Презентация на тему: Множество
комплексных
чисел.
Комплексным числом называется
выражение вида а + bi, в котором а и b – действительные числа, а i – некоторый символ такой, что
i2 1
Действительное число a называется действительной частью z=a+bi (Re z), а число b-мнимой частью (Im z)
Комплексное число z=a+bi изображают точкой плоскости с координатами (a;b)
Точка М(a;b), соответствующая комплексному числу z=a+bi, называется аффиксом данного числа z.
Два комплексных числа (a; b) и (c; d) называются равными, если а = с и b = d.
Комплексное число a-bi называется
комплексно сопряженным с числом a+bi | |
и обозначается через | z |
z a bi = a-bi
Комплексные числа вида a+bi и –a-bi называются противоположными.
Арифметические операции над комплексными числами
Суммой комплексных чисел z = (a; b) и w = (c; d) называется комплексное число
(a+c; b+d).
Разностью комплексных чисел z = (a; b) и w = (c; d) называют такое числоu, которое в сумме с числом w даёт число z
z = w + u.
Справедливо следующее правило: (a; b) – (c; d) = (a – c; b – d).
Произведением комплексных чисел z = (a; b) и w = (c; d) называют комплексное число
(ac – bd; ad + bc)
Частным от деления z на w называют число u, равное:
u | ac bd | ; | bc ad | |
|
|
| ||
|
| c2 d 2 | ||
c2 d 2 |
|
| ||
Нахождение степеней числа i
Если показатель степени i делится на 4, то значение степени равно 1, если при делении показателя на 4 в остатке получается 1, то значение степени равно i, если при делении показателя на 4 остаток равен 2, то значение степени равно -1, если в остатке при делении показателя на 4 будет 3, то значение степени равно –i.
• Вычислить: 1) i 66 , 2) i143 , 3) i216 ,4)i137 Решение:
1) i66
66:4=16(2). Остаток равен 2, значит i66=-1
2)i143
143 :4=35(3).В остатке 3, значит i 143=-i
,3)i216
216:4=54(0).в остатке 0, значит i216=1 4)i137
137:4=34(1).В остатке 1, значит i137=i
Пример 1 |
|
|
Вычислить: | (1 2i)i | 3 2i |
|
| 1 i |
1)(1 2i)i i 2i2 | 2 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||
2) | 3 2i |
|
| (3 2i)(1 i) |
|
| 3 | 2i 3i 2i2 |
| 3 5i 2 |
| 1 |
| 5 | i | |||||||||
1 | i |
| (1 i)(1 i) |
| 1 | i2 | 1 | 1 | 2 | 2 | ||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||
3)( 2 i) |
| 1 |
| 5 |
|
| 5 |
| 3 | i |
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||
| 2 | 2 | i | 2 | 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
Геометрический смысл комплексного числа
Каждой точке М плоскости с координатами (a,b) соответствует один и только один вектор OM z
с началом в точке z = 0 и концом в точке z=a+bi y
b | M(a;b) |
Если комплексное число Z= a+bi трактовать как точку M (a,b) плоскости xOy, то модуль Z равен расстоянию точки M (a,b) от начала координат
z a2 b2
Если на плоскости ввести полярные координаты
(r,φ), где φ аргумент | числа z (φ=argz) — угол | |
между действительной | осью ОХ и вектором ОМ, | |
то | а = r COS φ, b = r SIN φ | |
В | силу этого комплексное число Z можно | |
записать в форме z = r(COS φ+iSIN φ),
где r – модуль числа Z, φ – угол (в рад.
), который составляет вектор OM с положительным направлением оси ox
Использование i в качестве показателя степени
Использование i в качестве показателя степени
Мы используем MathJax
Поскольку мы можем найти квадратный корень из из , Можно мы делать другие операции с $i$? Например, можем ли мы использовать $i$ в качестве экспонента? Мы уверены, что можем.
Существует связь между воображаемым числа и тригонометрия, которая дает формулу умножения
\begin{уравнение*} \left[r(\cos P+i\sin P)\right]\left[s(\cos Q+i\sin Q)\right]= rs\влево[\cos(P+Q)+i\sin(P+Q)\вправо] \end{уравнение*} 9{х+у}$. Таким образом, мы можем ожидать связи между комплексными числами и экспоненциальными числами. функции. И такая связь существует! Нет, это не так обычно изучается до исчисления, из-за трудностей в Детали. Но мы не позволим этому остановить нас…Определение
В курсе исчисления (обычно во втором семестре) отношения
между функциями и «полиномами бесконечной степени».
Такие отношения называются серийными представлениями
функции. Для наших целей важными представлениями рядов
являются: 9{-dP}\left[\cos(d\ln r+cP+2ck\pi)+i\sin(d\ln r+cP+2ck\pi)\right]
\end{уравнение*}
Эпилог
Упрощение сил i — пустышки
Авторы: Мэри Джейн Стерлинг и
Обновлено: 26-03-2016
Алгебра II для чайников
Исследуйте книгу Купить на Amazon
Выполнение операций над комплексными числами требует умножения на i и умножения на степени i. По определению, i = квадратный корень из –1, поэтому i 2 = –1.
Если вы хотите i 3 , вы вычисляете это, записывая i 3 = i 2 x i = -1 x i = — и . Кроме того, i 4 = i
, а затем значения полномочий начинают повторяться, потому что I 5 = I , I 6 = –1, I 7 = — I и I 4 7 = — I и I 8 = 1. Итак, что вы делаете, если вам нужна более высокая степень, например, i 345 или что-то еще довольно высокое?
Вам не нужно выписывать все степени до i 345 , используя шаблон (не тогда, когда вы можете заниматься рафтингом, или убирать свою комнату, или смотреть, как Кабс выигрывают Мировую серию!). Вместо этого используйте следующее правило.
Чтобы вычислить значение степени i , определите, является ли степень кратной 4, на единицу больше, чем кратна 4, на два больше или на три больше, чем кратна 4.
и 4 п = 1
i 4 n +1 = i
i 4 n +2 = –1
i 4 n +3 = – i
Пример вопроса
Упростите следующее: I 444 , I 3,003 , I 54,321 и I 111,002
и I 111,002 и Iи 444 = 1; i 3,003 = – i ; я 54,321 = я ; i 111 002 = –1. Записав степень i как кратную 4 и то, что осталось (вы знаете, остаток), вы получите i 444 = I 4 (111) = 1, I 3 003 = I 4 (750) +3 = — I , I 544171 9007 I , I 54421 9007 I , I 54421 9007 I, I 5441719751 I, I 54421 9007 I .
