Разложить многочлен по степеням
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Частное решение.
1-90-\cfrac{268}{x-3}\)
Теория чисел
Настройка.
ПодробноМетод разложения на множители примеры. Как разложить на множители алгебраическое уравнение
Что такое разложение на множители? Это способ превращения неудобного и сложного примера в простой и симпатичный.) Оч-ч-чень мощный приём! Встречается на каждом шагу и в элементарной математике, и в высшей.
Подобные превращения на математическом языке называются тождественными преобразованиями выражений. Кто не в теме — прогуляйтесь по ссылке. Там совсем немного, просто и полезно.) Смысл любого тождественного преобразования — это запись выражения в другом виде с сохранением его сути.
Смысл разложения на множители предельно прост и понятен. Прямо из самого названия. Можно забыть (или не знать), что такое множитель, но то, что это слово происходит от слова «умножить» сообразить-то можно?) Разложить на множители означает: представить выражение в виде умножения чего-то на чего-то. Да простят мне математика и русский язык…) И всё.
Например, надо разложить число 12. Можно смело записать:
А можно разложить 12 по-другому? Легко!
12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=.
…….
Вариантов разложения — бесконечное количество.
Разложение чисел на множители — штука полезная. Очень помогает, например, при действиях с корнями. Но разложение на множители алгебраических выражений вещь не то, что полезная, она — необходимая! Чисто для примера:
Упростить:
Кто не умеете раскладывать выражение на множители, отдыхает в сторонке. Кто умеет — упрощает и получает:
Эффект потрясающий, правда?) Кстати, решение достаточно простое. Ниже сами увидите. Или, например, такое задание:
Решить уравнение:
х 5 — x 4 = 0
Решается в уме, между прочим. С помощью разложения на множители. Ниже мы решим этот пример. Ответ: x 1 = 0; x 2 = 1 .
Или, то же самое, но для старшеньких):
Решить уравнение:
На этих примерах я показал основное назначение разложения на множители: упрощение дробных выражений и решение некоторых типов уравнений. Рекомендую запомнить практическое правило:
Если перед нами страшное дробное выражение, можно попробовать разложить на множители числитель и знаменатель.
Очень часто дробь сокращается и упрощается.
Если перед нами уравнение, где справа — ноль, а слева — не пойми что, можно попробовать разложить левую часть на множители. Иногда помогает).
Основные способы разложения на множители.
Вот они, самые популярные способы:
4. Разложение квадратного трёхчлена.
Эти способы надо запомнить. Именно в таком порядке. Сложные примеры проверяются
1. Вынесение общего множителя за скобки.
Простой и надёжный способ. От него плохо не бывает! Бывает либо хорошо, либо никак.) Поэтому он и стоит первым. Разбираемся.
Все знают (я верю!)) правило:
a(b+c) = ab+ac
Или, в более общем виде:
a(b+c+d+…..) = ab+ac+ad+….
Все равенства работают как слева направо, так и наоборот, справа налево. Можно записать:
ab+ac = a(b+c)
ab+ac+ad+.
… = a(b+c+d+…..)
Вот и вся суть вынесения общего множителя за скобки.
В левой части а — общий множитель для всех слагаемых. Умножается на всё, что есть). Справа это самое а находится уже за скобками.
Практическое применение способа рассмотрим на примерах. Сначала вариант простой, даже примитивный.) Но на этом варианте я отмечу (зелёным цветом) очень важные моменты для любого разложения на множители.
Разложить на множители:
ах+9х
Какой общий множитель сидит в обоих слагаемых? Икс, разумеется! Его и будем выносить за скобки. Делаем так. Сразу пишем икс за скобками:
ах+9х=х(
А в скобках пишем результат деления каждого слагаемого на этот самый икс. По порядочку:
Вот и всё. Конечно, так подробно расписывать не нужно, Это в уме делается. Но понимать, что к чему, желательно). Фиксируем в памяти:
Пишем общий множитель за скобками. В скобках записываем результаты деления всех слагаемых на этот самый общий множитель.
По порядочку.
Вот мы и разложили выражение ах+9х на множители. Превратили его в умножение икса на (а+9). Замечу, что в исходном выражении тоже было умножение, даже два:
Как так!? — слышу возмущённый глас народа — А в скобках!?)
Да, внутри скобок есть сложение. Но фишка в том, что пока скобки не раскрыты, мы рассматриваем их как одну букву. И все действия со скобками делаем целиком, как с одной буквой. В этом смысле в выражении х(а+9) кроме умножения ничего нет. В этом вся суть разложения на множители.
Кстати, можно ли как-то проверить, всё ли правильно мы сделали? Запросто! Достаточно обратно умножить то, что вынесли (икс) на скобки и посмотреть — получилось ли исходное выражение? Если получилось, всё тип-топ!)
х(а+9)=ах+9х
Получилось.
)
В этом примитивном примере проблем нет. Но если слагаемых несколько, да ещё с разными знаками… Короче, каждый третий ученик косячит). Посему:
При необходимости проверяем разложение на множители обратным умножением.
Разложить на множители:
3ах+9х
Ищем общий множитель. Ну, с иксом всё ясно, его можно вынести. А есть ли ещё общий множитель? Да! Это тройка. Можно же записать выражение вот так:
3ах+3·3х
Здесь сразу видно, что общий множителем будет 3х . Вот его и выносим:
3ах+3·3х=3х(а+3)
Разложили.
А что будет, если вынести только х? Да ничего особенного:
3ах+9х=х(3а+9)
Это тоже будет разложение на множители. Но в этом увлекательном процессе принято раскладывать всё до упора, пока есть возможность. Здесь в скобках есть возможность вынести тройку. Получится:
3ах+9х=х(3а+9)=3х(а+3)
То же самое, только с одним лишним действием.) Запоминаем:
При вынесении общего множителя за скобки, стараемся вынести
Продолжаем развлечение?)
Разложить на множители выражение:
3ах+9х-8а-24
Что будем выносить? Тройку, икс? Не-е-е… Нельзя. Напоминаю, выносить можно только общий множитель, который есть во всех слагаемых выражения. На то он и общий. Здесь такого множителя нету… Что, можно не раскладывать!? Ну да, обрадовались, как же… Знакомьтесь:
2. Группировка.
Собственно, группировку трудно назвать самостоятельным способом разложения на множители. Это, скорее, способ выкрутиться в сложном примере.) Надо сгруппировать слагаемые так, чтобы всё получилось. Это только на примере показать можно. Итак, перед нами выражение:
3ах+9х-8а-24
Видно, что какие-то общие буквы и числа имеются. Но… Общего множителя, чтобы был во всех слагаемых — нет. Не падаем духом и разбиваем выражение на кусочки. Группируем. Так, чтобы в каждом кусочке был общий множитель, было чего вынести. Как разбиваем? Да просто ставим скобки.
Напомню, что скобки можно ставить где угодно и как угодно. Лишь бы суть примера не менялась. Например, можно так:
3ах+9х-8а-24 =(3ах+9х)-(8а+24 )
Прошу обратить внимание на вторые скобки! Перед ними стоит знак минус, а 8а и 24 стали положительными! Если, для проверки, обратно раскрыть скобки, знаки поменяются, и мы получим исходное выражение. Т.е. суть выражения от скобок не изменилась.
Но если вы просто воткнули скобки, не учитывая смену знака, например, вот так:
3ах+9х-8а-24 =(3ах+9х)-(8а-24 )
это будет ошибкой. Справа — уже другое выражение. Раскройте скобки и всё станет видно. Дальше можно не решать, да…)
Но возвращаемся к разложению на множители. Смотрим на первые скобки (3ах+9х) и соображаем, можно ли чего вынести? Ну, этот пример мы выше решали, можно вынести 3х:
(3ах+9х)=3х(а+3)
Изучаем вторые скобки, там можно вынести восьмёрку:
(8а+24)=8(а+3)
Всё наше выражение получится:
(3ах+9х)-(8а+24)=3х(а+3)-8(а+3)
Разложили на множители? Нет.
В результате разложения должно получиться только умножение, а у нас знак минус всё портит. Но… В обоих слагаемых есть общий множитель! Это (а+3) . Я не зря говорил, что скобки целиком — это, как бы, одна буква. Значит, эти скобки можно вынести за скобки. Да, именно так и звучит.)
Делаем, как было рассказано выше. Пишем общий множитель (а+3) , во вторых скобках записываем результаты деления слагаемых на (а+3) :
3х(а+3)-8(а+3)=(а+3)(3х-8)
Всё! Справа кроме умножения ничего нет! Значит, разложение на множители завершено успешно!) Вот оно:
3ах+9х-8а-24=(а+3)(3х-8)
Повторим кратенько суть группировки.
Если в выражении нет общего множителя для всех слагаемых, разбиваем выражение скобками так, чтобы внутри скобок общий множитель был. Выносим его и смотрим, что получилось. Если повезло, и в скобках остались совершенно одинаковые выражения, выносим эти скобки за скобки.
Добавлю, что группировка — процесс творческий).
Не всегда с первого раза получается. Ничего страшного. Иногда приходится менять слагаемые местами, рассматривать разные варианты группировки, пока не найдётся удачный. Главное здесь — не падать духом!)
Примеры.
Сейчас, обогатившись знаниями, можно и хитрые примеры порешать.) Была в начале урока тройка таких…
Упростить:
В сущности, этот пример мы уже решили. Незаметно для себя.) Напоминаю: если нам дана страшная дробь, пробуем разложить числитель и знаменатель на множители. Других вариантов упрощения просто нет.
Ну, знаменатель здесь не раскладывается, а числитель… Числитель мы уже разложили по ходу урока! Вот так:
3ах+9х-8а-24=(а+3)(3х-8)
Пишем результат разложения в числитель дроби:
По правилу сокращения дробей (основное свойство дроби), мы можем разделить (одновременно!) числитель и знаменатель на одно и то же число, или выражение. Дробь от этого не меняется. Вот и делим числитель и знаменатель на выражение (3х-8) .
И там и там получим единички. Окончательный результат упрощения:
Особо подчеркну: сокращение дроби возможно тогда и только тогда, когда в числителе и знаменателе кроме умножения выражений ничего нет. Именно потому превращение суммы (разности) в умножение так важно для упрощения. Конечно, если выражения разные, то и не сократится ничего. Бывет. Но разложение на множители даёт шанс. Этого шанса без разложения — просто нет.
Пример с уравнением:
Решить уравнение:
х 5 — x 4 = 0
Выносим общий множитель х 4 за скобки. Получаем:
х 4 (x-1)=0
Соображаем, что произведение множителей равно нулю тогда и только тогда, когда какой-нибудь из них равен нулю. Если сомневаетесь, найдите мне парочку ненулевых чисел, которые при умножении ноль дадут.) Вот и пишем, сначала первый множитель:
При таком равенстве второй множитель нас не волнует. Любой может быть, всё равно в итоге ноль получится.
А какое число в четвёртой степени ноль даст? Только ноль! И никакое другое… Стало быть:
С первым множителем разобрались, один корень нашли. Разбираемся со вторым множителем. Теперь нас не волнует уже первый множитель.):
Вот и нашли решение: x 1 = 0; x 2 = 1 . Любой из этих корней подходит к нашему уравнению.
Очень важное замечание. Обратите внимание, мы решали уравнение по кусочкам! Каждый множитель приравнивали к нулю, не обращая внимания на остальные множители. Кстати, если в подобном уравнении будет не два множителя, как у нас, а три, пять, сколько угодно — решать будем точно так же. По кусочкам. Например:
(х-1)(х+5)(х-3)(х+2)=0
Тот, кто раскроет скобки, перемножит всё, тот навсегда зависнет на этом уравнении.) Правильный ученик сразу увидит, что слева кроме умножения ничего нет, справа — ноль. И начнёт (в уме!) приравнивать к нулю все скобочки по порядочку. И получит (за 10 секунд!) верное решение: x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.
Здорово, правда?) Такое элегантное решение возможно, если левая часть уравнения разложена на множители. Намёк понятен?)
Ну и, последний пример, для старшеньких):
Решить уравнение:
Чем-то он похож на предыдущий, не находите?) Конечно. Самое время вспомнить, что в алгебре седьмого класса под буквами могут скрываться и синусы, и логарифмы, и всё, что угодно! Разложение на множители работает во всей математике.
Выносим общий множитель lg 4 x за скобки. Получаем:
lg 4 x=0
Это один корень. Разбираемся со вторым множителем.
Вот и окончательный ответ: x 1 = 1; x 2 = 10 .
Надеюсь, вы осознали всю мощь разложения на множители в упрощении дробей и решении уравнений.)
В этом уроке мы познакомились с вынесением общего множителя и группировкой. Остаётся разобраться с формулами сокращённого умножения и квадратным трёхчленом.
Если Вам нравится этот сайт…Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.
)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Разложение многочлена на множители. Часть 1
Разложение на множители — это универсальный прием, помогающий решить сложные уравнения и неравенства. Первая мысль, которая должна прийти в голову при решении уравнений и неравенств, в которых в правой части стоит ноль — попробовать разложить левую часть на множители.
Перечислим основные способы разложения многочлена на множители :
- вынесение общего множителя за скобку
- использование формул сокращенного умножения
- по формуле разложения на множители квадратного трехчлена
- способ группировки
- деление многочлена на двучлен
- метод неопределенных коэффициентов
В этой статье мы остановимся подробно на первых трех способах, остальные рассмотрим в следующих статьях.
1. Вынесение общего множителя за скобку.
Чтобы вынести за скобку общий множитель надо сначала его найти. Коэффициент общего множителя равен наибольшему общему делителю всех коэффициентов.
Буквенная часть общего множителя равна произведению выражений, входящих в состав каждого слагаемого с наименьшим показателем степени.
Схема вынесения общего множителя выглядит так:
Внимание!
Количество членов в скобках равно количеству слагаемых в исходном выражении. Если одно из слагаемых совпадает с общим множителем, то при его делении на общий множитель, получаем единицу.
Пример 1.
Разложить на множители многочлен:
Вынесем за скобки общий множитель. Для этого сначала его найдем.
1.Находим наибольший общий делитель всех коэффициентов многочлена, т.е. чисел 20, 35 и 15. Он равен 5.
2. Устанавливаем, что переменная содержится во всех слагаемых, причем наименьший из её показателей степени равен 2.
Переменная содержится во всех слагаемых, и наименьший из её показателей степени равен 3.
Переменная содержится только во втором слагаемом, поэтому она не входит в состав общего множителя.
Итак, общий множитель равен
3. Выносим за скобки множитель пользуясь схемой, приведенной выше:
Пример 2. Решить уравнение:
Решение. Разложим левую часть уравнения на множители. Вынесем за скобки множитель :
Итак, получили уравнение
Приравняем каждый множитель к нулю:
Получаем — корень первого уравнения.
Корни :
Ответ: -1, 2, 4
2. Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения.
Если количество слагаемых в многочлене, который мы собираемся разложить на множители меньше или равно трех, то мы пытаемся применить формулы сокращенного умножения.
1. Если многочлен представляет собой разность двух слагаемых , то пытаемся применить формулу разности квадратов :
или формулу разности кубов :
Здесь буквы
и
обозначают число или алгебраическое выражение.
2. Если многочлен представляет собой сумму двух слагаемых, то, возможно, его можно разложить на множители с помощью формулы суммы кубов :
3. Если многочлен состоит из трех слагаемых, то пытаемся применить формулу квадрата суммы :
или формулу квадрата разности :
Или пытаемся разложить на множители по формуле разложения на множители квадратного трехчлена :
Здесь и — корни квадратного уравнения
Пример 3. Разложить на множители выражение:
Решение. Перед нами сумма двух слагаемых. Попытаемся применить формулу суммы кубов. Для этого нужно сначала каждое слагаемое представить в виде куба какого-то выражения, а затем применить формулу для суммы кубов:
Пример 4. Разложить на множители выражение:
Рещение. Перед нами разность квадратов двух выражений. Первое выражение: , второе выражение:
Применим формулу для разности квадратов:
Раскроем скобки и приведем подобные члены, получим:
Частично использовать разложение на множители разность степеней мы уже умеем — при изучении темы «Разность квадратов» и «Разность кубов» мы научились представлять как произведение разность выражений, которые можно представить как квадраты или как кубы некоторых выражений или чисел.
5\]
Используем формулу разности степеней
Рисунок 1.
Очень часто числитель и знаменатель дроби представляют собой алгебраические выражения, которые сначала нужно разложить на множители, а потом, обнаружив среди них одинаковые, разделить на них и числитель, и знаменатель, то есть сократить дробь. Заданиям разложить многочлен на множители посвящена целая глава учебника по алгебре в 7-м классе. Разложение на множители можно осуществить 3 способами , а также комбинацией этих способов.
1. Применение формул сокращенного умноженияКак известно, чтобы умножить многочлен на многочлен , нужно каждое слагаемое одного многочлена умножить на каждое слагаемое другого многочлена и полученные произведения сложить. Есть, как минимум, 7 (семь) часто встречающихся случаев умножения многочленов, которые вошли в понятие . Например,
Таблица 1. Разложение на множители 1-м способом
2. Вынесение общего множителя за скобкуЭтот способ основан на применении распределительного закона умножения.
Например,
Каждое слагаемое исходного выражения мы делим на множитель, который выносим, и получаем при этом выражение в скобках (то есть в скобках остаётся результат деления того, что было, на то, что выносим). Прежде всего нужно правильно определить множитель , который надо вынести за скобку.
Общим множителем может быть и многочлен в скобках:
При выполнении задания «разложите на множители» надо быть особенно внимательным со знаками при вынесении общего множителя за скобки. Чтобы поменять знак у каждого слагаемого в скобке (b — a) , вынесем за скобку общий множитель -1 , при этом каждое слагаемое в скобке разделится на -1: (b — a) = — (a — b) .
В том случае если выражение в скобках возводится в квадрат (или в любую чётную степень), то числа внутри скобок можно менять местами совершенно свободно, так как вынесенные за скобки минусы при умножении всё равно превратятся в плюс: (b — a) 2 = (a — b) 2 , (b — a) 4 = (a — b) 4 и так далее…
3.
Способ группировки Иногда общий множитель имеется не у всех слагаемых в выражении, а только у некоторых. Тогда можно попробовать сгруппировать слагаемые в скобки так, чтобы из каждой можно было какой-то множитель вынести. Способ группировки — это двойное вынесение общих множителей за скобки.
4. Использование сразу нескольких способовИногда нужно применить не один, а несколько способов разложения многочлена на множители сразу.
Это конспект по теме «Разложение на множители» . Выберите дальнейшие действия:
- Перейти к следующему конспекту:
Для того, чтобы разложить на множители, необходимо упрощать выражения. Это необходимо для того, чтобы можно было в дальнейшем сократить. Разложение многочлена имеет смысл тогда, когда его степень не ниже второй. Многочлен с первой степенью называют линейным.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Статья раскроет все понятия разложения, теоретические основы и способы разложений многочлена на множители.
Теория
Теорема 1
Когда любой многочлен со степенью n , имеющие вид P n x = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 , представляют в виде произведения с постоянным множителем со старшей степенью a n и n линейных множителей (x — x i) , i = 1 , 2 , … , n , тогда P n (x) = a n (x — x n) (x — x n — 1) · . . . · (x — x 1) , где x i , i = 1 , 2 , … , n – это и есть корни многочлена.
Теорема предназначена для корней комплексного типа x i , i = 1 , 2 , … , n и для комплексных коэффициентов a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n . Это и есть основа любого разложения.
Когда коэффициенты вида a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n являются действительными числами, тогда комплексные корни, которые будут встречаться сопряженными парами. Например, корни x 1 и x 2 , относящиеся к многочлену вида P n x = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 считаются комплексно сопряженным, тогда другие корни являются действительными, отсюда получаем, что многочлен примет вид P n (x) = a n (x — x n) (x — x n — 1) · .
. . · (x — x 3) x 2 + p x + q , где x 2 + p x + q = (x — x 1) (x — x 2) .
Замечание
Корни многочлена могут повторяться. Рассмотрим доказательство теоремы алгебры, следствия из теоремы Безу.
Основная теорема алгебры
Теорема 2
Любой многочлен со степенью n имеет как минимум один корень.
Теорема Безу
После того, как произвели деление многочлена вида P n x = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 на (x — s) , тогда получаем остаток, который равен многочлену в точке s , тогда получим
P n x = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x — s) · Q n — 1 (x) + P n (s) , где Q n — 1 (x) является многочленом со степенью n — 1 .
Следствие из теоремы Безу
Когда корень многочлена P n (x) считается s , тогда P n x = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x — s) · Q n — 1 (x) . Данное следствие является достаточным при употреблении для описания решения.
Разложение на множители квадратного трехчлена
Квадратный трехчлен вида a x 2 + b x + c можно разложить на линейные множители.
тогда получим, что a x 2 + b x + c = a (x — x 1) (x — x 2) , где x 1 и x 2 — это корни (комплексные или действительные).
Отсюда видно, что само разложение сводится к решению квадратного уравнения впоследствии.
Пример 1
Произвести разложение квадратного трехчлена на множители.
Решение
Необходимо найти корни уравнения 4 x 2 — 5 x + 1 = 0 . Для этого необходимо найти значение дискриминанта по формуле, тогда получим D = (- 5) 2 — 4 · 4 · 1 = 9 . Отсюда имеем, что
x 1 = 5 — 9 2 · 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 · 4 = 1
Отсюда получаем, что 4 x 2 — 5 x + 1 = 4 x — 1 4 x — 1 .
Для выполнения проверки нужно раскрыть скобки. Тогда получим выражение вида:
4 x — 1 4 x — 1 = 4 x 2 — x — 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 — 5 x + 1
После проверки приходим к исходному выражению. То есть можно сделать вывод, что разложение выполнено верно.
Пример 2
Произвести разложение на множители квадратный трехчлен вида 3 x 2 — 7 x — 11 .
Решение
Получим, что необходимо вычислить получившееся квадратное уравнение вида 3 x 2 — 7 x — 11 = 0 .
Чтобы найти корни, надо определить значение дискриминанта. Получим, что
3 x 2 — 7 x — 11 = 0 D = (- 7) 2 — 4 · 3 · (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 · 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 — D 2 · 3 = 7 — 181 6
Отсюда получаем, что 3 x 2 — 7 x — 11 = 3 x — 7 + 181 6 x — 7 — 181 6 .
Пример 3
Произвести разложение многочлена 2 x 2 + 1 на множители.
Решение
Теперь нужно решить квадратное уравнение 2 x 2 + 1 = 0 и найти его корни. Получим, что
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = — 1 2 x 1 = — 1 2 = 1 2 · i x 2 = — 1 2 = — 1 2 · i
Эти корни называют комплексно сопряженными, значит само разложение можно изобразить как 2 x 2 + 1 = 2 x — 1 2 · i x + 1 2 · i .
Пример 4
Произвести разложение квадратного трехчлена x 2 + 1 3 x + 1 .
Решение
Для начала необходимо решить квадратное уравнение вида x 2 + 1 3 x + 1 = 0 и найти его корни.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 — 4 · 1 · 1 = — 35 9 x 1 = — 1 3 + D 2 · 1 = — 1 3 + 35 3 · i 2 = — 1 + 35 · i 6 = — 1 6 + 35 6 · i x 2 = — 1 3 — D 2 · 1 = — 1 3 — 35 3 · i 2 = — 1 — 35 · i 6 = — 1 6 — 35 6 · i
Получив корни, запишем
x 2 + 1 3 x + 1 = x — — 1 6 + 35 6 · i x — — 1 6 — 35 6 · i = = x + 1 6 — 35 6 · i x + 1 6 + 35 6 · i
Замечание
Если значение дискриминанта отрицательное, то многочлены останутся многочленами второго порядка.
Отсюда следует, что раскладывать их не будем на линейные множители.
Способы разложения на множители многочлена степени выше второй
При разложении предполагается универсальный метод. Большинство всех случаев основано на следствии из теоремы Безу. Для этого необходимо подбирать значение корня x 1 и понизить его степень при помощи деления на многочлена на 1 делением на (x — x 1) . Полученный многочлен нуждается в нахождении корня x 2 , причем процесс поиска цикличен до тех пор, пока не получим полное разложение.
Если корень не нашли, тогда применяются другие способы разложения на множители: группировка, дополнительные слагаемые. Данная тема полагает решение уравнений с высшими степенями и целыми коэффициентами.
Вынесение общего множителя за скобки
Рассмотрим случай, когда свободный член равняется нулю, тогда вид многочлена становится как P n (x) = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x .
Видно, что корень такого многочлена будет равняться x 1 = 0 , тогда можно представить многочлен в виде выражения P n (x) = a n x n + a n — 1 x n — 1 + .
. . + a 1 x = = x (a n x n — 1 + a n — 1 x n — 2 + . . . + a 1)
Данный способ считается вынесением общего множителя за скобки.
Пример 5
Выполнить разложение многочлена третьей степени 4 x 3 + 8 x 2 — x на множители.
Решение
Видим, что x 1 = 0 — это корень заданного многочлена, тогда можно произвести вынесение х за скобки всего выражения. Получаем:
4 x 3 + 8 x 2 — x = x (4 x 2 + 8 x — 1)
Переходим к нахождению корней квадратного трехчлена 4 x 2 + 8 x — 1 . Найдем дискриминант и корни:
D = 8 2 — 4 · 4 · (- 1) = 80 x 1 = — 8 + D 2 · 4 = — 1 + 5 2 x 2 = — 8 — D 2 · 4 = — 1 — 5 2
Тогда следует, что
4 x 3 + 8 x 2 — x = x 4 x 2 + 8 x — 1 = = 4 x x — — 1 + 5 2 x — — 1 — 5 2 = = 4 x x + 1 — 5 2 x + 1 + 5 2
Для начала примем за рассмотрение способ разложения, содержащий целые коэффициенты вида P n (x) = x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 , где коэффициента при старшей степени равняется 1 .
Когда многочлен имеет целые корни, тогда их считают делителями свободного члена.
Пример 6
Произвести разложение выражения f (x) = x 4 + 3 x 3 — x 2 — 9 x — 18 .
Решение
Рассмотрим, имеются ли целые корни. Необходимо выписать делители числа — 18 . Получим, что ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 . Отсюда следует, что данный многочлен имеет целые корни. Можно провести проверку по схеме Горнера. Она очень удобная и позволяет быстро получить коэффициенты разложения многочлена:
Отсюда следует, что х = 2 и х = — 3 – это корни исходного многочлена, который можно представить как произведение вида:
f (x) = x 4 + 3 x 3 — x 2 — 9 x — 18 = (x — 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x — 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Переходим к разложению квадратного трехчлена вида x 2 + 2 x + 3 .
Так как дискриминант получаем отрицательный, значит, действительных корней нет.
Ответ: f (x) = x 4 + 3 x 3 — x 2 — 9 x — 18 = (x — 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Замечание
Допускается использование подбором корня и деление многочлена на многочлен вместо схемы Горнера.
Перейдем к рассмотрению разложения многочлена, содержащим целые коэффициенты вида P n (x) = x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 , старший из которых на равняется единице.
Этот случай имеет место быть для дробно-рациональных дробей.
Пример 7
Произвести разложение на множители f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
Решение
Необходимо выполнить замену переменной y = 2 x , следует переходить к многочлену с коэффициентами равными 1 при старшей степени. Необходимо начать с умножения выражения на 4 . Получаем, что
4 f (x) = 2 3 · x 3 + 19 · 2 2 · x 2 + 82 · 2 · x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Когда получившаяся функция вида g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 имеет целые корни, тогда их нахождение среди делителей свободного члена. Запись примет вид:
± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60
Перейдем к вычислению функции g (y) в этих точка для того, чтобы получить в результате ноль.
Получаем, что
g (1) = 1 3 + 19 · 1 2 + 82 · 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 · (- 1) 2 + 82 · (- 1) + 60 = — 4 g (2) = 2 3 + 19 · 2 2 + 82 · 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 · (- 2) 2 + 82 · (- 2) + 60 = — 36 g (3) = 3 3 + 19 · 3 2 + 82 · 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 · (- 3) 2 + 82 · (- 3) + 60 = — 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = — 28 g (5) = 5 3 + 19 · 5 2 + 82 · 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 · (- 5) 2 + 82 · (- 5) + 60
Получаем, что у = — 5 – это корень уравнения вида y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 , значит, x = y 2 = — 5 2 — это корень исходной функции.
Пример 8
Необходимо произвести деление столбиком 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 на x + 5 2 .
Решение
Запишем и получим:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Проверка делителей займет много времени, поэтому выгодней предпринять разложение на множители полученного квадратного трехчлена вида x 2 + 7 x + 3 .
Приравниванием к нулю и находим дискриминант.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 — 4 · 1 · 3 = 37 x 1 = — 7 + 37 2 x 2 = — 7 — 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 — 37 2 x + 7 2 + 37 2
Отсюда следует, что
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 — 37 2 x + 7 2 + 37 2
Искусственные приемы при разложении многочлена на множители
Рациональные корни не присущи всем многочленам. Для этого необходимо пользоваться специальными способами для нахождения множителей. Но не все многочлены можно разложить или представить в виде произведения.
Способ группировки
Бывают случаи, когда можно сгруппировывать слагаемые многочлена для нахождения общего множителя и вынесения его за скобки.
Пример 9
Произвести разложение многочлена x 4 + 4 x 3 — x 2 — 8 x — 2 на множители.
Решение
Потому как коэффициенты – целые числа, тогда корни предположительно тоже могут быть целыми. Для проверки возьмем значения 1 , — 1 , 2 и — 2 для того, чтобы вычислить значение многочлена в этих точках.
Получаем, что
1 4 + 4 · 1 3 — 1 2 — 8 · 1 — 2 = — 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 · (- 1) 3 — (- 1) 2 — 8 · (- 1) — 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 · 2 3 — 2 2 — 8 · 2 — 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 · (- 2) 3 — (- 2) 2 — 8 · (- 2) — 2 = — 6 ≠ 0
Отсюда видно, что корней нет, необходимо использовать другой способ разложения и решения.
Необходимо провести группировку:
x 4 + 4 x 3 — x 2 — 8 x — 2 = x 4 + 4 x 3 — 2 x 2 + x 2 — 8 x — 2 = = (x 4 — 2 x 2) + (4 x 3 — 8 x) + x 2 — 2 = = x 2 (x 2 — 2) + 4 x (x 2 — 2) + x 2 — 2 = = (x 2 — 2) (x 2 + 4 x + 1)
После группировки исходного многочлена необходимо представить его как произведение двух квадратных трехчленов. Для этого нам понадобится произвести разложение на множители. получаем, что
x 2 — 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = — 2 ⇒ x 2 — 2 = x — 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 — 4 · 1 · 1 = 12 x 1 = — 4 — D 2 · 1 = — 2 — 3 x 2 = — 4 — D 2 · 1 = — 2 — 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 — 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 — x 2 — 8 x — 2 = x 2 — 2 x 2 + 4 x + 1 = = x — 2 x + 2 x + 2 — 3 x + 2 + 3
Замечание
Простота группировки не говорит о том, что выбрать слагаемы достаточно легко.
Определенного способа решения не существует, поэтому необходимо пользоваться специальными теоремами и правилами.
Пример 10
Произвести разложение на множители многочлен x 4 + 3 x 3 — x 2 — 4 x + 2 .
Решение
Заданный многочлен не имеет целых корней. Следует произвести группировку слагаемых. Получаем, что
x 4 + 3 x 3 — x 2 — 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 — 2 x) — x 2 — 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) — 2 (x 2 + x) — (x 2 + 2 x — 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x — 2) — (x 2 + 2 x — 2) = (x 2 + x — 1) (x 2 + 2 x — 2)
После разложения на множители получим, что
x 4 + 3 x 3 — x 2 — 4 x + 2 = x 2 + x — 1 x 2 + 2 x — 2 = = x + 1 + 3 x + 1 — 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 — 5 2
Использование формул сокращенного умножения и бинома Ньютона для разложения многочлена на множители
Внешний вид зачастую не всегда дает понять, каким способом необходимо воспользоваться при разложении. После того, как были произведены преобразования, можно выстроить строчку, состоящую из треугольника Паскаля, иначе их называют биномом Ньютона.
Пример 11
Произвести разложение многочлена x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x — 2 на множители.
Решение
Необходимо выполнить преобразование выражения к виду
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x — 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 — 3
На последовательность коэффициентов суммы в скобках указывает выражение x + 1 4 .
Значит, имеем x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x — 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 — 3 = x + 1 4 — 3 .
После применения разности квадратов, получим
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x — 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 — 3 = x + 1 4 — 3 = = x + 1 4 — 3 = x + 1 2 — 3 x + 1 2 + 3
Рассмотрим выражение, которое находится во второй скобке. Понятно, что там коней нет, поэтому следует применить формулу разности квадратов еще раз. Получаем выражение вида
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x — 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 — 3 = x + 1 4 — 3 = = x + 1 4 — 3 = x + 1 2 — 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 — 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Пример 12
Произвести разложение на множители x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
Решение
Займемся преобразованием выражения. Получаем, что
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 · 2 · x 2 + 3 · 2 2 · x + 2 3 — 2 = (x + 2) 3 — 2
Необходимо применить формулу сокращенного умножения разности кубов. Получаем:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 — 2 = = x + 2 — 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 — 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Способ замены переменной при разложении многочлена на множители
При замене переменной производится понижение степени и разложение многочлена на множители.
Пример 13
Произвести разложение на множители многочлена вида x 6 + 5 x 3 + 6 .
Решение
По условию видно, что необходимо произвести замену y = x 3 . Получаем:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Корни полученного квадратного уравнения равны y = — 2 и y = — 3 , тогда
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Необходимо применить формулу сокращенного умножения суммы кубов.
Получим выражения вида:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 — 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 — 3 3 x + 9 3
То есть получили искомое разложение.
Рассмотренные выше случаи помогут в рассмотрении и разложении многочлена на множители разными способами.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
\цвет{красный}2 + 1 \end{aligned} $$Я не уверен, откуда вообще взялась идея добавлять и вычитать эти красные члены в оригинале, а затем переставлять их таким образом, чтобы разложить их на множители. Есть ли мыслительный процесс, который сопровождал бы это? Или есть другой способ подойти к этому вопросу полностью?
- полиномы
- факторинг
$\endgroup$
4
$\begingroup$
Более интуитивный способ разложить на множители — добавить термины $x^4 + x^3 +x^2$.
Тогда многочлен выше преобразуется в: 92 + х+ 1)$$
Что дает результат.
$\endgroup$
$\begingroup$
Существует общий метод факторизации полиномов с рациональными коэффициентами, который называется алгоритмом Кронекера. Однако я бы не стал применять его, не попытавшись сначала разложить его методом проб и ошибок.
$\endgroup$
$\begingroup$
Еще одна общая идея заключается в следующем:
Поскольку ваш полином имеет степень $5$ и $5=3+2=4+1$, вы получаете, что вы можете разложить его либо как линейный полином, умноженный на полином степени $4$ или кубическое, умноженное на квадратное. (Примечание: линейный многочлен подразумевается напрямую, если вы найдете корень). 92+px+r)$$
для некоторых действительных скаляров. Вы можете заметить, что после умножения на некоторые скаляры и использования факта $am=1$ можно предположить, что $a=m=1$.
Затем вы можете раскрыть скобки с правой стороны и получить систему уравнений. Если у него есть решение — хорошо, вы нашли факторизацию. Если нет — надо попробовать $1+4=5$. Если вы потерпите неудачу и в этом случае, тогда ваш полином неприводим по действительным числам.
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Разложение многочленов на множители, подобные этому, является знаменитой задачей слепой деконволюции, которая возникает во всех видах научных и инженерных приложений. Поэтому было исследовано очень много численных методов, чтобы попытаться вычислить (огромные) такие факторизации. Все эти алгоритмы вы также можете применить вручную к одномерным полиномам, если хотите (но это может быть излишним для некоторых из самых продвинутых из них).
Так что, возможно, не совсем 1 ответ, но он дает вам представление о том, что искать, чтобы найти сотни методов.
92+х+1.$$
Осталось выполнить деление.
$\endgroup$
2
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
Разложение на неполные дроби — ChiliMath
Этот метод используется для разложения заданного рационального выражения на более простые дроби. Другими словами, если мне дана одна сложная дробь, моя цель — разбить ее на ряд «более мелких» компонентов или частей.
Раньше при сложении/вычитании рациональных выражений мы хотели объединить два или более рациональных выражения в одну дробь, как в примере ниже. Однако разложение на неполные дроби ( , также известное как разложение на неполные дроби ) — это в точности обратный процесс. Ниже приведена иллюстративная диаграмма, показывающая основную концепцию.
Теперь я рассмотрю пять (5) примеров, чтобы продемонстрировать шаги, связанные с разложением одной дроби на части.
Пример 1: Найдите разложение рационального выражения на неполные дроби.
Эта задача проста, так что считайте ее вводным примером.
Я начну с факторизации знаменателя (вычтем x из двучлена). Далее я настрою процесс разложения, поместив A и B для каждого из уникальных или различных линейных факторов. Последующие шаги затем включают избавление от всех знаменателей путем умножения LCD (который является просто исходным знаменателем задачи) во всем уравнении.
В итоге у меня должно получиться простое уравнение, в котором я могу легко сравнить коэффициенты одинаковых слагаемых в обеих частях уравнения. В результате я получу систему линейных уравнений с переменными А и В, которую можно решить либо методом подстановки, либо методом исключения, в зависимости от того, что я предпочитаю.
- Учитывая дробь
- Вынести знаменатель.
- Создайте отдельные дроби с правой стороны, используя каждый из множителей в качестве знаменателя. У меня есть две частичные дроби с двумя неизвестными значениями числителей, представленных переменными A и B.
- Я хочу исключить все знаменатели.
Это можно сделать, умножив обе части уравнения на \color{blue}LCD = x\left( {x + 1} \right).
Это можно сделать, умножив обе части уравнения на \color{blue}LCD = x\left( {x + 1} \right).- Затем я распределяю LCD по каждой стороне уравнения. На данном этапе я стараюсь очень внимательно следить за процессом отмены. Я хочу убедиться, что сделал этот шаг правильно, чтобы избежать ненужных головных болей позже.
- Это упрощенное уравнение после правильного выполнения вышеуказанного шага.
- Теперь я умножу вещи и соберу общие термины, написав их рядом. Пришло время сравнить коэффициенты многочленов. Идея состоит в том, чтобы приравнять соответствующие коэффициенты подобных терминов.
- Я приравниваю коэффициенты x-члена, выделенного желтым цветом. Кроме того, я приравниваю постоянные члены, как показано зеленой подсветкой.
- Затем я прихожу к решению двух уравнений с двумя неизвестными. Используйте метод подстановки, чтобы решить для B.
- Это окончательные значения переменных A и B.
- Подставьте найденные значения A и B обратно в исходную настройку, чтобы получить окончательный ответ.
Пример 2: Найдите разложение рационального выражения на частичную дробь.
Эта задача аналогична примеру 1. Единственное отличие состоит в том, что множители знаменателя представляют собой два линейных бинома.
- Учитывая проблему
- Я начинаю с разложения трехчлена в знаменателе.
Затем я настраиваю разложение на неполные дроби, ставя A и B в качестве числителей. Два различных линейных фактора займут положение знаменателей.
- Я хочу исключить все знаменатели, поэтому я умножу обе части уравнения на ЖК-дисплей (синий).
- Мне нужно быть осторожным при отмене общих факторов.
- Приведенные здесь шаги в значительной степени являются частью процесса «очистки» и реорганизации общих терминов.
- Пришло время установить соответствие между двумя частями уравнения.
Для слагаемых x коэффициенты \left( {A + B} \right) = 1, тогда как чистые числа I имеют 3A + 5B = — 1.
- У нас есть два уравнения с двумя неизвестными. С этого момента с ним должно быть легко справиться, верно? Я предлагаю использовать метод исключения, чтобы найти A и B.
Умножьте верхнее уравнение на — \,3 или — \,5, а затем сложите их вместе, чтобы исключить одну из переменных.
- Это правильные значения A и B.
- Я вернусь к первоначальной настройке частичных дробей, чтобы заменить значения A и B фактическими числами.
Пример 3: Найдите разложение рационального выражения на неполные дроби
В этой задаче знаменатель представляет собой произведение различного линейного множителя, который повторяется трижды и обозначается показателем степени 3. Не совершайте ошибка записи трех неполных дробей с общим знаменателем просто \left( {x — 1} \right). Это неправильно. 93}.
- Учитывая дробь
- Поскольку у меня есть повторяющийся линейный множитель \left( {x — 1} \right), возведенный в степень 3, мне нужно учитывать каждую степень, начиная с самой низкой (1) до самой высокой (3).
Вы понимаете, почему эта установка неверна?
Подсказка: Сложите частичные дроби и сравните их знаменатели.
- Удалите все знаменатели, распределив LCD в уравнении.
- 92 член с левой стороны. Это очень важный шаг.
- Теперь я могу ясно извлечь необходимые уравнения, которые будут использоваться для решения отсутствующих переменных.
- Используйте тот факт, что A = 0, подставьте это ко второму уравнению \left( { — 2A + B = 5} \right), чтобы получить B. Наконец, решите для C, используя третье уравнение , используя решенные значения A и Б.
- Запишите первоначальную схему разложения на неполные дроби и замените найденные значения для A, B и C.
- Учитывая дробь
- Здесь у меня есть два различных линейных множителя.
- Я исключим все знаменатели, умножив уравнение на соответствующий ЖК-дисплей.
- Опять же, я должен быть осторожен с отменой.
- Вы можете сказать, что на первый взгляд это выглядит «ужасно». Однако, если вы терпеливо посмотрите на каждый шаг, вы должны понять, что это не так уж и плохо.
Уравнение A = 0 — хорошая халява, так как мне не нужно трудиться, решая его алгебраически.
Вы получили такие же ответы?
Дробь, в которой числитель равен A = 0, исчезнет. Это оставляет нам две дроби в качестве окончательного ответа.
Пример 4: Найдите разложение рационального выражения на неполные дроби
Это тот случай, когда знаменатель представляет собой произведение различных линейных множителей, некоторые из которых повторяются.
Обратите внимание, что знаменатель этого рационального выражения состоит из двух различных линейных множителей. Первый множитель — это \left( {x — 2} \right), который появляется один раз, а второй фактор — это \left( {x — 3} \right), который появляется дважды, поэтому повторяется.
\left( {x — 2} \right) встречается один раз
\left( {x — 3} \right) встречается дважды, обозначается степенью 2
Поэтому я буду писать \left( {x — 2 } \right) в одну частичную дробь, а \left( {x — 3} \right) в две частичные дроби с возрастанием показателей степени от 1 до 2.
Я просто помещаю A, B и C в скобки. Затем переставьте их так, чтобы похожие термины располагались рядом друг с другом. 92 срок. Это означает, что я должен предоставить 90 109 нулевых заполнителей 90 110 для отсутствующего члена x и постоянного члена.
Таким образом, становится легко сравнивать коэффициенты одинаковых членов в обеих частях уравнения.
Стрелки и цветовая кодировка помогут вам в этом процессе.
- Я могу решить эту проблему несколькими способами. Один из способов — использовать метод исключения, чтобы избавиться от C между 2-м и 3-м уравнениями.
Я умножу второе уравнение на 2, а затем прибавлю его к третьему уравнению.
Я должен получить уравнение, содержащее только A и B. Используйте это «новое» уравнение с первым уравнением, чтобы найти значения A и B. Я предлагаю вам попробовать его на бумаге, чтобы вы могли следовать ему.
Как только вы получите значения A и B, вы можете решить для C, используя либо 2-е, либо 3-е уравнение с обратной подстановкой.
- Это правильные значения A, B и C.
- Подставьте значения в исходную настройку частичной дроби, чтобы получить окончательный ответ.
Пример 5: Найдите разложение рационального выражения на неполные дроби
Это еще один тип задач на разложение на неполные дроби. Разлагая знаменатель, я получаю следующее.
Обратите внимание, что на этот раз у меня квадратичный множитель. Вопрос в том, могу ли я еще разложить это на линейные термины? Я могу попробовать, но очевидно, что 90 109 больше нельзя вынести из числа 90 110. Это, на самом деле, имеет специальное название, называемое 90 109 неприводимым квадратичным числом 90 110 .
Таким образом, эта задача представляет собой случай, когда знаменатель является произведением отдельного линейного множителя и неприводимого квадратичного множителя , которые не повторяются.
- Учитывая проблему 92 с левой стороны.
Обратите внимание на соответствие коэффициентов в обеих частях уравнения.
- Проведя быстрый анализ, я знаю, что C = 1 и A = -2.
Поскольку A+B=0 и A = -2, поэтому \left( { — 2} \right) + B = 0 подразумевает B = 2.
- Это правильные значения A, B и C
- Подставьте обратно значения в исходную настройку разложения на неполные дроби, и все готово!
11.4: Частичные дроби — Математика LibreTexts
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 3003
- OpenStax
- OpenStax
Цели обучения
Разложить \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\), где
- \(Q(x)\) имеет только неповторяющиеся линейные множители.
- \(Q(x)\) имеет повторяющиеся линейные множители.
- \(Q(x)\) имеет неповторяющийся неприводимый квадратичный множитель.
- \(Q(x)\) имеет повторяющийся неприводимый квадратичный множитель.
Ранее в этой главе мы изучали системы двух уравнений с двумя переменными, системы трех уравнений с тремя переменными и нелинейные системы. Здесь мы вводим еще один способ использования систем уравнений — разложение рациональных выражений. Фракции могут быть сложными; добавление переменной в знаменатель делает их еще более значимыми. Методы, изучаемые в этом разделе, помогут упростить понятие рационального выражения.
Разложение \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) где \(Q(x)\) имеет только неповторяющиеся линейные множители
Вспомните алгебру о сложении и вычитании рациональных выражений. Эти операции зависят от нахождения общего знаменателя, чтобы мы могли записать сумму или разность в виде одного упрощенного рационального выражения. В этом разделе мы рассмотрим разложение на неполные дроби , которое представляет собой отмену процедуры сложения или вычитания рациональных выражений.
2−x−6\) являются \((x−3)(x+2)\), знаменатели разложенного рационального выражения. Поэтому мы перепишем упрощенную форму как сумму отдельных дробей и будем использовать переменную для каждого числителя. Затем мы будем решать для каждого числителя, используя один из нескольких методов, доступных для разложения частичной дроби.
РАЗЛОЖЕНИЕ \(\frac{P(x)}{Q(x)}\): \(Q(x)\) ИМЕЕТ НЕПОВТОРЯЮЩИЕСЯ ЛИНЕЙНЫЕ МНОЖИТЕЛИ
Разложение на неполные дроби \(\dfrac {P(x)}{Q(x)}\) когда \(Q(x)\) имеет неповторяющиеся линейные множители и степень \(P(x)\) меньше степени \(Q(x)\) )\) is
\[\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{(a_1x+b_1)}+\dfrac{A_2}{(a_2x+b_2)}+\ dfrac{A_3}{(a_3x+b_3)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_n}{(a_nx+b_n)}\]
Как: Имея рациональное выражение с различными линейными множителями в знаменателе, разложите его
- Используйте переменную для исходных числителей, обычно \(A\), \(B\), или \(C\), в зависимости от количества факторов, размещая каждую переменную над одним фактором. Для целей этого определения мы используем \(A_n\) для каждого числителя
\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{(a_1x+b_1)}+\dfrac{A_2}{(a_2x+b_2)}+\dfrac{A_3}{ (a_3x+b_3)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_n}{(a_nx+b_n)}\)
- Умножьте обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы исключить дроби.
- Разверните правую часть уравнения и соберите одинаковые члены.
- Установите коэффициенты одинаковых членов в левой части уравнения равными коэффициентам в правой части, чтобы создать систему уравнений для решения числителей.
Для целей этого определения мы используем \(A_n\) для каждого числителяПример \(\PageIndex{1}\): Разложение рациональной функции с различными линейными коэффициентами
Разложите заданное рациональное выражение с различными линейными коэффициентами.
\(\dfrac{3x}{(x+2)(x−1)}\)
Решение
Мы разделим множители знаменателя и дадим каждому числителю символическую метку, например \(A\), \(B\) или \(C\).
\(\dfrac{3x}{(x+2)(x−1)}=\dfrac{A}{(x+2)}+\dfrac{B}{(x−1)}\)
Умножьте обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы исключить дроби:
\((x+2)(x−1)\left[ \dfrac{3x}{(x+2)(x−1)} \right]=(x+2)(x−1)\left[\dfrac{A}{(x+2)} \right]+(x+2)(x−1)\left[\dfrac{B }{(x−1)} \right]\)
Полученное уравнение равно
\(3x=A(x−1)+B(x+2)\)
Разложи правую часть уравнения и собери одинаковые члены.
\[\begin{align*} 3x&= Ax-A+Bx+2B\\[4pt] 3x&= (A+B)x-A+2B \end{align*}\]
Настройка системы уравнений, связывающих соответствующие коэффициенты.
\[\begin{align*} 3&= A+B\\[4pt] 0&= -A+2B \end{align*}\]
Сложите два уравнения и найдите \(B\).
\[\begin{align*} 3&= A+B\\[4pt] \underline{0}&= \underline{-A+2B}\\[4pt] 3&= 0+3B\\[4pt] 1&= B \end{align*}\]
Подставить \(B=1\) в одно из исходных уравнений системы.
\[\begin{align*} 3&= A+1\\[4pt] 2&= A \end{align*}\]
Таким образом, разложение частичной дроби равно
\(\dfrac{3x}{ (x+2)(x−1)}=\dfrac{2}{(x+2)}+\dfrac{1}{(x−1)}\)
Другой метод для решения \( A\) или \(B\) является рассмотрением уравнения, полученного в результате исключения дробей и подстановки значения для \(x\) , которое сделает либо \(A-\), либо \(B-\)член равным 0. Если мы допустим \(x=1\),
Термин \(A-\) становится равным 0, и мы можем просто найти \(B\).
\[\begin{align*} 3x&= A(x-1)+B(x+2)\\[4pt] 3(1)&= A[(1)-1]+B[(1) +2]\\[4pt] 3&= 0+3B\\[4pt] 1&= B \end{align*}\]
Затем либо подставьте \(B=1\) в уравнение и найдите \( A\), или сделать \(B-\)член \(0\), подставив \(x=−2\) в уравнение.
\[\begin{align*} 3x&= A(x-1)+B(x+2)\\[4pt] 3(-2)&= A[(-2)-1]+B[( -2)+2]\\[4pt] -6&= -3A+0\\[4pt] \dfrac{-6}{-3}&= A\\[4pt] 2&=A \end{align*} \]
Мы получаем одинаковые значения для \(A\) и \(B\) , используя любой метод, поэтому разложения одинаковы при использовании любого метода.
\(\dfrac{3x}{(x+2)(x−1)}=\dfrac{2}{(x+2)}+\dfrac{1}{(x−1)}\)
Хотя этот метод не очень часто встречается в учебниках, мы представляем его здесь как альтернативу, которая может облегчить некоторые разложения на неполные дроби. Он известен как метод Хевисайда , названный в честь Чарльза Хевисайда, пионера в изучении электроники.
Упражнение \(\PageIndex{1}\)
Найдите разложение на неполные дроби следующего выражения.
\(\dfrac{x}{(x−3)(x−2)}\)
- Ответ
\(\dfrac{3}{x−3}−\dfrac{2}{x−2}\)
Разложение \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) где \(Q(x)\) имеет повторяющиеся линейные множители частичные дроби с повторяющимися линейными множителями.
Мы должны помнить, что мы учитываем повторяющиеся факторы, записывая каждый фактор в возрастающей степени.РАЗЛОЖЕНИЕ \(\frac{P(x)}{Q(x)}\): \(Q(x)\) ИМЕЕТ ПОВТОРЯЮЩИЕСЯ ЛИНЕЙНЫЕ ФАКТОРЫ
Разложение на неполные дроби \(\dfrac{P (x)}{Q(x)}\), когда \(Q(x)\) имеет повторяющийся линейный множитель, встречающийся n n раз, и степень \(P(x)\) меньше степени \( Q(x)\), is
\[\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{(a_1x+b_1)}+\dfrac{A_2}{(a_2x+b_2 )}+\dfrac{A_3}{(a_3x+b_3)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_n}{(a_nx+b_n)}\]
Запишите степени знаменателя в порядке возрастания.
Как: разложить рациональное выражение с повторяющимися линейными множителями
- Использовать переменную вида \(A\), \(B\), или \(C\) для числителей и учитывать возрастающие степени знаменателей. \[\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{(a_1x+b_1)}+\dfrac{A_2}{(a_2x+b_2)}+\dfrac{A_3}{( a_3x+b_3)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_n}{(a_nx+b_n)}\]
- Умножьте обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы исключить дроби.
- Разверните правую часть уравнения и соберите одинаковые члены. 92+(-4A-2B+C)x+4A \\[4pt] A+B &= -1 \label{2.1} \\[4pt] -4A-2B+C &= 2 \label{2.2} \ \[4pt] 4A&= 4 \label{2.3} \end{align}\]
Решая для \(A\) в уравнении \ref{2.3}, мы получаем
\[\begin{align*} 4A&= 4\\[4pt] A&= 1 \end{align*}\]
Подставьте \(A=1\) в уравнение \ref{2.1}.
\[\begin{align*} A+B&= -1\\[4pt] (1)+B&= -1\\[4pt] B&= -2 \end{align*}\]
Затем чтобы решить для \(C\), подставьте значения для \(A\) и \(B\) в уравнение \ref{2.2}. 92} \номер\]
Разложение \(\frac{P(x)}{Q(x)}\), где \(Q(x)\) имеет неповторяющийся неприводимый квадратичный множитель
До сих пор мы выполняли разложение на частичные дроби с помощью выражений которые имели линейные множители в знаменателе, и мы применяли числители \(A\), \(B\), или \(C\) представляющие константы. Теперь мы рассмотрим пример, где один из множителей в знаменателе представляет собой квадратное выражение, не являющееся множителем.
Это называется неприводимым квадратичным множителем. В подобных случаях мы используем линейный числитель, такой как \(Ax+B\), \(Bx+C\) и т. д. 92+b_nx+c_n)}\]Разложение может содержать более рациональные выражения, если есть линейные множители. Каждый линейный фактор будет иметь свой постоянный числитель: \(A\), \(B\), \(C\) и так далее.
Практическое руководство: разложить рациональное выражение, где множители знаменателя являются различными, неприводимыми квадратичными множителями линейные множители и линейные выражения, такие как \(A_1x+B_1\), \(A_2x+B_2\) и т. д., для числителей каждого квадратного множителя в знаменателе. 92+b_nx+c_n)}\)
- Умножьте обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы исключить дроби.
- Разверните правую часть уравнения и соберите одинаковые члены.
- Установите коэффициенты одинаковых членов в левой части уравнения равными коэффициентам в правой части, чтобы создать систему уравнений для решения числителей.
Это называется неприводимым квадратичным множителем. В подобных случаях мы используем линейный числитель, такой как \(Ax+B\), \(Bx+C\) и т. д. 92+b_nx+c_n)}\]
Пример \(\PageIndex{3}\): Разложение \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) Когда \(Q(x)\) содержит неповторяющийся неприводимый квадратичный множитель 92+(2+3B+C)x+(4+3C) \end{align*}\]
Установка коэффициентов при слагаемых в правой части равных коэффициентам при слагаемых в левой части дает систему уравнений.
\[\begin{align} 2+B&= 8 \label{3.1} \\[4pt] 2+3B+C&= 12 \label{3.2} \\[4pt] 4+3C&= -20 \label{ 3.3} \end{align}\]
Найдите \(B\) используя уравнение \ref{3.1}
\[\begin{align*} 2+B&= 8 \label{1} \\[4pt] B&= 6\end{align*}
и найдите \(C\) используя уравнение \ref{3.3}. 92+1}\)
Разложение \(\frac{P(x)}{Q(x)}\), когда \(Q(x)\) имеет повторяющийся неприводимый квадратичный множитель
Теперь, когда мы можем разложить упрощенное рациональное выражение с неприводимым квадратичный множитель, мы научимся выполнять разложение на частичные дроби, когда упрощенное рациональное выражение содержит повторяющиеся неприводимые квадратичные множители.
n}\)
Пример \(\PageIndex{4}\): разложение рациональной функции с повторяющимся неприводимым квадратичным множителем в знаменателе 92+(C+E)x+A\)
Составьте систему уравнений, устанавливающую соответствующие коэффициенты по обе стороны от знака равенства.
\[\begin{align*} A+B&= 1\\[4pt] C&= 1\\[4pt] 2A+B+D&= 1\\[4pt] C+E&= -1\\[4pt ] A&= 1 \end{align*}\]
С этого момента мы можем использовать подстановку. Подставьте \(A=1\) в первое уравнение.
\[\begin{align*} 1+B&= 1\\[4pt] B&= 0 \end{align*}\]
Подставить \(A=1\) и \(B=0\) в третье уравнение.
92} \номер\]СМИ
Получите доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики с частичными дробями.
- Разложение на неполные фракции
- Разложение на неполные дроби с повторяющимися линейными коэффициентами
- Разложение на неполные дроби с линейными и квадратичными коэффициентами
Ключевые понятия
- Разложите \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) , записав частичные дроби в виде \[\dfrac{A}{a_1x+b_1}+\dfrac{B} {а_2x+b_2}. \nonumber\] Решите, очистив дроби, развернув правую часть, собрав одинаковые члены и установив соответствующие коэффициенты равными друг другу, затем составив и решив систему уравнений (см. Пример \(\PageIndex{1}\)) . 9n} \nonumber\] См. пример \(\PageIndex{4}\).
Эта страница под названием 11.4: Partial Fractions распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована OpenStax с использованием исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.