Как решить матрицу 2 на 3: Как найти определитель матрицы, примеры

alexxlab / / Разное

2. Определители 2 и 3-го порядков. Вычисление определителя n-го порядка. Свойства определителей 3-го порядка.

1. Понятие матрицы. Линейные операции над матрицами. Произведение ит ранспонирование матриц. Матрицей размером m×n наз-ся совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Для краткости матрицу обозн-т заглавн.букв. А. aij: i-строка, j-столбец. Квадратная матр. – число строк равно числу столбцов. Матрица, состоящая из одной строки или столбца – вектор. Нулевая матрица – матрица, все элементы кот-й равны нулю. Треугольная матрица – квадратная матрица, у кот-й все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю. Диагональная матрица – квадратная матрица, у кот-й все элементы, кроме главной диагонали, равны нулю. Единичная матрица (обозн-ся E) – диагональная матрица, у кот-й диагональные элементы равны единице. Линейные операции: сложения элементов матриц и умножения матриц на число. Сложение возможно только для матриц одинаковых размеров. Результатом сложения матриц A = || ai j || и B = || bi j || является матрица C = || ci j || , элементы кот-й равны сумме соответствующих матричных элементов. При умножении матрицы A на число каждый ее элемент умножается на это число.

Произведение. Перемножать можно только те матрицы, у кот-х число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы. Произведением матрицы A на B наз-ся новая матрица C=AB, элементы кот-й составляются след. образом:.

Элементы матрицы-произведения – сумма произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы. Перемножая две квадратные матрицы одного порядка, получаем квадратную матрицу того же порядка. Квадратную матрицу можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.

Перемноженая векторы, причём ширина первого д.б. равна высоте второй, получаем матрицу первого порядка (т.е. один элемент):

.

A∙B ≠ B∙A – операция умножение неперестановочная

(AB)C=A(BC) и (A+B)C=AC+BC

AE=EA=A

Произведение 2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице:

Транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу AT наз-т транспонированной к матрице A, если столбцы А записать в строчку.

Вычисление определителей второго порядка.

Определитель второго порядка (матрицы размера 2 на 2) вычисляется по правилу:

Запомнить просто: произведение элементов, стоящих на главной диагонали, минус

произведение элементов, стоящих на побочной.

Вычисление определителей третьего порядка.

Определитель третьего порядка вычисляется по правилу:

Запомнить порядок сомножителей, конечно же, очень трудно, если не знать

визуального представления этого правила, которое называется правило треугольников:

Здесь схематично показано, какие сомножители соседствуют в слагаемых.

Определителем n-го порядка называется число, равное алгебраической сумме всевозможных произведений элементов взятых по одному и только одному из каждой строки и каждого столбца.

Знак каждого слагаемого определяется числом инверсий в перестановках составленных из первых и вторых индексов сомножителей : если оно четное «+», нечетное «-».

Инверсия — когда большее число стоит перед меньшим.

Св-ва определителей:

  1. В определителе строки и столбцы равнозначны.

  2. Если все Эл-ты в строке или столбце = 0, то определитель =0.

3.Обратная матрица и ее построение. Теорема существования и единственности обратной матрицы. Матричный метод решения невырожденных систем линейных алгебраических уравнений.

Матрица А наз. невырожденной,если ее определитель не равен 0

Матрица А-1 наз. обратной к матрице А,если АА-1= А-1А=Е, где Е-единичная матрица. Всякая невырожденная матрица имеет единствен. обратную матрицу.

Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем:

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем):

Тогда её можно переписать в матричной форме:АХ=В, где А — основная матрица системы, В и Х — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на А-1

 — матрицу, обратную к матрице А:А-1(АХ)= А-1В Так как А-1А=Е, получаемХ= А-1В. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы

4. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров и с помощью элементарных преобразований.

Наибольший из порядков миноров данной матрицы отличный от нуля называется рангом матрицы.

rank A = rg A = r

Свойства ранга:

— при транспонировании матрицы ранг не меняется

— если вычеркнуть из матрицы нулевую строку, то ранг не меняется

— ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях над строками матрицы.

Максимальный порядок r отличных от нуля миноров матрицы A называется ее рангом, а любой минор порядка r, отличный от нуля — базисным минором.

Основные методы вычисления ранга матрицы:

Метод окаймляющих миноров. 

Пусть в матрице найден минор k-го порядка M, отличный от нуля. Рассмотрим лишь те миноры (k+1)− го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор M: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор (k+1)−го порядка, и вся процедура повторяется.

Метод элементарных преобразований основан на том, что элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга. Используя эти преобразования матрицу можно привести к такому виду, когда все ее элементы кроме a11,a22,…,arr (r≤min(m,n)), равны нулю. Следовательно, ранг матрицы равен r.

  1. ВопросСистемы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Формулы Крамера.

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

где числа aij называются коэффициентами системы, числа bi— свободными членами. Подлежат нахождению числа xn.Такую систему удобно записывать в компактной матричной формеAX=B

Здесь А — матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей;— вектор-столбец из неизвестных xj.— вектор-столбец из свободных членов bi.

Произведение матриц А*Х определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х (n штук).

Расширенной матрицей системы называется матрица A системы, дополненная столбцом свободных членов

Решением системы называется n значений неизвестных  х1=c1, x2=c2, …, xn=cn, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записатьв виде матрицы-столбца

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, инесовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему — это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.

 Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

Однородная система всегда совместна, так как  x1=x2=x3=…=xn=0 является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.

Mathway | Популярные задачи

Популярные задачи

Элемент. математикаОсновы алгебрыАлгебраТригонометрияОсновы мат. анализаМатематический анализКонечная математикаЛинейная алгебраХимияPhysics

РейтингТемаЗадачаФорматированная задача
1Решить, используя обратную матрицуx+2y=1 , 4x+5y=13 ,
2
Перемножить матрицы		[[1/( квадратный корень из 17),-4/( квадратный корень из 17)]][[1/( квадратный корень из 17)],[-4/( квадратный корень из 17)]]
3Найти область определенияx+y=3
4Найти область определенияx-y=3
5Найти область определенияy=-2x+3
6Найти область определенияy=2x+1
7Записать в виде векторного равенстваx=x^2+9x+3 , x=x+2 ,
8Найти область определенияy=2x
9Найти область определенияy=-3x
10Найти область определенияy=3x-2
11Найти область определенияy=4x
12Найти область определения3x+2y=6
13Trovare la 5×5 Matrice Identità5
14Trovare la 6×6 Matrice Identità6
15Trovare la 4×4 Matrice Identità4
16Решить, используя обратную матрицу2x+y=-2 , x+2y=2 ,
17Решить, используя обратную матрицу4x+4=y , y=6x ,
18Решить, используя обратную матрицу4x+2=5y-3 , y=3x-1 ,
19Найти степенное множество(3,4)
20Вычислитькубический корень из 216
21Найти степенное множество(1,3)
22Найти область определения3x-2y=12
23Найти область определенияy=5x+2
24Найти область определенияy=2x-3
25Найти область определенияy=2x-4
26Найти область определенияy=2x+5
27Найти область определенияy=1/2x
28Найти область определенияy=1/2x-3
29Найти область определенияy=2/3x-2
30Найти область определенияx=2y
31Найти область определенияx-2y=2
32Найти область определенияx-2y=6
33Найти область определения2y+x
34Найти область определения2x+y=0
35Найти область определенияy=5x+6
36Найти область определенияy=x+3
37Solve Using a Matrix by Eliminationy=4x+3x-2 , y=6 ,
38Проверить линейную зависимостьB={[[-10,2],[5,-2. 5]]}
39Сложение[[2,4],[6,-4]]+[[-3,-7],[20,10]]
40Проверить линейную зависимостьB={[[-1,2],[0,-2.5]]}
41Перемножить матрицы[[0,0,1,1],[1,0,1,0],[0,0,0,1],[0,1,0,0]][[0,0,1,1],[1,0,1,0],[0,0,0,1],[0,1,0,0]]
42Найти область определенияy=5x
43Найти область определенияy=7x
44Найти область определенияy=-x-2
45Найти область определенияy=x-2
46Найти область определенияy=x-3
47Привести матрицу к ступенчатому виду по строкам[[4,-3,1,0],[1,0,-2,0],[-2,1,1,0]]
48Записать в виде векторного равенстваx+y+z=2 , 4x+5y+z=12 , 2x=-4 , ,
49Найти определитель[[0,-1,a],[3,-a,1],[1,-2,3]]
50Найти область определенияy=-x+2
51Найти определитель[[2,5,0],[1,0,-3],[2,-1,2]]
52Найти определитель[[7,5,0],[4,5,8],[0,-1,5]]
53Найти обратный элемент[[1,-3,0,-2],[3,-12,-2,-6],[-2,10,2,5],[-1,6,1,3]]
54Найти обратный элемент[[1,2,3],[2,5,7],[3,7,9]]
55Привести матрицу к ступенчатому виду по строкам[[0,1,5,-4],[1,4,3,-2],[2,7,1,-2]]
56Привести матрицу к ступенчатому виду по строкам[[1,1,0],[1,0,1],[1,0,1],[2,1,0],[2,1,0]]
57Привести матрицу к ступенчатому виду по строкам[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]
58Привести матрицу к ступенчатому виду по строкам[[7,8]]
59Найти область определения2x+y=1
60Записать в виде векторного равенства2x+y=-2 , x+2y=2 ,
61Найти область определенияx-2y=4
62Найти область определенияx-y=-1
63Найти область определенияx+y=5
64Найти область определенияx=-3y-8
65Найти область определенияx=-2y-8
66Найти область определенияx+y=6
67Найти область определенияx+y=4
68Найти область определенияx+2y=4
69Найти область определенияx+y
70Найти область определенияy=7x+9
71Найти область определенияy=1/2x-5
72Найти область определенияy=1/2x+2
73Найти область определенияy=1/2x+3
74Найти область определенияx-y=-3
75Найти область определенияx-y=4
76Найти область определенияy=-2x
77Найти область определенияy=-2x+1
78Найти область определенияy=2^(x+9)
79Найти область определенияy=10-x^2
80Найти область определенияy=2x-6
81Найти область определенияy=-2x-3
82Найти область определенияy=3x-8
83Найти область определенияy=3x
84Найти область определенияy=-3x+1
85Найти область определенияy=4x+3
86Найти область определенияy=3x-4
87Найти область определенияy=4x-2
88Найти область определенияy=-6x
89Найти область определенияy=x-4
90Найти область определения7 корень четвертой степени из 567y^4
91Найти область определенияc=5/9*(f-32)
92Найти область определенияf=9/5c+32
93Вычислитьквадратный корень из 4
94Привести матрицу к ступенчатому виду по строкам[[-6,7],[2,6],[-4,1]]
95Найти собственные значения[[2,1],[3,2]]
96Найти собственные значения[[4,0,1],[2,3,2],[49,0,4]]
97Найти степенное множествоA=(2,3,4,5)
98Найти мощность(2,1)
99Решить, используя обратную матрицу-3x-4y=2 , 8y=-6x-4 ,
100Решить, используя обратную матрицу2x-5y=4 , 3x-2y=-5 ,

Выполнение операций с матрицами с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

Матрицы

Раздел матриц программы QuickMath позволяет выполнять арифметические операции с матрицами. В настоящее время вы можете складывать или вычитать матрицы, умножать две матрицы, умножать матрицу на скаляр и возводить матрицу в любую степень.

Что такое матрица?

Матрица представляет собой прямоугольный массив элементов (обычно называемых скалярами), расположенных в строках и столбцах. Они имеют множество применений в математике, включая преобразование координат и решение линейных систем уравнений.

Вот пример матрицы 2×3:

1 2 3
4 5 6
Арифметика

Набор арифметических команд позволяет складывать или вычитать матрицы, выполнять умножение матриц и скалярное умножение, а также возводить матрицу в любую степень.

Матрицы складываются и вычитаются одна из другой поэлементно. Например, при добавлении двух матриц A и B элемент в строке i, столбце j матрицы A добавляется к элементу в строке i, столбце j матрицы B, чтобы получить элемент в строке i, столбце j ответа. Следовательно, вы можете складывать и вычитать только матрицы одинакового размера.

Умножение матриц немного сложнее. Предположим, что две матрицы A и B перемножаются вместе, чтобы получить третью матрицу C. Элемент в строке i, столбце j в C находится путем взятия строки i из A и умножения ее на столбец j из B. Две матрицы можно перемножать только вместе. если количество столбцов в первом равно количеству строк во втором.

Умножение матрицы на скаляр просто включает в себя умножение каждого элемента на этот скаляр, в то время как возведение матрицы в положительную целочисленную степень может быть достигнуто серией матричных умножений.

В настоящее время расширенный раздел арифметики отсутствует, хотя он может появиться в будущем.

Перейти на страницу арифметики

Инверсия

Команда инверсия позволяет найти инверсию любой невырожденной квадратной матрицы. Обратной квадратной матрицей A является другая матрица B того же размера, такая что

A B = B A = I

где I — единичная матрица. Обратное значение A обычно записывается как A -1 .

Перейти на обратную страницу

Определитель

Команда определителя позволяет найти определитель любой невырожденной квадратной матрицы.

Например, если A представляет собой матрицу 3 x 3, то ее определитель можно найти следующим образом: 1,2 + 1,3 А 1,3

, где a i,j — элемент A в строке i, столбце j, а A i,j — матрица, построенная из A путем удаления строки i и столбца j.

Перейти на страницу определителя


Матрица представляет собой прямоугольный массив чисел, расположенных в строках и столбцах. Мы называем каждое число в этом массиве является элементом матрицы. Когда мы пишем матрицу, мы обычно заключают массив в скобки. Матрицы (во множественном числе) бывают разных размеров, определяется количеством строк и количеством столбцов. Если матрица имеет n строк и m столбцов, то говорят, что размер матрицы равен m x n , читай «м на н». Ниже приведены примеры матриц различных размеров.

Когда мы перечисляем строки и столбцы данной матрицы, мы считаем строки сверху вниз. снизу и считать столбцы слева направо. Поскольку матрица представляет собой массив чисел, мы часто видим матрицы, используемые для записи информации, особенно если строки и столбцы матрицы можно понимать как представляющие категории. Таким образом, мы безусловно, могут использовать матрицы для записи соответствующей информации о системе линейные уравнения — коэффициенты переменных, а также константы на правая часть уравнений системы.

Рассмотрим систему

Здесь принято соглашение об использовании индексированных переменных, а не отдельные буквенные переменные, чтобы избежать возможных трудностей с количеством доступные буквы. Мы строим матрицу 2 x 3, называемую расширенной матрицей для система, где каждая строка представляет информацию для конкретного уравнения и каждый столбец представляет либо коэффициенты переменной, либо константы на правые части уравнений.

Запишем эту матрицу следующим образом.

Обратите внимание на соответствие между строками этой матрицы и уравнениями в системы, а также соответствие между столбцами матрицы и коэффициенты и постоянные члены в уравнениях. Вертикальная линия не имеет реальной цели, за исключением того, чтобы служить визуальным напоминанием о местонахождении равного знаки в системе и, следовательно, разделение между коэффициентами переменные и константы в правой части уравнений. До углубляясь в использование этих расширенных матриц, представляющих системы, мы сделайте паузу, чтобы ввести некоторую терминологию и обозначения. Напомним, что в методе исключения, у нас было три операции, которые мы могли использовать для получения эквивалентных системы линейных уравнений. У нас есть похожий набор операций со строками, который мы выполняем на матрицах. Мы говорим, что две матрицы эквивалентны по строкам, если одна из них получается из другого с помощью некоторой последовательности операций над строками. Эти операции следующим образом:

Операции со строками:

  • Поменять местами любые две строки.
  • Умножить (все элементы) строки на любую ненулевую константу и заменить эта строка с результатом.
  • Умножить (все элементы) строки на любую константу и добавить (соответствующую элементов) в любую другую строку, заменив в этой сумме вторую строку на результат.

Выполнение любой последовательности этих операций приводит к эквиваленту строки матрица.

Обратите внимание на сходство между этими операциями и операциями, используемыми в метод устранения. Мы используем аналогичную сокращенную запись для обозначения выполнение определенной операции со строками.

Обозначение операций со строками


В случае, когда матрица является расширенной матрицей, представляющей систему линейных уравнений, выполнение операции строки над матрицей эквивалентно выполнение соответствующей операции над системой уравнений. Так, эквивалентные по строкам матрицы представляют собой эквивалентные системы линейных уравнений. К продемонстрировать, как использовать расширенные матрицы для поиска решений систем линейных уравнений, мы покажем параллельные операции в методе исключения и соответствующие операции со строками.

Алгебра матриц Ордена 2 и 3 — Myrank

Равенство матриц

Определение: Две матрицы A = [A IJ ] MXN и B = B = B IJ ] MXN и B = B = B IJ ] MXN и B = B = B IJ ] MXN и B = B = B IJ ] MXN и B = B = B IJ ] MXN и B = B = B IJ ] MXN и B = B = B IJ ].  называются равными, если

1. m = r, т. е. количество строк в A равно количеству строк в B столбцы в B

3. a I j = b ij  для i = 1, 2, …, in и j = 1, 2, …., n

Если две матрицы A и B равны, мы пишем A = B, иначе мы пишем A # B.

ИЛЛЮСТРАЦИЯ 1: Матрицы \(A=\left[ \begin{matrix}3 & 2 & 1  \\x & y & 5\\1 & -1 & 4  \\\end{matrix} \right]\) и \(B=\left[ \begin{matrix}3 & 2 & 1\\-1 & 0 & 5  \\-1 & -1 & Z  \\\end{matrix} \right]\) равны, если x = -1, y = 0 и z = 4.

РИСУНОК 2: Если \(\left[ \begin{matrix}x-y & 2x+z  \\2x-y &3z+w  \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}-1 & 5  \\0 & 13  \\\end{matrix} \right]\) найти x, y, z, w.

РЕШЕНИЕ: Так как соответствующие элементы двух равных матриц равны. Следовательно,

\(\left[ \begin{matrix}x-y & 2x+z  \\2x-y & 3z+w  \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}-1 & 5  \\0 & 13  \\\end{matrix} \right]\).

x – y = -1, 2x – V z = 5, 2x – y = 0, 3z w = 13.

Решая уравнения x – y = -1 и 2x – y = 0 как одновременные линейные уравнения, мы получить x = 1, y = 2.

Теперь, подставляя x = 1 в 2x + z = 5, мы получаем z = 3.

Подставляя z = 3 в 3z + w = ​​13, получаем w = 4.

Таким образом, данные матрицы равны, если x = 1, y = 2, z = 3 и w = 4.

РИСУНОК 3 : Найдите значения x, y, z и a, которые удовлетворяют матричному уравнению.

\(\left[ \begin{matrix}x+3 & 2y+x  \\z-1 & 4a-6  \\\end{matrix}\right]=\left[ \begin{matrix}0 & — 7  \\3 & 2a  \\\end{matrix} \right]\).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Поскольку соответствующие элементы двух равных матриц равны.

Следовательно, x + 3 = 0, 2y x = – 7, z – 1 = 3 и 4a – 6 = 2a.

Решая эти уравнения, получаем a = 3, x = – 3, y = – 2, z = 4.

СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ

м х п. Тогда их сумма A+B представляет собой матрицу порядка m x n и получается сложением соответствующего элемента A и B.  mxn  являются двумя матрицами одного порядка, их сумма A+B определяется как матрица порядка m x n такая, что (A + B)  ij  = + bij для i = 1, 2, …, m и j = 1, 2, …, n.

ПРИМЕЧАНИЕ.  Сумма двух матриц определяется только в том случае, если они одного порядка.

РИСУНОК 1:

\(A=\left[ \begin{align}& \begin{matrix}1 & 2 & 3  \\\end{matrix} \\& \begin{matrix}4 & 5 & 6\\\end{matrix}\\\end{align}\right]\),

\(B=\left[ \begin{align}& \begin{matrix}6 & 5 & 4  \\\ end{matrix}\\ & \begin{matrix}3 & 2 & 1\\\end{matrix}\\\end{align}\right]\),

затем \(A+B=\left[ \begin{align}& \begin{matrix}1+6 & 2+5 & 3+4  \\\end{matrix} \\ & \begin{matrix}4 +3 и 5+2 и 6+1  \\\end{matrix} \\\end{align} \right]\)=\(\left[ \begin{align}& \begin{matrix}7 & 7 & 7  \\\end{matrix} \\& \begin{matrix}7 & 7 & 7  \\\end{matrix} \\\end{align} \right]\).

РИСУНОК 2:   Если \(A=\left[ \begin{align}& \begin{matrix}1 & 2 & 3\\\end{matrix} \\& \begin{matrix}4 & 5 & 6  \\\end{matrix} \\\end{align} \right]\), \(B=\left[ \begin{matrix}-1 & 2 & 1  \\3 & 2 & 1  \\2 & 5 & ​​-5  \\\end{matrix} \right]\), то A + B не определено, так как A и B не одного порядка.

ИЛЛЮСТРАЦИЯ 3:  Для следующих пар матриц A-FB не определен, поскольку они имеют разный порядок:

1. \(A=\left[ \begin{matrix}1 & -1 \\2 & 0  \\\end{matrix} \right]\), \(B=\left[ \begin{matrix}2  \\3  \\\end{matrix} \right]\).

2. \(A=\left[ \begin{align}& \begin{matrix}0 & 0 & 5 \\\end{matrix} \\&\begin{matrix}1 & -1 & 0  \\ \end{matrix} \\\end{align} \right]\), \(B=\left[ \begin{matrix}1 & 2  \\3 & -1  \\4 & 5  \\\end{matrix } \правильно]\).

СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ МАТРИЦ: Сложение матриц коммутативно, т. е. если A и B две матрицы размера m x n, то A + B = B + A.

Существование обратной: ]  mxn  существует матрица [- a ij ]  mxn , обозначаемая -A такая, что A + (-A) = 0 = (-A) + A.

УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ СКАЛЯРОМ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ : Пусть A = [a ij ] будет матрицей размера m x n, а k будет любым числом, называемым скаляром. Тогда матрица, полученная умножением каждого элемента A на k, называется скалярным кратным A на k и обозначается kA.
Таким образом, kA = [ka ij ]  mxn .

ВЫЧИТАНИЕ МАТРИЦ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ : Для двух матриц A и B одного порядка мы определяем A – B = A + (- B).

РИСУНОК 2: Если \(A=\left[ \begin{matrix}2 & 3 & 4  \\0 & 4 & 6  \\5 & 8 & 9\\\end{matrix} \right]\ ), \(B=\left[ \begin{matrix}3 & 0 & 5  \\5 & 3 & 2  \\0 & 4 & 7  \\\end{matrix} \right]\) найдите 3A – 2B.

РЕШЕНИЕ: Есть.

3A – 2B = 3A + (-2) B

\(=\left[ \begin{matrix}6 & 9 & 12  \\0 & 12 & 18  \\15 & 24 & 27  \\\end{ matrix} \right]+\left[ \begin{matrix}-6 & 0 & -10  \\-10 & -6 & -4  \\0 & -8 & -14  \\\end{matrix} \right] \).

\(=\left[ \begin{matrix}0 & 9 & 12  \\-10 & 6 & 14  \\15 & 16 & 13  \\\end{matrix} \right]\).

УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ: Две матрицы A и B соответствуют произведению AB, если количество столбцов в A (премножитель) совпадает с количеством жгутов в B (постмножитель).

ИЛЛЮСТРАЦИЯ 2:  Пусть \(A=\left[ \begin{align}& \begin{matrix}1 & -2 & 3  \\\end{matrix} \\& \begin{matrix}3 & 2 & -1  \\\end{matrix} \\\end{align} \right]\) и \(B=\left[ \begin{matrix}2 & 3  \\-1 & 2  \\4 & -5 \\\конец{матрица} \право]\). Найдите AB и BA и покажите, что AB ≠ BA.

РЕШЕНИЕ: Здесь A — матрица 2 x 3, а B — матрица 3 x 2. Итак, AB существует и имеет порядок 2 x 2.

\(AB=\left[ \begin{matrix}1 & -2 & 3  \\3 & 2 & -1  \\\end{matrix} \right ]\left[ \begin{matrix}2 & 3  \\-1 & 2  \\4 & -5  \\\end{matrix} \right]\).

\(=\left[ \begin{matrix}2+2+12 & 3-4-15  \\6-2-4 & 9+4+5  \\\end{matrix} \right]\).

\(=\left[ \begin{matrix}16 & -16  \\0 & 18  \\\end{matrix} \right]\).

Опять же, B — матрица 3 x 2, а A — матрица 2 x 3. Итак, BA существует и имеет порядок 3 x 3.

\(\,BA=\left[ \begin{matrix}2 & 3  \\-1 & 2  \\4 & -5  \\\end{matrix } \right]\left[ \begin{matrix}1 & -2 & 3  \\3 & 2 & -1  \\\end{matrix} \right]\).

\(=\left[ \begin{matrix}2+9 & -4+6 & 6-3  \\-1+6 & 2+4 & -3-2  \\4-15 & -8-10 & 12+5  \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}2+9 & -4+6 & 6-3  \\-1+6 & 2+4 & -3-2 \\4-15 & -8-10 & 12+5  \\\end{matrix} \right]\).

\(=\left[ \begin{matrix}11 & 2 & 3  \\5 & 6 &-5  \\-11 & -18 & 17  \\\end{matrix} \right]=\left[ \ begin{matrix}11 & 2 & 3  \\5 & 6 & -5  \\-11 & -18 & 17  \\\end{matrix} \right]\).

Теперь

Следовательно, AB ≠ BA.

СВОЙСТВА МАТРИЧНОГО УМНОЖЕНИЯ:

i. Умножение матриц в общем случае некоммутативно.

ii. Умножение матриц является ассоциативным, т. е. (AB) C=A (BC), когда обе стороны определены.

III. Умножение матриц является дистрибутивным по отношению к сложению матриц, т. е.

A (B + C) = AB + AC,

(A + B) C = AB + AC, когда обе стороны равенства определены.

Если A представляет собой матрицу размера m x n, то I m A = A = A I n

Произведение двух матриц может быть нулевой матрицей, хотя ни одна из них не является нулевой матрицей.

Например, если \(A=\left[ \begin{matrix}0 & 2  \\0 & 0  \\\end{matrix} \right]\) и \(B=\left[ \begin{matrix }1 & 0  \\0 & 0  \\\end{matrix} \right]\), \(AB=\left[ \begin{matrix}0 & 0  \\0 & 0  \\\end{matrix} \right]\), в то время как ни A, ни B не являются нулевой матрицей

If A is m x n matrix and 0 is a null matrix, then

1) A mxn O nxp  = O mxp

2) O pxm A mxn  = O pxn

ПЕРЕНОС МАТРИЦЫ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Пусть A = [a ij ] — матрица размера m x n. Тогда транспонирование A, обозначаемое A T  или A’, представляет собой матрицу размера n x m, такую ​​что (A T ) ij = a ij  для всех I = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, н. 9{T}}=\left[ \begin{matrix}1 & 2 & 3  \\2 & 3 & 2  \\3 & 4 & 1  \\4 & 1 & 4  \\\end{matrix} \right]\ ).

СВОЙСТВА ТРАНСПОНИРОВАНИЯ: Пусть A и B — две матрицы.

No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *