Как решить уравнение с 3 неизвестными: Решение уравнений с тремя неизвестными онлайн калькулятор

Содержание

«Какое максимальное количество неизвестных может быть в одном уравнении или их вообще может быть бесконечно много? » — Яндекс Кью

Математика и математики

О сообществе

Математика и математики

Сообщество практикующих математиков разного уровня. Оригинальные решения, нетворкинг и общение. Не отвечаем на школьные задачки!

Решит ли Россия многоотходное уравнение с тремя неизвестными? :: Profiz.ru

Эксперты национальной цифровой платформы Smart Eco Systems проанализировали различные инициативы в сфере обращения с отходами за недавний период. Каждая из них сама по себе вызвала бурное обсуждение в отраслевом сообществе. Учитывая же одновременный запуск этих новаций, практики задались вопросом «не противоречат ли все эти инициативы друг другу, выступая препятствующими, а не стимулирующими факторами в их дальнейшей реализации»?

Очевидно, что появились все эти инициативы не просто так. После вскрытия ряда узких мест, государство решило усилить контроль за переработкой отходов и отчетностью. Первым шагом на этом пути традиционно выступили предложения по изменению нормативной документации. Однако в условиях сжатых сроков, документы формируются удивительными и неоднозначными по последствиям для участников отрасли. Законодателям, регуляторам, переработчикам отходов и ППК «РЭО» предстоит в ближайшее время решить уравнение с тремя неизвестными: как повысить прозрачность отрасли, не закошмарив при этом российские предприятия до предела, а также обеспечить целевые показатели федеральных экологических проектов по циклической экономике в условиях сокращения объёма инвестиций.

Итого, на текущий момент дано:

Вице-премьер Виктория Абрамченко анонсировала подвижки в законопроекте по расширенной ответственности производителей, предусматривающий введение 100% норматива утилизации упаковки товаров с 2025 года. Параллельно Минприроды планирует ужесточить требования обращения с отходами всех классов опасности, обоснованность и эффективность которого неочевидна, и в целом не укладывается в согласованные дорожные карты реализации экологических федеральных проектов, а Правительство тем временем намеревается более чем вдвое сократить расходы на реализацию мероприятий мусорной реформы.

Если последнее можно назвать предсказуемым в текущих условиях, то новая инициатива по вероятному усилению регулирования сферы обращения с различными видами отходов, описанная в недавно опубликованном проекте приказа МПР РФ вызывает искреннее недоумение. Текст документа содержит многочисленное дублирование норм, уже содержащихся в других НПА, но при этом непонятно как это всё соотносится с содержанием законопроекта «О РОП», за утверждение и принятие которого отвечает вице-премьер Абрамченко. Отсутствует связь предлагаемых в проекте приказа видов учёта движения отходов с ЕФГИС УОИТ, оператором которого является ППК «РЭО». Также немаловажно, что в случае принятия документа в нынешнем виде к тысячам предприятий, отрасли обращения с отходами, будут применены обременительные дополнительные требования, которые в текущей непростой экономической ситуации могут стать для них просто фатальными.

Что интересно, решить не самую простую задачу по внедрению лучших практик в сфере обращения с отходами даже в условиях сокращения инвестиций вполне реально. В России уже сегодня существуют эффективные инструменты. Необходимо их только увидеть и внимательно изучить.

«У утилизаторов не будет необходимости за свой счет приобретать оборудование, осуществлять несколько предлагаемых в проекте приказа видов фиксации движения отходов, если они будут оказывать услуги в рамках РОП на платформе Smart Eco Systems. Эта площадка уже работает и располагает всеми необходимыми алгоритмами и процедурами проверки. Если интегрировать данное решение в единую государственную систему мониторинга пути отходов от момента их образования до утилизации, можно будет решить актуальные задачи без дополнительных затрат переработчиков и «изобретения велосипеда заново» регуляторами и регоператорами», — говорит генеральный директор НСК «Экосфера», к.ю.н. Александр Корнев.

Ведь и переработчики, и инспекторы Росприроднадзора знают, что сами по себе факты видео, — фотофиксации, взвешивания и прочие описанные в проекте документа процедуры, не гарантируют в итоге желанную прозрачность и прослеживаемость процесса утилизации отходов. Зато добавляют ощутимый объём дополнительной работы и затрат огромному количеству компаний, занимающихся сегодня сбором, перевозкой, обработкой и утилизацией вторресурсов. Подводят и без того непростую экономику этих предприятий к грани рентабельности.

Очевидно, что нужно принимать более эффективные, и при этом приемлемые комплексные меры регулирования участников отрасли. Например, использовать возможности и функционал уже существующих решений и платформ. Тем более, когда проблемы, с которыми призвана справиться «мусорная реформа», решать необходимо оперативно и без дополнительных затрат.

30.09.2022, 09:00

Подписаться на журнал

Решение систем уравнений с тремя переменными

Темы этого раздела:

Определение того, является ли упорядоченная тройка решением системы трех линейных уравнений с тремя переменными
Решение системы линейных уравнений с тремя переменными
Решение приложений с использованием систем линейных уравнений с тремя переменными

4.4.1 Определение того, является ли упорядоченная тройка решением системы трех линейных уравнений с тремя переменными

В этом разделе мы продолжим нашу работу по решению системы линейных уравнений. До сих пор мы работали с системами уравнений с двумя уравнениями и двумя переменными. Теперь будем работать с системами трех уравнений с тремя переменными. Но сначала давайте рассмотрим, что мы уже знаем о решении уравнений и систем, содержащих до двух переменных.

Ранее мы узнали, что график линейного уравнения $ax+by=c$ представляет собой прямую. Каждая точка на прямой — упорядоченная пара $(x, y)$ — является решением уравнения. Для системы двух уравнений с двумя переменными рисуем две линии. Тогда мы увидим, что все точки, являющиеся решениями каждого уравнения, образуют прямую. И, найдя, что общего у линий, мы найдем решение системы.

Большинство линейных уравнений с одной переменной имеют одно решение, но мы видели, что некоторые уравнения, называемые противоречиями, не имеют решений, а для других уравнений, называемых тождествами, все числа являются решениями

Мы знаем, когда решим систему двух линейных уравнений представлены в виде графика из двух линий в одной плоскости, возможны три случая, как показано на рисунке.

Аналогично, для линейного уравнения с тремя переменными $ax+by+cz=d$ каждое решение уравнения представляет собой упорядоченную тройку $(x, y, z)$, что делает уравнение верным.

ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ТРЕМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

Линейное уравнение с тремя переменными, где $a$, $b$, $c$ и $d$ – действительные числа, а $a$, $b$ и $c $ не все $0$, имеет вид

$ax+by+cz=d$

Каждое решение уравнения представляет собой упорядоченную тройку $(x, y, z)$ , которая делает уравнение верным.

Все точки, являющиеся решениями одного уравнения, образуют плоскость в трехмерном пространстве. И, обнаружив, что общего у плоскостей, мы найдем решение системы.

Когда мы решаем систему трех линейных уравнений, представленную графом трех плоскостей в пространстве, возможны три случая.

Чтобы решить систему из трех линейных уравнений, мы хотим найти значения переменных, которые являются решениями всех трех уравнений. Другими словами, мы ищем упорядоченную тройку $(x, y, z)$ , которая делает все три уравнения верными. Они называются решениями системы трех линейных уравнений с тремя переменными .

РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Решениями системы уравнений являются значения переменных, которые делают все уравнения верными. Решение представлено упорядоченной тройкой $(x, y, z)$.

Чтобы определить, является ли упорядоченная тройка решением системы трех уравнений, мы подставляем значения переменных в каждое уравнение. Если упорядоченная тройка делает все три уравнения верными, то это решение системы.

Пример 1

Определить, является ли упорядоченная тройка решением системы:
$\Bigg\{ \begin{align*} &x-y+z=2 \\ &2x-y-z=-6 \\ &2x +2y+z=-3 \end{align*}$

$(-2, -1, 3)$
$(-4, -3, 4)$

Решение

Часть 1

$\Bigg\{ \begin{align*} &x-y+z=2 \\ &2x-y-z=-6 \\ &2x+2y+z=-3 \end{align*}$

Подставляем $x=\textcolor{red}{-2}$ и $y=\textcolor{blue}{-1}$ и $z=\textcolor{green}{3}$ во все три уравнения.

$\tiny \begin{align*} x-y+z&=2\\ \textcolor{red}{-2}-(\textcolor{blue}{-1})+\textcolor{green} {3}&=2 \\ 2 &=2 \ \checkmark \end{align*}$

$ \tiny \begin{align*} 2x-y-z&=-6\\ 2 \cdot (\textcolor{ red}{-2})-(\textcolor{blue}{-1})-\textcolor{green}{3}&=-6 \\ -6 &=-6 \\checkmark \end{align*}$

$\tiny \begin{align*} 2x+2y+z&=-3\\ 2 \cdot (\textcolor{red}{-2})+2(\textcolor{blue}{-1})+\ textcolor{green}{3}&=-3 \\ -3 &=-3 \\checkmark \end{align*}$

$(-2, -1, 3)$ делает все три уравнения верными. Итак, $(-2, -1, 3)$ — это решение.

Часть 2

$\Bigg\{ \begin{align*} &x-y+z=2 \\ &2x-y-z=-6 \\ &2x+2y+z=-3 \end{align*} $

Подставим $x=\textcolor{red}{-4}$ и $y=\textcolor{blue}{-3}$ и $z=\textcolor{green}{4}$ во все три уравнения.

$\tiny \begin{align*} x-y+z&=2\\ \textcolor{red}{-4}-(\textcolor{blue}{-3})+\textcolor{green} {4}&=2 \\ 3 &≠2 \end{align*}$

$\tiny \begin{align*} 2x-y-z&=-6\\ 2 \cdot (\textcolor{red}{-4})-(\textcolor{blue}{-3})-\textcolor {green}{4}&=-6 \\ -9 &≠-6 \end{align*}$

$\tiny \begin{align*} 2x+2y+z&=-3\\ 2 \cdot ( \textcolor{red}{-4})+2(\textcolor{blue}{-3})+\textcolor{green}{4}&=-3 \\ -10 &≠-3 \\checkmark \end{ align*}$

$(-4, -3, 4)$ не делает все три уравнения верными. Итак, $(-4, -3, 4)$ не является решением.

4.4.2 Решение системы линейных уравнений с тремя переменными

Чтобы решить систему линейных уравнений с тремя переменными, мы в основном используем те же методы, что и для систем с двумя переменными. Мы начинаем с двух пар уравнений, и в каждой паре мы исключаем одну и ту же переменную. Это даст нам систему уравнений только с двумя переменными, и тогда мы будем знать, как решить эту систему!

Затем мы используем значения двух только что найденных переменных, чтобы вернуться к исходному уравнению и найти третью переменную. Мы записываем наш ответ в виде упорядоченной тройки, а затем проверяем наши результаты.

Пример 2

Решите систему методом исключения: $\Bigg\{ \begin{align*} &x-2y+z=3\\ &2x+y+z=4 \\ &3x+4y+3z=- 1 \end{align*}$

Решение

Шаги суммированы здесь.

КАК: Решить систему линейных уравнений с тремя переменными.

Запишите уравнения в стандартной форме
- Если какие-либо коэффициенты являются дробями, очистите их.
Удалите одну и ту же переменную из двух уравнений.
- Решите, какую переменную вы удалите.
- Поработайте с парой уравнений, чтобы исключить выбранную переменную.
- Умножьте одно или оба уравнения так, чтобы коэффициенты этой переменной были противоположны.
- Добавьте уравнения, полученные на шаге 2, чтобы исключить одну переменную
Повторите шаг 2, используя два других уравнения, и исключите ту же переменную, что и на шаге 2.
Два новых уравнения образуют систему двух уравнений с двумя переменными. Решите эту систему.
Используйте значения двух переменных, найденных на шаге 4, чтобы найти третью переменную.
Запишите решение в виде упорядоченной тройки.
Проверить, что упорядоченная тройка является решением всех трех исходных уравнений.

Пример 3

Решение: $\Bigg\{ \begin{align*} 3x-4x&=0\\ 3y+3z&=0 \\ 2x+3y&=-5 \end{align*}$

Решение

$\Bigg\{ \begin{align*} 3x-4x&=0\ \ \ \ \ (1) \\ 3y+3z&=0\ \ \ \ \ (2) \\ 2x+3y&=- 5\ \ (3) \end{align*}$

Мы можем исключить $z$ из уравнений (1) и (2), умножив уравнение (2) на $2$, а затем сложив полученные уравнения.

Обратите внимание, что оба уравнения (3) и (4) содержат переменные $x$ и $y$. Мы решим эту новую систему для $x$ и $y$.

Чтобы найти $y$, подставим $x=-4$ в уравнение (3).

$\begin{align*} 2x+3y&=-5 \\ 2(\textcolor{red}{-4})+3y&=-5 \\ -8+3y&=-5 \\3y&=3\\ y&=1 \end{align*}$

Теперь у нас есть $x=-4$ и $y=1$. Нам нужно найти $z$. Мы можем подставить $x=-4$ в уравнение (1), чтобы найти $z$.

$\begin{align*} 3x-4z&=0 \\ 3(\textcolor{red}{-4})-4z&=0 \\ -12-4z&=0 \\-4z&=12\\ z&= -3 \end{align*}$

Запишем решение в виде упорядоченной тройки. $(-4, 1, -3)$

Проверяем, что решение делает все три уравнения верными.

$\tiny \begin{align*} 3x-4z&=0\\ 3(-4)-4(-3)&=0 \\ 0 &=0 \\checkmark \end{align*} $

$ \tiny \begin{align*} 3y+2z&=-3\\ 3(1)+2(-3)&=-3 \\ -3 &=-3 \\checkmark \end{align* }$

$\tiny \begin{align*} 2x+3y&=-5\\ 2(-4)+3(1)&=-5 \\ -5 &=-5 \\checkmark \end{align*} $

Решение: $(-4, 1, -3)$.

Когда мы решаем систему и в итоге получаем без переменных и с ложным утверждением, мы знаем, что решений нет и что система несовместима. В следующем примере показана противоречивая система уравнений.

Пример 4

Решить систему уравнений: $\Bigg\{ \begin{align*} &x+2y-3z=-1 \\ &x-3y+z=1 \\ &2x-y-2z= 2 \end{выравнивание*}$

Решение

$\Bigg\{ \begin{align*} &x+2y-3z=-1 \ \ (1) \\ &x-3y+z=1 \ \ \ \ \ \ \ (2) \\ &2x-y-2z=2 \ \ \ \ \ (3) \end{align*}$

Используйте уравнения (1) и (2), чтобы исключить $z$.

Используйте уравнения (2) и (3), чтобы снова исключить $z$.

Используйте уравнения (4) и (5), чтобы исключить переменную.

Нет решения.

Мы остались с ложным утверждением, и это говорит нам о том, что система несовместима и не имеет решения.

Когда мы решаем систему и получаем не переменные, а истинное утверждение, мы знаем, что существует бесконечно много решений. Система согласована с зависимыми уравнениями. Наше решение покажет, как две переменные зависят от третьей.

Пример 5

Решите систему уравнений: $\Bigg\{ \begin{align*} &x+2y-z=1\\&2x+7y+4z=11 \\ &x+3y+z=4 \end{align*}$

Solution

$\Bigg\{ \begin{align*} &x+2y-z=1\ \ \ \ \ \ \ \ (1) \\&2x+7y+4z=11 \ \ (2) \\ &x+3y+z=4\ \ \ \ \ \ \ \ (3) \end{align*}$

Используйте уравнения (1) и (3), чтобы исключить $x$.

Используйте уравнения (1) и (2), чтобы снова исключить $x$.

Используйте уравнения (4) и (5), чтобы исключить $y$.

	Решений бесконечно много.
Решите уравнения (4) относительно $y$.	Представьте решение, показывающее, как $x$ и $y$ зависят от $z$. $\begin{align} y+2z&=3\\ y&=-2x+3 \end{align}$
Используйте уравнение (1), чтобы найти $x$.	$x+2y-z-1$
Замените $y=-2x+3$.	$\begin{align} x+2(-2z+3)-z&=1\\ x-4z+6-z&=1\\x-5z+6&=1\\ x&=5z-5 \ end{align}$

Верное утверждение $0=0$ говорит нам, что это зависимая система, имеющая бесконечное множество решений. Решения имеют вид $(x, y, z)$, где $x=5z−5$; $y=−2z+3$ и $z$ – любое действительное число.

4.4.3 Решение приложений с использованием систем линейных уравнений с тремя переменными

Приложения, которые моделируются системами уравнений, могут быть решены с использованием тех же методов, которые мы использовали для решения систем. Многие из приложений являются просто расширениями трех переменных типов, которые мы решили ранее.

Пример 6

Театральный факультет муниципального колледжа продал три вида билетов на свой последний спектакль. Билеты для взрослых продаются за $\$15$, студенческие билеты за $\$10$ и детские билеты за $\$8$. Театральный отдел был в восторге от того, что продал билетов на 250 долларов и заработал 2825 долларов за один вечер. Количество проданных студенческих билетов в два раза превышает количество проданных билетов для взрослых. Сколько штук каждого типа продал отдел?

Решение

Мы будем использовать диаграмму для систематизации информации.
Количество учащихся вдвое превышает количество взрослых.
Перепишите уравнение в стандартной форме.	$y=2x$ $2x-y=0$
Запишите систему уравнений.	$\Bigg\{ \begin{align} x+y+z&=250\ \ \ \ \ \ (1) \\15x+10y+8z&=2825\ \ \ \ (2) \\ -2x+ у \ \ \ \ \ \ \ &=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)\end{align}$
Используйте уравнения (1) и (2), чтобы исключить $z$.
Используйте уравнения (3) и (4), чтобы исключить $y$.
Найдите $x$.	$x=75$ билеты для взрослых
Используйте уравнение (3), чтобы найти $y$. Подставьте $x=75$.	$\begin{align} -2x+y&=0 \\-2(75)+y&=0 \\ -150+y&=0\\ y&=150 \text{студенческие билеты} \end{align }$
Используйте уравнение (1), чтобы найти $z$. Подставьте значения $x=75$ и $y=150$.	$\begin{align} x+y+z&=250\\ 75+150+z&=250 \\225+z&=250\\ z&=25 \text{ дочерние билеты} \end{align}$
Запишите решение.	Театральный отдел продал билеты для взрослых по 75 долларов, студенческие билеты по 150 долларов и детские билеты по 25 долларов.

Лицензии и ссылки

CC Лицензионный контент, оригинал

Пересмотр и адаптация. Предоставлено: Minute Math. Лицензия: CC BY 4.0

CC Лицензионный контент, опубликованный ранее

Маречек, Л., и Матис, А. Х. (2020). Решите системы уравнений с тремя переменными. В средней алгебре 2e. ОпенСтакс. https://openstax.org/books/intermediate-алгебра-2e/pages/4-4-solve-systems-of-equations-with-three-variables Лицензия: CC BY 4.0. Бесплатный доступ на https://openstax.org/books/intermediate-алгебра-2e/pages/1-introduction

Нравится:

Нравится Загрузка…

Два уравнения с двумя неизвестными

ПОИСК

ДОМ

Math Central

Затруднения и вопросы

Вопрос от Марии, студентки:

Возникли проблемы с выполнением этой задачи, ищу решение с работой. Я хотел бы увидеть, как вы получили свой ответ, чтобы увидеть, что я делаю неправильно.

решить методом подстановки, существует ли «нет решения» или «бесконечно много решений»

4x+y=4
2x+8y=0

У нас есть два ответа для вас

Привет Мэри.

Два уравнения могут находиться в любом из трех отношений друг к другу:

Это разные выражения одной и той же строки. Например, y=2x и 2y = 4x на самом деле являются одной и той же линией. В этом случае существует «бесконечное множество решений», потому что существует бесконечное число значений x, которые дают значение y, совпадающее в обоих уравнениях. Обратите также внимание, что в этом случае наклоны и точки пересечения у двух уравнений будут совпадать.
Это параллельные линии. Например, y = 2x и y = 2x + 1 параллельны. Параллельные прямые имеют одинаковый наклон, но разные точки пересечения y. Поскольку нет точек (x, y), которые одновременно находятся на обеих прямых, мы говорим, что «решения нет».
Они пересекаются в одной точке. Один момент — это «уникальное решение». Это может быть только в том случае, если два уравнения имеют разные склоны. Перехват y не имеет значения.

Чтобы определить, какой из этих случаев у вас есть для данной пары уравнений, часто проще всего написать оба уравнения в форме y = mx + b и сравнить наклоны, а затем, если необходимо, сравнить точки пересечения y. Однако это не скажет вам, что на самом деле является уникальным решением (если они пересекаются в одной точке, а не являются идентичными или параллельными линиями).

Вот как обстоят дела, когда вы используете метод подстановки для «решения» двух уравнений:

Пример 1:

2х + у = 1
-3х + 2у = 0
Решите одно уравнение для одной переменной (какое именно? Просто выберите то, что выглядит проще всего!)
    2x + y = 1
    y = 1 — 2x
Затем подставьте это выражение (равное y) вместо y в другое уравнение.

Итак,
    -3x + 2y = 0
становится
    -3x + 2(1 — 2x) = 0
И решить для x:
    -3x + 2 — 4x = 0
    -7x = -2
    x = 2/7.
Поскольку это дало нам единственное значение x, я знаю, что мы получим уникальное решение. Я использую это значение x, чтобы найти значение y. Просто выберите одно из исходных уравнений (неважно какое) и подставьте 2/7 вместо x.
    2x + y = 1
становится
    2(2/7) + y = 1
    y = 3/7.
Таким образом, единственным решением этой пары уравнений является (2/7, 3/7).

Давайте посмотрим на две другие ситуации, чтобы увидеть, что произошло бы.

Пример 2:

2х + у = 1
-2х — у = 2
Решите первое для y:
    y = 1 — 2x
Подставим во второе уравнение:
    -2x — (1 — 2x) = 2
    -2x — 1 + 2x = 2
    -1 = 2.
Очевидное противоречие! Значит решения нет. Эти два уравнения представляют собой параллельные прямые.

Пример 3:

2х + у = 1
6х + 3у = 3
Решите первое для y:
    y = 1 — 2x
Подставим во второе уравнение:
    6x + 3(1 — 2x) = 3
    6x + 3 — 6x = 3
    3 = 3.
Это трюизм: он верен независимо от значения x, поэтому существует бесконечное число решений. Эти два уравнения на самом деле являются просто двумя способами выражения одного и того же уравнения (умножьте первое уравнение на 3 с обеих сторон, и вы убедитесь в этом).

Я надеюсь, что это объяснение и набор примеров помогут вам решить любые проблемы с двумя линейными уравнениями.

Ура,
Стивен Ла Рок.

Привет Мэри,

Не решая эту систему уравнений, мы можем определить, что на самом деле будет ТОЛЬКО ОДНО решение. Первое уравнение имеет наклон -4 (мы можем изменить его так, чтобы он выглядел как y=-4x+4), а второе уравнение имеет наклон -1/4 (мы можем изменить его так, чтобы он выглядел как y=-1/4x).

«Какое максимальное количество неизвестных может быть в одном уравнении или их вообще может быть бесконечно много? » — Яндекс Кью

О сообществе

Решит ли Россия многоотходное уравнение с тремя неизвестными? :: Profiz.ru

Решение систем уравнений с тремя переменными

Нравится:

Два уравнения с двумя неизвестными

Добавить комментарий Отменить ответ