Как ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ выраТСния: a) AB+MN+BC+CA+PQ+NM; Π±) FK+MQ+KP+AM+QK+PF; Π²) KM+DF+AC+FK+CD+CA+MP; Π³) AB+BA+CD+MN+DC+NM.

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ: тСория ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ

  • Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ гСомСтричСскими Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ
  • ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ось
  • ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π² ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅
  • n— ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ Π½ΠΈΠΌΠΈ

Π‘ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹.

На этом ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ освоим самыС простыС ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ, достаточныС для вхоТдСния Π² ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π²Π°Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΆΠ΅Π»Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹.

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ Π’Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ всё ΠΎΠ± опСрациях Π½Π°Π΄ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ, Π½Π°ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ Π½Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ нСслоТной Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ. Π•ΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π’Π°ΡˆΠ΅ΠΉ прСдприимчивости ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π’Π°ΡˆΠΈΡ… ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ²Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Ρ… способностСй. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ прСдприимчивости Π²Π΅Π΄Ρ‘Ρ‚ Вас ΠΊ Π¦Π΅Π»ΠΈ 1, Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ²Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Ρ… способностСй — ΠΊ Π¦Π΅Π»ΠΈ 2. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΈΠ³Ρ€Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π’Ρ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π΄Π²ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒΡΡ сразу ΠΏΠΎ направлСниям Π΄Π²ΡƒΡ… этих Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ Π΄ΠΎΡΡ‚ΠΈΠ³Π½ΡƒΡ‚ΡŒ сразу Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ†Π΅Π»Π΅ΠΉ.

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚, ΠΈΠ»ΠΈ, Ссли Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ матСматичСским языком, Π½Π°Π΄ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ производится нСкоторая опСрация. Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ этой ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ становится Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ «Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚», ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Вас ΠΊ Π¦Π΅Π»ΠΈ 3.

А Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ скаТитС: Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ «ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΡ€ΠΈΠΈΠΌΡ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ» ΠΈ «Π˜Π½Π½ΠΎΠ²Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Π΅ способности» являСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ «Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚»? Если Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ сразу, Π½Π΅ ΡƒΠ½Ρ‹Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅. По ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ изучСния этого ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ° Π’Ρ‹ смоТСтС ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° этот вопрос.

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число называСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉΡΡ ΠΈΠ· Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° растяТСниСм (ΠΏΡ€ΠΈ ) ΠΈΠ»ΠΈ сТатиСм (ΠΏΡ€ΠΈ ) Π² Ρ€Π°Π·, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Ρ‘ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° сохраняСтся, Ссли , ΠΈ мСняСтся Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅, Ссли . (Рис. 2)

Из опрСдСлСния слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈ = всСгда располоТСны Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… прямых. Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ. (МоТно Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эти Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π² Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ принято Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ «ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹».

) Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎ ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅: Ссли Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ связаны ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ

.Β Β Β (1)

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, равСнство (1) Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ условиС коллинСарности Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².


Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

ΠŸΡ€ΠΈ слоТСнии Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ суммой Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ называСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ совпадаСт с Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° , Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† — с ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° , ΠΏΡ€ΠΈ условии, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΎ ΠΊ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° . (Рис. 3)

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ распрСдСлСно Π½Π° любоС ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ число Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π² пространствС Π΄Π°Π½Ρ‹ n свободных Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² . ΠŸΡ€ΠΈ слоТСнии Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π·Π° ΠΈΡ… сумму ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ Π·Π°ΠΌΡ‹ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ совпадаСт с Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† — с ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠΌ послСднСго Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, Ссли ΠΊ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° , Π° ΠΊ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° — Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈ Ρ‚.Π΄. ΠΈ, Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†, ΠΊ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° — Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° , Ρ‚ΠΎ суммой этих Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² слуТит Π·Π°ΠΌΡ‹ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ совпадаСт с Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° , Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† — с ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠΌ послСднСго Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° .

(Рис. 4)

Π‘Π»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° , Π° сформулированноС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ — ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈ Π½Π΅ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ плоским.

ΠŸΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число -1 получаСтся ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ . Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ направлСния. Π˜Ρ… сумма Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ. НаправлСниС Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ.

Π’ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ Π½Π΅Ρ‚ нСобходимости Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡŽ вычитания: Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , Ρ‚.Π΅.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

.

РСшСниС:

,

Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π½Π° числа Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ (Π² частности, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ). ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ выраТСния с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ вычислСниСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈ слуТат диагоналями ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° ABCD (рис. 4Π°). Π’Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ , , ΠΈ , ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ сторонами этого ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°.

РСшСниС. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСсСчСния Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Π΅ΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ диагональ ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ. Π”Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Ρ… Π² условии Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρ‹ сумм Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… с искомыми Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρ‹ разностСй (Π² зависимости ΠΎΡ‚ направлСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, слуТащСго диагональю), Π»ΠΈΠ±ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π² послСднСм случаС, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρ‹ суммы, взятой со Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ минус. Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ — Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ Π² условии Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹:

Π•ΡΡ‚ΡŒ всС основания ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π’Ρ‹ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° вопрос ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ… «ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΡ€ΠΈΠΈΠΌΡ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ» ΠΈ «Π˜Π½Π½ΠΎΠ²Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Π΅ способности» Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ этого ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Π½Π°Π΄ этими Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ производится опСрация слоТСния.

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3. Π”Π°Π½Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈ . ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹
1) ,
2) ,
3) ,
4) .

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4. Π”Π°Π½Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈ . ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹
1) ,
2) ,
3) ,
4) .

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ суммы Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²?

Π­Ρ‚Π° Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ особоС мСсто Π² опСрациях с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅Ρ‚ использованиС тригономСтричСских свойств. Допустим, Π’Π°ΠΌ попалась Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Π²Ρ€ΠΎΠ΄Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ:

Π”Π°Π½Ρ‹ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° суммы этих Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² . Найти Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ разности этих Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² .

РСшСния этой ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΈ объяснСния, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΡ… Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ — Π² ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ «Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²: Π΄Π»ΠΈΠ½Π° суммы Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусов«.

А ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π° ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ «ΠΠ΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚ная сторона Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° (слоТСниС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусов)».

А Π³Π΄Π΅ произвСдСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²?

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ опСрациями ΠΈ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. И Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠΈ «Π‘калярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²» ΠΈ «Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΈ смСшанноС произвСдСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²».

ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ось Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΈ осью:

Как извСстно, ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A Π½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ (ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ) слуТит основаниС пСрпСндикуляра , ΠΎΠΏΡƒΡ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ (ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ).

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ — ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ (Рис. 5), Π° ΠΈ — ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° (Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A) ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° (Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ B) Π½Π° ось l. (Для построСния ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A) Π½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ A ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΡƒΡŽ прямой. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой ΠΈ плоскости ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅ΠΌΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ.

Π‘ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° оси l называСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ Π½Π° этой оси, Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ совпадаСт с ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π°, Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† — с ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° .

ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ось l называСтся число

,

Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° этой оси, взятоС со Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ плюс, Ссли Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡˆΠ΅ΠΉ совпадаСт с Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ оси l, ΠΈ со Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ минус, Ссли эти направлСния ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ свойства ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ось:

1. ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π° ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈ Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ ось Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой.

2. ΠŸΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число Π΅Π³ΠΎ проСкция умноТаСтся Π½Π° это ΠΆΠ΅ число.

3. ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡ суммы Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ось Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π° эту ΠΆΠ΅ ось слагаСмых Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

4. ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ось Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΈ осью:

  • ΠŸΡ€ΠΈΠ³ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡΡ: тригономСтричСская Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° (синусы, косинусы, тангСнсы ΠΈ котангСнсы распространСнных ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5.

Π Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ суммы Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π° ось l, Ссли , Π° ΡƒΠ³Π»Ρ‹ —

.

РСшСниС. Π‘ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π½Π° ось l ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ Π² тСорСтичСской справкС Π²Ρ‹ΡˆΠ΅. Из рис.5Π° ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ проСкция суммы Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². ВычисляСм эти ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

Находим ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ суммы Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²:

.

НСт Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π²Π½ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅? МоТно Π·Π°ΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ!

К Π½Π°Ρ‡Π°Π»Ρƒ страницы

ΠŸΡ€ΠΎΠΉΡ‚ΠΈ тСст ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ этого ΠΏΠ°Ρ€Π°Π³Ρ€Π°Ρ„Π° ΠΆΠ΅Π»Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Ρ‹ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈ , Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ своими проСкциями:

ΠΈΠ»ΠΈ

ΠΈΠ»ΠΈΒ 

Π£ΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ дСйствия Π½Π°Π΄ этими Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ.

1.Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅

(ΠΏΡ€ΠΈ слоТСнии Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΈΠΌΡ‘Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ).

2.Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅:

ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅

,

(ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΈΠΌΡ‘Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ).

3.Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число:

ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅

,

(ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число всС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° это число).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 6. Π”Π°Π½Ρ‹ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ:

.

Найти Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉΡΡ суммой этих Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²: .

РСшСниС:

.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 7. Π”Π°Π½Ρ‹ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°:

, , , .

Найти ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ .

РСшСниС.

.

.

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 8. На плоскости Π΄Π°Π½Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈ . Найти ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² , ΠΈ .

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 9. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° — Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° . Найти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° этого Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚

НСт Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π²Π½ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅? МоТно Π·Π°ΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ!

К Π½Π°Ρ‡Π°Π»Ρƒ страницы

ΠŸΡ€ΠΎΠΉΡ‚ΠΈ тСст ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… вопросов, Π² частности, экономичСских, оказалось ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ‚ΡŒ рассмотрСнныС ΠΏΡ€ΠΈΡ‘ΠΌΡ‹ установлСния соотвСтствия ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ числами ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ пространства ΠΈ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ n Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΊΠ°ΠΊ «Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ» Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ абстрактного «n-ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ пространства», Π° сами числа — ΠΊΠ°ΠΊ «ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹» этих Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ. Π—Π° ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ n-ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΡ€ΠΎΠΆΠ°ΠΉΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΡƒΡ€, ΠΎΠ±ΡŠΡ‘ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°ΠΆ Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΎΠ², тСхничСскиС коэффициСнты, Π½ΠΎΠΌΠ΅Π½ΠΊΠ»Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π° Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΎΠ² Π½Π° складах ΠΈ Ρ‚. Π΄.

n-ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ называСтся упорядочСнный Π½Π°Π±ΠΎΡ€ ΠΈΠ· n Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, записываСмых Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅

,

Π³Π΄Π΅ Β — i – ΠΉ элСмСнт (ΠΈΠ»ΠΈ i – я ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°) Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° x.

Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Π° ΠΈ другая запись Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° – Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ столбца ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚:

Π Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° опрСдСляСтся числом Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΈ являСтся Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ характСристикой. НапримСр, (2; 5) – Π΄Π²ΡƒΡ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, (2; -3; 0) – Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ, (1; 3; -2; -4; 7) – пятимСрный,

n – ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€.

НулСвым Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ называСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, всС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ:

0 = (0; 0; …; 0).

Π’Π²Π΅Π΄Ρ‘ΠΌ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ n-ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°


Π½Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число  называСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

(ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число каТдая Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° умноТаСтся Π½Π° это число).

Зная Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

ΠΈ

называСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

,

(ΠΏΡ€ΠΈ слоТСнии Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ размСрности ΠΈΡ… ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ).

Если Π² ΠΏΠ»Π°Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°ΠΆ сСти Ρ‚ΠΎΡ€Π³ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… прСдприятий ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°ΠΆΠΈ Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΎΠ² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΎΠ², Π° Π·Π°Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°ΠΆΠΈ – ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π·Π°Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚-ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°ΠΆ

,

Π³Π΄Π΅

ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°ΠΆΠΈ (Π·Π°Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹) k – ΠΌ прСдприятиСм Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ€Π° i, Π° k = 1, 2, 3,…, m .

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ°Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π·Π°Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚-ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°ΠΆ y опрСдСляСтся суммированиСм Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π·Π°Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚-ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°ΠΆ всСх m прСдприятий сСти:

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€:

ΠŸΡ€ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ размСрности ΠΈΡ… ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ:

ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ n-ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ свойствам.

Бвойство 1.


Бвойство 2.

Бвойство 3.

Бвойство 4.

Бвойство 5.

Бвойство 6.

ΠΠ°Π·Π°Π΄Π›ΠΈΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ’ΠΏΠ΅Ρ€Ρ‘Π΄>>>

НСт Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π²Π½ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅? МоТно Π·Π°ΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ!

К Π½Π°Ρ‡Π°Π»Ρƒ страницы

ΠŸΡ€ΠΎΠΉΡ‚ΠΈ тСст ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹

ΠŸΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с Π΄Ρ€ΡƒΠ·ΡŒΡΠΌΠΈ

Π’Π΅ΡΡŒ Π±Π»ΠΎΠΊ «ΠΠ½Π°Π»ΠΈΡ‚ичСская гСомСтрия»

  • Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹
    • ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ
    • Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²: Π΄Π»ΠΈΠ½Π° суммы Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусов
    • БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ
    • ЛинСйная Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²
    • Базис систСмы Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². АффинныС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹
    • Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², смСшанноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²
  • ΠŸΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ
    • УравнСния плоскости, Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ располоТСниС плоскостСй
  • ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ Π½Π° плоскости
    • Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ коэффициСнтом
    • ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой Π½Π° плоскости
    • Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой Π² ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°Ρ…
    • ΠšΠ°Π½ΠΎΠ½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой Π½Π° плоскости
    • ΠŸΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ уравнСния прямой Π½Π° плоскости
    • ΠΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой Π½Π° плоскости, расстояниС ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π΄ΠΎ прямой

Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 14 β€” НСстандартноС Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΡƒ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π° / Π₯Π°Π±Ρ€


  1. Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€ ΠΈ для Ρ‡Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ½ Π½ΡƒΠΆΠ΅Π½?
  2. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ. Π Π°Π½Π³ΠΈ Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€ΠΎΠ²
  3. ΠšΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹
  4. Π”ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠ° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ
  5. ДСйствия Π½Π°Π΄ Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ тСорСтичСскиС вопросы
  6. ΠšΠΈΠ½Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° свободного Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π°. ΠŸΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π° ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости
  7. ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π°. Бвойства Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€Π° ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π° ΠΈ способ Π΅Π³ΠΎ вычислСния
  8. О свСртках Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€Π° Π›Π΅Π²ΠΈ-Π§ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Ρ‹
  9. Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€Π° ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²Ρƒ ΠΈ Maxima
  10. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости. Π Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅ΠΌ Π½Π°Π΄ Π½Π΅Π΄ΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°ΠΌΠΈ
  11. УскорСниС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΏΡ€ΠΈ свободном Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ. Π£Π³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ускорСниС Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π°
  12. ΠŸΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ Π ΠΎΠ΄Ρ€ΠΈΠ³Π°-Π“Π°ΠΌΠΈΠ»ΡŒΡ‚ΠΎΠ½Π° Π² ΠΊΠΈΠ½Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π°
  13. БКА Maxima Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ… прСобразования Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Π£Π³Π»ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ускорСния Π² ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°Ρ… Π ΠΎΠ΄Ρ€ΠΈΠ³Π°-Π“Π°ΠΌΠΈΠ»ΡŒΡ‚ΠΎΠ½Π°
  14. НСстандартноС Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΡƒ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π°
  15. Π”Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ нСсвободного Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π°
  16. Бвойства Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π°
  17. Зарисовка ΠΎ Π³Π°ΠΉΠΊΠ΅ Π”ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ±Π΅ΠΊΠΎΠ²Π°
  18. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ эффСкта Π”ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ±Π΅ΠΊΠΎΠ²Π°

Π”ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠ° Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π° β€” Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π² своё врСмя Π·Π°Π΄Π°Π» Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΊΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ развития этой Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· самых слоТных Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠΈ, ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° интСгрирования уравнСния сфСричСского двиТСния для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ случая распрСдСлСния массы Ρ‚Π΅Π»Π° Π½Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½Π° Π΄ΠΎ сих ΠΏΠΎΡ€.

Π’ этой ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ ΠΌΡ‹ Π½Π°Ρ‡Π½Π΅ΠΌ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΡƒ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π°, примСняя Π°ΠΏΠΏΠ°Ρ€Π°Ρ‚ Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹. Π­Ρ‚Π° пилотная ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ ΠΎ Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠ΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ Π½Π° ряд Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… вопросов, ΠΊΠ°ΡΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ понятия ΠΊΠ°ΠΊ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ масс Ρ‚Π΅Π»Π°. Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ масс, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡ‚ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Ρ‚Π΅Π»Π°, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ уравнСния двиТСния Ρ‚Π΅Π»Π° ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ Π² основном ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ? ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π½Π° эти, ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ вопросы находится ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΠΌ.

Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ двиТСния этой дСтской ΠΈΠ³Ρ€ΡƒΡˆΠΊΠΈ β€” ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Π΄ΠΎ сих ΠΏΠΎΡ€ Π½Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠΈ…


Для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° рассмотрим Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. НСпосрСдствСнно ΠΈΠ· аксиом Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ основноС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ

ускорСниС ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° массу Π΅ΡΡ‚ΡŒ вСкторная сумма ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ сил. И ΠΎ силах, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ‹ ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΏΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅. Π’ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠΈ, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΌ аналитичСской ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠΎΠΉ, силы, ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ мСханичСской систСмС ΠΏΠΎΠ΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ строгой классификации.

Π‘ΠΈΠ»Ρ‹, стоящиС Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части (1) Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° Π΄Π²Π΅ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹

  1. АктивныС силы. Π­Ρ‚ΠΎΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ΅ сил ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅
    Активными Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ силы, Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· условия Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ

    Говоря Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ языком, активная сила опрСдСляСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ

    Π³Π΄Π΅ β€” обобщСнная ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ; β€” обобщСнная ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Из Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ начиная Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈ имСя Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ условия (ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ сразу Ρ€Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΡƒΡŽ силу.

    Π‘ΠΈΠ»Π° тяТСсти, упругости, ΠšΡƒΠ»ΠΎΠ½ΠΎΠ²ΡΠΊΠ°Ρ сила взаимодСйствия заряда с элСктричСским ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ, сила АмпСра ΠΈ сила Π›ΠΎΡ€Π΅Π½Ρ†Π°, сила вязкого трСния ΠΈ аэродинамичСского сопротивлСния β€” всё это ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Ρ… сил. ВыраТСния для ΠΈΡ… расчСта извСстны ΠΈ эти силы ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ, зная ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

  2. Π Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΈ связСй. Π‘Π°ΠΌΡ‹Π΅ нСприятныС силы, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ. Напомню ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ· аксиом статики, ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡƒΠ΅ΠΌΡƒΡŽ аксиомой ΠΎ связях
    Бвязи ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊ Ρ‚Π΅Π»Ρƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚Π±Ρ€ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ, Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² ΠΈΡ… дСйствиС силой, ΠΈΠ»ΠΈ систСмой сил

    Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π½Π° рисункС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° β€” Π½Π΅ свободная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°. Π•Ρ‘ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΎ связью, условно прСдставлСнной Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΠΉ повСрхности, Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ… ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… располагаСтся траСктория двиТСния. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Π°Ρ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ аксиома Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ² ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ силу , дСйствиС ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ эквивалСнтно Π½Π°Π»ΠΈΡ‡ΠΈΡŽ повСрхности. ΠŸΡ€ΠΈ этом данная сила Π½Π΅ являСтся извСстной Π·Π°Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ β€” Π΅Ρ‘ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° удовлСтворяСт ограничСниям Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ускорСниС, Π½Π°ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΌΠΈ связью, Π½Ρƒ ΠΈ, разумССтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΈ зависит ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Ρ… сил. Π Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΈ связСй ΠΏΠΎΠ΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ Π² процСссС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ. К рСакциям связСй относится Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΈ сухоС Ρ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π°Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π² простой Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ сущСствСнно ослоТняСт процСсс Π΅Ρ‘ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ классификации, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ двиТСния Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (1) ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅

Π³Π΄Π΅ β€” Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Ρ… сил, ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅; β€” Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ связСй.

А Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠΉ фокус β€” ускорСниС с массой пСрСнСсСм Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ уравнСния (2)

ΠΈ Π²Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (2) прСвращаСтся Π²

Π‘ΠΈΠ»Π°, прСдставляСмая Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ (3) называСтся силой ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Π”Π°Π»Π°ΠΌΠ±Π΅Ρ€Π°. А ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (4) Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ Π”Π°Π»Π°ΠΌΠ±Π΅Ρ€Π° для ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ

ΠœΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° находится Π² равновСсии ΠΏΠΎΠ΄ дСйствиСм ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊ Π½Π΅ΠΉ Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Ρ… сил, Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΉ связСй ΠΈ сил ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ

ΠŸΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΡ‚Π΅, ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ равновСсии ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠ΄Ρ‚ΠΈ Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ, Ссли Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° двиТСтся с ускорСниСм? Но вСдь ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (4) Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ равновСсия, ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ² ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ силу (3) ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π΅Ρ‘ равновСсиСм.

Достаточно распространСн спор ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π»ΠΈ силы ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ (3) физичСскими силами. Π’ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ понятиС Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΆΠ½ΠΎΠΉ силы, которая Π΅ΡΡ‚ΡŒ сила ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ, связанная с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡΠ΅ΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ) ускорСниСм, ΠΈΡΠΊΡ€ΠΈΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΌ Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. ΠœΠΎΡ‘ Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΌΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ силы ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ матСматичСский фокус, продСмонстрированный Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡŽ равновСсия вмСсто двиТСния с ускорСниСм. Π‘ΠΈΠ»Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ (3) опрСдСляСтся ускорСниСм Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π½ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ, Π² свою ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ опрСдСляСтся дСйствиСм Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊ Π½Π΅ΠΉ сил, ΠΈ Π² соотвСтствии аксиоматикой ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π° сила ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΈΡ‡Π½Π°. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π½ΠΈ ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ «физичности» сил ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ приходится. ΠŸΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π° Π½Π΅ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚ Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Ρ… сил, зависящих ΠΎΡ‚ ускорСния.


Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ распространим ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (4) Π½Π° случай двиТСния Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π°. Π’ ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠ΅ Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌΡƒΡŽ ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ систСму, ΡΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‰ΡƒΡŽ ΠΈΠ· мноТСства Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ остаСтся Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ. ВсС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° двиТутся ΠΏΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ траСкториям, Π½ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ двиТСния ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ соотвСтствуСт (2)

Π‘ΠΈΠ»Ρ‹, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° внСшниС Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Π΅ , Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΈΡ… связСй , ΠΈ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΠ΅ силы , ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ собой силы взаимодСйствия рассматриваСмой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ с ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° (ΠΏΠΎ сути β€” Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΈ). ВсС упомянутыС силы Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ сил, ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΊ этому ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠŸΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ Π”Π°Π»Π°ΠΌΠ±Π΅Ρ€Π°

Π³Π΄Π΅ β€” сила ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ, прилоТСнная ΠΊ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ‚Π΅Π»Π°.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° находятся Π² равновСсии, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ условиСм равновСсия Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ статика

Π’Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ΅ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ находится Π² равновСсии ΠΏΠΎΠ΄ дСйствиСм ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ систСмы сил, Ссли Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈ Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ этой систСмы сил, ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° O, Ρ€Π°Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ

Π“Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ систСмы сил β€” это вСкторная сумма всСх сил, ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊ Ρ‚Π΅Π»Ρƒ. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° сил, ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ‚Π΅Π»Π° опрСдСляСтся послСдним ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, поэтому складывая уравнСния для всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π΅Π³ΠΎ части ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

ΠŸΡ€ΠΈ этом, сумма Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΡ… сил Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, ΠΊΠ°ΠΊ слСдствиС ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°. Аналогично вычисляСм сумму ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² всСх сил ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° O, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Π½ΡƒΠ»ΡŽ Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ систСмы сил

ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ показываСтся Π² классичСском курсС Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠΈ, сумма ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΡ… сил, ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊ систСмС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ . УравнСния (5) ΠΈ (6) ΡƒΠΆΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ Π”Π°Π»Π°ΠΌΠ±Π΅Ρ€Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠΌΡƒ Ρ‚Π΅Π»Ρƒ, Π½ΠΎ лишь с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠΏΡ€Π°Π²ΠΊΠΎΠΉ.

Число Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Ρ… сил ΠΈ Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΉ связСй Π² уравнСниях (5) ΠΈ (6) ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ. Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²ΠΎ слагаСмых Π² ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… суммах Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, ΠΈΠ±ΠΎ Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Π΅ внСшниС силы ΠΈ Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΈΡ… связСй, Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ говоря, ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ‹ лишь Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… Ρ‚Π΅Π»Π°. Π§Π΅Π³ΠΎ нСльзя ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎ силах ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ β€” силы ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ‹ ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ‚Π΅Π»Π°. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ сумма сил ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΈ сумма ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° Π΅ΡΡ‚ΡŒ суммы ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅. БистСму сил ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ принято ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΌΡƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ ΠΈ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ ΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈ Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ сил ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠΌΡƒ Ρ‚Π΅Π»Ρƒ. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Ρ‹ (7) ΠΈ (8) бСрутся ΠΏΠΎ всСму ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΡƒ Ρ‚Π΅Π»Π°, Π° β€” радиус Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° O.

Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ сообраТСния ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ (5) ΠΈ (6) Π² ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅

УравнСния (10) ΠΈ (11) Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ Π”Π°Π»Π°ΠΌΠ±Π΅Ρ€Π° для Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π°

Π’Π΅Π²Ρ€Π΄ΠΎΠ΅ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ находится Π² равновСсии ΠΏΠΎΠ΄ дСйствиСм ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ Π²Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΈΡ… сил, Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΉ связСй, Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° сил ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ.

По сути (10) ΠΈ (11) Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° записи Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ двиТСния Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π°. Они довольно часто ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠΈ, такая Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° записи ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ двиТСния Π½Π΅ являСтся самой ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠΉ. Π’Π΅Π΄ΡŒ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Ρ‹ (7) ΠΈ (8) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Ρ‚ΠΈ ΠΊ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌ уравнСниям двиТСния. Π’ этой связи (10) ΠΈ (11) слСдуСт Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ основу построСния аналитичСской ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠΈ.

ВСрнСмся ΠΊ нашим Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€Π°ΠΌ ΠΈ с ΠΈΡ… ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ вычислим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Ρ‹ (7) ΠΈ (8) для ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ случая двиТСния Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π°. Π’ качСствС Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° привСдСния Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ O1. Π­Ρ‚Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π° Π² качСствС полюса ΠΈ Π² Π½Π΅ΠΉ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ базис связанной с Ρ‚Π΅Π»ΠΎΠΌ систСмы ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Π’ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ»Ρ‹Ρ… статСй ΠΌΡ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для ускорСния Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ² (12) Π½Π° массу Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ со Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ минус, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ силу ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΊ элСмСнту объСма Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π°

Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (13) β€” ΠΊΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ прСдставлСниС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° силы ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ. Π”Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² (12) ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€ Π›Π΅Π²ΠΈ-Π§ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Ρ‹ ΠΈ псСвдовСкторы ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости ΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ускорСния

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ (14) Π² (13) ΠΈ Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΏΠΎ всСму ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΡƒ Ρ‚Π΅Π»Π°, учитывая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ угловая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ускорСниС ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ этого объСма, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вынСсти Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π°

Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ слагаСмом β€” это масса Ρ‚Π΅Π»Π°. Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ слагаСмом Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ интСрСсная ΡˆΡ‚ΡƒΠΊΠ°. Вспомним ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ· Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» курса тСорСтичСской ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠΈ:

Π³Π΄Π΅ β€” ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€Π°Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ радиус-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° масс рассматриваСмого Ρ‚Π΅Π»Π°. НС Π² даваясь Π² смысл понятия Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° масс просто Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Ρ‹ Π² (15) Π² соотвСтствии с Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ (16), учтя, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ слагаСмом (15) ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹.

Ага, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (17) Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΎ, прСдставим Π΅Π³ΠΎ Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅

ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ слагаСмоС Π² (18) β€” сила ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ, связанная с ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ‚Π΅Π»Π° вмСстС с полюсом. Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ слагаСмоС β€” цСнтробСТная сила ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ, связанная с ΠΎΡΠ΅ΡΡ‚Π²Π΅ΠΌΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ускорСниСм Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° масс Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΏΡ€ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ полюса. Π’Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ слагаСмоС β€” Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π°Ρ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° сил ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ, связанная с Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ускорСниСм Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° масс Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ полюса. Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ-Ρ‚ΠΎ всё находится Π² соотвСтствии с классичСскими ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΌΠ΅Ρ…Π°.

ΠŸΡ‹Ρ‚Π»ΠΈΠ²Ρ‹ΠΉ Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ скаТСт: Β«Π·Π°Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€Ρ‹ для получСния этого выраТСния, Ссли Π² Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΎ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ способом?Β». Π’ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ я скаТу, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» (17) ΠΈ (18) β€” это Π±Ρ‹Π»Π° Ρ€Π°Π·ΠΌΠΈΠ½ΠΊΠ°. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° сил ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ полюса, ΠΈ Ρ‚ΡƒΡ‚ Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ проявляСт сСбя Π²ΠΎ всСй красС.

Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (13) ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎ слСва Π½Π° радиус Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ полюса. Π’Π΅ΠΌ самым ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ силы ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊ элСмСнтарному ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΡƒ Ρ‚Π΅Π»Π°

Π‘Π½ΠΎΠ²Π° Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠΌ подстановку (14) Π² (19), Π½ΠΎ Π½Π΅ станСм торопится Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»

НС знаю ΠΊΠ°ΠΊ Ρƒ вас, Π° Ρƒ мСня рябит Π² Π³Π»Π°Π·Π°Ρ…, Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΌΠΎΠ΅ΠΉ привычности ΠΊ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌ. Π‘Π»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ располоТСны Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ СстСствСнном порядкС β€” пСрСставлСны мСстами Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΈ цСнтробСТная ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΎΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ слагаСмого ΠΊΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ возрастаСт ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΎΠΊ. Π‘ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… ΠΏΠΎ ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΠΈ, сначала упростим ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅, сразу взяв ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»

Π’ΡƒΡ‚ снова появился радиус Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° масс. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ слоТного β€” ускорСниС полюса Ρƒ нас ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ ΠΌΡ‹ вынСсли Π΅Π³ΠΎ Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π°. Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ займСмся Ρ‡ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅, Π° ΠΏΠΎΠΊΠ° ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ слагаСмоС (20). Π’ Π½Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ свСртку произвСдСния Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π›Π΅Π²ΠΈ-Π§ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ Π½Π΅ΠΌΠΎΠΌΡƒ индСксу k

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ воспользовались свойством Π΄Π΅Π»ΡŒΡ‚Ρ‹ ΠšΡ€ΠΎΠ½Π΅ΠΊΠ΅Ρ€Π° Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ свободный индСкс Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°/ΠΊΠΎΠ²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ свСртки. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π²ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅Ρ‚ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», учтя, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ускорСниС постоянно для всСго объСма Ρ‚Π΅Π»Π°

Π’ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ! ΠœΠ°Π»ΠΎΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚Π½Ρ‹ΠΉ Β«ΠΊΡ€ΠΎΠΊΠΎΠ΄ΠΈΠ»Β», ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ схлопнулся Π² ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ. Π― Π»ΡƒΠΊΠ°Π²Π»ΡŽ, ΠΌΡ‹ Π²Π²Π΅Π»ΠΈ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅:

Но это Π½Π΅ просто абстрактная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°. По структурС выраТСния (24) Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ распрСдСлСниС массы Ρ‚Π΅Π»Π° Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ полюса ΠΈ называСтся ΠΎΠ½ΠΎ β€” Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π°. Π­Ρ‚Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ поистинС Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ для ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠΈ, ΠΈ ΠΎ Π½Π΅ΠΉ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅, ΠΏΠΎΠΊΠ° лишь скаТу, Ρ‡Ρ‚ΠΎ (24) β€” Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π½Π³Π°, ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π°ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ осСвыС ΠΈ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° Π² Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½ΠΎΠΉ систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Он Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ читатСля ΠΈ Π½Π° Ρ‚ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ быстро ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΏΠΎ сути дСйствуя Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ способом. Π‘ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π±Π΅Π· Π»ΠΎΠΌΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠ·Π³ΠΎΠ² Π½Π΅ ΠΎΠ±ΠΎΠΉΡ‚ΠΈΡΡŒ, Π² этом я убСдился Π½Π° Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌ ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π΅.

Ну ΠΈ Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† обратимся ΠΊ послСднСму слагаСмому (20). ΠŸΡ€ΠΈ взятии ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π° Π² Π½Ρ‘ΠΌ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ получится Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΈ ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‡ΡŒ этой Ρ†Π΅Π»ΠΈ. Π’ этой части выраТСния (20) Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Ρ‚Π΅Π»Π°. ΠŸΡ€ΠΈΡΡ‚ΡƒΠΏΠΈΠΌ, для Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ свСрнув ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π›Π΅Π²ΠΈ-Π§ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Ρ‹

Налицо сущСствСнноС ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния β€” Π·Π° счСт свойств Π΄Π΅Π»ΡŒΡ‚Ρ‹ ΠšΡ€ΠΎΠ½Π΅ΠΊΠ΅Ρ€Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ . Но Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Π² (25) Π½Π΅ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ. Π‘ Ρ†Π΅Π»ΡŒΡŽ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ряд эквивалСнтных ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ снова ΡƒΡ‡Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ , воспользовались свойствами Π΄Π΅Π»ΡŒΡ‚Ρ‹ ΠšΡ€ΠΎΠ½Π΅ΠΊΠ΅Ρ€Π° ΠΈ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ поднятия/опускания индСксов ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° мСтричСский Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€. И, Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ (26)

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ снова Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ:

с ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° сил ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ, связанного с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ силами

Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (27) эквивалСнтно Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎ-ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌΡƒ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ:

И Ρ…ΠΎΡ‚ΡŒ мСня ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ пафосныС Ρ„Ρ€Π°Π·Ρ‹, ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΡƒ ΠΈΡ… Π½Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ, Π° сСйчас Π°ΠΊΠΊΡƒΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΈΡˆΡƒ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Π² Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅.

Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС двиТСния Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π° Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈ Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ сил ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠΌΡƒ Ρ‚Π΅Π»Ρƒ, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹

А Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ всС ΠΆΠ΅ восхитимся β€” Π½Π΅ смотря Π½Π° Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ прСобразования ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈ Π½Π° СгипСтскиС ΠΈΠ΅Ρ€ΠΎΠ³Π»ΠΈΡ„Ρ‹, ΠΎΠ½ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹, ΠΌΡ‹ просто выполняли дСйствия Π½Π°Π΄ индСксами Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ использовали свойства Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ. Нам Π½Π΅ Π½Π°Π΄ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½ΡΡ‚ΡŒΡΡ с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ, Ρ€Π°ΡΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π² ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π°Ρ… ΠΈ ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠΈΠ΅ΡΡ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΊ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π°ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ. ВсС ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ»ΠΈ Ρƒ нас автоматичСски. К Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΆΠ΅, СстСствСнным ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ характСристики ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° масс Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΈ Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ.

Читая Π»Π΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ студСнтам я задался Ρ†Π΅Π»ΡŒΡŽ вывСсти (29) ΠΈ (30) опСрируя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ. ПослС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ я ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²Π΅Π» стопку Π±ΡƒΠΌΠ°Π³ΠΈ ΠΈ изрядно ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΌΠ°Π² ΠΌΠΎΠ·Π³ΠΈ я ΠΏΡ€ΠΈΡˆΠ΅Π» ΠΊ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρƒ. ΠŸΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡŒΡ‚Π΅ Π½Π° слово β€” Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ прСобразования просто сСмСчки, Π² сравнСнии с Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΉΡ‚ΠΈ Π½Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€ΠΎΠ².

К Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΆΠ΅, выраТСния (29) ΠΈ (30) ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ Π½Π°ΠΌΠΈ для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° привСдСния сил, Π² качСствС ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΡ‹ взяли полюс O1. Π­Ρ‚ΠΈ выраТСния ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π½Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ масс Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ для ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠΈ.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ (29) ΠΈ (30) вСрнСмся ΠΊ уравнСниям (10) ΠΈ (11) ΠΈ, Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ² подстановку, ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ уравнСниям двиТСния Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π°

Π§Π΅ΠΌ ΠΏΠ»ΠΎΡ…ΠΈ эти уравнСния? А Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ зависят Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π° β€” ускорСниС полюса Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π·Π°Π²ΠΈΡΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ускорСния ΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ скорости Ρ‚Π΅Π»Π°, ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ускорСниС β€” ΠΎΡ‚ ускорСния полюса. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ опрСдСляСт ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° масс Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΡŽΡΡƒ. А Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ полюс прямо Π² Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π΅ масс? Π’ΠΎΠ³Π΄Π° вСдь ΠΈ уравнСния (31), (32) ΠΏΡ€ΠΈΠΌΡƒΡ‚ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ простой Π²ΠΈΠ΄

Π£Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ эти уравнСния? Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (33) β€” Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° масс мСханичСской систСмы, Π° (34) β€” динамичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π° сфСричСского двиТСния. И эти уравнСния нСзависимы Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ масс Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π° β€” это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ силы ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ приводятся ΠΊ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ простому Π²ΠΈΠ΄Ρƒ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ вмСстС с полюсом ΠΈ сфСричСскоС Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ полюса β€” динамичСски развязаны. Π’Π΅Π½Π·ΠΎΡ€ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π°, вычисляСтся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° масс ΠΈ называСтся Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ.

УравнСния (33), (34) Π² Π·Π°Ρ€ΡƒΠ±Π΅ΠΆΠ½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ уравнСниями ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°-Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°, ΠΈ, Π² настоящСС врСмя вСсьма Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ для построСния ПО, ΠΏΡ€Π΅Π΄Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ для модСлирования мСханичСских систСм. Π’ Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°Ρ… Ρ†ΠΈΠΊΠ»Π° ΠΎ Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€Π°Ρ… ΠΌΡ‹ Π΅Ρ‰Ρ‘ Π½Π΅ Ρ€Π°Π· ΠΎ Π½ΠΈΡ… вспомним.

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Π½Π½Π°Ρ Π²Π°ΠΌΠΈ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π΅ Ρ†Π΅Π»ΠΈ β€” Π² Π½Π΅ΠΉ ΠΌΡ‹ Π²Π²Π΅Π»ΠΈ Π±Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ понятия Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠΈ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ ΠΌΠΎΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ Π³Ρ€ΠΎΠΌΠΎΠ·Π΄ΠΊΠΈΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

Π’ дальнСйшСм ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ остановимся Π½Π° Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€Π΅ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π΅Π³ΠΎ свойства. ΠŸΠΎΠ³Ρ€ΡƒΠ·ΠΈΠ²ΡˆΠΈΡΡŒ Π² Π΄Π΅Π±Ρ€ΠΈ аналитичСской ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠΈ, свСдСм уравнСния (31) β€” (34) ΠΊ уравнСниям двиТСния Π² ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°Ρ…. Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ, Ρ€Π°ΡΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Ρ‘ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎ Ρ‡Π΅ΠΌ. А ΠΏΠΎΠΊΠ°, Π±Π»Π°Π³ΠΎΠ΄Π°Ρ€ΡŽ Π·Π° Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅!

ΠŸΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ слСдуСт…

Как ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅?

Π’ΠΎΡ‚ способ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ всС, ΠΎ Ρ‡Π΅ΠΌ Π²Ρ‹ просили, автоматичСски, нСзависимо ΠΎΡ‚ вСрсии Mathematica . ΠŸΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ основан Π½Π° ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ символС для ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΎ с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ: вмСсто использования Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Π²Π΅Ρ‰Π΅ΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ x , y ΠΈ Ρ‚. Π΄. для Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ принято соглашСниС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ vec[x] , vec[y] ΠΈ Ρ‚. Π΄.

Π’Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΠΎΠ»ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ OverVector[x] для этой Ρ†Π΅Π»ΠΈ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ отобраТаСтся ΠΊΠ°ΠΊ $\vec{x}$. Но для этого поста я Ρ…ΠΎΡ‡Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ½ Π±Ρ‹Π» простым, ΠΈ стрСлки Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² исходном ΠΊΠΎΠ΄Π΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

 ClearAll[scalarProduct, vec];
SetAttributes[scalarProduct, {БСспорядковый}]
vec /: Dot[vec[x_], vec[y_]] := scalarProduct[vec[x], vec[y]]
vec /: Cross[vec[x_], HoldPattern[Plus[y__]]] :=
 Map[Cross[vec[x], #] &, Plus[y]]
vec /: Cross[HoldPattern[Plus[y__]], vec[x_]] :=
 Map[Cross[#, vec[x]] &, Plus[y]]
scalarProduct /: MakeBoxes[scalarProduct[x_, y_], _] :=
 RowBox[{ToBoxes[x], ".", ToBoxes[y]}]
Π²Π΅ΠΊ[Ρ…].Π²Π΅ΠΊ[Ρƒ]
(* ==> vec[x].vec[y] *)
vec[x].vec[y] == vec[y].vec[x]
(* ==> Π’Π΅Ρ€Π½ΠΎ *)
ΠšΡ€Π΅ΡΡ‚[vec[x], vec[a] + vec[b]]
(* ==> vec[x]\[Cross]vec[a] + vec[x]\[Cross]vec[b] *)
ΠšΡ€Π΅ΡΡ‚[vec[a] + vec[b], vec[x]]
(* ==> vec[a]\[Cross]vec[x] + vec[b]\[Cross]vec[x] *)
 

Для произвСдСния Dot я ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ» ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ vec Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ оцСниваСтся ΠΊΠ°ΠΊ новая функция scalarProduct , СдинствСнным алгСбраичСским свойством ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ являСтся Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это БСспорядок , ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ ΠΈ ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π»ΠΈ для скалярного произвСдСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, это Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ для Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… скалярных ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ, поэтому здСсь это ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ нСявно. Для получСния Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ это ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, см. TagSetDelayed .

ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ настраиваСмый Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ отобраТСния, опрСдСляя, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ снова ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ Ссли Π±Ρ‹ ΠΎΠ½ Π±Ρ‹Π» Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½ появляСтся Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½ΠΈΠ·ΠΊΠΎΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ форматирования MakeBoxes .

Для Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ свойства пСрСкрСстного произвСдСния я ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π°ΡŽ vec Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ свойство, Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½ΠΎ появляСтся Π² Cross вмСстС с Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ head Plus , сумма Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΡΠ΅Ρ‚ΡΡ. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ опрСдСлСния TagSetDelayed Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ для ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… Π·Π°ΠΊΠ°Π·ΠΎΠ² ΠΈ содСрТат HoldPattern для прСдотвращСния слишком Ρ€Π°Π½Π½Π΅ΠΉ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ Plus Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒΡΡ с Π΅Ρ‰Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠΌΠΈ поТСланиями: Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΊΠ°ΠΊ насчСт ΠΌΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Ρ… скаляров Π² скалярном ΠΈΠ»ΠΈ пСрСкрСстном ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ насчСт ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†. Π’Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅, это ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π±Π°Π½ΠΊΡƒ Ρ‡Π΅Ρ€Π²Π΅ΠΉ, поэтому я Π±Ρ‹ сказал, просто Ρ€Π΅Π°Π»ΠΈΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ символичСски, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ приступайтС ΠΊ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‡Π΅ΠΉ основС, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ вмСсто этого Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΊ списки.

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ символа для ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ скалярного произвСдСния. Π­Ρ‚ΠΎ сдСлано Π² этом вопросС.

ИспользованиС OverVector

Как ΡƒΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ vec Π½Π° Overvector Π²Π΅Π·Π΄Π΅ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ исходном ΠΊΠΎΠ΄Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ с Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ сдСлали это (я Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Ρƒ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния с этим ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ), Π²ΠΎΡ‚ нСсколько ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ²:

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ввСсти эти Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ выраТСния, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ ΠΊ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ°Π»ΠΈΡ‚Ρ€Π΅ Basic Math. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ Esc крСст Esc .

Π•Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½Π° Π²Π΅Ρ‰ΡŒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π²Ρ‹ просили, это ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π°Π½Ρ‚ΠΈΡΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния Π² упрощСниях. На самом Π΄Π΅Π»Π΅ это ΡƒΠΆΠ΅ сдСлано, Ссли Π²Ρ‹ Π²Ρ‹Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚Π΅ FullSimplify :

symbolic β€” Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»ΠΈ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Π² сСбя пСрСкрСстноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅?

МнС часто приходится ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Ρ‚ΡŒ выраТСния, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ пСрСкрСстноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

 f = Dot[Cross[Cross[p1 - p, e1], Cross[p2 - p, e2]], Cross[p3 - p , Π΅3]]
 

, Π³Π΄Π΅ всС символы Π² RHS ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ, Π½ΠΎ Π½Π΅ΠΆΠ΅Π»Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡΡΡ‹Π»Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ· Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² довольно слоТно Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΡƒΡŽ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ. Π­Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ часто трСбуСтся Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… областях, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΈΠ½Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΈ Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠ°, ΠΈ я полагаю, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ люди ΡΡ‚Π°Π»ΠΊΠΈΠ²Π°Π»ΠΈΡΡŒ с этой ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠΎΠΉ, Π½ΠΎ ΠΌΠΎΠΉ поиск Π½Π΅ Π΄Π°Π» ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Ρ€Π΅Π»Π΅Π²Π°Π½Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ².

Π•ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈ способ ΡΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ? Π― Π΄ΡƒΠΌΠ°ΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΡ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ, Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ настраиваСмыС ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ для прСдставлСния пСрСкрСстного произвСдСния ΠΈ скалярного произвСдСния, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°Π±ΠΎΡ€ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» для этих ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² (ΠΈΠ»ΠΈ для Simplify commend), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡ‚Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ упрощСния, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ смСшанного произвСдСния ΠΈ Ρ‚. Π΄. Но я Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‡ΠΎΠΊ Π² Mathematica, ΠΈ Π½Π΅ знаю, ΠΊΠ°ΠΊ это ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΈ Π½Π΅ знаю, являСтся Π»ΠΈ это Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΠΌ способом, ΠΈΠ»ΠΈ.

ΠšΡ‚ΠΎ-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ? Π‘ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ Π·Π° любой ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚! Бпасибо!

Follow Up 1

Благодаря ΠΌΠ°Ρ€ΡˆΡƒ я нашСл ΠΊΠΎΠΌΠ°Π½Π΄Ρƒ $Assumptions = {p1 [Element] Vectors[3, Reals]} , которая ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡƒ Π² Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€Π½ΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ. Π― ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Π» эту ΠΊΠΎΠΌΠ°Π½Π΄Ρƒ для всСх Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΠΈ 9Ѐункция 0005 f Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π½ΠΎ послС этого Expand , Simplification , Collect Π½Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΡŽΡ‚, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ TensorExpand ΠΈ TensorReduce Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΡŽΡ‚ для этих Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€ΠΎΠ². Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ каТСтся ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ-Ρ‚ΠΎ слоТным, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ сСйчас Π½Π΅ получится. Пока я Π½Π΅ нашСл способа ΡΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с этим.

Π’Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅, я Π΄ΡƒΠΌΠ°ΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ способ опрСдСлСния настраиваСмых ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² (ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ) ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» (Π² Simplify ), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ смСшанноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ΅ пСрСкрСстноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *