Изобретая логарифмическую линейку
Виктор Клепцын
«Квантик» №2, 2022
До середины XX века логарифмическая линейка была непременной принадлежностью инженера. Она позволяла быстро выполнять различные действия — умножать, возводить в степень и многое другое, что сейчас для нас делает компьютер, калькулятор или приложение на телефоне.
А как она была устроена? Чтобы разобраться, воспользуемся наиболее надёжным способом — придумаем её сами, — а заодно научимся с ней обращаться.
Механическое сложение
Начнём с гораздо более простого вопроса: а как нам сделать что-нибудь, что позволяло бы одним движением складывать (небольшие) числа?
Представим себе, что мы взяли две (настоящие, деревянные) линейки, причём на одной из них шкала у верхней границы (как это обычно бывает), а на другой у нижней (а вот так почти никогда не бывает, но можно же и самим перенести деления с одной линейки на другую!). Приложим их друг к другу так, чтобы совпали нули — тогда шкалы на них совпадают.
Сдвинем нижнюю линейку вправо — скажем, на 2 см (рис. 1, в центре) Что будет напротив отметки «3 см» на той же линейке? Это отметка на расстоянии 3 см от нуля на нижней линейке, который сам отстоит на 2 см от нуля на верхней. Значит, всего эта отметка отстоит на 2 см+3 см=5 см от нуля на верхней линейке, и напротив отметки в «3 см» мы видим отметку «5 см».
Ура! Всего лишь с помощью абзаца рассуждений и двух линеек мы научились механически складывать 2 + 3 и получать в ответе 5. Но лиха беда начало!
А как складывать двузначные числа? Да точно так же! На линейке ведь есть ещё и миллиметровая шкала. И можно сказать, что 16 + 27 = 43, можно, что 16 мм + 27 мм = 43 мм, а можно, что 1 см 6 мм + 2 см 7 мм=4 см 3 мм (рис. 1, справа).
Ну хорошо. Мы научились механически, сдвигом линейки, складывать одно- и двузначные числа. Но трудно-то умножать! Как бы нам и эту операцию переложить на нашего механического помощника?
Умножение степеней 10
Сначала научимся умножать друг на друга не любые числа, а только 10, 100, 1000 и т.
п. Не то чтобы это сложно: когда мы умножаем друг на друга числа вида «единица и сколько-то нулей», нужно просто сложить количество нулей: скажем, 100×1 000=100 000.
Постойте, сложить? Так это мы уже умеем! Возьмём нашу линейку и вместо деления «1 см» поставим 10, вместо деления «2 см» поставим 100, вместо «3 см» поставим 1000 и т. п. И вместо нулевого деления поставим «единицу с нулём нулей», то есть просто 1. Но вот куда поставить другие числа, чтобы выполнять умножение таким же сдвигом линеек?
Давайте сформулируем явно, что именно должно выполняться: если на расстоянии r см стоит число a, а на расстоянии s см стоит число b, то на расстоянии r+s см должно стоять число a ⋅ b. Обозначим расстояние, на котором мы поставим число
\(\log_{10}ab\)=\(\log_{10}a\) ⋅ \(\log_{10}b\). (1)
.
r\) = r см? Оказывается, что можно, и мы научимся это делать. Такой способ расставлять числа называется логарифмической шкалой (рис. 3), а функция \(\log_{10}\) — десятичным логарифмом.
Но прежде чем выяснять, как именно такую функцию \(\log_{10}\) строить, давайте воспользуемся готовым результатом (таблицей или файлом со шкалой) и сделаем «демоверсию» логарифмической линейки своими руками!
Настоящая логарифмическая линейка
В настоящей логарифмической линейке обычно её подвижная часть вставляется в жёлоб в неподвижной части, чтобы легко вдоль неё скользить, не выпадая (рис. 5, справа). Самому сделать такое из дерева не очень просто, но для демонстрации принципа можно сделать её и из бумаги, обернув неподвижную часть вокруг подвижной (рис. 5, слева), распечатав заготовку по ссылке kvan.tk/rule (попробуйте!).
А ещё можно такую шкалу нанести самостоятельно — воспользовавшись таблицей логарифмов, компьютером или инженерным калькулятором (одна из функций, которые любой инженерный калькулятор умеет вычислять, — это логарифм)1.
{n}\)+\(\log_{10}\)(\(\log_{10}a\)).
Поэтому — если поставить каждое число a на расстоянии \(\log_{10}\)(\(\log_{10}a\)) на ещё одной шкале, то мы сможем вычислять an, просто сдвигая относительно этой шкалы обычную логарифмическую (рис. 7).
Так вот — на некоторых шкалах (их часто подписывают символами LL, см. рис. 6) число a стоит на расстоянии в \(\log_{10}\)(\(\log_{10}a\)) единиц длины2. И теперь мы знаем зачем — чтобы легко возводить числа в степени!
Упражнение. На рисунке 8 отмечены 1, 8 и 25 на логарифмической шкале. С помощью обычной линейки отметьте на этой же шкале числа 200, 64, 5, 2, 10, \(\sqrt{2}\), 0,5. Где располагается число 15, ближе к 8 или к 25?
Художник Алексей Вайнер.
Окончание следует.
1 Ещё симулятор логарифмической линейки есть на сайте «Математических этюдов». Но сделать своими руками всё-таки интереснее!
2 Везде выше мы писали о десятичном логарифме, просто потому, что мы естественно придумали именно его.
Но логарифмы бывают не только десятичные — и об этом мы поговорим в следующий раз.
Что это — логарифм?
Средние века известны как времена путешествий и географических открытий. Единственным способом реализации дальних путешествий было мореплавание, что всегда связано с выполнением больших объемов навигационных вычислений. Сейчас трудно представить процесс изнурительных расчетов при умножении-делении пяти-шестизначных чисел «вручную». Джон Непер, богослов по роду своей основной деятельности, занимаясь на досуге тригонометрическими расчетами, догадался заменить трудоемкую процедуру умножения простым сложением. Он сам говорил, что его целью было «освободиться от трудности и скуки вычислений, которые отпугивают многих от изучения математики». Усилия увенчались успехом – был создан математический аппарат, названный системой логарифмов.
Итак, что такое логарифм? Основой логарифмических вычислений является иное представление числа: вместо обычной позиционной системы, как мы привыкли, число A представляется в виде степенного выражения, где некое произвольное число N, называемое основанием степени, возводится в такую степень n, что в результате получается число A.
n=log(N)A, где N – основание степени.
Десятичный и натуральный логарифмы имеют свое специфичное сокращенное написание – lgA и lnA, соответственно.
В системе расчетов, использующей вычисление логарифмов, основным элементом является преобразование числа к степенному виду с помощью таблицы логарифмов по некоторому основанию, например 10. Эта манипуляция не представляет никаких сложностей. Далее используется свойство степенных чисел, состоящее в том, что при умножении их степени складываются. Практически это означает, что умножение чисел с логарифмическим представлением, заменяется сложением их степеней.
Первые таблицы логарифмов (по основанию с натуральным числом) опубликовал в 1614 году Джон Непер, а полностью лишенный ошибок вариант, включающий и таблицы десятичных логарифмов, появился в 1857 году и известен как таблицы Бремикера. Использование логарифмов с основанием в виде иррационального числа обусловлено тем, что число е довольно просто получить через ряд Тейлора, имеющий широкое применение в интегральном и дифференциальном исчислении.
Суть данной вычислительной системы содержится в ответе на вопрос «что такое логарифм» и вытекает из основного логарифмического тождества: N(основание логарифма) возведенное в степень n, равную логарифму числа А( logA), равно этому числу A.
- Область определения натурального логарифма – вся числовая ось от 0 до бесконечности.
- ln x = 0 – следствие известного соотношения — любое число в нулевой степени равно 1.
- ln (X*Y) = ln X + lnY – наиболее важное для вычислительных манипуляций свойство — логарифм произведения двух чисел рамен сумме логарифмов каждого из них.
- ln (X/Y) = ln X – lnY – логарифм частного двух чисел равен разности логарифмов этих чисел.
- ln (X)n =n*ln X .
- Натуральный логарифм представляет собой дифференцируемую, выпуклую вверх функцию, причем ln’ X = 1 / X
- log (N)A =K* ln A — логарифм по любому положительному и отличному от числа е основанию отличается от натурального только коэффициентом.
Сейчас каждый школьник знает, что такое логарифм, но благодаря прогрессу в области прикладной вычислительной техники проблемы вычислительных работ ушли в прошлое.
Тем не менее, логарифмы, уже как математический инструмент, используются при решении уравнений с неизвестными в показателе степени, в выражениях для нахождения времени распада радиоактивных элементов и в других областях математики, физики, статистики.
Умножение двух логарифмов (решено) Задай вопрос
спросил
Изменено 3 года, 9 месяцев назад
Просмотрено 77 тысяч раз
$\begingroup$
Мне интересно, как можно перемножить два логарифма?
Скажем, например, что у меня было:
$$\log x·\log 2x < 0$$
Как это решить? А если бы это было невозможно, то какой была бы его область? Спасибо!
(Я безуспешно пытался суммировать журналы вместе, но это, очевидно, не сработало.
Было просто любопытно, что это даст мне)
РЕДАКТИРОВАТЬ: Всем спасибо за ответы!
- логарифмы
$\endgroup$
$\begingroup$
Вы хотите, чтобы произведение двух вещей было отрицательным. Это означает, что один из них положительный, а другой отрицательный. Используйте то, что вы знаете о логарифмах, чтобы интерпретировать их значение в данном случае.
$\endgroup$
$\begingroup$
См. $\log(a)\log(b)\neq \log(a)+\log(b)$ теперь $\log$ отрицательно от $0-1$, но здесь мы получим оба отрицательных члена, что дает нам положительный ответ подразумевает больше $0$ . Но вот что мы упустили, если $x>0,51$, то $2x$ больше, чем $1$, поэтому у нас такой набор чисел, т.е. $0,5 $\endgroup$ $\begingroup$ Это работает так же, как и для большинства произведений двух величин: у вас есть $\log x \log 2x < 0 $, если они ($ \log x$ и $ \log 2x$) имеют противоположные знаки Это составляет: $0 $\endgroup$ спросил Изменено
5 лет назад Просмотрено
6к раз $\begingroup$ Пытаясь, наконец, разобраться с логарифмами (сегодня у меня был один похожий пост), я ищу «реальные» приложения. Вот что я нашел, и это меня поразило — говорят, что логарифмы отлично подходят для умножения двух «больших» чисел. Конечно, пока давайте представим, что мы не можем использовать калькулятор/компьютер для выполнения этой работы. Они предполагают, что умножение 734 на 213 намного проще с таблицей журнала, чем, скажем, простое умножение на бумаге или в уме, даже если использование журнала не дает правильного результата.
Использование логарифмов в реальной жизни для умножения двух чисел
ссылка на статью
Помогите, пожалуйста, понять, почему журналы более полезны. Только ли потому, что сложение меньших чисел «звучит» проще?
Также буду искренне признателен за помощь в поиске осмысленных, математически правильных приложений логарифмов в реальной жизни. Большое спасибо!
- логарифмы
$\endgroup$
9
$\begingroup$ 9{16} = 65536 $$ На всех этапах я обращался к запоминающему устройству (в данном случае к моему мозгу) для выполнения расчетов.
Хорошо, теперь позвольте мне перейти к вашей проблеме. $734 * 213 $$ Вы говорите, что «использование журнала не дает правильного результата». Ну, если вы хотите, чтобы все 6 цифр ответа были полностью правильными, это правда.
Но подождите, как я вообще узнал, что ответ состоит из 6 цифр? Я знал это, потому что в уме и очень быстро сделал оценочное вычисление, которое сводится к следующему вычислению логарифма (у меня уходит в 50 раз больше времени, чтобы записать это, чем это потребовалось в моей голове):
\начать{выравнивать*}
\log_{10}(734) &= \log_{10}(100 * 7,34) = \log_{10}(100) + \log_{10}(7,34) = 2 + \log_{10}(7,34) \ \
\log_{10}(213) &= \log_{10}(100 * 2,13) = \log_{10}(100) + \log_{10}(2,13) = 2 + \log_{10}(2,13)\ \
\log_{10}(734 * 213) &= \log_{10}(734) + \log_{10}(213) = 2 + \log_{10}(7,34) + 2 + \log_{10}(2,13) ) \\
&= 4 + \log_{10}(7.
34) + \log_{10}(2.13) \\
&= 4 + \log_{10}(7,34 * 2,13)
\конец{выравнивание*}
Теперь я применяю это, чтобы сделать оценку.
$4 + \log_{10}(7 * 2) < 4 + \log_{10}(7,34 * 2,13) < 4 + \log_{10}(8*3)
$$
$4 + \log_{10}(14) < \log_{10}(734 * 213) < 4 + \log_{10}(24)
$$
$$\log_{10}(10000*14) < \log_{10}(734 * 213) < \log_{10}(10000*24)
$$
$$\log_{10}(140000) < \log_{10}(734 * 213) < \log_{10}(240000)
$$
и поэтому я делаю вывод, что
$140000 < 734 * 213 < 240000
$$
Следовательно, я знаю, что $734 * 213$ — это шестизначное число, на самом деле я знаю немного больше.
Это реальное значение логарифмов: оно позволяет очень и очень быстро выполнять оценочные вычисления. Чем лучше у вас будет таблица логарифмов, тем лучше и точнее будет ваш расчет.
$\endgroup$
6
$\begingroup$
Практическое практическое применение логарифмов при выполнении арифметических операций появилось еще до появления портативных электронных калькуляторов (если вы молоды, позвольте мне объяснить, что портативный калькулятор — это ваш мобильный телефон плюс его приложение-калькулятор, за вычетом возможности писать сообщения, фотографировать, выходить в Интернет, тратить деньги на другие приложения или болтать по телефону).
Инженеры носят с собой логарифмическую линейку, представляющую собой пару палочек с нанесенными на них логарифмическими делениями. Вы можете использовать логарифмическую линейку, чтобы умножить, скажем, $743\times 213$ менее чем за секунду, получив ответ с точностью до трех цифр.
Что касается расчетов на бумаге, хотя теоретическая сложность умножения $b$-битных чисел такая же, как и у сложения, равного $O(b\log b)$, алгоритмы «разделяй и властвуй» необходимы для достичь такой эффективности, и они слишком сложны, чтобы их можно было делать вручную. 92)$ работа, при поиске журналов и их добавлении снова $O(b\log b)$, поэтому может быть практическое преимущество.
$\endgroup$
0
$\begingroup$
Да, вы правильно поняли: сложить два маленьких числа гораздо проще и быстрее, чем умножить два больших. Очевидно, что в настоящее время маловероятно, что у вас есть под рукой таблица журналов вместо калькулятора (например, в смартфоне), поэтому наиболее важными приложениями журналов в реальной жизни являются другие.
$\endgroup$
$\begingroup$
Выше приведена таблица логарифмов, такая же, как в конце большинства школьных учебников по алгебре II.
Вот как бы я использовал его для вычисления $345 \times 0,0582$
Посмотрите вниз на столбец «N» для «34» и пересеките эту строку со столбцом, помеченным как $5$. Теперь вы знаете, что $\log 3,45 = 0,5378$. Отсюда $$\log 345 = 2,5378$$
Аналогично $\log 5,82= 0,7649{-2}$. Хорошо это или плохо, отрицательных логарифмов избегали. Следовательно, мы написали $$\log 0,0582 = 8,7649 — 10$$
Нет, правда!. Складывая логарифмы, получаем
\begin{array}{rrrr} 2,5378\\ + 8,7649 & — 10\ \hline 11.3027 &- 10 \end{array}
Что упрощается до $$\log(345 \times 0,0582) = 1,3027$$
Как обычно бывает, $3027$ нет в таблице. Нам нужно будет сделать некоторую линейную интерполяцию. Мы делаем следующую таблицу
\begin{array}{|c|c|}
\hline
2.