Как составить уравнение касательной к графику в функции в точке: Уравнение касательной к графику функции — урок. Алгебра, 10 класс.

Уравнение касательной к графику функции

Похожие презентации:

Уравнение касательной к графику функции

Уравнение касательной к графику функции

Уравнение касательной к графику функции. 10 класс

Касательная к графику функции

Уравнение касательной. Условие касания

Функции и их свойства. Предел последовательности и функции. Производная функции и дифференциал

Уравнение касательной к графику функции

Касательная к графику функции

Производная сложной функции

Касательная. Уравнение касательной

1. Уравнение касательной к графику функции

2. Верно ли определение?

Касательная – это прямая,
имеющая с данной кривой
одну общую точку.

3. Пусть дана и две прямые и , имеющая с данной параболой одну общую точку М (1;1).

Пуст ь дана y x 2 и две прямые x 1 и y 2 x 1 ,
имеющая с данной параболой одну общую т очку М
(1;1).
x 1

4. На данном уроке:

1. выясним, что же такое касательная к
графику функции в точке, как составить
уравнение касательной;
2. рассмотрим основные задачи на
составление уравнения касательной.
Для этого:
вспомним общий вид уравнения прямой
условия параллельности прямых
определение производной
правила дифференцирования
Формулы дифференцирования

5. Определение производной

Пусть функция y f (x) определена в
некотором интервале, содержащем внутри
себя точку x0 . Дадим аргументу x
приращение такое, чтобы не выйти из этого
интервала. Найдем соответствующее
приращение y функции и составим
y
отношение x .Если существует предел
отношения при x 0 , то указанный предел
называют производной функции
y f (x)
‘
в точке x0 и обозначают f ( x0 ) .
y
lim
f ‘ ( x0 )
x 0 x

6. Правила дифференцирования

1. Производная суммы равна сумме производных.
f x g x ‘ f ‘ x g ‘ x
2. Постоянный множитель можно вынести за знак
производной.
‘
‘
kf x kf x
3. Производная произведения двух функций равна сумме
двух слагаемых; первое слагаемое есть произведение
производной первой функции на вторую функцию, а второе
слагаемое есть произведение первой функции на
производную второй функции.
f x g x f ‘ x g x f x g ‘ x
‘
4. Производная частного
f x f ‘ x g x f x g ‘ x
2
x
g
x
g
‘

7. Основные формулы дифференцирования

f (x)
С
1
x
x
x
‘
f ( x)
‘
f (x)
f ( x)
0
sin x
cos x
1
2
x
cos x
sin x
1
2 x
x
1
tgx
ctgx
1
cos 2 x
1
2
sin x

8. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны

Параллельны ли прямые:
a ) y 2 x 1;
б) y 2 x 2;
в) y 3 x 1.

9. Пусть дан график функции y=f(x). На нем выбрана точка M(a;f(a)), в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она суще

Пусть дан график функции y=f(x). На нем выбрана точка
M(a;f(a)), в этой точке к графику функции проведена касательная
(мы предполагаем, что она существует). Найти угловой
коэффициент касательной.
y f x , M a; f a
k сек
y
x
k кас lim kcек
x 0
k кас
y
lim
x 0 x

10. Геометрический смысл производной

Если к графику функции y = f (x) в точке
x a можно провести касательную,
непараллельную оси у, то f ‘ (a)
выражает угловой коэффициент
касательной
kкас
y
f (a x) f (a)
‘
lim
lim
f a
x 0 x
x a
(a x) a

11. Геометрический смысл производной

Производная в точке
x x0 равна
угловому коэффициенту
касательной к
графику функции
y = f(x) в этой точке.
.
Т.е.
f ( x0 ) tg
‘
Причем, если :
1. f ‘ ( x0 ) tg 0, то острый
2. f ‘ ( x0 ) tg 0, то развернутый
3. f ‘ ( x0 ) tg 0, то тупой

12. Вывод уравнения касательной

y kx m, M a; f a
Пусть прямая задана уравнением:
k f ‘ (a)
f a ka m
m f a ka
y kx f a ka
y f a f
‘
a x a
уравнение касательной к
графику функции
y f (x)

13.

Составить уравнение касательной:к графику функции
M 1;1
f (1) 12 1
f ‘ ( x) 2 x
f ‘ (1) 2 1 2
y f (a ) f ‘ (a )( x a )
y 1 2 ( x 1)
y 1 2x 2
y 2x 1
f ( x) x
2
в точке

14. Составить уравнение касательной:

к графику функции
f (0) tg 0 0
1
‘
f ( x)
cos 2 x
1
‘
f ( 0)
1
2
cos 0
y f (a ) f ‘ (a )( x a )
y 0 1 ( x 0)
y x
y tgx
в точке M 0;0

15. Алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции y=f(x).

1. Обозначим абсциссу точки касания буквой
x=a.
2. Вычислим f (a ) .
3. Найдем f ‘ ( x) и f ‘ (a) .
4. Подставим найденные числа a , в формулу
y f a f a x a .
‘

16. Составить уравнение касательной к графику функции в точке .

Составить уравнение касательной к
1
графику функции y в точке x 1 .
x
1
f ( x)
x
1) a 1
2) f (a) f (1) 1
1
‘
3) f ( x) 2
x
1
f (a) f (1) 2 1
1
‘
‘
4) y 1 ( x 1)
y 2 x
Ответ
y 2 x
:

17.

К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой .x3
К графику функции y 3
провести касательную так,
чтобы она была параллельна прямой y 4 x 5 .
kкас 4, k кас f ‘ ( x) f ‘ ( x) 4
x
f ( x)
3
‘
1
3 x 2 x 2
3
f ‘ (a) a 2 a 2 4,
3
‘
.
1) a1 2, a2 2
3
(
2
)
8
2
8 , f (a )
2) f (a1 )
2
3
3
3 3
3
3) f ‘ (a1 ) f ‘ (a2 ) 4
16
16
4) y 4 x
, y 4x
3
3
,
y
lim
f ‘ ( x0 )
x 0 x
f ‘ ( x0 ) tg
острый tg 0
f ‘ ( x0 )
Ответ : f (2) 0,5
2 1
0,5
4 2

19. Самостоятельная работа

f ( 1) 1,5

20. Номера из учебника

• № 29.3 (а,в)
а) Ответ : f ‘ (2) 0 острый; в) Ответ : f ‘ ( 3) 0 тупой
• № 29.12 (б,г)
б ) Ответ : y 2 x; г ) Ответ : y 7
• № 29.18
Ответ : y 5 x 16, y 5 x 1,
• № 29.23 (а)
8
4
а) Ответ : y x , y x ,
3
3

21.

Ответьте на вопросы:1. Что называется касательной к графику
функции в точке?
2. В чем заключается геометрический
смысл производной?
3. Сформулируйте алгоритм нахождения
уравнения касательной?

22. Домашняя работа

№ 29.3 (б,г)
№ 29.12 (а,в)
№ 29.19
№ 29.23 (б)

23. Литература

1.
2.
3.
4.
Алгебра и начала математического анализа: Учеб. Для 10-11
кл. для учащихся общеобразовательных учреждений
(базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.:
Мнемозина, 2009.
Алгебра и начала математического анализа: Задачник, Для
10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений
(базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.:
Мнемозина, 2009.
Алгебра и начала анализа. Самостоятельные и контрольные
работы для 10-11 классов. / Ершова А.П., Голобородько В.В. –
М.: ИЛЕКСА, 2010
ЕГЭ 2010. Математика. Задача В8. Рабочая тетрадь / Под
редакцией А.Л.Семенова и И.В.Ященко – M. 2-4 а)составьте уравнение касательной к графику данн… — Учеба и наука

Лучший ответ по мнению автора

02. 05.16 Лучший ответ по мнению автора Ответ понравился автору вопроса

Михаил Александров Читать ответы

Елена Васильевна Читать ответы

Марина Сергеевна Читать ответы

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика

Похожие вопросы

Решено

в зоопарке живут крокодилы и страусы. 2)<=8

Пользуйтесь нашим приложением

6.4 Уравнение касательной к кривой | Дифференциальное исчисление

Предыдущий 6.3 Правила дифференциации

Следующий 6,5 Вторая производная

6.4 Уравнение касательной к кривой (EMCH8)

temp text

В данной точке кривой градиент кривой равен градиенту касательной к изгиб.

Производная (или функция градиента) описывает градиент кривой в любой точке кривой. Точно так же он также описывает градиент касательной к кривой в любой точке кривой.

Чтобы определить уравнение касательной к кривой:

1. Найдите производную по правилам дифференцирования.
2. Подставьте \(x\)-координату данной точки в производную, чтобы вычислить градиент касательной.
3. Подставить градиент касательной и координаты заданной точки в соответствующую форму уравнения прямой. 9{2} \\ & \\ \поэтому \frac{dy}{dx} &= 3 \left( 2x \right) \\ &= 6x \конец{выравнивание*}

   Вычислить градиент касательной

   Чтобы определить градиент касательной в точке \(\left(1;3\right)\), мы подставьте \(х\)-значение в уравнение для производной.

   \начать{выравнивать*} \frac{dy}{dx} &= 6x \\ \поэтому m &= 6(1) \\ &= 6 \конец{выравнивание*}

   Определить уравнение касательной

   Подставить градиент касательной и координаты заданной точки в форма точки градиента уравнения прямой линии.

   \начать{выравнивать*} y-{y}_{1} & = m\left(x-{x}_{1}\right) \\ у-3 & = 6\влево(х-1\вправо) \\ у & = 6х-6+3 \\ у & = 6x-3 \конец{выравнивание*}

   Эскиз кривой и касательной

   Рабочий пример 14: Нахождение уравнения касательной к кривой 9{2} + 24(-1) + 9 \\ \поэтому m &= 12 — 24 + 9 \\ &= -3 \конец{выравнивание*}

   Определить уравнение касательной

   Подставить градиент касательной и координаты точки в градиентно-точечная форма уравнения прямой линии.

   \начать{выравнивать*} y-{y}_{1} & = m\left(x-{x}_{1}\right) \\ y-1 & = -3\влево(x-(-1)\вправо) \\ у & = -3х — 3 + 1 \ у & = -3x — 2 \конец{выравнивание*}

   Рабочий пример 15: Нахождение уравнения нормали к кривой

   1. Определить уравнение нормали к кривой \(xy = -4\) в точке \(\влево(-1;4\вправо)\).
   2. Нарисуйте грубый набросок.

   Найдите производную

   Сделайте \(y\) предметом формулы и продифференцируйте по \(x\): 9{2}} \\ \поэтому m &= 4 \конец{выравнивание*}

   Используйте градиент касательной для вычисления градиента нормали:

   \начать{выравнивать*} m_{\text{тангенс}} \times m_{\text{нормаль}} &= -1 \\ 4 \times m_{\text{нормаль}} &= -1 \\ \поэтому m_{\text{нормаль}} &= -\frac{1}{4} \конец{выравнивание*}

   Найти уравнение нормали

   Подставить градиент нормали и координаты заданной точки в уравнение градиентно-точечная форма уравнения прямой линии.

   \начать{выравнивать*} y-{y}_{1} & = m\left(x-{x}_{1}\right) \\ y-4 & = -\frac{1}{4}\left(x-(-1)\right) \\ y & = -\frac{1}{4}x — \frac{1}{4} + 4\\ y & = -\frac{1}{4}x + \frac{15}{4} \конец{выравнивание*} 9{2} + (4)(2) -7 \\ &=13 \\ \поэтому \text{Касательная: } y &=13x +c \конец{выравнивание*}

   где \(c\) — точка пересечения \(y\).

   Касательная пересекает \(F(x)\) в точке \((2;F(2))\)

   \начать{выравнивать*} F(2) &=(2)^{3} + 2(2)^{2} — 7(2) +1 \\ &=8+8-14+1\ &=3 \\ \text{Касательная: } 3 &=13(2) + c \\ \поэтому с &= — 23 \\ у & = 13x — 23 \конец{выравнивание*} 9{2}\) равно \(\text{5}\). {2} \\ &=1-3 \влево( \frac{25}{36} \вправо) \\ &=1 — \фракция{25}{12} \\ &= — \фракция{13}{12} \\ \поэтому & \left( — \frac{5}{6};- \frac{13}{12} \right) \end{выравнивание*} 9{2}+2x+1\) равно \(\text{0}\).

   \begin{выравнивание*} \text{Градиент касательной } = g'(x) = \frac{2}{3}x+2 \\ \поэтому \frac{2}{3}x+2 &=0 \\ \frac{2}{3}x &= -2\\ \поэтому x&=-2 \times \frac{3}{2} \\ &=-3 \\ \text{И} g(-3) &= \frac{1}{3}(-3)^{2}+2(-3)+1 \\ &= \фракция{1}{3}(9)-6+1\ &= 3-6+1 \\ &= -2 \\ \поэтому & (-3;-2) \end{align*}

   параллельно линии \(y=4x-2\). {2} \\ & = 1 \конец{выравнивание*}

   Следовательно, касательная параллельна данной прямой в точке точка \((1;1)\).

   перпендикулярно прямой \(2y+x-4=0\).

   \начать{выравнивать*} \text{Перпендикулярно } 2y + x — 4 &= 0 \\ y&= -\frac{1}{2}x+2\\ \поэтому \text{ градиент } \perp \text{ линия } & = 2 \quad (m_1 \times m_2 = -1) \\ \поэтому f'(x) &= 8x-4 \\ \поэтому 8x-4 &=2\\ 8x&=6\\ х&=\фракция{3}{4} \\ \поэтому y&=\left[2\left(\frac{3}{4}\right)-1\right]^{2} \\ &=\фракция{1}{4} \\ \поэтому \влево(\frac{3}{4};\frac{1}{4}\right) \конец{выравнивание*}

   Следовательно, касательная перпендикулярна данной прямой в точке точка \(\left(\frac{3}{4};\frac{1}{4}\right)\). {2} — 4х + 3 = 0 \\ (х-3)(х-1) = 0 \\ х=3 \текст{ или } х=1 \\ \text{Форма: «хмурый» } (a < 0) \\\)

   Найдите уравнения касательных к \(f\) в точке:

   1. \(y\)-пересечение \(f\).
   2. поворотный момент \(f\).
   3. точка, где \(x = \text{4,25}\).
   1. \begin{выравнивание*} у _ {\ текст {целое}}: (0; -3) \\ m _ {\ text {тангенс}} = f ‘(x) &= -2x + 4 \\ f'(0) &=-2(0) + 4 \\ \поэтому m &=4\\ \text{Касательная}y&=4x+c\\ \text{Через }(0;-3) \поэтому y&=4x-3 \end{выравнивание*}
   2. \begin{выравнивание*} \text{Поворотный момент: } (2;1) \\ m _ {\ text {тангенс}} = f ‘(2) &= -2 (2) + 4 \\ &=0\\ \text{Касательное уравнение } y &= 1 \end{выравнивание*} 9{2}+4(\текст{4,25})-3 \\ &= -\текст{4,0625} \\ m _ {\ text {тангенс}} \ text { в } x & = \текст{4,25} \\ m&=-2(\text{4,25})+4\\ &=-\текст{4,5} \\ \text{Касательная}y&=-\text{4,5}x+c\\ \text{Через}(\text{4,25};-\text{4,0625}) \\ -\text{4,0625}&=-\text{4,5}(\text{4,25})+c\\ \поэтому c&= \text{15,0625} \\ у&=-\текст{4,5}х+\текст{15,0625} \end{выравнивание*}

   Начертите три касательные выше на графике \(ф\).

   Запишите все наблюдения о трех касательные к \(f\).

   Тангенс в точке \(y_{\text{int}}\) (синяя линия): градиент равен положительна, функция в этой точке возрастает.

   Касательная в точке поворота (зеленая линия): уклон равен нулю, касательная — это горизонтальная линия, параллельная оси \(x\).

   Касательная в точке \(x=\text{4,25}\) (фиолетовая линия): градиент отрицательно, функция в этой точке убывает.

   Предыдущий 6.3 Правила дифференциации

   Оглавление

   Следующий 6,5 Вторая производная

   Производные полиномиальных функций.

   Задача 2

   Напомним, что наклон касательной к точке равен производной функции в этой точке. Итак, чтобы найти уравнение касательной в определенной точке, вычислите производную функции в этой точке, чтобы найти ее наклон. Затем, используя точку, в которой вы намотали касательную, вы можете использовать форму точка-наклон, чтобы найти точку пересечения по оси y. Помните, что форма точки-наклона y-y ₁ = m(x-x ₁ ), где (x ₁ ,y ₁ ) — точка, в которой вы находите касательную, а m — наклон, рассчитанный с использованием производной.

   постоянное кратное правило правило сумм производных полиномиальные функции касательная линия формула наклона точки производная

   Итак, одна проблема, которую вы можете увидеть в своем домашнем задании: найти уравнение прямой, касательной к кривой в некоторой точке. Это то, что вы можете сделать с производной, потому что наклон касательной в данной точке зависит от производной. Но просто помните, что если вы хотите найти уравнение прямой, вам нужны две вещи. Вам нужна точка, через которую проходит линия, и наклон.

   Итак, давайте рассмотрим этот пример проблемы здесь. В нем говорится, напишите уравнение касательной к графику. Тогда у меня есть эта большая полиномиальная функция f(x), равная 2x³ минус 5x² плюс 3x минус 5. Точка касания будет в точке x, равной 1. Итак, сначала я хочу найти координаты x и y точки касание. Итак, это координата x. Координата y будет f(1). Итак, 2 раза 1³, 2 раза 1минус 5 раз 1², 5 раз 1 плюс 3 раза 1 минус 5. Итак, у меня есть 2 минус 5, -3, плюс 3, 0, -5. Это означает, что точка касания будет 1,-5.

   Итак, все, что мне нужно сделать, это найти наклон. Наклон получается из производной.

   Производной этой вещи будет производная по x всего этого 2x³ минус 5x² плюс 3x минус 5. Итак, сначала я хочу разбить эту часть, используя правило сумм.

   No related posts.