Как вычислить геометрическую прогрессию: Геометрическая прогрессия — урок. Алгебра, 9 класс.

Содержание

Геометрическая прогрессия калькулятор

Вычислить:

Член геометрической прогрессии с номером nСумма первых n членов геометрической прогрессииСумма членов геометрической прогрессии от n-ого до m-огоПроизведение первых n членов геометрической прогрессииПроизведение членов геометрической прогрессии от n-ого до m-огоЗнаменатель геометрической прогрессииПостроить геометрическую прогрессию

Известный член геометрической прогрессии

b_m =

Номер m известного члена прогрессии

m =

Номер n члена геометрической прогрессии (который необходимо найти)

n =

Знаменатель геометрической прогрессии

q =

Отобразить члены геометрической прогрессии без нумерациис нумерациейв строкув столбик

с по
(диапазон не может быть больше 10)

Идет расчет …

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой числа отличны от нуля, каждый член в которой начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число q.

Число q – называется знаменателем прогрессии.

Приведем примеры, построим геометрическую прогрессию со знаменателем q = 2, первый член которой b₁ будет равен 3, тогда прогрессия будет построена следующим образом:
3, 3·2, (3·2)·2, (3·2·2)·2, (3·2·2·2)·2… либо
3, 3·2, 6·2, 12·2, 24·2… либо
3, 3·2, 3·2², 3·2³, 3·2⁴… и так далее, прогрессия имеет вид:
3, 6, 12, 24, 48…

Приведем еще один пример, построим геометрическую прогрессию с шагом d = −2, первый член которой b

1 равен 5, тогда прогрессия будет построена следующим образом:
5, 5·(-2), (5·(-2))·(-2), (5·(-2)·(-2))·(-2), (5·(-2)·(-2)·(-2))·(-2)… либо
5, 5·(-2), -10·(-2), 20·(-2), -40·(-2)… либо
5, 5·(-2), 5·(-2)², 5·(-2)³, 5·(-2)⁴… и так далее, прогрессия имеет вид:
5, -10, 20, -40, 80…

Геометрическая прогрессия бывает четырех типов:

1. Возрастающая геометрическая прогрессия, если b1 > 0 и q > 1.
Например: 3, 6, 12, 24, 48, 96…

2. Убывающая геометрическая прогрессия, если 0 .
Например: 1, 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, 0.03125, 0.015625, 0.0078125, 0.00390625, 0.001953125…

3. Знакочередующаяся геометрическая прогрессия, если q .
Например: 1, -2, 4, -8, 16, -32, 64, -128, 256, -512…

4. Стационарная геометрическая прогрессия, если q = 1.
Например: 5, 5, 5, 5, 5, 5…

Любой член b_n геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле:

b_m − известный член геометрической прогрессии
m − номер m известного члена прогрессии
n − номер n члена геометрической прогрессии (который необходимо найти)
q − знаменатель геометрической прогрессии

Возьмём для примера, заданную выше прогрессию 3, 6, 12, 24, 48… и найдем ее 4-й член. В данной прогрессии q = 2. В качестве b

m − мы можем использовать любой известный член прогрессии, возьмем b₂ = 6, тогда
b_n = q^n−m · b_m
b₄ = (2)^{4 − 2} · (6) = 24

Знаменатель геометрической прогрессии

b_n − известный член геометрической прогрессии член с номером n
b_n+1 − следующий известный член геометрической прогрессии член с номером n+1

Приведем пример. Дана прогрессия (b_n): 1 , -7 , 49 , -343 , 2401… найти ее знаменатель. В качестве b_n, возьмём 3-й член в качестве b_n+1 четвертый.
b_n = 49
b_n+1 = -343 тогда:

q =

b_n+1

b_n

-343

-7

Сумма членов геометрической прогрессии

Сумма первых n членов геометрической прогрессии b₁ − первый член геометрической прогрессии
b_n − член геометрической прогрессии (последний член суммы)
n − номер n члена геометрической прогрессии (количество суммируемых членов)
q − знаменатель геометрической прогрессии

Приведем пример. Дана прогрессия (b_n): -2 , -8 , -32 , -128, -512… Знаменатель q = 4. Найти сумму первых четырех членов.

S_n =

b_n · q − b₁

q − 1

(-128 · 4) − (-2)

4 − 1

-170

Сумма членов геометрической прогрессии от n-ого до m-огоb_n − член геометрической прогрессии член с номером n
b_m − член геометрической прогрессии член с номером m

n − номер n члена геометрической прогрессии
m − номер m члена геометрической прогрессии
q − знаменатель геометрической прогрессии

Приведем пример. Дана прогрессия (b_n): -2 , -8 , -32 , -128, -512… Знаменатель q = 4. Найдем сумму с 2-го по 4-й член.

S_n,m =

b_m · q − b_n

q − 1

(-128 · 4) − (-8)

4 − 1

-168

Произведение членов геометрической прогрессии

Произведение первых n членов геометрической прогрессииb₁ − первый член геометрической прогрессии
b_n − член геометрической прогрессии (последний член произведения)
n − номер n члена геометрической прогрессии (количество членов произведения)

Приведем пример.

Дана прогрессия (b_n): -2 , -8 , -32 , -128, -512… Найти произведение первых четырех членов.

P_n = (b₁ · b_n)^n/2 =

(-2 · (-128))^4/2 =

65536

Произведение членов геометрической прогрессии от n-ого до m-огоb₁ − первый член геометрической прогрессии
b_n-1 − член геометрической прогрессии с номером n-1
b_m − член геометрической прогрессии член с номером m (последний член произведения)
n − номер n члена геометрической прогрессии
m − номер m члена геометрической прогрессии Произведение членов геометрической прогрессии от n-ого до m-огоq − знаменатель геометрической прогрессии
b₁
− первый член геометрической прогрессии
n − номер n члена геометрической прогрессии
m − номер m члена геометрической прогрессии

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Справочник по математике

Алгебра

Последовательности чисел

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Определение 1. Числовую последовательность

b₁, b₂, … b_k , …

все члены которой отличны от нуля, называют геометрической прогрессией, если справедливы равенства

Определение 2. Если последовательность чисел

b₁, b₂, … b_k , …

является геометрической прогрессией, то число q , определенное формулой

называют знаменателем этой геометрической прогрессии.

Из определений 1 и 2 следует, что для того, чтобы задать геометрическую прогрессию, нужно знать два числа, например, первый член геометрической прогрессии b₁ и знаменатель геометрической прогрессии q . Если числа b₁ и q известны, то все остальные члены прогрессии можно найти по формулам:

b₂ = b₁q ,

b₃ = b₂q ,

…

b_k = b_{k – 1}q

…

(1)

По этой причине многие задачи на геометрическую прогрессию удобно решать при помощи составления системы уравнений для определения чисел b₁ и q.

Из формул (1) вытекает общая формула

b_k = b₁q^{k – 1},
k = 1, 2, 3, …

(2)

позволяющая по любому номеру k вычислить член b_k геометрической прогрессии, зная первый член и знаменатель прогрессии. Эта формула носит название формулы общего члена геометрической прогрессии.

Из формулы (2) вытекает утверждение, называемое характеристическим свойством геометрической прогрессии. Это свойство формулируется так: — «Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению своих соседних членов». Таким образом, характеристическое свойство геометрической прогрессии утверждает, что при справедливо равенство

(3)

В случае, когда

b₁ > 0 и q > 0

все члены геометрической прогрессии будут положительными, и формулу (3) можно переписать в другом виде:

(4)

Равенство (4) означает, что каждый член такой геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому своих соседних членов.

Если для суммы первых k членов геометрической прогрессии ввести обозначение

S_k = b₁ + b₂ + … + b_k ,
k = 1, 2, 3, …

то, воспользовавшись равенствами (1), получаем

q S_k =
= b₁q + b₂q + … + b_kq =
= b₂ + b₃ + … + b_{k +1} .

Следовательно,

S_k – q S_k = b₁ – b_{k +1} .

Таким образом , при будет справедливо равенство

которое называется формулой для суммы первых k членов геометрической прогрессии.

В случае, когда q = 1, все члены геометрической прогрессии равны, что не представляет особого интереса.

Определение 3. Геометрическую прогрессию называют бесконечно убывающей, если её знаменатель удовлетворяет неравенству

| q | < 1 .

В этом случае выполнено равенство

а величину S называют суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Более подробно с понятием предела числовой последовательности можно ознакомиться в в разделе «Пределы числовых последовательностей» нашего справочника.

С примерами решений различных задач по теме «Геометрическая прогрессия» можно ознакомиться в нашем учебном пособии «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Геометрические последовательности и ряды

Геометрические последовательности

Геометрическая последовательностьПоследовательность чисел, в которой каждое последующее число является произведением предыдущего числа и некоторой константы r . , или геометрическая прогрессияИспользуется при ссылке на геометрическую последовательность., представляет собой последовательность чисел, где каждое последующее число является произведением предыдущего числа и некоторой константы r .

an=ran−1 Geometic Sequence

И поскольку anan−1=r, постоянный множитель равен r называется обыкновенным отношением. Константа r получается при делении любых двух последовательных членов геометрической прогрессии; anan−1=r.. Например, следующая геометрическая последовательность

9,27,81,243,729…

Здесь a1=9, а отношение между любыми двумя последовательными членами равно 3. Мы можем построить общий член an= 3an−1 где

a1=9a2=3a1=3(9)=27a3=3a2=3(27)=81a4=3a3=3(81)=243a5=3a4=3(243)=729⋮

In в общем, учитывая первый член a1 и обыкновенное отношение r геометрической прогрессии можно записать следующее: мы видим, что любая геометрическая последовательность может быть записана через ее первый элемент, ее знаменатель и индекс следующим образом: представляет собой геометрическую последовательность.

Пример 1

Найдите уравнение для общего члена данной геометрической прогрессии и используйте его для вычисления его 10 ^th член: 3,6,12,24,48…

Решение:

Начните с нахождения знаменателя,

r=63=2

Обратите внимание, что отношение между любыми двумя последовательными членами равно 2. последовательность действительно является геометрической прогрессией, где a1=3 и r=2.

an=a1rn−1=3(2)n−1

Следовательно, мы можем записать общий член an=3(2)n−1, а 10 ^-й член можно вычислить следующим образом:

a10 =3(2)10−1=3(2)9=1,536

Ответ: an=3(2)n−1; а10=1,536

Члены между заданными членами геометрической последовательности называются средними геометрическими. Члены между заданными членами геометрической прогрессии. Другими словами, найдите все средние геометрические между членами 1 и 4 .

Решение:

Начните с нахождения знаменателя r . В этом случае нам даны первый и четвертый члены:

an=a1rn−1 Use n = 4. a4=a1r4−1a4=a1r3

Подставьте a1=-5 и a4=-135 в приведенное выше уравнение и затем найдите r .

−135=−5r327=r33=r

Затем используйте первый член a1=−5 и знаменатель r=3, чтобы найти уравнение для n -го члена последовательности.

an=a1rn−1an=−5(3)n−1

Теперь мы можем использовать an=−5(3)n−1, где n — натуральное число, чтобы определить недостающие члены.

a1=-5(3)1-1=-5⋅30=-5a2=-5(3)2-1=-5⋅31=-15a3=-5(3)3-1=-5⋅ 32=−45 } геометрическое среднее4=−5(3)4−1=−5⋅33=−135

Ответ: −15, −45,

Первый член геометрической прогрессии не может быть задан.

Пример 3

Найдите общий член геометрической прогрессии, где a2=−2 и a5=2125.

Решение:

Чтобы определить формулу для общего члена, нам нужны a1 и r. Нелинейная система с этими переменными может быть сформирована с использованием данной информации и an=a1rn−1:

{a2=a1r2−1a5=a1r5−1 ⇒ {−2=a1r2125=a1r4 Use a2=−2. Используйте a5=2125.

Найдите a1 в первом уравнении,

{  −2=a1r ⇒ −2r=a12125=a1r4

Подставим a1=−2r во второе уравнение и найдем r .

2125=a1r42125=(−2r)r42125=−2r3−1125=r3−15=r

Обратно заменить, чтобы найти a1:

a1=−2r=−2(−15)=10

Следовательно, a1 =10 и r=-15.

Ответ: an=10(−15)n−1

Попробуйте! Найдите уравнение для общего члена данной геометрической прогрессии и используйте его для вычисления его 6-го ^-го-го члена: 2,43,89,…

Ответ: an=2(23)n−1; a6=64243

(нажмите, чтобы посмотреть видео)

Геометрический ряд

Геометрический рядСумма членов геометрической прогрессии. представляет собой сумму членов геометрической прогрессии. Например, сумма первых 5 членов геометрической последовательности, определяемой выражением an=3n+1, выглядит следующим образом:

S5=Σn=153n+1=31+1+32+1+33+1+34+1+35 +1=32+33+34+35+36=9+27+81+243+729=1,089

Можно сложить 5 положительных целых чисел. Однако задача добавления большого количества терминов не стоит. Поэтому далее мы разрабатываем формулу, которую можно использовать для вычисления суммы первых n членов любой геометрической прогрессии. В общем,

Sn=a1+a1r+a1r2+…+a1rn−1

Умножая обе части на r , мы можем написать,

rSn= a1r+a1r2+a1r3+…+a1rn

Вычитая эти два уравнения, затем получаем,

Sn−rSn=a1−a1rnSn(1−r)=a1(1−rn)

Предполагая, что r≠1 делит обе части на (1−r), мы получаем формулу для n -го частичного сумма геометрической прогрессииСумма первых n членов геометрической прогрессии, заданная формулой: Sn=a1(1−rn)1−r, r≠1.:

Sn=a1(1−rn)1−r(r≠1)

Другими словами, n -я частичная сумма любой геометрической последовательности может быть вычислена с использованием первого члена и знаменателя. Например, чтобы вычислить сумму первых 15 членов геометрической последовательности, определяемой выражением an=3n+1, используйте формулу с a1=9 и r=3.

S15=a1(1−r15)1−r=9⋅(1−315)1−3=9(−14 348 906)−2=64 570 077

Пример 4

Найдите сумму первых 10 членов заданная последовательность: 4, −8, 16, −32, 64,…

Решение:

Определите, есть ли общее отношение между данными терминами.

r=-84=-2

Обратите внимание, что отношение между любыми двумя последовательными членами равно -2; следовательно, данная последовательность является геометрической последовательностью. Используйте r=−2 и тот факт, что a1=4, чтобы вычислить сумму первых 10 членов,

Sn=a1(1−rn)1−rS10=4[1−(−2)10]1−(− 2)=4(1−1,024)1+2=4(−1,023)3=−1,364

Ответ: S10=−1,364

Пример 5

Оценка: Σn=162(−5)n.

Решение:

В этом случае нас просят найти сумму первых 6 членов геометрической последовательности с общим членом an=2(−5)n. Используйте это, чтобы определить член 1 ^st и обыкновенное отношение r :

a1=2(−5)1=−10

Чтобы показать, что существует общее отношение, мы можем использовать последовательные члены в целом следующим образом :

r=anan-1=2(-5)n2(-5)n-1=(-5)n-(n-1)=(-5)1=-5

Использовать a1=-10 и r=-5 для вычисления частичной суммы 6 ^th.

Sn=a1(1−rn)1−rS6=−10[1−(−5)6]1−(−5)=−10(1−15 625)1+5=−10(−15 624)6 =26 040

Ответ: 26 040

Попробуйте! Найдите сумму первых 9 членов данной последовательности: −2, 1, −1/2,…

Ответ: S9=−171128

(нажмите, чтобы посмотреть видео)

Если обыкновенное отношение r бесконечной геометрической последовательности является дробью, где |r|<1 (то есть −1 n -й частичной суммы, стремится к 1, поскольку n увеличивается. Например, если r=110 и n=2,4,6, то

1−(110)2=1−0,01=0,991−(110)4=1−0,0001=0,99991−(110)6=1 −0,000001=0,999999

Здесь мы видим, что этот коэффициент становится все ближе и ближе к 1 для все больших значений n . Это иллюстрирует идею предела, важное понятие, широко используемое в математике высокого уровня, которое выражается с использованием следующих обозначений:

limn→∞(1−rn)=1 где |r|<1 , “предел (1−rn) как n приближается к бесконечности равно 1». Хотя это дает представление о том, что вас ждет в дальнейшем изучении математики, в данный момент мы занимаемся разработкой формулы для специальных бесконечных геометрических рядов. Рассмотрим n -ю частичную сумму любой геометрической прогрессии,

Sn=a1(1−rn)1−r=a11−r(1−rn)

поскольку n приближается к бесконечности, существует, и мы можем написать,

Sn=a11−r(1−rn) ⇒n→∞ S∞=a11−r⋅1

Таким образом, сходящийся геометрический ряд Бесконечный геометрический ряд, где |r|<1, сумма которого определяется формулой: S∞=a11−r. — бесконечный геометрический ряд, где |r|<1; его сумму можно вычислить по формуле:

S∞=a11−r

Пример 6

Найти сумму бесконечного геометрического ряда: 32+12+16+118+154+⋯

Решение:

Определить обыкновенное отношение,

r=1232=12⋅23=13

Поскольку обыкновенное отношение r=13 представляет собой дробь от −1 до 1, это сходящийся геометрический ряд. Используйте первый член a1=32 и обыкновенное отношение, чтобы вычислить его сумму.

S∞=a11−r=321−(13)= 32 23=32⋅32=94

Ответ: S∞=94

Примечание : В случае бесконечного геометрического ряда, где |r|≥ 1 ряд расходится и говорят, что суммы нет. Например, если an=(5)n−1, то r=5 и мы имеем

S∞=Σn=1∞(5)n−1=1+5+25+⋯

Мы видим, что эта сумма неограниченно растет и не имеет суммы.

Попробуйте! Найдите сумму бесконечного геометрического ряда: Σn=1∞−2(59)n−1.

Ответ: −9/2

(нажмите, чтобы посмотреть видео)

Повторяющаяся десятичная дробь может быть записана в виде бесконечного геометрического ряда, общий коэффициент которого равен степени 1/10. Следовательно, формулу сходящегося геометрического ряда можно использовать для преобразования повторяющейся десятичной дроби в дробь.

Пример 7

Запишите в виде дроби: 1,181818…

Решение:

Начните с определения повторяющихся цифр справа от десятичной дроби и запишите в виде геометрической прогрессии.

0,181818…=0,18+0,0018+0,000018+…=18100+1810 000+181 000 000+…

В этой форме мы можем определить знаменатель отношения для вычисления бесконечной суммы:

S∞=a11−r=181001−(1100)=1810099100=18100⋅10099=211

Следовательно, 0,181818…=211 и мы имеем,

1,181811…=1+1+181811

Ответ: 1211

Пример 8

Некоторый мяч отскакивает на две трети высоты, с которой он упал. Если этот мяч первоначально падает с высоты 27 футов, оцените приблизительное общее расстояние, которое пройдет мяч.

Решение:

Мы можем рассчитать высоту каждого последовательного отскока:

27=23 = 18 футов высоты первого отскока18 порядка 23 = высота 12 футов второго отскока12 порядка 23 = 8 футов высоты третьего отскока

Общее расстояние, пройденное мячом, равно сумме расстояний, на которые он падает, и расстояний, на которые мяч поднимается. Расстояния, на которые падает мяч, составляют геометрический ряд:

27+18+12+⋯ Расстояние падения мяча

, где a1=27 и r=23. Потому что r — дробь от −1 до 1, эту сумму можно рассчитать следующим образом:

S∞=a11−r=271−23=2713=81

Следовательно, мяч падает с общей высоты 81 фут. . Расстояния, на которые поднимается мяч, составляют геометрический ряд:

18+12+8+⋯ Расстояние на мяч поднимается

, где a1=18 и r=23. Вычислите эту сумму аналогичным образом:

S∞=a11−r=181−23=1813=54

Следовательно, мяч поднимается на общее расстояние 54 фута. Приблизительно общее пройденное расстояние путем сложения общих расстояний подъема и опускания:

81+54=135 футов

Ответ: 135 футов

Ключевые выводы

Геометрическая последовательность — это последовательность, в которой отношение r между последовательными членами является постоянным.
Общий член геометрической прогрессии можно записать через его первый член a1, знаменатель r и индекс n следующим образом: an=a1rn−1.
Геометрический ряд – это сумма членов геометрической прогрессии.
n -я частичная сумма геометрической прогрессии может быть вычислена с использованием первого члена a1 и знаменателя r следующим образом: Sn=a1(1−rn)1−r.
Бесконечная сумма геометрической последовательности может быть вычислена, если знаменатель представляет собой дробь между −1 и 1 (то есть |r|<1) следующим образом: S∞=a11−r. Если |r|≥1, то суммы не существует.

Тематические упражнения

Часть A: геометрические последовательности

Запишите первые 5 членов геометрической прогрессии, зная ее первый член и знаменатель. Найдите формулу для его общего члена.

а1=1; г=5
а1=1; г=3
а1=2; г=3
а1=5; г=4
а1=2; г=-3
а1=6; г=-2
а1=3; г=23
а1=6; г=12
а1=1,2; г=0,6
а1=-0,6; г=-3

Учитывая геометрическую последовательность, найдите формулу для общего члена и используйте ее для определения 5 ^-го члена в последовательности.

7, 28, 112,…
−2, −10, −50,…
2, 12, 18,…
1, 25, 425,…
8, 4, 2,…
6, 2, 23,…
−1, 23, −49,…
2, −32, 98,…
13, −2, 12,…
25, −2, 10,…
−3,6, −4,32, −5,184,…
0,8, −2,08, 5,408,…
Найдите общий член и используйте его для определения 20-го члена в последовательности: 1, x2, x24,…
Найдите общий член и используйте его для определения 20-го члена в последовательности: 2, −6x, 18×2,…
Количество клеток в культуре определенных бактерий удваивается каждые 4 часа. Если изначально присутствует 200 клеток, напишите последовательность, показывающую популяцию клеток через каждые и 4-часовых периодов в течение одного дня. Напишите формулу, которая дает количество клеток через любой 4-часовой период.
Определенный мяч отскакивает назад на половине высоты, с которой он упал. Если этот мяч первоначально падает с высоты 12 футов, найдите формулу, определяющую высоту мяча на 9-м метре.0005 n -й отскок и используйте его, чтобы найти высоту мяча при 6 ^-м-м отскоке.
Для заданной геометрической последовательности, определяемой рекуррентным соотношением an=4an−1, где a1=2 и n>1, найдите уравнение, которое дает общий член через a1 и обыкновенное отношение r .
Для заданной геометрической последовательности, определяемой рекуррентным соотношением an=6an−1, где a1=12 и n>1, найдите уравнение, которое дает общий член через a1 и обыкновенное отношение р .

Зная члены геометрической прогрессии, найдите формулу для общего члена.

a1=-3 и a6=-96
а1=5 и а4=-40
а1=-2 и а8=-164
а1=34 и а4=-136
а2=18 и а5=486
а2=10 и а7=320
a4=−2 и a9=64
а3=-43 и а6=3281
а5=153,6 и а8=9830,4
a4=-2,4× 10-3 и a9=-7,68× 10-7

Найдите все средние геометрические между данными терминами.

а1=2 и а4=250
а1=13 и а6=-196
a2=-20 и a5=-20 000
a3=49 и a6=-16 807

Часть B: Геометрический ряд

Рассчитайте указанную сумму.

ан=2n+1; S12
ан=(-2)n+1; S12
ан=(12)n; С7
ан=(23)n-1; S6
ан=5(-3)n-1; S5
ан=-7(-4)n; S5
ан=2(-14)n; S5
ан=13(2)n+1; S10
∑n=155n
∑n=16(−4)n
∑к=1102к+1
∑k=1142k−1
∑k=110−2(3)k
∑k=185(−2)k
∑n=152(12)n+2
∑n=14−3(23)n
ан=(15)n; S∞
ан=(23)n-1; S∞
ан=2(-34)n-1; S∞
ан=3(-16)n; S∞
ан=-2(12)n+1; S∞
an=-13(-12)n; S∞
∑n=1∞2(13)n−1
∑n=1∞(15)n
∑n=1∞3(2)n−2
∑n=1∞−14(3)n−2
∑n=1∞12(−16)n
∑n=1∞13(−25)n

Запишите как смешанное число.

1,222…
5,777 …
2.252525…
3,272727…
1,999…
1.0

Предположим, вы согласились работать за копейки в день в течение 30 дней. Вы заработаете 1 пенни в первый день, 2 пенни во второй день, 4 пенни в третий день и так далее. Сколько всего пенни вы заработаете в конце 30-дневного периода? Какая сумма в долларах?
Первоначальная ставка в рулетке в размере 100 долларов сделана (на красное) и проиграна. Чтобы компенсировать разницу, игрок удваивает ставку, делает ставку в размере 200 долларов и проигрывает. Опять же, чтобы компенсировать разницу, игрок удваивает ставку до 400 долларов и проигрывает. Если игрок продолжит удваивать свою ставку таким образом и проиграет 7 раз подряд, сколько всего он проиграет?
Определенный мяч отскакивает на половину высоты, с которой он упал. Если этот мяч изначально падает с высоты 12 футов, оцените приблизительное общее расстояние, которое пройдет мяч.
Мяч для гольфа отскакивает от бетонного тротуара на три четверти высоты, с которой он упал. Если мяч первоначально падает с 8 метров, оцените общее расстояние, которое пролетел мяч.
Структурированное урегулирование дает сумму в долларах каждый год, представленную n , в соответствии с формулой pn=6000(0,80)n−1. Какова общая сумма, полученная от урегулирования через 10 лет?
Начав с квадрата, каждая сторона которого равна 1 единице, впишите другой квадрат, соединив середины каждой стороны. Продолжайте вписывать квадраты таким образом до бесконечности, как показано на рисунке:
Найдите сумму площадей всех квадратов на рисунке. (Подсказка: начните с нахождения последовательности, состоящей из площадей каждого квадрата.)

Часть C: Последовательности и серии

Классифицировать последовательность как арифметическую, геометрическую или ни одну из них. Укажите общую разность или отношение, если оно существует.

−12, 24, −48,…
−7,−5,−3,…
−3,−11,−19,…
4,9,16,…
2,32,43,…
43,89,1627,…
16,−16,−12,…
13,14,316,…
12,14,16…
−110,−15,−310,…
1,26,0,252,0,0504,…
0,02,0,08,0,18,…
1, −1, 1, −1,…
0, 0, 0,…

Классифицируйте последовательность как арифметическую или геометрическую, а затем вычислите указанную сумму.

ан=3(5)n-1; С8
ан=5-6н; S22
ан=2n; S14
ан=2n; S10
ан=-2(17)n-1; S∞
an=-2+17n; С8

Рассчитайте указанную сумму.

∑n=150(3n−5)
∑n=125(4−8n)
∑n=112(−2)n−1
∑n=1∞5(−12)n−1
∑n=1405
∑n=1∞0,6n

Часть D: Дискуссионная доска

Используйте приемы, описанные в этом разделе, чтобы объяснить, почему 0,999…=1.
Построить геометрическую прогрессию, где r=1. Исследуйте частичную сумму n такой последовательности. Какие выводы мы можем сделать?

Ответы

1, 5, 25, 125, 625; ан=5n−1
2, 6, 18, 54, 162; an=2(3)n−1
2, -6, 18, -54, 162; an=2(−3)n−1
3, 2, 43, 89, 1627; an=3(23)n−1
1,2, 0,72, 0,432, 0,2592, 0,15552; an=1,2(0,6)n−1
an=7(4)n−1, a5=1,792
an=2(14)n−1, a5=1128
ан=8(12)n−1, а5=12
an=-(-23)n-1, a5=-1681
an=13(−6)n−1, a5=432
an=-3,6(1,2)n-1, a5=-7,46496
an=(x2)n−1; а20=х19219
400 ячеек; 800 ячеек; 1600 ячеек; 3200 ячеек; 6400 ячеек; 12 800 ячеек; pn=400(2)n−1 клеток
ан=2(4)n−1
ан=-3(2)n-1
ан=-2(12)n-1
ан=6(3)n−1
an=14(−2)n−1
ан=0,6(4)n−1
10, 50
−200; −2 000

16 380
127128
305
−205512
3 905
4,092
−177 144
3164
14
87
−1
3
Нет суммы
−114
129
22599
2
1 073 741 823 пенни; 10 737 418,23
долларов США
36 футов
26 778,77 $

Геометрический; г=-2
Арифметика; г=-8
Ни
Арифметика; д=-13
Ни
Геометрический; г=0,2
Геометрический; г=-1
Геометрический; 292 968
Арифметика; 210
Геометрический; −73
3 575
−1 365
200

Ответ может отличаться
9{th}$ частичная сумма геометрической прогрессии. {th}$ член — $g_n$. Это означает, что любая геометрическая прогрессия $(g_n )_{n\in N}$ имеет следующий вид 94,\ldots$$
, где ненулевая константа $r$ является знаменателем. Первый член $g_1$ называется начальным. Обратите внимание, что обыкновенное отношение $r$ не может быть равно нулю. С другой стороны, прогрессия $(g_n )_{n\in N}$ является геометрической прогрессией со знаменателем $r$, если отношения между последовательными членами равны, т.е.
$$\frac{g_2}{g_1 }=\frac{g_3}{g_2}=\ldots=\frac{g_n}{g_{n-1}} =r$$
- Если $r>1$, то геометрическая прогрессия является возрастающей и он держит
  $$g_1\lt g_2\lt \ldots\lt g_{n-1}\lt g_n$$
- Если $0\lt r\lt 1$, то геометрическая прогрессия является убывающей и имеет место
  $$ g_1>g_2>\ldots>g_{n-1}>g_n$$
- Если $r=1$, то геометрическая прогрессия является постоянной прогрессией и выполняется
  $$g_1=g_2=\ldots=g_{n -1}=g_n$$ Постоянная прогрессия — это только прогрессия, которая является одновременно и геометрической, и геометрической.
Члены между двумя непоследовательными членами геометрической прогрессии $(g_n )_{n\in N}$ называются средними геометрическими этих членов. Например, среднее геометрическое между $g_1$ и $g_5$ равно $g_2$, $g_3$ и $g_5$. Если заданы два непоследовательных члена геометрической прогрессии $(g_n )_{n\in N}$ и число средних геометрических между ними, то геометрическая прогрессия полностью определена. 9{th}$ частичная сумма геометрической прогрессии, в которой членов геометрической прогрессии $5$, первый член равен $2$, а знаменатель равен $4$. Для любых других комбинаций количества членов, первого члена и общего отношения просто укажите другие числа в качестве входных данных и нажмите кнопку «СОЗДАТЬ РАБОТУ». Учащиеся начальной школы могут использовать этот калькулятор геометрической прогрессии для создания работы, проверки результатов или эффективного решения домашних заданий.
Реальные задачи с использованием геометрической прогрессии 9{th}$ член этой прогрессии равен $g_n=1.
03g_{n-1}$, а начальный член равен $g_1=100$.
Геометрическая прогрессия может представлять рост или распад.
- Если обыкновенное отношение $r$ больше $1$, $r>1$, то геометрическая прогрессия может моделировать рост. Например, рост населения.
- Если знаменатель $r$ положителен и меньше $1$, $0\lt r\lt 1$, то геометрическая прогрессия может моделировать распад. Например, предположим, что новый автомобиль теряет одну пятую своей стоимости. каждый год. Сколько стоит этот автомобиль через 3 года, если сейчас он стоит $\$30,0000$. 9x,\;x>0,$ получаем следующие графики:
  Практические задачи на геометрическую прогрессию
  Практическая задача 1:
  У нас есть $\$12$ и мы идем в банк, чтобы внести деньги. Банк предлагает нам следующий вариант: в первый месяц мы получаем $\$18$, во второй месяц мы получаем $\$27$ и т.д. Сколько денег мы получим через $10$ месяцев?
  Практическая задача 2:
  Дана последовательность рекуррентным соотношением $g_{n+1}=6g_n$ и $g_1=3$. Найдите сумму первых $10$ членов геометрической прогрессии. 9{th}$ член геометрической прогрессии и сумма $n$ чисел геометрической прогрессии, пример вычисления (работа с шагами), реальные задачи и практические задачи будут очень полезны для учащихся начальных классов (K-12 образование) в изучении рядов и последовательностей и в решении проблем в банковском деле, биологии и других областях реальной жизни.
  - Калькулятор отношений и пропорций
  - Калькулятор логарифмов
  - Калькулятор антилогарифма
  - Калькулятор простых или составных чисел
  - Прайс -калькулятор факторизации
  - Кальфлятор арифметического прогрессирования
  - миллиард — миллион — кроры — конвертер
  - Двоирный до децимального, Hex & Octal Converter
  - . Восьмеричный преобразователь
  - Восьмеричное в десятичное, двоичное и шестнадцатеричное преобразование
  - Калькулятор средневзвешенных значений
  Геометрическая прогрессия — Уроки Византа
  Прогрессия — это еще один способ сказать последовательность, таким образом, геометрическая прогрессия — это число
  , также известное как геометрическая последовательность.
  Геометрическая прогрессия — это особая последовательность, определяемая тем особым свойством, что
  отношение двух последовательных членов одинаково для всех членов последовательности.
  В то время как в арифметической прогрессии мы говорили о разнице, здесь мы говорим о соотношениях
  что означает, что когда вы делите текущий член на предыдущий член, число, которое
  , которое вы получите, должно быть отличной от нуля константой, одинаковой для всех последовательных пар
  терминов в последовательности. Это число известно как обыкновенное отношение и обозначается как
  буквой r .
  Например, учитывая последовательность ниже
  чтобы последовательность квалифицировалась как геометрическая прогрессия, следующее должно быть
  истинным
  поэтому, поскольку мы установили вышеуказанное соотношение, мы заключаем, что следующее
  должно быть верным
  а также на 4 срок
  и последний член
  Так ты уже ничего не заметил?
  Выражение для последнего члена дает нам общее выражение для нахождения любого члена
  в геометрической прогрессии. Все, что вам нужно, это первый член и обыкновенное отношение
  , затем примените следующее:
  Например; найдите 5-й и 8-й члены геометрической прогрессии, если
  первый член равен 2, а знаменатель равен 3
  Решение:
  Поскольку у нас есть первый член и знаменатель r , все, что нам нужно сделать, это
  подставить в формулу, чтобы получить нужные нам члены:
  Геометрическая серия
  Поскольку у нас есть геометрическая последовательность, вы также должны ожидать, что у вас будет геометрическая последовательность
  для суммы членов в геометрической прогрессии.
  Используя обозначение серии, геометрическую серию можно представить как
  .
  Подобно тому, что мы делали в арифметической прогрессии, мы можем вывести формулу для нахождения суммы
  геометрической прогрессии.
  Первый шаг состоит в том, чтобы заменить различные термины и представить все выражение 91 284 в терминах только первого члена.
  поскольку первый член является общим для всего выражения, мы можем выделить его как
  следующим образом:
  Если бы мы умножили эту сумму на обыкновенное отношение r , то получили бы
  после
  .
  Затем мы приступаем к вычитанию вышеуказанного из исходного выражения суммы, поскольку
  следует за
  .
  что после некоторых очень долгих и утомительных манипуляций, что вам не стоит слишком беспокоиться
  о дает
  вынес сумму
  что оставляет следующую формулу для нахождения суммы геометрического ряда
  который также выражается как
  Примеры геометрической прогрессии
  Пример 1
  Найдите сумму первых 10 членов следующего геометрического ряда
  Этап 1
  Сумму геометрического ряда можно найти по следующей формуле:
  Этап 2
  Из приведенной выше формулы видно, что нам нужен только первый член, обычное отношение
  и количество членов в ряду, чтобы вычислить сумму.
  No related posts.