Неравенство с модулем » задачи
неравенства »
Неравенство с модулем: $$ 3|x+3|+|x-10|-35 > 0 $$
Решение: Упростим наше неравенство, удобно сделать замену
$$ x+3=t $$ , получаем
$$ 3|t|+|t-13|-35>0 $$ , его легче решить
$$ t \geq 0 \\ t \geq 13 $$
Решаем на интервале $$ (-oo;0) $$
$$ -3t+13-t-35[tex]x+311 \\ x>8 \\ (-\infty;-8.5) \cup (8;+\infty) $$>0 \\ -4t-22>0 \\ -4t>22 \\ t Решение на этом интервале
$$ \left \{ {{t \\ t \in (-\infty;-5.5) $$
На интервале $$ (0;13) $$
$$ 3t+13-t-35>0 \\ 2t-22>0 \\ t>11 \\ t \in (11;13) \\ $$
На интервале $$ [13;\infty) $$
$$ [13;+\infty) $$
Но второе и третье неравенства мы можем объединить как
$$ (11;+\infty) $$
и того $$ (-\infty;-5.5) \cup (11;+\infty) $$
замена $$ x+3 11 \\ (-\infty;-5.5) \cup (8;+\infty) $$Неравенство с модулем2|x|<4+|x+1|
Решение: Значения х обращающие модули в 0 х=0 и х=-1
рассмотрим следующие интервалы
1) при х<-1
/x/=-x, /x+1/=-x-1
-2x<4-x-1
2x-x>-4+1
x>-3
⇒x∈(-3,-1) (1)
2) при -1 ≤х≤ 0
/x/=-x, /x-1/=x+1
-2x<4+x+1
2x+x>-4-1
x>-5
⇒x∈[-1,0] (2)
3) при х>0
/x/=x, /x+1/=x+1
2x<4+x+1
2x-x<5
x<5
⇒x∈(0,5) (3)
из (1), (2), (3) ⇒ x∈(-3,5)Неравенство с модулем: $$ |\frac{2x — 1}{x — 2}| > 2 $$
Решение: |(2x-1)/(x-2)|>2
Раскрываем модуль по определению
При (2x-1)/(x-2) >=0 |(2x-1)/(x-2)| = (2x-1)/(x-2)
По методу интервалов найдем решение неравенства (2x-1)/(x-2) >=0
2x-1 =0 x-2 =/=0
x =0,5 x =/=2
На числовой прямой отобразим знаки левой части неравенства
+ 0 — 0 +
———!———!———
0,5 2
Поэтому неравенство (2x-1)/(x-2) >=0 истинно для всех значений
х принадлежащих (-бескон;0,5]U(2;+бесконечн)
Раскрываем модуль при условии, что (2x-1)/(x-2) >=0
(2x-1)/(x-2) > 2
(2x-1)/(x-2) -2(x-2)/(x-2) >0
(2x-1-2x+4)/(x-2) >0
3/(x-2) >0
x-2 >0
x > 2
Поэтому неравенство истинно для всех значений
х принадлежащих (2;+бесконеч)
Решение лежит в предварительно выбранной области.
2-7>0
2|x|
Решение: Что делает модуль? например |x|. если x≥0, то |x|=x, а если xтак и решаем.
3|x-1|+x²-7>0
1. x-1-3(x-1)+x²-7>0
-3x+3+x²-7>0
x²-3x-4>0
D=3²+4*4=9+16=25
√D=5
x₁=(3-5)/2=1
x₂=(3+5)/2=4
x²-3x-4=(x-1)(x-4)>0
+ — +
————————————————-
-∞ 1 4 +∞
x∈(-∞;1)∪(4;+∞)
и xполучаем x∈(-∞;1)
2. x-1≥0 или x≥1
3(x-1)+x²-7>0
3х-3+x²-7>0
x²+3х-10>0
D=3²+4*10=49
√D=7
x₁=(-3-10)/2=-6,5
x₂=(-3+10)=3,5
3²+4*10=(x+6,5)(x-3,5)>0+ — +
————————————————-
-∞ -6,5 3,5 +∞x∈(-∞;-6,5)∪(3,5;+∞)
и x≥1
x∈(3,5;+∞)Ответ: x∈(-∞;1)∪(3,5;+∞)
2|x|тут придется разбивать уже на 3 интервала
x1. x-2x≤4-(x+1)
-2x≤4-x-1
-x≤3
x≥-3
x∈[-3;-1)2.
-1≤x-2x≤4+x+1
-3x≤5
x≥-5/3=-1 2/3
x∈[-1;0)3. x≥0 тогда |x|=x и |x+1|=x+1
2x≤4+x+1
x≤5
x∈[0;5]мы получили x∈[-3;-1)∪ [-1;0)∪x∈[0;5] или x∈[-3;5]
Ответ: x∈[-3;5
Решить неравенство с модулем: 2*|x+1|>x+4
2*|x|
Решение: 2*|x+1| > x+4 .⇔[ 2(x+1) (x+4).⇔[ x2.ответ : x∈(-∞ ;-2) U (2 ;∞) .
——-
2|x| ≤ 4+|x+1| ;
|x+1| -2|x| +4 ≥0 .
—
а)
{ x∈(-∞ ; -1) ; -(x+1) +2x +4 ≥0 .⇒ { x∈(-∞ ; -1) ; x ≥ -3 .
x∈[ -3;-1) .
—
б)
{ x∈[-1;0) ;(x+1) +2x +4 ≥0 .⇒ { x∈[-1;0) ; x ≥ -5/3 .
x∈[-1;0) .
—
в)
{ x∈[0 ;∞) ;(x+1) -2x +4 ≥0 .⇒ { x∈[0 ;∞) ; x ≤ 5 .
x∈[0; 5] .x∈ [ -3;-1) ∪ [-1; 0) ∪[ 0 ;5] ⇔x∈ [ -3; 5] .
ответ : x∈ [ -3; 5] .
2-7>0
-1≤x-2x≤4+x+11 2 > >>
Иррациональные неравенства. Неравенства с модулем
Похожие презентации:
Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)
Применение производной в науке и в жизни
Проект по математике «Математика вокруг нас.
Узоры и орнаменты на посуде»
Знакомство детей с математическими знаками и монетами
Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10
Методы обработки экспериментальных данных
Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ
Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии
Дифференциальные уравнения
Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи
Сегодня на занятии мы рассмотрим способы решений двух
видов неравенств, которые могут пригодиться при подготовке к единому
государственному экзамену, если вы хотите решать задачи из второй
части экзамена.
Рассмотрим неравенство вида
Такие неравенства называются иррациональными. В нашем
выражении присутствует корень квадратный, который накладывает свои
ограничения на область допустимых значений.
Первое, что мы должны заметить, корень квадратный
извлекается только из положительных чисел, так что f(x)≥0.
Второе, вспомните график функции корня квадратного,
значения которые он принимает не меньше нуля, тогда для
равенство нулю не возможно, так как наше исходное неравенство
строгое и равенство значений не возможно.
Третье, обе части неравенства не отрицательные, тогда
используя теорему 5 занятия о равносильности неравенств, мы
можем обе части нашего неравенства возвести квадрат, то
есть получить неравенство:
И так при решении иррациональных
переходить к следующей системе неравенств:
неравенств
можно
Теперь давайте рассмотрим неравенство вида
f(x)≥0 – это безусловное условие которое должно накладываться
как и в предыдущем примере.
а) Заметим если g(x)<0 и f(x)≥0 то неравенство выполняется, так
как, повторимся, извлечение корня квадратного дает положительное
число, которое всегда больше отрицательного. Если выполняется такое
условие, то мы решили исходное неравенство.
используя теорему 5 занятия о равносильности неравенств, мы можем
обе части нашего неравенства возвести квадрат, то есть получить
неравенство:
В этом случае мы можем опустить проверку условия f(x)≥0, так
как если g(x)≥0, то для f(x)≥0 подавно выполняется неравенство,
вспомните неравенства следствия.
И так, неравенство
совокупности систем:
равносильно
следующей
Пример. Решить неравенства:
а)
б)
Решение. а) Применим знания полученные выше
Решим систему
Воспользуемся методом интервалов
Решения всех трех неравенств системы пересекаются на отрезке
[5;30) – который и есть решение исходного неравенства.
б) Нам нужно решить совокупность двух систем:
Решения каждой системы очевидны, даже не применяя метод
интервалов
Ответ: а) хϵ[5;30) б) хϵ(-∞;6] U (30;+∞).
Неравенства, которые содержат переменную под знаком модуля,
могут решаться разными методами. Мы рассмотрим три способа
решения, советую применять третий способ, он может занимать немного
больше времени, но зато гораздо больше шансов на правильное
решение неравенства.
Пример. Решить неравенство:
Решение.
Первый способ.
Как мы помним, геометрически смысл модуля есть ни что иное
как расстояние между точка х и 2, согласно нашему неравенству оно
должно превышать 2.
Тогда решением будет (-∞;0)U(4;+∞)Ответ: хϵ(-∞;0)U(4;+∞).
Второй способ. Обе части нашего неравенства неотрицательны,
тогда воспользовавшись теоремой 5 равносильности неравенств, мы
можем возвести в квадрат обе части неравенства
Ответ: хϵ(-∞;0)U(4;+∞).
Третий способ. В зависимости от знака выражения 3х-6, мы
можем раскрыть модуль двумя разными способами – с разными знаками.
неравенств:
Ответ: хϵ(-∞;0)U(4;+∞).
Каждым способом получили одинаковый ответ, значит решение
правильное, каким способом пользоваться решать вам самим, но все-таки более
рекомендовано использовать третий. Давайте рассмотрим еще один пример
решения неравенств третьим способом.
Пример. Решить неравенство:
Решение. Модуль может раскрываться двумя способами:
1. Если
2. Если
Нам осталось решить совокупность двух систем
Для каждой системы построим интервалы решения.
хϵ(-∞;-4)U[3;+∞)
хϵ(-4;3]
Осталось объединить два промежутка и записать ответ.
Ответ: хϵ(-∞;-4)U(-4; +∞].
Задачи для самостоятельного решения.
1. Решить неравенства:
а)
б)
2. Решить неравенства тремя способами:
3. Решить неравенство:
Спасибо за внимание!
English Русский Правила
алгебраических манипуляций — Как я могу расширить неравенство с Abs
спросил
Изменено 9 лет, 1 месяц назад
Просмотрено 338 раз
$\begingroup$
Я хочу
Abs[x] + Abs[y] <= 1
для преобразования в
x + y <= 1 && x + y >= -1 && x - y <= 1 && x - y >= -1
Как я могу получить это с помощью Mathematica?
- алгебраическая манипуляция
$\endgroup$
1
$\begingroup$
expandAbs[eq_] := И @@ Flatten@Module[{case},
экв //.
x_?((case = Cases[#, Abs[_], Infinity, 1]) =!= {} &) :> (case =
Первый [случай]; {Икс /. случай -> первый [случай],
Икс /. case -> -First[case]})]
expandAbs[Abs[x] + Abs[y] <= 1]
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Если вы хотите визуализировать ответ:
RegionPlot[Evaluate@Reduce[Abs[x] + Abs[y] <= 1, {x, y}, Reals], {x,-2,2}, {г,-2,2}]
$\endgroup$
$\begingroup$
Abs[x] + Abs[y] //. (k_: 1) Abs[x_] + y_ :> {k x + y, -k x + y} /.
t_ :> И @@ Thread[Flatten[t] <= 1]
x + y <= 1 && x - y <= 1 && -x + y <= 1 && -x - y <= 1
Abs[x] + 2 Abs[y] + 3 Abs[z] //. (k_: 1) Abs[x_] + y_ :> {k x + y, -k x + y} /.
t_ :> И @@ Thread[Flatten[t] <= 1]
x + 2 y + 3 z <= 1 && x + 2 y - 3 z <= 1 && x - 2 y + 3 z <= 1 && x - 2 y - 3 z <= 1 && -x + 2 y + 3 z <= 1 && -x + 2 y - 3 z <= 1 && -x - 2 y + 3 z <= 1 && -x - 2 y - 3 z <= 1
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
[PDF] Неравенство Бернштейна и голономные модули
Конечномерные действия Хопфа на алгебраических квантованиях
- П. Этингоф, Челси М. Уолтон
Математика
- 2016
Пусть k поле нулевой характеристики. В совместной работе с Дж. Куадрой [arxiv.org/abs/1409.1644, arxiv.org/abs/1509.01165] мы показали, что полупростое действие Хопфа на Вейле…
Следы Пуассона, D-модули и симплектические резольвенты
Рассмотрена теория пуассоновских следов (или нулевых гомологии Пуассона), разработанная авторами, для понимания этого тонкого инварианта (сингулярных) пуассоновских многообразий, условий его конечномерности, его связи с геометрией и топологией симплектических резольвент, и его приложения к квантованиям.
Производные эквивалентности для симплектических алгебр отражений
В этой статье мы изучаем производные эквивалентности для симплектических алгебр отражений.
Мы устанавливаем вариант производной теоремы локализации между категориями модулей над этими алгебрами и…
Неравенство Бернштейна и голономность для некоторых сингулярных колец
- Дж. А. Монтанер, Д. Эрнандес, Дж. Джеффрис, Луис Ньюнес-Бетанкур, П. Тейшейра, Э. Витт
Математика
- 2021
. В этой рукописи мы доказываем неравенство Бернштейна и развиваем теорию голономных D-модулей для колец инвариантов конечных групп в нулевой характеристике и для сильно F-регулярных…
Полупростота категории допустимых D-модулей
Используя теоретико-представление для параметризации орбит в расширенном циклическом нильпотентном конусе, полученное авторами в предыдущей статье, мы вычисляем фундаментальную группу этих орбит.…
Непанирование геометрических коэффициентов Whittaker для восстановительных групп
- J. Faergeman, S. Raskin
Matematics
- 2022
Whiftienciencies приводит к геометрической программе Ленглендса от GLn к общим редуктивным группам.