Как решить однородную систему уравнений: Теоретический курс и примеры по курсу линейной алгебры

Учебные материалы по математике | Системы линейных однородных уравнений

3.3. Системы линейных однородных уравнений

Система линейных уравнений называется однородной, если свободные члены уравнений равны нулю. Такая система имеет вид

Однородная система всегда совместна. Это следует из теоремы Кронекера-Капелли. Кроме того, значения неизвестных образуют решение системы, оно называется нулевым или тривиальным.

Для однородной системы важно установить, имеет ли она ненулевые решения. Ответ на этот вопрос следует из второй теоремы Кронекера-Капелли.

Теорема.

Для того чтобы однородная система имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных.

Следствие 1. Если в однородной системе число неизвестных больше числа уравнений, то система, помимо нулевого решения, обладает еще и ненулевыми.

Следствие 2. Для того чтобы однородная система линейных уравнений с неизвестными обладала и ненулевыми решениями, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы равнялся нулю.

Пример 16. Решить однородную систему четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными

Найдем ранг матрицы системы

Если сложить первые три строки и эту сумму вычесть из четвертой строки, получим

Как, видим определитель матрицы будет равен нулю, и ранг будет меньше .

Так как есть определитель третьего порядка, отличный от нуля,

то ранг матрицы равен трем. Следовательно, система имеет и ненулевые решения.

Заданная система эквивалентна такой:

Мы взяли первые три линейно независимых уравнения с определителем, не равным 0. Так как определитель, состоящий из коэффициентов при неизвестных , отличен от нуля, то, перенеся в правую часть, решим систему трех уравнений с тремя неизвестными

Решим систему по правилу Крамера:

,

Следовательно,

.

Для контроля можно подставить это решение во все четыре заданные уравнения системы и убедиться, что система решена правильно. Для нахождения любого конкретного решения необходимо задать значение и подсчитать соответствующие значения других переменных.

4. Элементы векторной алгебры и метода координат

4.1. Векторные величины и действия над ними

Величины, для характеристики которых достаточно задать их численное значение (например, температура, объем, масса тела, плотность и т. д.), называются скалярными величинами или скалярами.

Величины, которые кроме своей абсолютной величины характеризуются еще и направлением (например, сила, скорость, ускорение и т. д.), называют векторными. Выбрав единицу длины, векторные величины можно изображать геометрическими векторами.

Вектором называется направленный отрезок или упорядоченная пара точек. На чертеже вектор изображается отрезком прямой, на котором отмечено направление (рис. 1). Над буквенным обозначением вектора, имеющего началом точку , а концом точку , ставится стрелка: . Вектор обозначают также и одной буквой, но напечатанной жирным шрифтом: или .

а

Рис. 1

Рис. 2

К векторам будем относить и так называемый нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают. Он обозначается .

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной или модулем. Модуль вектора обозначается так: или .

Векторы, параллельные одной прямой или лежащие на прямой, называются коллинеарными, а векторы, расположенные в одной плоскости или параллельные одной и той же плоскости, – компланарными. Радиус-вектором точки называется вектор, направленный из начала координат в точку (это вектор ).

Два вектора (рис. 2) называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине. Равенство векторов записывается так: . Если векторы имеют одинаковую длину, но противоположные направления, то они называются взаимнопротивоположными.

Из определения равенства векторов следует, что при параллельном переносе вектора получается вектор, равный исходному.

Поэтому начало вектора можно помещать в любую точку пространства. Векторы, начало которых при параллельном переносе можно помещать в любую точку пространства, называют свободными.

Над векторами можно выполнить различные линейные действия:

а) Произведением вектора а на число называется вектор , имеющий (при ) направление вектора , если , и противоположное направление, если . Длина вектора равна произведению длины вектора а на модуль числа . Следовательно, вектор коллинеарен вектору . Результат умножения вектора на число записывается равенством .

Отметим, что вектор, длина которого равна единице, называется единичным или ортом. Для любого вектора имеет место равенство , где – единичный вектор, указывающий направление.

б) Суммой векторов называется новый вектор , который замыкает ломаную линию, построенную из данных векторов так, что начало каждого из последующих векторов суммы совмещается с концом предыдущего. Замыкающий вектор направлен из начала первого вектора суммы к концу последнего (рис. 3).

Рис. 3

Для суммы векторов принята запись .

Правило параллелограмма для сложения двух векторов: сумма двух векторов и , приведенных к общему началу О (рис. 4), есть вектор-диагональ параллелограмма, построенного на данных векторах.

Рис. 4

Рис. 5

Правило параллелепипеда для сложения трех векторов: сумма трех некомпланарных векторов , , , приведенных к общему началу О (рис. 5), есть вектор-диагональ параллелепипеда, построенного на данных векторах:

в) Разностью двух векторов и называется такой вектор , который при сложении с вектором дает вектор , т. е. , если . Вектор разности будет являться второй диагональю параллелограмма, направленной из конца вычитаемого к концу уменьшаемого.

Чтобы построить разность , приведем векторы и к общему началу О (рис. 6), тогда разность представляет собой вектор, соединяющий их концы и направленный от “вычитаемого” к “уменьшаемому”.

Заметим, что линейные операции над векторами установлены в соответствии с физическими законами, приводящими к сложению векторных величин или умножению их на число.

Рис. 6

Рис. 7

г) Проекцией вектора на ось называется длина отрезка, заключенного между проекциями начала и конца вектора на эту ось (рис. 7).

Проекция вектора на ось равна произведению модуля проектируемого вектора на косинус угла между положительным направлением оси и вектором.

Обозначают проекции так:

.

Выразим проекции вектора на оси координат

направляющие косинусы вектора

где – это углы вектора с осями координат.

д) Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между векторами

Из формул для проекций получаем другое выражение скалярного произведения

Скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного из них на проекцию второго на направление первого вектора.

Скалярное произведение векторов обладает такими свойствами:

1.   – скалярное произведение коммутативно.

2.  Для любого вектора скалярный квадрат равен квадрату модуля: .

3.  – скалярное произведение дистрибутивно относительно сложения.

Фундаментальная ⚠️ система решений однородной системы линейных уравнений

Содержание:

• Понятие однородной системы уравнений
• Фундаментальная система решений однородной системы уравнений
• Взаимосвязь решений однородной и неоднородной системы уравнения
• Пояснение на примерах

Содержание

• Понятие однородной системы уравнений
• Фундаментальная система решений однородной системы уравнений
• Взаимосвязь решений однородной и неоднородной системы уравнения
• Пояснение на примерах

Понятие однородной системы уравнений

Системы линейных алгебраических и дифференциальных уравнений можно разделить на однородные и неоднородные. na_i\cdot x_i=0\).

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Пример 1

\(\left\{\begin{array}{l}5x_1+2x_2-x_3=0\\x_1-x_2=0\\2x_1-\frac34x_2+3x_3=0\\-x_1-8x_2-2x_3=0\end{array}\right.\)

Однородная СЛАУ всегда имеет как минимум одно решение — нулевое, то есть всегда является совместной.

Слово «нулевое» часто заменяют на «тривиальное» и говорят, что система имеет тривиальное решение.

СЛАУ будет иметь бесконечное множество решений в том случае, если ранг матрицы коэффициентов A будет меньше количества неизвестных переменных n: A<n. Такую систему называют совместной и неопределенной.

Если A=n, система будет иметь единственное решение, и это решение будет нулевым. Система в этом случае совместна и определена.

Если A≠n, система несовместна.

Примечание 2

Ранг матрицы равен максимальному порядку миноров матрицы, не равных нулю. Простой способ найти ранг на практике — выполнить преобразования (исключение нулевых строк, умножение на ненулевое число, сложение и т.д.), после чего определить ранг матрицы как количество ненулевых строк.

В том случае, когда определитель квадратной матрицы СЛАУ равен нулю, система имеет нетривиальное решение.

Нахождение решений однородной СЛАУ осуществляется по методу Гаусса. Порядок действий при этом таков:

1. Систему записывают в виде матрицы, затем с помощью различных преобразований приводят ее к треугольному виду.
2. Записывают уравнения, умножая неизвестные переменные на соответствующие элементы матрицы.
3. Решают систему, начиная с последнего уравнения, в котором остается только одна переменная.

Фундаментальная система решений однородной системы уравнений

В основном решение однородной системы представляют в виде набора линейно независимых векторов \( \overrightarrow{b_1},\;\overrightarrow{b_2},\;. ..\;\overrightarrow{b_n},\) называемого фундаментальной системой решений однородной системы.

Примечание 3

Решением системы будет являться также любая линейная комбинация векторов \(\overrightarrow b\) вида \(a_1\overrightarrow{b_1},\;a_2\overrightarrow{b_2},\;…\;a_n\overrightarrow{b_n}\), где коэффициенты \(a_1,\;a_2,\;…\;a_n\) – любые вещественные числа.

Фундаментальная система решений — базис векторного пространства, образованного решениями системы.

Фундаментальное решение системы B принято записывать как \(\overrightarrow B=a\cdot\overrightarrow b\).

Сформулируем (без доказательства) теорему о размерности фундаментальной системы решений.

Теорема 

Фундаментальная система решений для СЛАУ, у которой A,>

Взаимосвязь решений однородной и неоднородной системы уравнения

Отличие неоднородной системы от однородной состоит в том, что в правой части уравнений системы находятся ненулевые коэффициенты.

Чтобы найти решение неоднородной системы, используют общее решение однородной. Общее решение неоднородной СЛАУ  \(\overrightarrow{Х_{он}}\)  будет иметь вид:

Формула 1

\(\overrightarrow{X_{он}}=\overrightarrow{Х_{од}}+\overrightarrow{Х_{чн}}\)

где \(\overrightarrow{Х_{од}}\) — общее решение соответствующей однородной системы, \(\overrightarrow{Х_{чн}}\) – частное решение заданной неоднородной системы.

Примечание 5

Соответствующую однородную систему получают, приравняв к нулю коэффициенты в правых частях уравнений.

Пример 2

\(\left\{\begin{array}{l}-3x_1+x_2+5x_3-2x_4=3\\3x_2+2x_3+x_4=-8\\2x_1-5x_2+6x_3-4x_4=0\end{array}\xrightarrow[{однородная\;СЛАУ}]{соответствующая}\right.\left\{\begin{array}{l}-3x_1+x_2+5x_3-2x_4=0\\3x_2+2x_3+x_4=0\\2x_1-5x_2+6x_3-4x_4=0\end{array}\right.\)

Пояснение на примерах

Рассмотрим несколько примеров задач на решение однородных и неоднородных СЛАУ.

Пример 3

Решить систему уравнений \(\left\{\begin{array}{l}-\frac12x_1+\frac12x_2-x_3=0\\-x_1-\frac12x_2+\frac32x_3=0\\-\frac32x_1-x_3=0\end{array}\right.\)

Решение

Система является однородной. Составим матрицу коэффициентов и найдем ее ранг.

\(\begin{pmatrix}-0.5&0.5&-1\\-1&-0.5&1.5\\-1.5&0&-1\end{pmatrix}\;\xrightarrow1\;\begin{pmatrix}-0.5&0.5&-1\\0&-1.5&3.5\\-1.5&0&-1\end{pmatrix}\;\xrightarrow2\;\begin{pmatrix}-0.5&0.5&-1\\0&-1.5&3.5\\0&-1.5&-2\end{pmatrix}\;\xrightarrow3\;\begin{pmatrix}-0.5&0.5&-1\\0&-1.5&3.5\\0&0&-5.5\end{pmatrix}\)

1. Ко второй строке прибавлена первая строка, умноженная на (-2).
2. К третьей строке прибавлена первая, умноженная на (-3).
3. К третьей строке прибавлена вторая, умноженная на (-1).

Получили, что ранг матрицы равен 3, как и число переменных. Найдем, чему равен определитель матрицы.

\(\begin{vmatrix}-0.5&0.5&-1\\-1&-0.5&1.5\\-1.5&0&-1\end{vmatrix}=-0.25-1.125+0-(-0.75+0.5+0)=1.125\)

Определитель не равен нулю, то есть можно сделать вывод о том, что система имеет одно тривиальное решение.

Сделаем проверку и продолжим решение по методу Гаусса. Запишем систему с коэффициентами матрицы после преобразований.

\(\left\{\begin{array}{l}-\frac12x_1+\frac12x_2-x_3=0\\-\frac32x_2+\frac72x_3=0\\-\frac{11}2x_3=0\end{array}\right.\rightarrow\;\left\{\begin{array}{l}x_1=0\\x_2=0\\x_3=0\end{array}\right.\)

Получили, что решением будут нулевые значения переменной.

Ответ: \(\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}.\)

Пример 4

Найти общее и фундаментальное решения системы \(\left\{\begin{array}{l}-4x_1-4x_2+2x_3=0\\-10x_1-8x_2+12x_3=0\\-6x_1-4x_2+10x_3=0\end{array}\right.\).

Решение

Сначала определим ранг матрицы коэффициентов.

\(\begin{pmatrix}-4&-4&2\\-10&-8&12\\-6&-4&10\end{pmatrix}\;\xrightarrow1\;\begin{pmatrix}2&0&-8\\-10&-8&12\\-6&-4&10\end{pmatrix}\;\xrightarrow2\;\begin{pmatrix}2&0&-8\\2&0&-8\\-6&-4&10\end{pmatrix}\;\xrightarrow3\;\begin{pmatrix}2&0&-8\\-6&-4&10\end{pmatrix}\;\xrightarrow4\;\begin{pmatrix}2&0&-8\\0&-4&-14\end{pmatrix}\)

1. К первой строке прибавили третью, умноженную на (-1).
2. От второй строки отняли третью, умноженную на 2.
3. Исключили одну из одинаковых строк.
4. Ко второй строке прибавили первую, умноженную на 3.

Ранг матрицы А=2.

Найдем общее решение. Запишем систему в виде: \(\left\{\begin{array}{l}2x_1-8x_3=0\\-4x_2-14x_3=0\end{array}\right.\)

Выразим переменные \(x_1\) и \(x_2\) через \(x_3: \left\{\begin{array}{l}x_1=4x_3\\x_2=-\frac{14}4x_3\end{array}\right.\)

Общее решение системы: \( \left(4x_3;\;-\frac{14}4x_2;\;x_3\right)\)

Количество фундаментальных решений: \(n-A=3-2=1\). Чтобы найти вектор \overrightarrow B фундаментального решения, зададим произвольное значение переменной \(x_3\). Примем \(x_3=4\), чтобы избавиться от дробей.

Фундаментальная система решений: \overrightarrow \(B=\;(16;\;-14;\;4).\)

Ответ: \(\left(4x_3;\;-\frac{14}4x_2;\;x_3\right) и \;(16;\;-14;\;4).\)

Пример 5

Записать общее решение неоднородной системы. Известно, что соответствующая однородная система выглядит как в предыдущем примере, а частное решение имеет вид: (-2; 1; 3).

Решение

Общее решение неоднородной системы равно сумме общего решения однородной и частного решения. Тогда:

\(\overrightarrow{X_{он}}=\overrightarrow{X_{од}}+\overrightarrow{Х_{чн}}=(4x_3;\;-\frac{14}4x_3;\;x_3)+(-2;\;1;\;3)=(4x_3-2;\;1-\frac{14}4x_3;\;x_3+3)\)

Ответ: \((4x_3-2;\;1-\frac{14}4x_3;\;x_3+3).\)

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 1.00 (Голосов: 1)

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Поиск по содержимому

{m\times n}$, где $m>n$ при $||x||=1$. T$ на $y$ приводит к $$x=Vy=\begin{pmatrix}V_{1n}\\V_{2n}\\\vdots\\V_{nn}\end{pmatrix} $$ $\квадрат$ 9TA$ с наименьшим соответствующим собственным значением. $\square$

линейная алгебра — Решение однородной системы двух уравнений с тремя переменными, где произведение двух переменных постоянно

спросил 4 года 3 месяца назад

Изменено 4 года, 3 месяца назад

Просмотрено 797 раз

$\begingroup$

Рассмотрим следующую систему уравнений, где $x,y,z$ — переменные, а для константы $\mathrm C$ $y \times z = \mathrm C \neq 0$

\begin{equation} \оставил\{ \begin{массив}{lcl} a_1x + b_1y + c_1z &= 0\\ a_2x + b_2y + c_2z &= 0\\ \конец{массив} \Правильно. \end{equation}

Наиболее простое решение состоит в том, чтобы заменить $z$ на $\dfrac{\mathrm C}{y}$ и преобразовать это в систему двух нелинейных уравнений с двумя переменными.