этих уравнений используйте либо сплошные, либо пунктирные линии: используйте сплошные линии для неравенств «больше или равно» (≥) или «меньше или равно» (≤) и пунктирные линии для «больше чем» (> ) или «меньше» (<) неравенств.Используйте исходную точку (0,0) или другую точку по вашему выбору, если исходная точка не работает, в качестве контрольной точки для определения правильной полуплоскости, соответствующей графику каждого неравенства, и слегка заштрихуйте ее. полусамолет. Наконец, решением системы линейных неравенств является область пересечения всех заштрихованных полуплоскостей. Графические системы линейных неравенств имеют ценное применение в бизнесе, особенно при принятии важных решений для максимизации прибыли и минимизации затрат. Представлять и решать уравнения и неравенства графически. CCSS.MATH.CONTENT.HSA.REI.D.12 СтенограммаРешение систем неравенствКалеб очень гордится своей коллекцией кроссовок и бейсболок. Он хочет построить стеллаж для демонстрации своих сокровищ. В своем гараже он находит 150 гвоздей и 66 деревянных досок. Можем ли мы помочь Калебу выяснить, хватит ли материалов для сборки стеллажа? Решение системы неравенств Это не проблема! Чтобы вычислить решение, вы можете решить систему неравенств . Калеб знает, что для того, чтобы построить ящик для каждой бейсболки, ему нужно 5 гвоздей и 2 деревянные доски. Пусть b равно количеству бейсболок. Чтобы построить ящик для каждой пары кроссовок, ему нужно 5 гвоздей и 3 деревянные доски. Пусть ‘ равно количеству пар кроссовок. Хотя у него есть 150 гвоздей и 66 досок, чтобы построить полку, ему не нужно использовать их все. Давайте напишем два неравенства . Достаточно ли у Калеба материалов, чтобы построить полку для 10 бейсболок и 15 пар кроссовок? Чтобы решить эту проблему, давайте заменим ‘b’ с цифрой 10 и ‘s’ с цифрой 15. Упростите на , умножив , а затем сложите. Поскольку оба неравенства верны, мы знаем, что у Калеба достаточно материалов, чтобы построить стеллаж. Если бы хотя бы одно из неравенств было верным, то ему хватило бы только одного из материалов, необходимых для постройки полки. График системы неравенствМы также можем найти ответ на эту систему неравенств задачу с помощью графика. Чтобы упростить построение графика, давайте изменим исходное уравнение, чтобы «x» представляло количество бейсболок, а «y» — количество пар кроссовок. Далее нам нужно переписать два неравенства в Форма пересечения наклона . Чтобы сделать это, вы должны изолировать ‘y’ в левой части знака неравенства, поэтому вычесть x-член с обеих сторон, а затем разделить обе части на коэффициент 5, чтобы изолировать ‘у’. Y’ один на левой стороне. Давайте проделаем то же самое с другим уравнением, и два неравенства теперь будут записаны в форме пересечения наклона. Графическое решение задачи Теперь графически изобразить каждое неравенство стало намного проще. Для первого неравенства с y-пересечение , равное 30, и наклон , равный -1, линия и заштрихованная желтым цветом область графика включены в набор решений неравенства; а для второго неравенства с точкой пересечения по оси y, равной 22, и наклоном, равным -2/3, линия и заштрихованная красным область графика включены в набор решений. Взгляните на точку «p», упорядоченную пару (10, 15), так как она находится в области, заштрихованной оранжевым цветом, это возможное решение системы, поэтому мы знаем, что у Калеба достаточно гвоздей и досок, чтобы построить домики для 10 бейсболок и 15 пар кроссовок. С другой стороны, точка s, упорядоченная пара (10, 20), не находится в области, заштрихованной оранжевым цветом. Из графика видно, что у Калеба достаточно гвоздей, показанных областью, заштрихованной желтым цветом, но у него недостаточно досок, показанных областью, закрашенной красным, чтобы построить 10 ящиков для кепок и 20 ящиков для кроссовок, поэтому точка ‘ с’ не является решением. Хотя у Калеба достаточно припасов, он не мастер обращения с молотком, и, как видите, стеллаж выглядит немного неустойчивым, он кладет последнюю бейсболку в каморку и. Решение Упражнение «Системы неравенств»Хотели бы вы применить полученные знания? Вы можете просмотреть и попрактиковаться с заданиями к видео Решение систем неравенств .
Еще видео по теме Системы уравнений и неравенств Решение систем уравнений графическим способом Решение систем уравнений подстановкой Решение систем уравнений методом исключения Решение систем неравенств графическим способом Решение систем неравенств Системы уравнений – Word задачи Компания
Платформа Как это работает
Помощь
Юридический
Есть вопросы? Свяжитесь с нами! help@sofatutor. |
2\leq 9} & \end{array}\right. \)
\)
Это такая математическая модель, которая представляет собой несколько неравенств. От данной модели, конечно же, требуется решение, и в его качестве будет выступать общий ответ для всех неравенств системы, предложенной в задании (обычно в нём так и пишут, например: «Решите систему неравенств 4 x + 1 > 2 и 30 — x > 6… «). Однако перед тем как перейти к видам и методам решений, нужно ещё кое в чём разобраться.
Уравнение — это всегда равенство, и оно всегда чему-нибудь равно (в математике это слово обозначается знаком «=»). Неравенство же представляет собой такую модель, в которой одна величина или больше, или меньше другой, или содержит в себе утверждение, что они неодинаковы. Таким образом, в первом случае уместно говорить о равенстве, а во втором, как бы это очевидно ни звучало из самого названия, о неравенстве исходных данных. Системы уравнений и неравенств друг от друга практически не отличаются и методы их решения одинаковы. Единственное различие заключается в том, что в первом случае используются равенства, а во втором применяются неравенства.
В зависимости от того, сколько их, в математической модели различают неравенства с одной (составляют систему неравенств с одной переменной) или несколькими переменными (составляют систему неравенств с несколькими переменными).
Они часто находятся в квадрате, кубе или под корнем, могут быть модульными, логарифмическими, дробными и пр. Но поскольку нашей задачей становится необходимость разобраться в решении систем неравенств, то мы поговорим о системе линейных неравенств. Однако перед этим следует сказать пару слов об их свойствах. 
Благодаря данному методу система линейных неравенств решается достаточно легко и быстро, поэтому он является самым распространённым способом. Это объясняется тем, что построение графика сокращает объём написания математических операций. Особенно становится приятным немного отвлечься от ручки, взять в руки карандаш с линейкой и приступить к дальнейшим действиям с их помощью, когда выполнено много работы и хочется небольшого разнообразия. Однако данный метод некоторые недолюбливают из-за того, что приходится отрываться от задания и переключать свою умственную деятельность на рисование. Тем не менее, это очень действенный способ.
Всё множество чисел, которое окажется в интервале их пересечения, будет являться решением системы неравенств.
Получится 15y и 15y соответственно.
Пишут: «Пусть t = х2«, далее модель переписывают в новом виде. В нашем случае получится t2 — t — 1 ≤0. Это неравенство нужно решить методом интервалов (о нём немного позже), потом обратно вернуться к переменной X, затем проделать то же самое с другим неравенством. Полученные ответы будут решением системы.
Часто требуется перечитать параграф, воспользоваться помощью учителя или заняться практикой по решению типовых заданий. В нашем случае они выглядят, например, так: «Решите систему неравенств 3 x + 1 ≥ 0 и 2 x — 1 > 3». Таким образом, личное стремление, помощь сторонних людей и практика помогают в понимании любой сложной темы.
Некоторые из них были упомянуты выше.
Возможно, лучший способ решения систем линейных неравенств — это построение графиков неравенств.
Он также использует 2 деревянные доски для каждой бейсболки и 3 доски для каждой пары кроссовок. Калеб может использовать 66 деревянных досок или меньше, чтобы построить свои домики.
Заштрихованная оранжевым цветом область на графике представляет собой перекрытие областей, заштрихованных желтым и красным, и является решением этой системы неравенств.
.. о нет…
