Логарифм lg калькулятор: Калькулятор десятичный логарифм

Содержание

След логарифма

На наших с вами глазах ушло в прошлое одно удивительное счётное устройство, которое сыграло важную роль в науке и технике. Оно помогало в расчётах Ньютону и Эйнштейну, Ломоносову и Менделееву. С его помощью человек постиг и тайны атомного ядра. Речь идёт о логарифмической линейке, которая скоро отметит свой 400-летний юбилей.

Когда ещё не были доступны калькуляторы и компьютеры, логарифмическая линейка была верным и незаменимым помощником каждого астронома, конструктора, морехода, артиллериста, инженеров и исследователей самых различных направлений. Первый космонавт Юрий Гагарин в лётном училище мечтал о собственной логарифмической линейке, но стипендии хватило лишь на то, чтобы купить её в складчину с другими курсантами. Не расставались со своими линейками академики Курчатов и Королёв, в руках которого этот инструмент, по словам очевидцев, «превращался в волшебную палочку». Логарифмическая линейка летала в космос и побывала на Луне. Для её изготовления использовали наилучшие материалы, стойкие к истиранию и деформации, например древесину груши. Что же это за устройство, которое так долго служило учёным всего мира, помогло им покорить космос и овладеть атомной энергией? Все «волшебные» качества этого счётного инструмента связаны с одной удивительной функцией, свойства которой определяют принцип его работы. Эта функция называется логарифм. Она является одной из двух функций, обратных по отношению к функции возведения числа в степень.
Например, если мы возводим число 10 в квадрат, в куб, в четвёртую степень, то, соответственно, имеем результат 100, 1000 и 10 000. Тогда логарифмами этих чисел по основанию 10 будут, соответственно, величины 2, 3 и 4 – показатели степени, в которые возводится число 10 (оно в данном случае является основанием логарифмов). Логарифмирование на приведённых выше примерах в математических обозначениях выглядит следующим образом:
log₁₀100 = 2
log₁₀1000 = 3
log₁₀10000 = 4
Логарифмы по основанию 10, или десятичные логарифмы, особенно легки для понимания, их смысл заключается в количестве нулей после единицы в логарифмируемом числе. Для десятичных логарифмов имеется особое обозначение, в связи с чем предыдущие уравнения сокращённо записывают так:
lg 100 = 2
lg 1000 = 3
lg 10000 = 4
Главное «волшебство» этой функции заключается в том, что логарифм позволяет заменить сложные операции умножения и деления намного более простыми сложением и вычитанием. По словам французского математика Пьера-Симона Лапласа, открытие логарифма как бы подарило учёным, в первую очередь астрономам, дополнительные годы жизни за счёт значительного сокращения громоздких расчётов. Много веков математики приближались к пониманию логарифма, но революцию в этой области, бесспорно, совершил в XVI веке шотландский мистик и богослов Джон Непер. Он первым ввёл в практику сам термин «логарифм» и составил свои знаменитые таблицы, высоко оценённые современниками. Как ни странно, логарифмы Джону Неперу потребовались не для научных, а для астрологических расчётов, в которых он их активно применял. Он вообще был эксцентричной личностью. Непер одевался в чёрные одежды, ходил с чёрным петухом, сидящим на плече, а в коробочке с собою носил чёрного паука. В таком виде он появлялся даже там, где это могли счесть верхом неприличия либо признаком умопомрачения, но авторитет Непера позволял окружающим прощать ему эти особенности и странности.

Отпечатки истории
В то время над созданием таблиц, позволяющих заменить умножение сложением, работали учёные самых разных стран. Выдающийся немецкий математик Иоганн Кеплер впервые применил логарифмы в астрономических расчётах, используя таблицы своего друга и коллеги по Пражскому университету швейцарца Иоста Бюрги, известного часовщика и изобретателя секундной стрелки, который потратил на создание таблиц логарифмов более 8 лет. Десятичные логарифмы, удобные для понимания и использования, были опубликованы в виде таблиц в 1617 году английским профессором Джоном Бриггсом, таблицы ещё более важных для науки натуральных логарифмов были чуть позже изданы его соотечественником Джоном Спейделлом. А в 1620 году английский астроном и священнослужитель Эдмунд Гюнтер впервые опубликовал принцип нового счётного устройства с логарифмической шкалой. Оно отличалось от привычного всем варианта линейки, так как предполагало использование двух вспомогательных циркулей, и было из-за этого не очень удобным в использовании. Приоритет в создании разработанного позднее готового счётного устройства, названного логарифмической линейкой, много лет оспаривали два других англичанина, пастор Уильям Отред и его ученик Ричард Деламейн. А в середине XIX века французский артиллерист Виктор Маннгейм добавил к ней ещё несколько шкал и бегунок с рамкой и тем самым довёл конструкцию логарифмической линейки до того вида, в котором она просуществовала 150 лет, вплоть до самого завершения истории её массового использования, сыграв важную роль в атомной и космической эпохе. Каждый как мог приложил свою руку к созданию этого устройства: астрономы и часовщики, священники и мистики, артиллеристы и астрологи. При просмотре фильмов о жизни учёных и инженеров XX века часто можно видеть их героев, пользующихся логарифмической линейкой. Очень эффектен эпизод из кинофильма «Укрощение огня», в котором конструктор Башкирцев, чьим прототипом был сам Сергей Королёв, размышляет с логарифмической линейкой в руках. Хорошо известен забавный фрагмент из короткометражной комедии Гайдая «Самогонщики», когда один из её героев, талантливо сыгранный Юрием Никулиным, уточняет с помощью логарифмической линейки количество сахара при незаконном производстве суррогатного алкоголя.

На задворках времени
К сожалению, сейчас логарифмическая линейка, верная помощница учёных на протяжении трёх с половиной веков, стала практически забыта. Её заменила цифровая техника, в первую очередь портативные калькуляторы. В нашей стране процесс вытеснения логарифмической линейки из жизни инженеров начался в 70-е годы прошлого века и практически завершился к концу 80-х годов. Автору этой статьи довелось в начале 90-х годов прошлого века пользоваться этим инструментом при обучении в институте, но это было скорее чудачеством, так как калькуляторы были уже общедоступны. На расчетных работах по прикладной механике на втором курсе МИТХТ им. М.В. Ломоносова преподаватели требовали от каждого приносить с собой собственный калькулятор. Тех, кто забывал, до занятий не допускали, приходилось возвращаться за ним домой. У меня же с собой всегда была небольшая логарифмическая линейка, с которой преподаватели без проблем допускали к работам даже без калькулятора, провожая меня удивлённым уважительным взглядом. Каюсь, почти всегда я в этих случаях просил калькулятор у кого-нибудь из одногруппников, так как на нём расчёты было делать проще,быстрее и получалось точнее. Та небольшая логарифмическая линейка цела до сих пор и 30 лет занимает своё место в моём рабочем портфеле в качестве сувенира. Кто знает, может, ещё когда-нибудь выручит? ВНИИНМ им. А.А. Бочвара со времени своего основания играл важную роль в советском атомном проекте. И в настоящее время ВНИИНМ является базовой материаловедческой организацией всей нашей отрасли, как для атомной энергетики, так и для ядерного оборонного комплекса. Министерство среднего машиностроения в советские времена ответственно относилось к обеспечению сотрудников всем необходимым. Специальные металлические линейки увеличенной длины и повышенной точности заказывал Берия для Курчатова и его коллег. Они с успехом были применены при создании первого атомного заряда в рамках советского атомного проекта. Логарифмические линейки самого лучшего качества централизованно закупали и для тогдашнего НИИ-9. Линейки использовали для материаловедческих и нейтронно-физических расчётов, при моделировании физикохимии растворов и металлургических процессов. Эти ценные когда-то счётные устройства давно никем во ВНИИНМ не используются, но иногда попадаются в лабораториях вместе со старыми фотопластинками, пачками диаграммной ленты и другими артефактами великой атомной эпохи. Тем не менее многие сотрудники ВНИИНМ бережно хранят свои логарифмические линейки. У специалиста тритиевого отдела М.И. Белякова сохранился даже такой раритет, как круговая логарифмическая линейка со стрелками и циферблатами, которая вообще не похожа на линейку, скорее напоминает формой и размером небольшой секундомер.

Точность без понимания
Ещё сорок лет назад с логарифмической линейкой знакомили в средней школе, а в технических институтах студенты её активно использовали с первых до последних курсов. Сейчас же даже с самой функцией логарифма школьников знакомят намного позже и, на мой взгляд, чересчур поверхностно. Это легко объясняется: теперь с калькулятором в руках можно умножать и делить числа любого размера, даже не понимая, что такое логарифм. Не составляет проблем в наше время вычисление любой тригонометрической функции, возведение числа в степень, извлечение квадратного и кубического корней. Раньше же человеку, не знающему, что такое логарифм, был закрыт путь в технические науки. Такой человек был беспомощен и для инженерных дел бесполезен. На самом деле, как я убедился, даже ученику начальной школы можно доходчиво рассказать о логарифмах так, что ему это будет и интересно, и достаточно понятно. Мне моя мама Л.В. Семёнова, учитель математики, открыла «тайну логарифмов», когда я учился во втором классе. В свою очередь, и мой восьмилетний сын Фёдор легко усвоил азы логарифмирования и теперь охотно делится своим знанием с окружающими. Мне довелось слышать краем уха его разговор на эту тему с другими детьми, когда мы ехали в поезде. «Логарифм – это легкотня! Надо посчитать, сколько нулей после единицы, вот и будет логарифм. Но это, только если число из единицы и нулей состоит. Если там двойка, тройка или какое-то другое число, то в логарифме после запятой ещё такой длинный-длинный хвост из цифр вылезает. Мантисса называется…» Пока мой Федя это всё рассказывал, сначала затихли детские голоса по коридору вагона, а потом замолчали и взрослые. Все внимательно слушали Фёдора и молчали. Похоже, что так же, как и во времена Джона Непера, многие непосвящённые люди склонны считать человека, знающего логарифмы, магом и колдуном. Даже если на его плече не сидит чёрный петух, а в руках своих он не держит коробочку с чёрным пауком… А завершение с оптимизмом хочу сказать следующее. Пусть эпоха логарифмической линейки осталась позади. Зато сам логарифм, несмотря на свою 400-летнюю историю, никогда не устареет и не будет забыт, пока есть наука и техника, пока есть на свете учёные и инженеры, пока мы покоряем космос и владеем силой атомного ядра.

Логарифм — свойства, формулы, график

Приведены основные свойства логарифма, график логарифма, область определения, множество значений, основные формулы, возрастание и убывание. Рассмотрено нахождение производной логарифма. А также интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел.

Определение логарифма

Логарифм с основанием a: – это функция y(x) = log_a x, обратная к показательной функции с основанием a: x(y) = a^y.

В дальнейшем будем считать, что основание логарифма a положительное, не равное единице число: .

Десятичный логарифм: – это логарифм по основанию числа 10: lg x ≡ log₁₀ x.
Натуральный логарифм: – это логарифм по основанию числа e: ln x ≡ log_e x.

2,718281828459045…;
.

Графики логарифма

Графики логарифма y = log_a x при различных значениях основания a.

График логарифма получается из графика показательной функции зеркальным отражением относительно прямой y = x. Слева изображены графики функции y = log_a x для четырех значений основания логарифма: a = 2, a = 8, a = 1/2 и a = 1/8. На графике видно, что при a > 1 логарифм монотонно возрастает. С увеличением x рост существенно замедляется. При 0 < a < 1 логарифм монотонно убывает.

Свойства логарифма

См. также «Определение и доказательство свойств логарифма».

Область определения, множество значений, возрастание, убывание

Логарифм является монотонной функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства логарифма представлены в таблице.


Область определения	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Область значений	– ∞ < y < + ∞	– ∞ < y < + ∞
Монотонность	монотонно возрастает	монотонно убывает
Нули, y = 0	x = 1	x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	нет	нет
	+ ∞	– ∞
	– ∞	+ ∞

Частные значения

Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается так:

Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом:

Основные формулы логарифмов

Свойства логарифма, вытекающие из определения обратной функции:

Основное свойство логарифмов и его следствия

Формула замены основания

Логарифмирование: – это математическая операция взятия логарифма. При логарифмировании, произведения сомножителей преобразуются в суммы членов.
Потенцирование: – это математическая операция обратная логарифмированию. При потенцировании заданное основание возводится в степень выражения, над которым выполняется потенцирование. При этом суммы членов преобразуются в произведения сомножителей.

Доказательство основных формул логарифмов

Формулы, связанные с логарифмами вытекают из формул для показательных функций и из определения обратной функции.

Рассмотрим свойство показательной функции
.
Тогда
.
Применим свойство показательной функции
:
.

Докажем формулу замены основания.
;
.
Полагая c = b, имеем:

Обратная функция

Обратной для логарифма по основанию a является показательная функция с показателем степени a.

Если , то

Производная логарифма

Производная логарифма от модуля x:
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Для нахождения производной логарифма, его нужно привести к основанию e.
;
.

Интеграл

Интеграл от логарифма вычисляется интегрированием по частям: .
Итак,

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного числа z:
.
Выразим комплексное число z через модуль r и аргумент φ:
.
Тогда, используя свойства логарифма, имеем:
.
Или

Однако, аргумент φ определен не однозначно. Если положить
, где n — целое,
то будет одним и тем же числом при различных n.

Поэтому логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.

Разложение в степенной ряд

При имеет место разложение:

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Log Calculator: Знайте все, чтобы декодировать логарифмические процессы | Логарифмический калькулятор

Log/Logarithm: Что это такое?

Лог или логарифм можно назвать обратным для математических операций, выполняемых с возведением в степень. Это говорит о том, что значение log любого числа можно рассматривать как число с фиксированной формой основания, которое возводится для получения точного числа. Однако эти вычисления усложняются с добавлением усложнений к логарифмическим теоремам. Вы можете использовать калькулятор журнала , чтобы получить точный результат.
В обычном смысле логарифмическая теорема применима, когда основание равно 10, хотя основанием может быть что угодно, от числа до символа. Например, с основанием e форма журнала обычно записывается как «ln», а не как Log _e . Журнал ₂ .
Когда мы говорим о двоичном логарифме, это на самом деле еще одно основание, которое обычно используется с логарифмами.

Скажите, например:
X= b ^y
Здесь y= log _b x;
Где основание «b»
Каждая из этих упомянутых баз, как правило, используется в различных приложениях. Base 10 обычно используется в инженерии и науке. С другой стороны, основание e используется в физике и математике. Когда речь идет о платформе информатики с логарифмическим решателем, используется основание 2. Итак, если вы планируете использовать калькулятор логарифмов или калькулятор логарифмов , знание основных правил наверняка поможет вам разобраться в результатах.

Основные правила логарифмирования

Давайте немного узнаем об основных правилах функций логарифмирования, которые в основном используются с логарифмическим калькулятором .
Когда аргумент логарифма является произведением двух цифр, его значение логарифма может быть записано как сложение логарифма с каждой цифрой.

Лог _б (Х*У)
= log _b X + log _b Y
Пример:
Лог (1*10)
= журнал (1) + журнал (10)
= 0 + 1
= 1
С другой стороны, когда аргумент логарифма дробь, значение логарифма может быть фактически записано в форма вычитания логарифма, где числитель вычитается из знаменателя.
Журнал _b (X/Y)
= журнал _б X — журнал _б Y
Пример:
Журнал (10/2)
= лог (10) — лог (2)
=1- 0,301
=0,699
Двойной и натуральный логарифмы
Чаще всего используются десятичные логарифмы и десятичные логарифмы. натуральный логарифм. Тот, у которого основание e = 2,7182818, можно назвать натуральный логарифм. Первоначально этот термин упоминался Учитель математики из Копенгагенского университета по имени Николас Меркатор.
Все эти факторы вступают в игру с калькулятор логарифмов или калькулятор логарифмов.
На С другой стороны, натуральный логарифм можно обозначить символом In x. Простая функция натурального логарифма может быть указана в формулы, используемые для сложных процентов, а также ставки для экономический рост. Логарифм по основанию 10 может быть обозначается символом log ₁₀ X или Lg X. Его также можно назвать стандартный логарифм или десятичный логарифм. В этом случае идеально результаты можно получить с помощью 9Калькулятор базы журнала 0005.
Раньше лучшие методы вычисление лога для чисел было с использованием лог-таблиц. Однако, можно использовать Калькулятор уравнения логарифма для получения идеальных результатов.

Что такое логарифмические функции?

Логарифмическая функция просто показатель степени, записанный особым образом. По сути Калькулятор логарифмов

можно использовать как Логарифмические функции калькулятор тоже.

В сущности, логарифмические функции могут быть называются обратными для экспоненциальных функций и экспоненциальные функции могут быть легко выражены с помощью логарифмическая форма. Аналогичным образом логарифмические функции переписать в экспоненциальной форме. Эти факториалы очень полезно, когда дело доходит до разрешения пользователям работать с большими раздел чисел, в то время как они манипулируют одним и тем же управляемым размер.

Логарифм — Энциклопедия Нового Света

Логарифмы по различным основаниям: красный — по основанию e , зеленый — по основанию 10, фиолетовый — по основанию 1,7. Каждый тик на осях равен единице. Логарифмы всех оснований проходят через точку (1, 0), потому что любое число в степени 0 равно 1, и через точки (

b, 1) по основанию b, , потому что любое число в степени 1 является собой. Кривые приближаются к оси y, но не достигают ее из-за сингулярности логарифма при x = 0.

В математике

0005 логарифм (или log ) числа x по основанию b — это степень (n) , в которую нужно возвести основание b , чтобы получить число x . Например, логарифм 1000 по основанию 10 — это число 3, потому что 10, возведенное в степень 3, равно 1000. Или логарифм 81 по основанию 3 равен 4, потому что 3, возведенное в степень 4, равно 81. .

В общих чертах, если x = b ⁿ , то логарифм x по основанию b обычно записывается как

logb⁡(x) = n. {\ displaystyle \ log _ {b} (x) = n. \,}

(значение b не должно быть ни 0, ни корнем из 1.)

Полезный способ запомнить это понятие — спросить: «

b , в какой степени (n) равно x ?» Когда x и b ограничены положительными действительными числами, логарифм является уникальным действительным числом. 9{4}=3\умножить на 3\умножить на 3\умножить на 3=81\,}

В логарифмическом выражении это можно записать как

log3⁡(81)=4{\displaystyle \log _{3}(81)=4\,}

Другими словами, логарифм числа 81 по основанию 3 равен 4; или логарифмическая база-3 из 81 равна 4.

Наиболее широко используемыми основаниями логарифмов являются 10, математическая константа e (приблизительно равна 2,71828) и 2. Термин десятичный логарифм используется, когда основание равно 10; член натуральный логарифм используется, когда основание равно e.

Метод логарифмов упрощает некоторые расчеты и используется для выражения различных величин в науке. Например, до появления калькуляторов и компьютеров метод логарифмов был очень полезен для развития астрономии, навигации и геодезии. Числовые последовательности, записанные в логарифмическом масштабе, продолжают использоваться учеными в различных дисциплинах. Примеры логарифмических шкал включают шкалу рН для измерения кислотности (или основности) в химии; шкала Рихтера для измерения интенсивности землетрясений; и шкала, выражающая видимую величину звезд, для обозначения их яркости.

Содержание

1 История
- 1.1 Таблицы логарифмов

2 Логарифм как функция

{n}}.

История

Метод логарифмирования был впервые публично изложен в 1614 году в книге под названием Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, Джоном Нейпиром, ^[1]

бароном Мерчистона в Шотландии. (Юст Бюрги независимо открыл логарифмы, но опубликовал свое открытие только через четыре года после Напьера.)

Этот метод способствовал развитию науки, и особенно астрономии, делая возможными некоторые сложные вычисления. До появления калькуляторов и компьютеров он постоянно использовался в геодезии, навигации и других областях практической математики. Он вытеснил более сложный метод простафаэреза, который основывался на тригонометрических тождествах как на быстром методе вычисления продуктов. Помимо полезности в вычислениях, логарифмы также занимают важное место в высшей теоретической математике.

Сначала Нейпир назвал логарифмы «искусственными числами», а антилогарифмы — «натуральными числами». Позже он образовал слово логарифм для обозначения числа, обозначающего отношение: λόγος (логос) означает пропорцию, а ἀριθμός (арифмос) означает число.

Нейпир выбрал это потому, что разность двух логарифмов определяет отношение чисел, которые они обозначают, так что арифметический ряд логарифмов соответствует геометрическому ряду чисел. Термин «антилогарифм» был введен в конце семнадцатого века и, хотя никогда широко не использовался в математике, сохранялся в коллекциях таблиц, пока они не вышли из употребления.

Нейпир не использовал основание, как мы теперь это понимаем, но его логарифмы были с точностью до коэффициента масштабирования эффективным основанием 1/ e . В целях интерполяции и простоты вычислений полезно сделать отношение r в геометрическом ряду близким к 1. Нейпир выбрал r = 1 — 10 ⁻⁷ = 0,999999 (Бюрги выбрал r = 1 + 10 ⁻⁴ = 1,0001). В исходных логарифмах Нейпира не log 1 = 0, а log 10 ⁷ = 0. Таким образом, если N — это число, а L — его логарифм, рассчитанный Нейпиром,

N = 10 ⁷ (1 − 10 ⁻⁷ ) ^L .

Since (1 − 10 ⁻⁷ ) ^{10 ⁷} is approximately 1/ e, this makes L /10 ⁷ approximately equal to log _{1/ e} N /10 ⁷ . ^[2]

Таблицы логарифмов

Часть таблицы десятичных логарифмов двадцатого века в справочнике Абрамовица и Стегуна.

До появления компьютеров и калькуляторов использование логарифмов означало использование таблиц логарифмов, которые приходилось создавать вручную. Логарифмы по основанию 10 полезны в вычислениях, когда электронные средства недоступны.

В 1617 году Генри Бриггс опубликовал первую часть своей собственной таблицы десятичных логарифмов, содержащей логарифмы всех целых чисел от 1000 до восьми знаков после запятой. За этим он последовал в 1624 году, со своим

Arithmetica Logarithmica, , содержащим логарифмы всех целых чисел от 1 до 20 000 и от 9.От 0 000 до 100 000 до четырнадцати знаков после запятой вместе с учёным введением, в котором теория и использование логарифмов были полностью разработаны.

Интервал от 20 000 до 90 000 заполнил Адриан Влак, голландский математик; но в его таблице, появившейся в 1628 г., логарифмы давались только до десяти знаков после запятой. Позже было обнаружено, что таблица Влака содержит 603 ошибки, но «это нельзя считать большим числом, если учесть, что таблица была результатом первоначального расчета и что более 2 100 000 печатных цифр могут быть ошибочными». ^[3] Издание работы Влака, содержащее множество исправлений, было выпущено в Лейпциге в 1794 году под названием Thesaurus Logarithmorum Completus Юрия Веги.

Семизначная таблица Франсуа Калле (Париж, 1795 г.) вместо того, чтобы остановиться на 100 000, давала восьмизначные логарифмы чисел от 100 000 до 108 000, чтобы уменьшить ошибки интерполяции, которые были наибольшими в начале стола; и это дополнение обычно включалось в таблицы на семь мест. Единственное важное опубликованное расширение таблицы Влака было сделано г-ном Сангом 1871 г., чья таблица содержала семизначные логарифмы всех чисел ниже 200 000.

Бриггс и Влак также опубликовали оригинальные таблицы логарифмов тригонометрических функций.

Помимо таблиц, упомянутых выше, большая коллекция под названием Tables du Cadastre была создана под руководством Гаспара де Прони с помощью оригинального расчета под эгидой французского республиканского правительства 1700-х годов. Эта работа, содержащая логарифмы всех чисел от 100 000 до девятнадцати разрядов и чисел от 100 000 до 200 000 до двадцати четырех разрядов, существует только в рукописи «в семнадцати огромных фолиантах» в Парижской обсерватории. Он был начат в 179 г.2; и «все расчеты, которые для обеспечения большей точности были выполнены в двух экземплярах, а две рукописи впоследствии тщательно сопоставлены, были выполнены за короткий промежуток времени в два года». ^[4] Кубическую интерполяцию можно использовать для нахождения логарифма любого числа с аналогичной точностью.

Логарифм как функция

Логарифм функции _b (x) зависит как от b , так и от x, но член логарифмическая функция (или логарифмическая функция ) в стандартном использовании относится к функции формы log _b (x) , в которой основание b является фиксированным, и поэтому единственным аргументом является Икс. Таким образом, существует одна функция логарифма для каждого значения основания b (которое должно быть положительным и должно отличаться от 1). С этой точки зрения логарифмическая функция по основанию b является обратной функцией экспоненциальной функции 9.0094 б ^х . Слово «логарифм» часто используется для обозначения самой функции логарифма, а также для конкретных значений этой функции.

Графическая интерпретация

Натуральный логарифм a представляет собой площадь под кривой y = 1/ x между значениями 1 x и a .

Иррациональность

Для целых чисел b и x > 1 число log _b (x) является иррациональным (то есть не является частным двух целых чисел), если либо b , либо x имеет простой делитель, которого нет у другого. В некоторых случаях этот факт можно доказать очень быстро: например, если бы log ₂ 3 было рациональным, то log ₂ 3 = n / m для некоторых натуральных чисел n и m , что означает 2 ⁿ = 3 ^m . Но это последнее тождество невозможно, так как 2 ⁿ — четное число, а 3 ^m — нечетное. Известны гораздо более сильные результаты. См. теорему Линдеманна – Вейерштрасса.

Целые и нецелые показатели степени

Если n является положительным целым числом, то b ⁿ означает произведение n множителей, равное b: b:

б × б × ⋯ × б⏟n. {\ displaystyle \ underbrace {b \ times b \ times \ cdots \ times b} _ {n}.}

Однако, если b — положительное действительное число, не равное 1, это определение можно распространить на любое действительное число n в поле (см. возведение в степень). Точно так же функция логарифма может быть определена для любого положительного действительного числа. Для каждого положительного основания b , не равного 1, существует одна логарифмическая функция и одна экспоненциальная функция, которые являются обратными друг другу.

Логарифмы могут сократить операции умножения до сложения, деления до вычитания, возведения в степень до умножения и корней до деления. Поэтому логарифмы полезны для облегчения выполнения длительных числовых операций, и до появления электронных компьютеров они широко использовались для этой цели в таких областях, как астрономия, инженерия, навигация и картография. Они обладают важными математическими свойствами и до сих пор широко используются.

Основания

Наиболее распространенными основаниями логарифмов являются 10, математическая константа e ≈ 2,71828… и 2. Когда «лог» пишется без основания ( b отсутствует в логарифме _b ), намерение обычно можно определить из контекста:

Натуральный логарифм (log _e , ln, log или Ln) в математическом анализе
Десятичный логарифм (log ₁₀ или просто log) в машиностроении и когда таблицы логарифмов используются для упрощения ручных вычислений
Двоичный логарифм (log ₂ ) в теории информации и музыкальных интервалах
Неопределенный логарифм, когда основание не имеет значения, например, в теории сложности при описании асимптотического поведения алгоритмов в большой записи O.

Во избежание путаницы лучше указать базу, если есть вероятность неправильного толкования.

Другие обозначения

Обозначение «ln (x) » неизменно означает log _e (x) , то есть натуральный логарифм x, , но подразумеваемая база для «log (x) » зависит от дисциплины:

Математики обычно понимают как «ln (x) », так и «log (x) » как log _e (x) и пишут «log ₁₀ (x)», когда логарифм по основанию 10 x предназначен.

Многие инженеры, биологи, астрономы и некоторые другие пишут только «ln (x)» или «log _e (x) », когда они означают натуральный логарифм x , и принимают «log (x) » как log ₁₀ (x) или, иногда в контекст вычислений, log ₂ (x) .

В наиболее часто используемых языках компьютерного программирования, включая C, C++, Java, Fortran, Ruby и BASIC, функция «log» возвращает натуральный логарифм. Функция с основанием 10, если она доступна, обычно имеет вид «log10 .»

Некоторые используют Log (x) (заглавная L ) для обозначения log ₁₀ (x) , а log (x) со строчными буквами 4 8 означают от 0 9090 до l 9 е (х) .

Обозначение Log (x) также используется математиками для обозначения главной ветви функции (натурального) логарифма.

В некоторых европейских странах часто используется обозначение 9.0014 б лог (х) вместо лог _б (х) .

Этот хаос исторически возник из-за того факта, что натуральный логарифм имеет хорошие математические свойства (например, его производная равна 1/ x и имеет простое определение), в то время как логарифмы по основанию 10, или десятичные логарифмы, были более удобны для ускорения вычислений (когда они использовались для этой цели). Таким образом, натуральные логарифмы широко использовались только в таких областях, как исчисление, в то время как десятичные логарифмы широко использовались в других местах.

Совсем недавно, в 1984 году, Пол Халмос в своей «автоматографии» Я хочу стать математиком выразил презрение к тому, что он считал детским обозначением «ln», которое, по его словам, никогда не использовал ни один математик. (На самом деле это обозначение было изобретено в 1893 году Ирвингом Стрингемом, профессором математики в Беркли.) С 2005 года многие математики приняли обозначение «ln», но большинство используют «log».

В информатике логарифм по основанию 2 иногда записывается как lg (x) во избежание путаницы. Это использование было предложено Эдвардом Рейнгольдом и популяризировано Дональдом Кнутом. Однако в русскоязычной литературе для логарифма по основанию 10 обычно используется обозначение lg (x) , так что даже такое использование не лишено опасностей. ^[5] В немецком языке lg (x) также обозначает логарифм по основанию 10, в то время как иногда ld (x) или lb (x) используется для логарифма по основанию 2. ^[2]

Изменение основания

Хотя существует несколько полезных тождеств, наиболее важное для использования калькулятора позволяет находить логарифмы с основанием, отличным от встроенного в калькулятор (обычно log _e и журнал ₁₀ ). Чтобы найти логарифм с основанием b, по любому другому основанию k:

logb⁡(x)=logk⁡(x)logk⁡(b).{\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{k}(x)}{\log _{k}(b)}}.}

Более того, из этого результата следует, что все функции логарифмирования (независимо от основания) подобны друг другу. Итак, чтобы рассчитать журнал с основанием 2 числа 16 с помощью вашего калькулятора:

log2⁡(16)=log⁡(16)log⁡(2).{\displaystyle \log _{2}(16)={\frac {\log(16)}{\log(2)} }.}

Использование логарифмов

Логарифмы полезны при решении уравнений, в которых показатели степени неизвестны. У них простые производные, поэтому их часто используют при решении интегралов. Логарифм — одна из трех тесно связанных функций. В уравнении b ⁿ = x, b можно определить с помощью радикалов, n с помощью логарифмов, а x с помощью экспонент. См. Логарифмические тождества для нескольких правил, управляющих логарифмическими функциями. Для обсуждения некоторых дополнительных аспектов логарифмов см. дополнительные разделы по логарифмам.

Наука и техника

Различные величины в науке выражаются в виде логарифмов других величин.

Отрицательный логарифм по основанию 10 используется в химии, где он выражает концентрацию ионов гидроксония (H ₃ O ⁺ , форма H ⁺ принимает в воде), в мере, известной как рН. Концентрация ионов гидроксония в нейтральной воде составляет 10 ⁻⁷ моль/л при 25 °C, следовательно, pH равен 7.

бел (символ B) — это единица измерения, представляющая собой логарифм по основанию 10 отношений, таких как уровни мощности и уровни напряжения. Он в основном используется в телекоммуникациях, электронике и акустике. Он используется отчасти потому, что ухо логарифмически реагирует на акустическую мощность. Bel назван в честь пионера телекоммуникаций Александра Грэма Белла. Чаще используется децибел (дБ), равный 0,1 бел. непер — аналогичная единица, в которой используется натуральный логарифм отношения.

Шкала Рихтера измеряет интенсивность землетрясений по десятичной логарифмической шкале.

В спектрометрии и оптике единица поглощения, используемая для измерения оптической плотности, эквивалентна −1 Б.

В психофизике закон Вебера-Фехнера предлагает логарифмическую зависимость между стимулом и ощущением. 9{н}}.
Более простые вычисления
Логарифмы переключают внимание с обычных чисел на показатели степени. Пока используется одна и та же база, это упрощает некоторые операции:
{b}) = b \ log (a)}
Операция с номерами Операция с показателями Логарифмическая идентичность
аб {\ Displaystyle \! \, аб} А + В {\ Displaystyle \! \, А + В} журнал ⁡ (аб) = журнал ⁡ (а) + журнал ⁡ (б) {\ Displaystyle \! \, \ журнал (аб) = \ журнал (а) + \ журнал (б)}
ab {\ displaystyle \! \, {\ sqrt [{b}] {a}}} А / б {\ Displaystyle \! \, А / б} log ⁡ (ab) = log ⁡ (a) b {\ displaystyle \! \, \ log ({\ sqrt [{b}] {a}}) = {\ frac {\ log (a)} {b} }}
Эти отношения сделали такие операции над двумя числами намного быстрее, и правильное использование логарифмов было важным навыком до того, как стали доступны калькуляторы умножения.
Уравнение log⁡(ab)=log⁡(a)+log⁡(b){\displaystyle \log(ab)=\log(a)+\log(b)} является фундаментальным (из него фактически следует другое три отношения в поле), потому что он описывает изоморфизм между аддитивная группа и мультипликативная группа поля.
Чтобы умножить два числа, нужно найти логарифмы обоих чисел в таблице десятичных логарифмов, сложить их, а затем найти результат в таблице, чтобы найти произведение. Это быстрее, чем умножать их вручную, при условии, что в результате требуется более двух знаков после запятой. Таблица, необходимая для получения точности до семи знаков после запятой, могла уместиться в большой книге, а таблица для девяти знаков после запятой занимала несколько полок.
Открытие логарифмов незадолго до эпохи Ньютона оказало влияние на научный мир, которое можно сравнить с изобретением компьютера в двадцатом веке, потому что многие расчеты, которые были слишком трудоемкими, стали возможными.
Когда в восемнадцатом веке был изобретен хронометр, логарифмы позволили свести все расчеты, необходимые для астрономической навигации, к простым сложениям, что ускорило процесс на один или два порядка. Таблицы логарифмов с пятью десятичными знаками плюс логарифмы тригонометрических функций было достаточно для большинства астрономических навигационных вычислений, и эти таблицы умещались в небольшой книге.
Чтобы вычислить степени или корни числа, десятичный логарифм этого числа искали и умножали или делили на основание. Интерполяция может быть использована для еще более высокой точности. Логарифмические правила использовали логарифмы для более быстрого выполнения тех же операций, но с гораздо меньшей точностью, чем при использовании таблиц. Другие инструменты для выполнения умножения до изобретения калькулятора включают кости Нейпира и механические калькуляторы: см. Историю вычислительного оборудования.
Исчисление
Производная функции натурального логарифма равна
ddxln⁡(x)=1x.{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.} (Доказательство показано ниже.)
Применяя правило смены основания, производная для других оснований равна
ddxlogb⁡(x)=ddxln⁡(x)ln⁡(b)=1xln⁡(b)=logb⁡(e)x. {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{ b} (x) = {\ frac {d} {dx}} {\ frac {\ ln (x)} {\ ln (b)}} = {\ frac {1} {x \ ln (b)}} = {\ frac {\ log _ {b} (e)} {x}}.}
Первообразная логарифма равна
∫logb⁡(x)dx=xlogb⁡(x)−xln⁡(b)+C=xlogb⁡(xe)+C.{\displaystyle \int \log _{b}(x)\,dx = x \ log _ {b} (x) — {\ frac {x} {\ ln (b)}} + C = x \ log _ {b} \ left ({\ frac {x} {e}} \ right)+C.}
См. также: таблица пределов логарифмических функций, список интегралов логарифмических функций.
Доказательство производной
Производная функции натурального логарифма легко находится с помощью правила обратной функции. Поскольку функция, обратная логарифму, является показательной функцией, мы имеем пер ‘⁡ (х) = 1 ехр ‘⁡ (пер ⁡ (х)) {\ displaystyle \ ln ‘(x) = {\ frac {1} {\ exp ‘(\ln(x))}}}. Поскольку производная экспоненциальной функции сама по себе, правая часть уравнения упрощается до 1exp⁡(ln⁡(x))=1x{\displaystyle {\frac {1}{\exp(\ln(x))}} = {\ frac {1} {x}}}, экспоненциальное сокращение логарифма.
Компьютеры
При рассмотрении компьютеров обычным случаем является то, что аргумент и результат функции ln⁡(x){\displaystyle \ln(x)} являются некоторой формой данных с плавающей запятой. Обратите внимание, что в большинстве компьютерных языков для этой функции используется log⁡(x){\displaystyle \log(x)}, тогда как log10⁡(x){\displaystyle \log _{10}(x)} обычно обозначается как log10(x) .
Поскольку аргумент представляет собой число с плавающей запятой, полезно учитывать следующее:
Значение x с плавающей запятой представлено мантиссом 9{n}.\,}
Поэтому
пер ⁡ (х) = пер ⁡ (м) + п пер ⁡ (2). {\ Displaystyle \ пер (х) = \ пер (м) + п \ пер (2). \,}
Таким образом, вместо этого пер ⁡ (х) {\ displaystyle \ ln (x)} мы вычисляем пер ⁡ (m) {\ displaystyle \ ln (m)} для некоторого m, такого что 1≤m <2 {\ displaystyle 1 \ leq m < 2}. Наличие m {\ displaystyle m} в этом диапазоне означает, что значение всегда находится в диапазоне 0 ≤ u <. 13{\displaystyle 0\leq u<{\frac {1}{3}}}. Некоторые машины используют мантиссу в диапазоне 0,5≤m<1{\displaystyle 0,5\leq m<1}, и в этом случае значение для u будет в диапазоне -13
Обобщения
Обыкновенный логарифм положительных действительных чисел обобщается на отрицательные и комплексные аргументы, хотя это многозначная функция, которая нуждается в ветвлении, оканчивающемся в точке ветвления в 0, чтобы получить обычную функцию или главную ветвь. Логарифмом (по основанию e ) комплексного числа z является комплексное число ln(| z |) + i arg (z) , где | из | модуль z, arg (z) — аргумент, а i — мнимая единица.
Дискретный логарифм является родственным понятием в теории конечных групп. Он включает в себя решение уравнения b ⁿ = x, , где b и x — элементы группы, а n — целое число, указывающее степень в групповой операции. Считается, что для некоторых конечных групп дискретный логарифм вычислить очень сложно, тогда как дискретные экспоненты вычислить довольно легко. Эта асимметрия имеет приложения в криптографии с открытым ключом.
Логарифм матрицы является обратным значением экспоненциальной матрицы.
A двойной логарифм , пер ⁡ (пер ⁡ (х)) {\ Displaystyle \ пер (\ пер (х))}, является обратной функцией двойной экспоненциальной функции. Суперлогарифм или гиперлогарифм является обратной функцией суперэкспоненциальной функции. Суперлогарифм х растет еще медленнее, чем двойной логарифм для больших х .
За каждое положительное b не равно 1, функция log _b (x) является изоморфизмом группы положительных действительных чисел при умножении в группу (всех) действительных чисел при сложении. Это единственные такие изоморфизмы, которые непрерывны. Функция логарифма может быть расширена до меры Хаара в топологической группе положительных действительных чисел при умножении.
Примечания
↑ Джеймс Миллс Пирс, Элементы логарифмов с объяснением трех- и четырехместных таблиц логарифмических и тригонометрических функций (1873 г.).
↑ ^2.0 ^2.1 Math Forum, Logarithms: History and Use Проверено 20 ноября 2018 г.
↑ Институт актуариев Великобритании, Журнал Института актуариев и журнала Assurance Magazine, 1873, Vol. 17 (Забытые книги, 2018 г., 978-0366971244).
↑ Чарльз Найт, English Cyclopaedia, Biography, Vol. IV., статья «Прони».
↑ MathWorld, Логарифм. Проверено 20 ноября 2018 г.
Ссылки
Ссылки ISBN поддерживают NWE за счет реферальных сборов
Институт актуариев Великобритании, Журнал Института актуариев и журнал Assurance Magazine, 1873, Vol. 17 . Забытые книги, 2018. 978-0366971244
Найт, Чарльз. Английская энциклопедия, Vol. 4 . Забытые книги, 2012.
Пирс, Джеймс Миллс. Элементы логарифмов с объяснением трех- и четырехместных таблиц логарифмических и тригонометрических функций . Андезит Пресс, 2015. ISBN 978-1297495465
Пшеворска-Ролевич, Д. Логарифмы и антилогарифмы: подход к алгебраическому анализу с приложением Збигнева Биндермана (Математика и ее приложения) . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer, 1998. ISBN 0792349741.
РЭА. Math Made Nice & Easy #2: Проценты, экспоненты, радикалы, логарифмы и основы алгебры (Math Made Nice & Easy) . Пискатауэй, Нью-Джерси: Ассоциация исследований и образования, 1999. ISBN 08789.12010.
Риффель, Генри, Роберт Грин, Холбрук Хортон и Эдвард Мессал. Математика в действии . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Industrial Press, Inc., 1999. ISBN 0831130830.
Внешние ссылки
Все ссылки получены 3 ноября 2022 г.
Объяснение математических логарифмов.
Логарифм на MathWorld.
Йост Бурджи, швейцарский изобретатель логарифмов.
Калькуляторы логарифмов и текстовые задачи с показанной работой для школьников.
Логарифмы — из «Маленького справочника по статистической практике».
Логарифмические функции
Авторы
Энциклопедия Нового Света писатели и редакторы переписали и дополнили статью в Википедии в соответствии со стандартами New World Encyclopedia . Эта статья соответствует условиям лицензии Creative Commons CC-by-sa 3.0 (CC-by-sa), которая может использоваться и распространяться с надлежащим указанием авторства. Кредит должен соответствовать условиям этой лицензии, которая может ссылаться как на Энциклопедия Нового Света участников и самоотверженных добровольных участников Фонда Викимедиа. Чтобы процитировать эту статью, щелкните здесь, чтобы просмотреть список допустимых форматов цитирования. История более ранних вкладов википедистов доступна исследователям здесь:
Логарифм ^{история}
История этой статьи с момента ее импорта в New World Encyclopedia :
История «Логарифма»
Примечание.
No related posts.