Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя). решение задачи Математический анализ с ответом
Пример 1
Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):
Пример 2
Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):
Пример 3
Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):
Пример 4
Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):
Пример 5
Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):
Пример 6
Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):
Пример 7
Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):
Пример 8
Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):
Пример 9
Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):
Пример 10
Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):
Пример 11
Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):
Пример 12
Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):
Пример 13
Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):
Пример 14
Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):
Пример 15
Найти пределы функций (не используя правило Лопиталя):
Пример 16
Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
Пример 17
Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
Пример 18
Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
Пример 19
Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
Пример 20
Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
Пример 21
Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя.
Пример 22
Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя.
Пример 23
Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя.
Пример 24
Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя.
Пример 25
Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя.
Пример 26
Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя.
Пример 27
Вычислить предел функции, не пользуясь правилом Лопиталя.
Пример 28
Вычислить предел, не пользуясь правилом Лопиталя.
Пример 29
Вычислить предел, не пользуясь правилом Лопиталя.
Пример 30
Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя:
Пример 31
Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя:
Пример 32
Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя:
Пример 33
Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя:
Пример 34
Вычислить предел функций не пользуясь правилом Лопиталя.
Пример 35
Вычислить предел функции не пользуясь правилом Лопиталя.
Пример 36
Вычислить предел функции не пользуясь правилом Лопиталя.
6.2. Вычисление пределов функций, содержащих
При вычисление пределов вида в случае если числи-
Тель или знаменатель содержит выражение , стремящееся к нулю при часто бывает полезным избавиться от иррациональности в числителе или в знаменателе путём домножения числителя и знаменателя на соответствующий сопряжённый множитель .
Для разности таким множителем является , для выражения таким множителем является .
В самом деле
, где ,
,
Где .
В общем случае для разности сопряжённое выражение . В результате умножения получаем , т. е. . Для сокращения записи можно вычислить отдельно и если он конечен и не равен нулю, вынести за знак предела.
Пример 1
A =
Решение: Т. к. х8, то х-80. Выделим множитель в числителе и знаменателе. Умножим числитель и знаменатель дроби на множитель . Тогда в числителе мы получим
В знаменателе множитель будет стремиться к конечному пределу, не равному 0, а именно к 10 при х8, поэтому по теореме о пределе
Произведения множитель можно вынести за знак предела. Знаменатель представим в виде произведения х2 – 6х – 16 = (х – 8)(х + 2). Таким образом, вычисление данного предела сводиться к следующим действиям:
A =
Пример 2. Вычислить
Решение: Выделим в числителе и знаменателе множитель, стремящийся к нулю, т.
е. х.
Числитель:
Знаменатель:
.
Таким образом, предел приобретает вид
A =
Пример 3.
A =
Решение: Выделим в числителе и знаменателе множитель, стремящийся к 0, т. е. (х – 2)
Числитель:
Знаменатель: .
Тогда A = .
Пример 3.
A =
Решение: Как и в предыдущем случае выделим множитель, стремящийся к 0, т. е. (х+1) в числителе и знаменателе. Тогда
Числитель: .
Знаменатель:
Таким образом
A =
При раскрытии неопределенностей вида нужно выполнить тождественные преобразования, позволяющие свести такую неопределенность к виду или . Например, в случае, если выражение содержит иррациональности с невысоким показателем корня, этого можно добиться путем умножения и деления данного выражения на «сопряженное».
Пример 5.
Пример 6.
(Сумма двух бесконечно больших одного знака есть величина бесконечно большая)
Пример 7.
Решение. Данный предел содержит корень с высоким показателем, поэтому умножение и деление на сопряженное выражение нецелесообразно. Преобразуем данное выражение следующим образом:
При выражение , т. е. является бесконечно малой величиной. Если воспользоваться следствием из 2-го замечательного предела , то выражение, стоящее в скобках, можно заменить эквивалентной величиной . Так как величина является бесконечно малой более высокого порядка, чем , то ее можно отбросить, поэтому данная дробь будет эквивалентна выражению
.
Следовательно,
Пример 8.
Решение. Выделим Главную часть в каждом из слагаемых. Очевидно, что при
;
.
Таким образом, оба радикала имеют одинаковую часть . Вычтем ее из каждого радикала. Тогда получим
=
.
Пример 9.
Решение. 1 Способ: Выделим главную часть числителя и знаменателя. Т. к. то главная часть числителя будет совпадать с Аналогично, поэтому главная часть знаменателя совпадает с
Тогда
2 способ: Вынесем из-под каждого корня старшую степень переменной.
При раскрытии неопределенностей вида можно также выделить главную часть числителя и знаменателя.
Пример 10.
Решение. 1 способ:Этот пример можно решить, воспользовавшись для выделения главной части эквивалентными бесконечно большими величинами, а именно:
Значит
2 способ: Этот же предел можно вычислить и непосредственно, а именно вынести за скобки старшую степень переменной в числителе и знаменателе.
Пример 11.
Решение: 1 способ: Как и в предыдущем примере, выделим главную часть числителя и знаменателя.
,
Тогда
2 способ: Вынесем в числителе и знаменателе за скобки старшую степень х.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Непрерывность и пределы: оценка пределов
Более формальные способы нахождения пределов
останется для вычислений.Предел функции при определенном значении x не зависит от значения функция для этого x . Таким образом, одним из методов оценки предела является оценка функция для многих x — значения очень близки к желаемому х . Например, f ( х ) = 3 х . Что такое f ( x )? Найдем значения f при некотором x — значения около 4. f (3,99) = 11,97, f (3,9999) = 11,9997, f (4,01) = 12,03, и f (4,010010) = 11,9997 Отсюда можно с уверенностью сказать, что по мере приближения x 4, f ( x ) приближается к 12. То есть, f ( х ) = 12.
Техника вычисления функции для множества значений х вблизи искомого
значение довольно утомительно. Для определенных функций работает гораздо более простая техника:
прямая замена. В приведенной выше задаче мы могли бы просто вычислить f (4) = 12 и получить предел одним вычислением.
Поскольку предел при данном значении x не зависит от значения функции при этом x -значение, прямое
замена — это ярлык, который не всегда работает. Часто функция является
неопределенный в желаемом x — значение, а в некоторых функциях значение f ( a )≠ f ( x ). Таким образом, прямая замена является методом, который следует
пробовал с большинством функций (потому что это так быстро и легко сделать), но всегда
дважды проверенный. Он имеет тенденцию работать для пределов многочленов и
тригонометрические функции, но менее надежен для функций, которые не определены
при определенных значениях
Другой простой метод нахождения предела включает в себя прямую замену, но
требует большего творчества. Если делается попытка прямой замены, но функция
не определено для данного значения x , алгебраические методы упрощения
можно использовать для поиска выражения функции, для которого значение
определяется функция при желаемом разрешении x .
Тогда прямая замена может быть
используется для нахождения предела. Такие алгебраические методы включают факторинг и
рационализация знаменателя, чтобы назвать несколько. Однако функция манипулируется
так что прямая замена может работать, ответ все равно должен быть проверен
либо глядя на график функции, либо оценивая функцию для х —
значения рядом с желаемым значением. Теперь мы рассмотрим несколько примеров ограничений.
Что такое ? Цифра %: f ( x ) = Непосредственной подстановкой и проверкой по графику = — .
Что такое ? Цифра %: f ( x ) = Прямая замена не работает, потому что f не определено при x = 1. делим знаменатель на ( x + 1)( x — 1), хотя член ( x — 1) отменяет сверху и снизу, и нам остается вычислять . При прямой подстановке предел равен .
Рассмотрим функцию f ( x ) = xforx < 0, f ( x ) = x + 1 forx ≥ 0. Что такое f ( x ), что такое f ( x ) и что такое f ( x )? Рисунок %: f ( x ) = x для x < 0, f ( x ) = x + 1 для x ≥ 0 Односторонний предел слева равен 0.
Это мы можем сказать как из прямого
замены и изучая график. Используя те же приемы, находим
односторонний предел справа равен 1. По правилам несуществующего предела
Рассмотрим функцию f ( x ) = xforall x ≠3, f ( x ) = 2 forx = 3. Что такое ф ( х )? Цифра %: f ( x ) = x для всех x ≠3, f ( x ) = 2 для x = 3 Прямая замена дает предел в 2, но более тщательная проверка график и значения, окружающие x = 3 показывают, что на самом деле предел f при x = 3 равно 3. Это яркий пример того, как значение функции при x не влияет на предел этой функции при разрешении x .
Деловой расчет
Примечание. Видеоролики для разделов 2.1–2.5 были записаны на основе более раннего издания книги.
Это означает, что некоторые из названных мною номеров разделов больше не будут соответствовать одному и тому же материалу, и скриншоты могут выглядеть иначе. Тем не менее, содержание в основном то же самое, и я попытался разместить видео в правильном месте в зависимости от того, куда был перемещен материал.
Введение
Идея предварительного расчета: наклон и скорость изменения
Наклон линии измеряет, насколько быстро линия поднимается или опускается, когда мы движемся слева направо вдоль линии. Он измеряет скорость изменения координаты y по отношению к изменениям координаты x. Например, если линия представляет собой расстояние, пройденное за время, то ее наклон представляет собой скорость. На рисунке вы можете напомнить себе, как мы вычисляем уклон, используя две точки на линии:
\( m=\text{Уклон от \( P \) до \( Q \)}=\dfrac{\text{подъем}}{\text{run}}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1 }=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) Мы хотели бы иметь возможность получать такую же информацию (насколько быстро кривая поднимается или падает, скорость по расстоянию), даже если график не является прямая линия.
Нам нужны две точки, чтобы определить наклон линии. Как мы можем найти наклон кривой только в одной точке? Ответ, как показано на рисунке, состоит в том, чтобы найти наклон касательной к кривой в этой точке. У большинства из нас есть интуитивное представление о том, что такое касательная. К сожалению, «касательную линию» трудно определить точно.
Определение (секущая линия)
секущая линия — это линия между двумя точками на кривой
См. изображение ниже:
Пока не могу сделать это Определение (касательная линия)
Касательная линия — это линия в одной точке кривой… которая делает все возможное, чтобы быть кривой в этой точке?
Как вы можете видеть на изображении ниже, чем ближе точка \(Q\) к точке \(P\), тем ближе наклон секущей к наклону касательной. Это будет ключом к нахождению наклона касательной, но сначала нам нужно более тщательно определить идею становится ближе.
Ограничения
В последнем разделе мы видели, что по мере уменьшения интервала, для которого мы рассчитывали, наклон секущей приближался к наклону касательной. Ограничение 90 199 – 90 200 дает нам лучший язык для обсуждения идеи «подходов».
Предел функции описывает поведение функции, когда переменная близка, но не равна заданному числу (см. рисунок ниже).
Определение (предел)
Если значения \(f(x)\) становятся все ближе и ближе, настолько близко, насколько мы хотим, к одному числу \(L\), поскольку мы принимаем значения \(x\) очень близко к (но не равному) числу \(c\), то мы говорим: « предел \(f(x)\) при приближении \(x\) к \(c\) равен \(L\) » и мы пишем \[\lim\limits_{x\to c} f(x)=L.\] Символ «\( \to \)» означает «приближается» или, менее формально, «очень близко подходит к» .
(Это определение предела сформулировано не так формально, как могло бы быть, но его достаточно для наших целей в этом курсе.
)
Примечание:
- \(f(c)\) — это единственное число, описывающее поведение (значение) \(f(x)\) в точке \(x = c\).
- \(\lim\limits_{x\to c} f(x)\) — это единственное число, описывающее поведение \(f(x)\) вблизи , но НЕ в точке \(x = в\).
Если у нас есть график функции вблизи x = c, то обычно легко определить \( \lim\limits_{x\to c} f(x) \).
(Вот ссылка на изображения, используемые в следующем видео, а также в других местах этой главы: Графики для пределов и примеров непрерывности.)
Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, поддерживающего видео HTML5
Пример 1
Используйте график \(y = f(x)\) на рисунке ниже, чтобы определить следующие пределы:
- \(\lim\limits_{x\to 1} f(x)\)
- \(\lim\limits_{x\to 2} f(x)\)
- \(\lim\limits_{x\to 3} f(x)\)
- \(\lim\limits_{x\to 4} f(x)\)
- Когда \(x\) очень близко к 1, значения \(f(x)\) очень близки к \(y = 2\).
В этом примере получается, что \(f(1) = 2\), но это несущественно для предела. Единственное, что имеет значение, это то, что происходит при \(x\) , близком к 1, но \(x \neq 1\). - \(f(2)\) не определено, но нас интересует только поведение \(f(x)\) для \(x\) близкое к 2, но не равное 2. Когда \( x\) близко к 2, значения \(f(x)\) близки к 3. Если мы ограничим \(x\) достаточно близко к 2, значения \(y\) будут как можно ближе к 3, как мы хотим, поэтому \( \lim\limits_{x\to 2} f(x) = 3 \).
- Когда \(x\) близко к 3 (или «когда \(x\) приближается к значению 3»), значения \(f(x)\) близки к 1 (или «приближаются к значению 1» ), поэтому \( \lim\limits_{x\to 3} f(x) = 1 \). Для этого предела совершенно неважно, что \(f(3) = 2\). Нас интересует только то, что произойдет с \(f(x)\) при \(x\), близком к 3 и не равном ему.
- Это сложнее, и мы должны быть осторожны. Когда \(x\) близко к 4 и немного меньше 4 (\(x\) находится чуть левее 4 по оси \(x\)), то значения \(f(x)\ ) близки к 2. Но если \(x\) близко к 4 и немного больше 4, то значения \(f(x)\) близки к 3. Если мы только знаем, что \(x\) очень близко к 4, то мы не можем сказать, будет ли \(y = f(x)\) близким к 2 или близким к 3 — это зависит от того, находится ли \(x\) справа или слева от 4. В этой ситуации значения \(f(x)\) не близки к одному числу, поэтому мы говорим, что \(f(x)\) не существует. Неважно, что \(f(4) = 1\). Предел, поскольку \(x\) приближается к 4, по-прежнему не был бы определен, если бы \(f(4)\) равнялось 3, 2 или чему-то еще. 92-х-1}{х-1} \).
Вы можете попытаться вычислить \(x = 1\), но \(f(x)\) не определено в \(x = 1\). Заманчиво, но неверно , сделать вывод, что эта функция не имеет предела по мере того, как \(x\) приближается к 1.
Использование таблиц: Пробовать некоторые «тестовые» значения для x, которые все ближе и ближе к 1 слева и справа получаем
\( x \) \(f(x)\) 0,9 2,82 0,9998 2,9996 0,999994 2,999988 0,9999999 2,9999998 \(\до 1\) \(\до 3\) \(х\) \(f(x)\) 1. 2 -x-1}{x-1}=3.\] 92-x-1}{x-1} \) для \(x\) близко к 1:Обратите внимание, что всякий раз, когда \(x\) близко к 1, значения \(y = f(x)\ ) близки к 3. Поскольку \(f\) не определено в \(x = 1\), граф имеет дыру выше \(x = 1\), но нас интересует только то, что \(f(x) \) делает для \(x\) близкое, но не равно 1.
Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, поддерживающего видео HTML5
Односторонние ограничители
Иногда то, что происходит с нами в каком-либо месте, зависит от того, в каком направлении мы приближаемся к этому месту. Если мы подойдем к Ниагарскому водопаду со стороны верхнего течения, то мы будем на 182 фута выше и у нас будут другие заботы, чем если бы мы подошли со стороны нижнего течения. Точно так же значения функции вблизи точки могут зависеть от направления, которое мы используем для приближения к этой точке.
Определение (левый и правый пределы)
Левый предел \(f(x)\) при приближении \(x\) к \(c\) равен \(L\), если значения \(f(x) \) получить как можно ближе к \(L\), когда \(x\) очень близко к и 9+} f(x) = \lim\limits_{x\to 1} f(x) = 1.
\]Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, поддерживающего видео HTML5
Непрерывность
Функция, которая является «дружественной» и не имеет разрывов или скачков, называется непрерывной. Более формально,
Определение (непрерывность в точке)
Функция \(f(x)\) непрерывна в \(x = a \) тогда и только тогда, когда \( \lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a)\).
На приведенном ниже графике показаны некоторые из различных способов поведения функции в точке и вблизи нее, а таблица содержит некоторую числовую информацию о функции и ее поведении.
\(а\) \( ж(а) \) \( \lim\limits_{x\to a} f(x) \) 1 2 2 2 1 2 3 2 Не существует (ДНЭ) 4 Не определено 2 Основываясь на информации в таблице, мы можем заключить, что \(f\) непрерывна в 1, так как \( \lim\limits_{x\to 1} f(x) = 2 = f(1)\) .
Мы также можем заключить из информации в таблице, что \(f\) не является непрерывным в 2, 3 или 4, потому что \( \lim\limits_{x\to 2} f(x) \neq f(2) \ ), \( \lim\limits_{x\to 3} f(x) \neq f(3) \) и \( \lim\limits_{x\to 4} f(x) \neq f(4) \).Поведение при \(x = 2\) и \(x = 4\) демонстрирует дыру в графике, иногда называемую устранимым разрывом , поскольку график можно сделать непрерывным, изменив значение одного точка. Поведение при \( x = 3 \) называется разрывом скачков , поскольку график прыгает между двумя значениями. Разрывы скачка и вертикальные асимптоты являются неустранимыми разрывами , потому что их нельзя исправить, изменив значение одной точки.
Итак, какие функции являются непрерывными? Оказывается, почти все изученные вами функции непрерывны там, где они определены: полиномиальные, радикальные, рациональные, экспоненциальные и логарифмические функции непрерывны там, где они определены .
В этом примере получается, что \(f(1) = 2\), но это несущественно для предела. Единственное, что имеет значение, это то, что происходит при \(x\) , близком к 1, но \(x \neq 1\).
Но если \(x\) близко к 4 и немного больше 4, то значения \(f(x)\) близки к 3. Если мы только знаем, что \(x\) очень близко к 4, то мы не можем сказать, будет ли \(y = f(x)\) близким к 2 или близким к 3 — это зависит от того, находится ли \(x\) справа или слева от 4. В этой ситуации значения \(f(x)\) не близки к одному числу, поэтому мы говорим, что \(f(x)\) не существует. Неважно, что \(f(4) = 1\). Предел, поскольку \(x\) приближается к 4, по-прежнему не был бы определен, если бы \(f(4)\) равнялось 3, 2 или чему-то еще. 92-х-1}{х-1} \).
2 -x-1}{x-1}=3.\] 92-x-1}{x-1} \) для \(x\) близко к 1:
\]
Мы также можем заключить из информации в таблице, что \(f\) не является непрерывным в 2, 3 или 4, потому что \( \lim\limits_{x\to 2} f(x) \neq f(2) \ ), \( \lim\limits_{x\to 3} f(x) \neq f(3) \) и \( \lim\limits_{x\to 4} f(x) \neq f(4) \).