Как с дробью решать уравнения с: § Как решить уравнение с неизвестным в дроби

ОДЗ в дробных уравнениях | О математике понятно

        В предыдущем уроке мы с вами освоили основной принцип решения любых дробных уравнений. Это — ликвидация дробей. Кто читал, тот понял, что ничего сложного в этом нет.

        Однако, даже в самых простых (казалось бы!) дробных уравнениях нас может поджидать сюрприз не из приятных. С ним, с сюрпризом, надо разобраться! Разберёмся?)

 

Основная проблема в решении дробных уравнений.

        Сейчас мы с вами научимся обходить одну из самых коварных ловушек на ЕГЭ и контрольных! Попадаются в неё все — и троечники и отличники. Я специально поставил её в самое примитивное уравнение, чтобы с ней (с ловушкой) хорошенько разобраться. Но для начала посмотрим, попадёте вы в неё или нет.)

        Допустим, надо решить вот такое нехитрое уравнение:

        

        Дело уже привычное и знакомое. Умножаем всё уравнение на знаменатель (х+1) и получаем:   

 

        Напоминаю, что со скобками (х+1) работаем целиком, как будто бы это одно число! Производим умножение:

        

        Сокращаем знаменатель и избавляемся от дроби:

        

        3x² + 2x — 1 =  5(x+1)

        Раскрываем оставшиеся скобки, переносим всё влево, приводим подобные:

        3x² + 2x — 1 =  5x + 5

        3x² — 3x — 6 = 0

        Делим всё уравнение на 3 и получаем:

        х² — х — 2 = 0

        Отлично. Самое обычное квадратное уравнение. Решаем и получаем два корня:

        х₁ = -1

        х₂ = 2

        Предположим, в задании на ЕГЭ сказано записать в ответ меньший из корней, если корней более одного. Что писать будем?)

        Если вы решили, что ответ -1, то вы попали в ловушку. И задание вам не засчитают, да. Зря старались. Правильный ответ был 2… Два, а не минус один.

        Так в чём же дело? А вы попробуйте проверку сделать. Подставьте каждый из найденных иксов в исходное уравнение. И, если при х=2 у вас всё славненько срастётся, получится тождество 5=5, то при х=-1 получится деление на ноль! Чего делать нельзя категорически. Нет такой операции ни в природе, ни в математике…

        Что это значит? Это значит, что х=-1 — так называемый посторонний корень. Или лишний корень. Он не является корнем нашего дробного уравнения и в ответе никак не учитывается. Ибо его подстановка даёт бессмыслицу. Его мы просто отбрасываем. Окончательный корень один.

        А именно: х=2.

        Так, стоп, что-то тут не так! Нам же говорили, что всё уравнение можно умножать на одно и то же выражение! Это же тождественное преобразование!

        Да, тождественное. Я не спорю. Но при одном маленьком ограничении, которое многие попросту игнорируют. А именно — выражение, на которое умножаем (делим), отлично от нуля! А скобочка (х+1) при х=-1 обращается в ноль! Так что всё честно.

        И что нам теперь делать? Совсем не умножать? Тогда мы вообще ничего не решим! Каждый раз проверку делать? Это с ума сойдёшь. Особенно, если уравнение навороченное.

        Нет, мы с вами пойдём красивым и элегантным путём. Обратимся за помощью к трём волшебным буквам! Догадались? Да! Это ОДЗ! Область Допустимых Значений.

 

Что же такое ОДЗ?

        Это такие значения икса, которые могут быть в принципе. Или которые разрешены для данного примера.

        Например, в уравнении

        

        мы ещё пока не знаем, чему равен икс, верно? Мы уравнение пока не решили. Но зато мы железно знаем, что икс не может равняться нулю ни в коем случае! На ноль делить нельзя. На любое другое число — целое, дробное, отрицательное, иррациональное — ради бога. А вот на ноль — никак. Стало быть, в этом примере ОДЗ:

        х — любое число, кроме нуля.

        Зато все остальные иксы — абсолютно безопасны. Хоть 41, хоть -17, хоть -1,3 — весь бесконечный набор чисел.

        Идея ясна?

 

        Как записывать ОДЗ? Как работать с ОДЗ?

        Тоже легко. На первом этапе всегда внимательно осматриваем исходный пример и ищем опасные места. Что значит опасные места?

        Это места, где возможны запретные действия. Действия, которые при каких-то иксах могут оказаться недопустимыми с точки зрения математики. В нашей теме такое действие всего одно — деление. Нельзя делить на ноль. Есть ещё запреты в корнях чётной степени, в логарифмах и в тригонометрии. Их мы тоже рассмотрим в соответствующих уроках.

        Как только опасные места найдены, рядышком с примером выписываем условия, которые не приводят к бессмыслице. После этого, глядя на эти условия, вычисляем запретные иксы. И исключаем их из ОДЗ. Вот и всё.

        Я специально акцентирую внимание на словах «исходный пример». Любое преобразование (сокращение, приведение подобных и т.п.) может изменить ОДЗ, и мы можем получить неверный ответ.

        Важно! Для поиска ОДЗ мы не решаем пример! Мы решаем всего лишь маленькие кусочки примера для нахождения запретных иксов.

        «Многа букаффф», да. Но на практике вся процедура выглядит до ужаса элементарно.

        Итак, берём наше уравнение:

        

        Ничего пока что не трогаем, а внимательно осматриваем исходное уравнение. Осмотрев, мы сразу замечаем операцию деления на х+1.

        Это потенциально опасная операция: при каких-то значениях икса выражение х+1 может оказаться равным нулю. На который делить нельзя. Поэтому обезопасим себя вот такой записью:

        х+1 ≠ 0

        х ≠ -1

        Во-о-т. Минус один категорически не подходит нам в качестве ответа. Это и будет ОДЗ для нашего уравнения. Все иксы, кроме минус единички.

        На практике запись и нахождение ОДЗ обычно оформляют так:

        

        Иногда ОДЗ записывают и в другой форме, через промежутки. Вот так:

        x ∈ (-∞; -1) U (-1; +∞)

        Читается эта запись так: «Икс принадлежит интервалу от минус бесконечности до минус единицы (не включая), и от минус единицы (не включая) до плюс бесконечности. «

        Перевод с математического на человеческий: «Икс — любое число, кроме минус единицы.»

        Вот и всё. Как только мы себя обезопасили такой записью, дальше мы имеем полное право делать с уравнением всё что хотим — переносить члены, домножать, сокращать… Вот и домножаем всё уравнение на (х+1). Дробь-то убирать всё равно надо! Это по-прежнему будет не совсем тождественным преобразованием, но все вредные последствия от нарушения тождественности мы исключим по ОДЗ.

        Умножаем:

        3x² + 2x — 1 =  5(x+1)

        Как вы думаете, в какой же момент мы с вами попали в ловушку элементарного примера? Как раз в момент домножения всего уравнения на знаменатель дроби! Знаменатель исчез, и вместе с ним исчезли и соответствующие ограничения на иксы. Бесследно. И для нового уравнения, без дроби, на икс уже не накладывается никаких запретов! Любым может быть икс…

        В математике это явление называется расширение ОДЗ.

        Но теперь мы уже с вами народ бдительный. Исходные ограничения (х≠-1) мы записали и сохранили.

        Поэтому дальше спокойно решаем уравнение безо всяких дробей и получаем два корня:

        х₁ = -1

        х₂ = 2

        А вот теперь стыкуем наши результаты и условия ОДЗ. И видим в наших кандидатах на ответ один из иксов в качестве запретного! Минус один. Это означает, что в окончательный ответ его включать нельзя. Это посторонний корень, появившийся в процессе решения без нашего желания.

        Да, это законный корень нашего вспомогательного квадратного уравнения, но никак не корень исходного дробного уравнения!

        Стало быть, минус единицу мы безжалостно вычёркиваем и в ответ не включаем. Вот и всё.)

 

        А в других уравнениях прошлого урока? Там что, нет ОДЗ? Есть, разумеется. Есть деление на икс — есть и ОДЗ.

        В первом уравнении:

        

        Во втором уравнении:

        

        И так далее.

        Я специально в тех примерах ничего не сказал про ОДЗ. Чтобы вас не перегрузить раньше времени.) В всех уравнениях прошлого урока (и домашнего задания к нему) ОДЗ никак не сказывалась на ответе. Так бывает. Но в заданиях ОГЭ и ЕГЭ ОДЗ в 99% случаев влияет на ответ! Так что мы с ОДЗ дружить будем. И во всех темах, где это необходимо, мы будем про ОДЗ вспоминать. Чтобы не упасть лицом в грязь.)

        Итак, про ОДЗ поговорили. Убедились, что работать с ней тоже совсем не сложно. Теперь можно перейти и к общему алгоритму решения любого дробного уравнения.

 

Решаем дробные уравнения по алгоритму!

       

        Для успешного решения любого дробного уравнения необходимо выполнить (правильно) пять пунктов:

        1. Разложить знаменатели всех дробей на множители (если требуется). До упора. Переписать уравнение с учётом этого факта.

 

        2. Найти ОДЗ, записать рядышком с уравнением и временно (до конца решения) забыть про неё.

 

        3. Сообразить, на что надо умножить обе части уравнения, чтобы все дроби исчезли полностью.

 

        4. Выполнить это самое умножение и решить новое уравнение, уже безо всяких дробей. Найти решения (кандидаты в ответ).

 

        5. Вспомнить про ОДЗ и состыковать найденные решения с условиями ОДЗ. Те решения, которые не входят в ОДЗ, безжалостно выбросить. Записать окончательный ответ.

       

        А теперь, вооружившись таким мощным супероружием, как ОДЗ, и общим алгоритмом, разберём очередной пример. Супердетально разберём!

        Решить уравнение:

        

        Решаем строго по пунктам. Выполняем пункт первый:

        1. Разложить все знаменатели на множители (если требуется). До упора. Переписать пример с учётом этого факта.

        Знаменатели наших дробей НЕ разложены на множители. Вот и приступаем. Вынесение общего множителя за скобки и формула разности квадратов — мощные штуки.)

        2x — x² = x(2-x)

        2x + x² = x(2+x)

        4 — x² = 2² — x² = (2-x)(2+x)

        Вот так. А теперь переписываем уравнение с учётом наших разложений:

        

        Готово. Все знаменатели разложены до упора.) Можно приступать ко второму пункту.

 

        2. Найти ОДЗ, записать рядышком с примером и временно (до конца решения) забыть про неё.

        Итак, начинаем осматривать исходный пример на наличие опасных операций.

        Внимание! Ничего не трогаем и не решаем! Не складываем дроби, не приводим подобные, не сокращаем!!!

        Подобные преобразования запросто могут изменить ОДЗ, что может привести к неверному ответу! Оно нам надо?! Ещё раз напоминаю: ДО поиска ОДЗ с исходным примером мы не делаем НИЧЕГО! Кроме разложения на множители. Оно — безопасно и даже полезно.)

        Берём и именно осматриваем исходный пример. И замечаем три опасных места: каждая из дробей таит в себе возможное деление на ноль.

        Вот и пишем:

        Знак системы (фигурная скобка) здесь не зря поставлен. Она означает, что все три условия должны выполняться одновременно! Мы ведь ОДЗ записываем не для каждой дроби по отдельности, а для всего примера целиком.)

        Ну и как? Нашли ОДЗ? Не-а…)

        Мы записали кусочек примера, записали три требования, которые должны выполняться железно. Но этого мало. Нужно ещё найти иксы, которые обеспечивают эти железные требования. ОДЗ ведь к иксам относится, а не к кусочкам примера…

        Как же найти значения иксов, которые не превращают знаменатели дробей в ноль? Их же очень много? Очень просто! Мы поступим элегантно. Найдём иксы, которые наоборот, превращают знаменатели дробей в ноль. Это и будут запретные иксы.

        Вот и решаем эти неравенства методом «от противного». То есть, делаем из неравенств уравнения:

        x(2-x) = 0

        x(2+x) = 0

        (2-x)(2+x) = 0

        Именно из этих трёх уравнений мы и будем искать запретные иксы. Уравнения очень простые: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Вот и приравниваем (в уме или на черновике) каждый множитель к нулю.

        Для первого уравнения получаем: x₁ = 0;  x₂ = 2.

        Вспомнив, что это запретные иксы, получим:

        х ≠ 0;  x ≠ 2.

 

        Точно так же решаем и два оставшихся уравнения.

 

        Для второго уравнения получаем:

        x ≠ 0;  x ≠ -2.

 

        И, наконец, для третьего уравнения получаем:

        x ≠ 2;  x ≠ -2.

 

        Видно, что некоторые запретные значения иксов повторяются. Разумеется, для окончательной записи ОДЗ мы их не будем дублировать. Итого ОДЗ для нашего уравнения будет выглядеть вот так:

        ОДЗ:

        

        Видите, насколько полезно предварительно раскладывать знаменатели на множители! В уме ОДЗ ищется! Поэтому эта процедура и стоит первым пунктом в алгоритме. )

        Можно приступать к третьему пункту.

 

        3. Сообразить, на что надо умножить обе части уравнения, чтобы все дроби исчезли полностью.

        И тут разложение на множители тоже здорово играет на руку!

        Понятно, что для ликвидации первой дроби, надо её домножать на x(2-x), вторую — на x(2+x) и третью — на (2-x)(2+x).

        Но чтобы сразу сократить все дроби, надо скомбинировать такое выражение, которое одинаково хорошо делится и на х(2-х), и на х(2+х), и на (2-х)(2+х).

        Вот оно, это выражение:

        х(2-x)(2+x)

        Как же я до него додумался? Очень просто: составил произведение всех неповторяющихся множителей всех знаменателей. Чтобы ничего не забыть и лишнего не взять.) Приступаем к четвёртому пункту:

 

        4. Выполнить это самое умножение и решить новое уравнение, уже безо всяких дробей. Получить решения (кандидаты в ответ).

        Итак, умножаем:

        

        И снова, чтобы не заплутать в трёх соснах, используем скобки:

        

        Производим умножение. Большие скобки раскрываем, малые — не трогаем!

        

        Сокращаем все дроби:

        

        2 + x + (x-4)(2-x) = 2x

        Всё. От дробей избавились. Как обычно, раскрываем оставшиеся скобки, приводим подобные и собираем все члены слева:

        2 + x + 2x — x2 — 8 + 4x — 2x = 0

        –х² + 5x — 6 = 0

        Помним, что минус впереди крайне неудобен, посему умножаем всё на (-1):

        x² — 5x + 6 = 0

        Решаем простенькое квадратное уравнение и получаем корни:

        x₁ = 2

        x₂ = 3

        Нашли кандидатов в ответ. Самое время вспомнить про ОДЗ. Про самый последний пункт:

 

        5. Вспомнить про ОДЗ и состыковать найденные решения с условиями ОДЗ. Те решения, которые не входят в ОДЗ, безжалостно выбросить. Записать окончательный ответ.

 

Итак, наши решения:

        x₁ = 2

        x₂ = 3

        Условия ОДЗ:

        

        Сопоставляем и… Оп-па! А ведь двойка — запретное значение! Нас не проведёшь! ОДЗ — штука жёсткая. В отвал двойку!

        Окончательный ответ: х = 3.

       

        Именно так и решаются все дробные уравнения. В пять шагов. Зачем же я распинался, рассказывая целый урок про избавление от дробей, затем ещё пол-урока про ОДЗ? Мог бы сразу дать общий алгоритм и соответствующий пример!

        На этот вопрос отвечу так. Если бы вы знали, сколько народу спотыкается на применении тупо заученного алгоритма! А уж при малейшем отклонении от шаблона простой пример становится вообще нерешаемым… Если понимать смысл, то шанс решить есть всегда. Понимание всегда побеждает механическую память.)

        Вот, собственно, и всё, что я хотел сказать. И напоследок очередная порция примеров для самостоятельного решения.

        Решить уравнения:

        

 

        Ответы (по традиции, в беспорядке):

        x = 3

        x = -1

        x = 4

        x₁ = -1;  x₂ = -9

        x = -2

       

        Всё совпало! Поздравляю! У вас иксов побольше будет? Хм… Про ОДЗ не забыли, случаем? Кое-какие корни выбрасывать надо! ОДЗ учли, а всё равно не выходит? Да-а-а… Проблемка. Такие уравнения надо уметь решать: слишком уж они популярны во многих темах математики. Особенно — в текстовых задачках! Но не отчаивайтесь!

        Перечитайте этот и предыдущий уроки ещё раз и прогуляйтесь по смежным темам: разложение на множители, квадратные уравнения, линейные уравнения и (особенно!) тождественные преобразования уравнений. И всё получится. Я в вас верю!)

Уравнения «дробь равна нулю»: метод решения, примеры

Отдельного внимания заслуживают уравнения «дробь равна нулю», то есть, уравнения f(x)/g(x)=0, где f(x) и g(x) – произвольные выражения с переменной x. В этой статье мы, во-первых, разберем, в чем состоит метод решения таких уравнений, на чем он базируется и как обосновывается. А во-вторых, запишем алгоритм решения уравнений «дробь равна нулю» и решим несколько характерных примеров.

В чем состоит метод решения и на чем он базируется?

Метод решения уравнений «дробь равна нулю», то есть уравнений, имеющих вид f(x)/g(x)=0, состоит в нахождении решения через решение уравнения «числитель равен нулю», то есть, через решение уравнения f(x)=0. Пример для наглядности: решение уравнения можно найти через решения уравнения (x−1)·(x²−4)=0.

Базируется метод на следующем утверждении:

Утверждение

Множество решений уравнения f(x)/g(x)=0 совпадает с множеством решений уравнения f(x)=0 на ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0.

В частности, решением уравнения 0/g(x)=0 является любое число из ОДЗ для этого уравнения, а уравнение C/g(x)=0, где С – отличное от нуля число, не имеет решений.

Докажем это утверждение в следующем пункте.

К началу страницы

Обоснование метода

В основе доказательства утверждения из предыдущего пункта лежит хорошо известный факт: дробь a/b, b≠0 равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль. Этот факт вытекает из определения дроби (дробь a/b, b≠0 есть такое число c, что b·c=a) и из того, что произведение двух чисел тогда и только тогда равно нулю, когда одно из чисел есть нуль.

Начнем с доказательства частных случаев.

Докажем, что решение уравнения 0/g(x)=0 есть ОДЗ для него. В силу того, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль, равенство 0/g(x

0)=0 является верным для любого числа x₀, при котором оно имеет смысл. Очевидно, что равенство 0/g(x₀)=0 имеет смысл тогда и только тогда, когда x₀ принадлежит ОДЗ для уравнения 0/g(x)=0. Значит, решение уравнения 0/g(x)=0 есть ОДЗ для этого уравнения.

Докажем, что уравнение C/g(x)=0, где С – отличное от нуля число, не имеет решений. Так как дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль, то равенство C/g(x₀)=0, C≠0 не может быть верным ни для какого числа x₀. Следовательно, уравнение C/g(x)=0, C≠0 не имеет решений.

Теперь будем считать, что числитель дроби f(x)/g(x) есть выражение с переменной, а не число, и докажем, что множество решений уравнения f(x)/g(x)=0 совпадает с множеством решений уравнения f(x)=0 на ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0. Для этого достаточно доказать два момента: первый — что любой корень уравнения f(x)/g(x)=0 является корнем уравнения f(x)=0, второй — что любой корень уравнения f(x)=0, принадлежащий ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0, является корнем уравнения f(x)/g(x)=0.

Приступаем к доказательству первой части. Пусть x₀ – корень уравнения f(x)/g(x)=0. Тогда f(x₀)/g(x₀)=0 – верное числовое равенство. Из этого неравенства и из того факта, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль, следует, что f(x₀)=0. А это равенство означает, что x₀ – корень уравнения f(x)=0.

Первая часть доказана. Приступаем к доказательству второй части.

Пусть x₀ принадлежит ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0 и при этом x₀ — корень уравнения f(x)=0. Так как x₀ принадлежит ОДЗ для уравнения f(x)/g(x)=0, то дробь f(x₀)/g(x₀) имеет смысл. Так как x₀ – корень уравнения f(x)=0, то f(x₀)=0 – верное числовое равенство. Из этих результатов, а также из того факта, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель есть нуль, следует, что дробь f(x₀)/g(x₀) равна нулю, то есть, f(x₀)/g(x₀)=0. А это равенство означает, что x₀ – корень уравнения f(x)/g(x)=0.

Так доказана вторая часть и все утверждение в целом.

К началу страницы

Алгоритм решения уравнений «дробь равна нулю»

Доказанное утверждение позволяет записать алгоритм решения уравнений «дробь равна нулю»

:

• Если уравнение имеет вид 0/g(x)=0, то надо найти область допустимых значений для этого уравнения – она и есть искомое решение уравнения.
• Если уравнение имеет вид C/g(x)=0, C – отличное от нуля число, то сразу записываем ответ – нет решений.
• Если уравнение имеет вид f(x)/g(x)=0, где f(x) – выражение с переменной, а не число, то
  • приравниваем числитель к нулю и решаем полученное уравнение f(x)=0,
  • отсеиваем посторонние корни (отбрасываем все корни, не принадлежащие ОДЗ для исходного уравнения, как посторонние).

Заметим, что записанный алгоритм находится в полном согласии с принципами решения дробно-рациональных уравнений, имеющих вид «дробь равна нулю». Принципы решения таких уравнений раскрываются на уроках алгебры в 8 классе. Оттуда нам известно, что для решения дробно-рационального уравнения, имеющего вид f(x)/g(x)=0 нужно приравнять к нулю числитель, решить полученное уравнение и отбросить те корни, при которых обращается в нуль знаменатель [1, с.26-30]. По сути, отбрасывание значений, при которых обращается в нуль знаменатель решаемого дробно-рационального уравнения f(x)/g(x)=0, есть отсеивание посторонних корней по ОДЗ, так как в этом случае ОДЗ определяется условием g(x)≠0.

К началу страницы

Решение примеров

Рассмотрим решения трех характерных уравнений «дробь равна нулю»: с нулем в числителе, с отличным от нуля числом в числителе, и с выражением с переменной в числителе. Ими мы закроем все три типичные ситуации.

Сначала решим уравнение с нулем в числителе: .

Пример

Решите уравнение

Смотреть решение

Теперь решим уравнение , в числителе которого отличное от нуля число.

Пример

Решите уравнение

Смотреть решение

Осталось рассмотреть решение уравнения «дробь равна нулю» в случае, когда в числителе находится выражение с переменной, а не число. В этом случае, согласно алгоритму, нужно приравнять к нулю числитель, решить полученное уравнение и отсеять посторонние корни.

Пример

Решите уравнение

Смотреть решение

Литература

1. Мордкович А.
    Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — 11-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2009. — 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.

К началу страницы

1.5 Решение уравнений, содержащих дроби

РАЗДЕЛ 1.5 Цели обучения

1.5: Решение уравнений, содержащих дроби

• Использование свойств равенства для решения одношаговых уравнений, содержащих дроби
• Очистить дроби в уравнении, а затем решить уравнение
• Решение многошаговых уравнений, содержащих дроби
• Решите основное рациональное уравнение

 

ПОДУМАЙТЕ ОБ ЭТОМ

Можете ли вы определить что бы вы сделали по-другому, если бы вас попросили решить подобные уравнения?

Решите [латекс]\фракция{1}{4} + у = 3[/латекс]. Чем этот пример отличается от предыдущих? Используйте поле ниже, чтобы записать несколько мыслей о том, как бы вы решили это уравнение с дробью.

Показать решение

Использовать свойства равенства для решения одношаговых уравнений, содержащих дроби

Вспомнить свойство сложения равенства из предыдущего раздела

Аддитивное свойство равенства

Для всех действительных чисел a , b и c : Если [латекс]а=b[/латекс], то [латекс]а+с=b+с[/ латекс].

Если два выражения равны друг другу, и вы добавляете одно и то же значение к обеим частям уравнения, уравнение останется равным.

В следующем видео показано, как использовать свойство сложения равенства для решения уравнений с дробями.

 

Выполняя шаги по решению уравнения, вы пытаетесь изолировать переменную. Переменная — это величина, которую мы еще не знаем. У вас есть решение, когда вы получаете уравнение x = некоторое значение.

Вызов свойства равенства умножения из предыдущего раздела

Свойство равенства умножения

Для всех действительных чисел a , b и c : Если a = 90 036 b , затем [латекс] a\cdot{c}=b\cdot{c}[/latex] (или ab = ac ).

Если два выражения равны друг другу и вы умножаете обе части на одно и то же число, полученные выражения также будут эквивалентны.

В следующем примере нас просят решить [латекс]-\frac{7}{2}=\frac{k}{10}[/latex] для k . Мы решим это одношаговое уравнение, используя свойство равенства умножения. Вы увидите, что переменная является частью дроби в данном уравнении, и использование свойства равенства умножения позволяет нам удалить переменную из дроби. Помните, что дроби подразумевают деление, поэтому вы можете думать о [latex]\frac{k}{10}[/latex] как о переменной k делится на 10. Чтобы «отменить» деление, вы можете использовать умножение, чтобы изолировать k . Наконец, обратите внимание, что в уравнении есть отрицательный член, поэтому будет важно подумать о знаке каждого члена, когда вы будете решать задачу. Останавливайтесь после каждого шага, чтобы убедиться, что все термины имеют правильный знак.

Очистить дроби в уравнении, а затем решить уравнение

Иногда вы столкнетесь с многошаговым уравнением с дробями. Если вы предпочитаете не работать с дробями, вы можете использовать свойство равенства умножения, чтобы умножить обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей в уравнении. Это удалит все дроби из уравнения.

Чтобы найти наименьший общий знаменатель , нужно найти «наименьшее общее кратное» (НОК). Если вам нужен обзор того, как найти LCM, посмотрите видео ниже:

Теперь давайте посмотрим на пример ниже и посмотрим, как мы используем общий знаменатель для очистки дробей перед решением уравнения.

Конечно, если вам нравится работать с дробями, вы можете просто применить свои знания операций с дробями и решить.

Решение многошаговых уравнений, содержащих дроби

В следующем видео мы покажем, как решить многошаговое уравнение с дробями.

Если уравнение содержит скобки, сначала распределите коэффициент перед скобками, а затем очистите дроби. В следующем видео мы покажем пример.

Пример 3

Решите уравнение [латекс]\frac{3}{2}(\frac{5}{9}x + \frac{4}{27})=\frac{32}{9 }[/latex]

Показать ответ

Вот несколько шагов, которые необходимо выполнить при решении многошаговых уравнений.

Этапы решения многошаговых уравнений

1. Упростите каждую часть, удалив круглые скобки и объединив одинаковые члены.

2. (Необязательно) Умножьте, чтобы очистить все дроби или десятичные числа.

3. Добавьте или вычтите, чтобы изолировать переменный термин — возможно, вам придется переместить термин вместе с переменной.

4. Умножьте или разделите, чтобы изолировать переменную.

5. Проверьте раствор.

Решение основного рационального уравнения

Рациональные уравнения

Уравнения, содержащие дробные выражения, иногда называются рациональные уравнения . Например, [латекс] \frac{2x+1}{4}=\frac{x}{3}[/latex] является рациональным уравнением. Рациональные уравнения могут быть полезны для представления ситуаций из реальной жизни и для поиска ответов на реальные проблемы. В частности, они неплохо подходят для описания различных пропорциональных отношений.

Разница между линейным уравнением и рациональным уравнением заключается в том, что рациональные уравнения могут иметь многочлены в числителе и знаменателе дробей. В следующих примерах мы очистим знаменатели рационального уравнения от члена, имеющего полином в числителе. Примечание. Мы обсудим многочлены более подробно в следующем модуле. В следующем примере [латекс]{х+5}[/латекс] — полином, о котором идет речь.

В следующем примере мы покажем, как решить рациональное уравнение с переменными в обеих частях уравнения.

Решение уравнений с дробями – шаги, примеры и вопросы

Введение

Что такое уравнения с дробями?

Общие основные государственные стандарты

Как решать уравнения с дробями

Учебные советы по решению уравнений с дробями

Легко совершать ошибки

Связанные уроки решения уравнений с дробями

Практика решения уравнений с дробями вопросы

Решайте уравнения с дробями Часто задаваемые вопросы

Следующие уроки

Все еще застряли?

[БЕСПЛАТНО] Математические экзамены на конец года (4-й и 5-й классы)

Экзамены охватывают ряд тем, чтобы оценить успеваемость ваших учащихся по математике и помочь подготовить их к государственным экзаменам.

Скачать бесплатно

Введение

Что такое уравнения с дробями?

Общие основные государственные стандарты

Как решать уравнения с дробями

Советы по решению уравнений с дробями

Легко совершать ошибки

Связанные уроки решения уравнений с дробями

Практика решения уравнений с дробями вопросы

Решайте уравнения с дробями Часто задаваемые вопросы

Следующие уроки

Все еще застряли?

Здесь вы узнаете, как решать уравнения с дробями, в том числе решать уравнения с одним или несколькими действиями. Вы также узнаете о решении уравнений с дробями, где неизвестным является знаменатель дроби.

Учащиеся впервые научатся решать уравнения с дробями в 7-м классе в рамках работы с выражениями и уравнениями и расширят эти знания в 8-м классе.

Что такое уравнения с дробями?

Уравнения с дробями включают решение уравнений, в которых неизвестная переменная является частью числителя и/или знаменателя дроби.

Числитель (верхнее число) дроби делится на знаменатель (нижнее число).

Чтобы решить уравнения с дробями, вы будете использовать «метод уравновешивания», чтобы применить обратную операцию к обеим частям уравнения, чтобы определить значение неизвестной переменной.

Вычитание является обратной операцией сложения.

Операция, обратная вычитанию, — сложение.

Операция, обратная умножению, — деление.

Операция, обратная делению, — умножение.

Например,

Что такое уравнения с дробями?

Как это связано с математикой в ​​7-м и 8-м классах?

• 7 класс: выражения и уравнения (7.EE.A.1)
  Применение свойств операций в качестве стратегий для сложения, вычитания, факторизации и расширения линейных выражений с рациональными коэффициентами.

• 8 класс: выражения и уравнения (8.EE.C.7)
  Решение линейных уравнений с одной переменной.

• 8 класс: Выражения и уравнения (8.EE.C.7b)
  Решение линейных уравнений с коэффициентами рациональных чисел, включая уравнения, решения которых требуют расширения выражений с использованием распределительного свойства и сбора одинаковых членов.

Как решать уравнения с дробями

Чтобы решать уравнения с дробями:

1. Определите операции, которые применяются к неизвестной переменной.
2. Примените обратные операции по одной к обеим частям уравнения.
3. Запишите окончательный ответ, проверив его правильность.

[БЕСПЛАТНО] Контрольные экзамены по математике на конец года (4-й и 5-й классы)

Оцените успеваемость по математике к концу 4-го и 5-го классов или подготовьтесь к контрольным работам штата с помощью смешанных тем, вопросов с несколькими вариантами ответов и вопросов с расширенными ответами!

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

Икс

[БЕСПЛАТНО] Оценки по математике на конец года (4-й и 5-й классы)

Оцените успеваемость по математике к концу 4-го и 5-го классов или подготовьтесь к государственной аттестации с помощью этих смешанных тем, вопросов с несколькими вариантами ответов и вопросов с расширенными ответами!

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

Примеры решения уравнений с дробями

Пример 1: уравнения с одной операцией

Решить для x \text{: } \cfrac{x}{5}=4 .

1. Определите операции, которые применяются к неизвестной переменной.

Неизвестное x.

Глядя на левую часть уравнения, x делится на 5.

\cfrac{x}{5}

2 Примените обратные операции, по одной, к обеим частям уравнения.

Обратное к «делению на 5» — «умножение на 5».

Умножьте обе части уравнения на 5.

3 Запишите окончательный ответ, проверив его правильность.

Окончательный ответ: х=20.

Вы можете проверить ответ, подставив его обратно в исходное уравнение.

\cfrac{20}{5}=20\div5=4

Пример 2: уравнения с одной операцией

Решить для x \text{: } \cfrac{x}{3}=8 .

Определите операции, которые применяются к неизвестной переменной.

Неизвестное x.

Глядя на левую часть уравнения, x делится на 3.

\cfrac{x}{3}

Примените обратные операции, по одной, к обеим частям уравнения.

Обратное к «делению на 3» — «умножение на 3».

Умножьте обе части уравнения на 3.

Запишите окончательный ответ, проверив его правильность.

Окончательный ответ x=24.

Вы можете проверить ответ, подставив ответ обратно в исходное уравнение.

\cfrac{24}{3}=24\div3=8

Пример 3: уравнения с двумя операциями

Решить для x \text{: } \cfrac{x \, + \, 1}{2} =7 .

Определите операции, которые применяются к неизвестной переменной.

Неизвестное x.

Глядя на левую часть уравнения, 1 прибавляется к x, а затем делится на 2 (знаменатель дроби).

\cfrac{x \, + \, 1}{2}

Примените обратные операции по одной к обеим частям уравнения.

Сначала очистите дробь, умножив обе части уравнения на 2.

Затем вычтите 1 из обеих частей.

Запишите окончательный ответ, проверив его правильность.

Окончательный ответ x=13.

Вы можете проверить ответ, подставив ответ обратно в исходное уравнение.

\cfrac{13 \, +1 \, }{2}=\cfrac{14}{2}=14\div2=7

Пример 4: уравнения с двумя операциями

Найти x \text{: } \cfrac{x}{4}-2=3 .

Определите операции, которые применяются к неизвестной переменной.

Неизвестное x.

Глядя на левую часть уравнения, x делится на 4, а затем вычитается 2.

\cfrac{x}{4}-2

Примените обратные операции по одной к обеим частям уравнения.

Сначала прибавьте 2 к обеим частям уравнения.

Затем умножьте обе части уравнения на 4.

Запишите окончательный ответ, проверив его правильность.

Окончательный ответ: х=20.

Вы можете проверить ответ, подставив ответ обратно в исходное уравнение.

\cfrac{20}{4}-2=20\div4-2=5-2=3

Пример 5: уравнения с тремя операциями

Решить для x \text{: } \cfrac{3x}{ 5}+1=7 .

Определите операции, которые применяются к неизвестной переменной.

Неизвестное x.

Глядя на левую часть уравнения, x умножается на 3, затем делится на 5 и затем прибавляется 1.

\cfrac{3x}{5}+1

Примените обратные операции по одной к обеим частям уравнения.

Сначала вычтите 1 из обеих частей уравнения.

Затем умножьте обе части уравнения на 5.

Наконец, разделите обе части на 3.

Запишите окончательный ответ, проверив его правильность.

Окончательный ответ: х=10.

Вы можете проверить ответ, подставив ответ обратно в исходное уравнение.

\cfrac{3 \, \times \, 10}{5}+1=\cfrac{30}{5}+1=6+1=7

Пример 6: уравнения с тремя операциями

Решить для х \текст{: } \cfrac{2x-1}{7}=3 .

Определите операции, которые применяются к неизвестной переменной.

Неизвестное x.

Глядя на левую часть уравнения, x умножается на 2, затем вычитается 1 и последняя операция делится на 7 (знаменатель).

\cfrac{2x-1}{7}

Примените обратные операции по одной к обеим частям уравнения.

Сначала умножьте обе части уравнения на 7.

Затем добавьте 1 к обеим частям.

Наконец, разделите обе части на 3.

Запишите окончательный ответ, проверив его правильность.

Окончательный ответ: х=11.

Вы можете проверить ответ, подставив ответ обратно в исходное уравнение.

\cfrac{2 \, \times \, 11-1}{7}=\cfrac{22-1}{7}=\cfrac{21}{7}=3

Пример 7: уравнения с знаменатель неизвестен

Найдите x \text{: } \cfrac{24}{x}=6 .

Определите операции, которые применяются к неизвестной переменной.

Неизвестное x.

Глядя на левую часть уравнения, x является знаменателем. 24 делится на х.

\cfrac{24}{x}

Примените обратные операции по одной к обеим частям уравнения.

Вам нужно умножить обе части уравнения на x.

Тогда обе части можно разделить на 6.

Запишите окончательный ответ, проверив его правильность.

Окончательный ответ: x=4.

Вы можете проверить ответ, подставив ответ обратно в исходное уравнение.

\cfrac{24}{4}=24\div4=6

Пример 8: уравнения с неизвестным в знаменателе

Решить для x \text{: } \cfrac{18}{x}-6= 3 .

Определите операции, которые применяются к неизвестной переменной.

Неизвестное x.

Глядя на левую часть уравнения, x является знаменателем. 18 делится на х, а затем вычитается 6.

\cfrac{18}{x}-6

Примените обратные операции по одной к обеим частям уравнения.

Сначала прибавьте 6 к обеим частям уравнения.

Затем умножьте обе части уравнения на x.

Наконец, разделите обе части на 9.

Запишите окончательный ответ, проверив его правильность.

Окончательный ответ: х=2.

Вы можете проверить ответ, подставив ответ обратно в исходное уравнение.

\cfrac{18}{2}-6=9-6=3

Советы по решению уравнений с дробями

• Когда учащиеся впервые приступают к решению практических задач и текстовых задач, предоставьте им пошаговые инструкции. чтобы помочь им с решением линейных уравнений.

• Введение решения уравнений с дробями с одношаговыми задачами, затем двухшаговыми задачами, прежде чем вводить многошаговые задачи.

• Учащимся потребуется много практики в решении линейных уравнений. Эти стандарты обеспечивают основу для работы с будущими линейными уравнениями в алгебре I и II.

• Предоставьте учащимся возможность письменно объяснить свои мысли. Убедитесь, что они используют ключевую лексику, такую ​​как абсолютное значение, коэффициент, уравнение, общие факторы, неравенства, упрощение и т. д.

Легкие ошибки

• Решением уравнения могут быть числа любого типа
  Неизвестные не обязательно должны быть целыми числами (целые числа и их противоположные отрицательные значения). Решения могут быть дробями или десятичными числами. Они также могут быть положительными или отрицательными числами.

• Неизвестное в уравнении может стоять в любой части уравнения
  Неизвестное, представленное буквой, часто находится в левой части уравнения; однако это не обязательно. Это также может быть в правой части уравнения.

• При умножении обеих частей уравнения умножайте каждый член
  При умножении каждой части уравнения на число часто забывают умножать каждый член.
  Например,
  Решите:
  \cfrac{x}{2}+3=9

  Здесь + 3 не умножается на 2, что приводит к неправильному ответу.

  Этот человек правильно умножил каждый член на знаменатель.

• Наименьший общий знаменатель (LCD)
  Часто путают решение уравнений с дробями и сложение и вычитание дробей. При сложении и вычитании вам необходимо найти наименьший/наименьший общий знаменатель (иногда называемый наименьшим общим кратным или НОК). При решении уравнений с дробями умножьте обе части уравнения на знаменатель дроби.

Потренируйтесь решать уравнения с дробями. Вопросы

Вы умножите обе части уравнения на 6, потому что обратное «деление на 6» равно «умножение на 6».

 

 

Окончательный ответ x = 18.

 

Вы можете проверить ответ, подставив ответ обратно в исходное уравнение.

 

\cfrac{18}{6}=18 \div 6=3

Сначала очистите дробь, умножив обе части уравнения на 2.

 

Затем вычтите 4 с обеих сторон.

 

 

Окончательный ответ x = 10.

 

Вы можете проверить ответ, подставив ответ обратно в исходное уравнение.

 

\cfrac{10 \, + \, 4}{2}=\cfrac{14}{2}=14 \div 2=7

Сначала прибавьте 5 к обеим частям уравнения.

 

Затем умножьте обе части уравнения на 8.

 

 

Окончательный ответ: x = 48.

 

Вы можете проверить ответ, подставив ответ обратно в исходное уравнение.

 

\cfrac{48}{8}-5=48 \div 8-5=1

Сначала умножьте обе части уравнения на 4.

 

Затем вычтите 2 из обеих частей.

 

Наконец, разделите обе части на 3.

 

 

Окончательный ответ x = 2,

 

Вы можете проверить ответ, подставив его обратно в исходное уравнение.

 

\cfrac{3 \, \times \, 2+2}{4}=\cfrac{6 \, + \, 2}{4}=\cfrac{8}{4}=8 \div 4 =2

Сначала прибавьте 2 к обеим частям уравнения.

 

Затем умножьте обе части уравнения на 7.

 

Наконец, разделите обе части на 4.

 

 

900 04 Окончательный ответ: х = 14,

 

Вы можете проверить ответ, подставив его обратно в исходное уравнение.

 

\cfrac{4 \, \times \, 14}{7}-2=\cfrac{56}{7}-2=56 \div 7-2=6

Вам нужно умножить обе части уравнение через х.

 

Затем вы делите обе части на 7.

 

 

Окончательный ответ x = 6.

 

Вы можете проверить ответ, подставив ответ обратно в исходное уравнение.

 

\cfrac{42}{6}=42 \div 6=7

Часто задаваемые вопросы о решении уравнений с дробями

Соблюдаю ли я порядок операций при решении уравнений с дробями?

Да, вы все равно соблюдаете порядок действий при решении уравнений с дробями. Вы начнете с любых операций в числителе и последуете за PEMDAS (круглые скобки, показатели степени, умножение/деление, сложение/вычитание), за которыми следуют любые операции в знаменателе. Затем вы решите остальную часть уравнения, как обычно.

Все еще зависает?

Компания Third Space Learning специализируется на оказании помощи учителям и школьным руководителям в оказании персонализированной помощи по математике большему количеству своих учеников с помощью высококачественных индивидуальных онлайн-репетиторских занятий по математике, проводимых экспертами-предметниками.