Как вычитать вектора по правилу параллелограмма: Правило параллелограмма. Законы сложения векторов — урок. Геометрия, 9 класс.

Как складывать скорости. Движение. Теплота

Как складывать скорости

Если я ждал полчаса и еще час, то всего я потерял времени полтора часа. Если мне дали рубль, а затем еще два, то я всего получил три рубля. Если я купил 200 г винограда, а затем еще 400 г, то у меня будет 600 г винограда. Про время, массу и другие подобные величины говорят, что они складываются алгебраически.

Однако не всякие величины можно так просто складывать и вычитать. Если я скажу, что от Москвы до Коломны 100 км, а от Коломны до Каширы 40 км, то отсюда не следует, что Кашира находится от Москвы на расстоянии 140 км. Расстояния не складываются алгебраически.

Как же еще можно складывать величины? На нашем примере мы легко найдем нужное правило. Нанесем на бумагу три точки, которые указывают взаимное расположение интересующих нас трех пунктов (рис. 4). На этих трех точках можно построить треугольник. Если две стороны его известны, то можно найти и третью. Для этого, однако, надо знать угол между двумя заданными отрезками.

Неизвестное расстояние находят следующим образом: отложим первый отрезок и из конца его по заданному направлению построим второй. Теперь соединим начало первого отрезка с концом второго. Искомый путь изобразится замыкающим отрезком.

Сложение описанным способом называется геометрическим, а величины, складываемые этим способом, называются векторами.

Для того чтобы отличить начало и конец отрезка, его снабжают стрелкой. Такой отрезок – вектор – указывает длину и направление.

Это правило применяется и при сложении нескольких векторов. Переходя из первой точки во вторую, из второй в третью и т.д., мы пройдем путь, который можно изобразить ломаной линией. Но к той же самой точке можно пройти прямо из отправного пункта. Этот отрезок, замыкающий многоугольник, и будет векторной суммой.

Векторный треугольник показывает, разумеется, и как вычитать один вектор из другого. Для этого проводят их из одной точки. Вектор, проведенный из конца второго в конец первого, и будет разностью векторов.

Кроме правила треугольника, можно пользоваться равноценным ему правилом параллелограмма (рис. 5).

Это правило требует построения параллелограмма на складывающихся векторах и проведения диагонали из их пересечения. На рисунке видно, что диагональ параллелограмма и есть замыкающая треугольника. Значит, оба правила одинаково пригодны.

Векторы используются для описания не только перемещений. Векторные величины встречаются в физике часто.

Рассмотрим, например, скорость движения. Скорость есть перемещение за единицу времени. Раз перемещение – вектор, то и скорость – вектор, смотрящий в ту же сторону. При движении по кривой линии направление перемещения все время изменяется. Как же ответить на вопрос о направлении скорости? Небольшой отрезок кривой направлен так же, как касательная. Поэтому перемещение и скорость тела в каждый данный момент направлены по касательной к линии движения.

Складывать и вычитать скорости по правилу векторов приходится во многих случаях. Необходимость в сложении скоростей возникает, когда тело участвует одновременно в двух движениях. Такие случаи нередки: человек идет по поезду и, кроме того, движется вместе с поездом; капля воды, стекающая по стеклу вагонного окна, движется вниз под действием веса и путешествует вместе с поездом; земной шар движется вокруг Солнца и вместе с Солнцем совершает движение по отношению к другим звездам. Во всех этих и других подобных случаях скорости складываются по правилу сложения векторов.

Если оба движения происходят вдоль одной линии, то векторное сложение превратится в обычное сложение, когда оба движения направлены в одну сторону, и в вычитание, когда движения противоположны.

А если движения происходят под углом? Тогда мы прибегнем к геометрическому сложению.

Если, переправляясь через быструю реку, вы будете держать руль поперек течения, вас снесет вниз. Лодка участвовала в двух движениях: поперек реки и вдоль реки. Суммарная скорость лодки показана на рис. 6.

Еще один пример. Как выглядит движение дождевой струи из окна поезда? Вы, наверное, наблюдали дождь из окон вагона. Даже в безветренную погоду он идет косо, так, как будто его отклоняет ветер, дующий в лоб паровозу (рис. 7).

Если погода безветренная, капля дождя падает вертикально вниз. Но за время падения капли вдоль окна поезд проходит изрядный путь, убегает от вертикали падения, поэтому дождь и кажется косым.

Если скорость поезда v_п, а скорость падения капли v_к, то скорость падения капли по отношению к пассажиру поезда получится векторным вычитанием

v_п из v_к*4. Треугольник скоростей показан на рис. 7. Направление косого вектора указывает направление дождя; теперь ясно, почему мы видим дождь косым. Длина косой стрелки дает в выбранном масштабе величину этой скорости. Чем быстрее идет поезд и чем медленнее падает капля, тем более косыми покажутся нам дождевые струи.

Скорости капризничают

Скорости капризничают Какую скорость имеет пассажир относительно полотна железной дороги, если он идет к голове поезда со скоростью 5 километров в час, а поезд движется со скоростью 50 километров в час? Ясно, что скорость человека относительно полотна дороги равна 50 + 5 = 55

Вычисление скорости

Вычисление скорости Вычисление начальной скорости ядра, которое никогда не должно упасть на Землю.

Чтобы найти искомую скорость, спросим себя сначала: почему всякое ядро, выброшенное пушкой горизонтально, в конце концов, падает на Землю? Потому что земное притяжение

III. Если летишь в звездолете со скоростью, близкой к скорости света, какие ужасы ждут тебя по возвращении?

III. Если летишь в звездолете со скоростью, близкой к скорости света, какие ужасы ждут тебя по возвращении? Казалось бы, это пустое любопытство, однако ученые нашли способ провести интересные исследования на основе этого феномена. В качестве примера грандиозных открытий,

2. Вычисление скорости света

2. Вычисление скорости света Впервые идея о способе измерения скорости света была высказана Г. Галилеем в 1607 г. в следующем виде. Два наблюдателя с фонарями находятся на известном друг от друга расстоянии в прямой видимости. Первый из них открывает свой фонарь и, отмечая

4.

7. Измерение скорости света Солнца

4.7. Измерение скорости света Солнца В конце 40-х гг. ХХ века, во время подготовки в СССР дискуссии о сущности теории относительности, С. И. Вавиловым, президентом АН СССР, было решено поставить лабораторный опыт по проверке достоверности постулата с = const. В качестве

6.3. Рост массы в зависимости от скорости

6.3. Рост массы в зависимости от скорости Представление зависимости массы от скорости занимает особое положение в современной физике. История формирования соотношения между массой и энергией изложена В. В. Чешевым в работе [1], где, в частности, сказано: «Представление о

Глава 1 Ограничение скорости

Глава 1 Ограничение скорости В тот день все банки были закрыты — выходной, и мистер Томпкинс, скромный служащий солидного городского банка, встал позже обычного и не спеша позавтракал.

Пора было позаботиться о досуге, и мистер Томпкинс решил, что было бы неплохо сходить

Как складывать параллельные силы, действующие на твердое тело

Как складывать параллельные силы, действующие на твердое тело Когда на предыдущих страницах мы решали задачи механики, в которых тело мысленно заменялось точкой, вопрос о сложении сил решался просто. Правило параллелограмма давало ответ на этот вопрос, а если силы были

Скорости молекул

Скорости молекул Теория указывает, что при одной температуре средние кинетические энергии молекул mvср2/2 одинаковы. При нашем определении температуры эта средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа пропорциональна абсолютной температуре. В виде

III. Если летишь в звездолете со скоростью, близкой к скорости света, какие ужасы ждут тебя по возвращении?

III.  Если летишь в звездолете со скоростью, близкой к скорости света, какие ужасы ждут тебя по возвращении? Казалось бы, это пустое любопытство, однако ученые нашли способ провести интересные исследования на основе этого феномена. В качестве примера грандиозных открытий,

«Математика стрелок» | Физика

Вероятно, вам известен вопрос-шутка: «Как правильнее сказать: три да четыре суть пять или три да четыре есть пять?» И когда под веселый смех окружающих вопрошаемый выбирает второй вариант, вы, к его великому смущению, напоминаете, что согласно арифметике три да четыре будет семь, а не пять. Спрашиваемый попал в ловушку, так как подчеркнутой интонацией слов «суть» и «есть» его внимание было отвлечено от арифметики в сторону грамматики.

Но подождите торжествовать, сейчас и вы узнаете, что три да четыре не всегда в сумме дает семь, что правильный ответ может быть и пять, и вообще любое число между единицей и семью, в зависимости. .. от угла между слагаемыми, конечно, в том случае, если «три» и «четыре» представляют собой так называемые векторные величины.

Дело в том, что величины бывают скалярные и векторные. Первые характеризуются только числом, например длина, объем, время. Вторые характеризуются не только числом, но и направлением.

Скалярные величины складываются арифметически (три кубических метра да четыре кубических метра всегда будет семь кубических метров) . Векторные величины складываются геометрически.

Поясним это на простом примере (см. рис. 1). Поперек реки плывет лодка. Если бы вода в реке была неподвижна, то лодка перемещалась бы каждую секунду, например, на |AB| = 4 м. В действительности же вода в реке течет и сносит лодку по течению за то же время, скажем, на |AD| = 3 м. В результате лодка оказывается в точке C. Каково будет перемещение лодки за секунду по отношению к берегу в текущей воде? Перемещение есть величина векторная. В самом деле, ведь важно знать не только расстояние, на которое сместится лодка, но и направление перемещения.

Искомое перемещение лодки показано на рисунке 1 отрезком AC. Вектор есть сумма векторов и :

Над векторными величинами в отличие от скалярных принято ставить стрелку. На чертеже векторы обозначают не простым отрезком, а отрезком направленным — в виде стрелки, указывающей, куда направлен вектор. Поскольку в рассматриваемом примере слагаемые векторы направлены под прямым углом друг к другу, то для нахождения длины результирующего вектора можно воспользоваться известной теоремой Пифагора. Таким образом,

На рисунке 1 показано сложение векторов по правилу параллелограмма. Слагаемые векторы являются сторонами параллелограмма, а результирующий вектор есть диагональ параллелограмма. Сложение векторов можно производить и иначе — по правилу треугольника. Такой способ сложения векторов показан на рисунке 2. К концу вектора приставляют начало вектора и затем соединяют вектором начало первого вектора с концом второго. Вектор есть сумма векторов и . Нетрудно сообразить, что оба правила сложения векторов приводят к одному и тому же результату.

На рисунках 1 и 2 угол между слагаемыми векторами равнялся 90°. В общем случае угол между слагаемыми векторами может быть каким угодно. Чем меньше этот угол, тем, очевидно, больше длина результирующего вектора (при заданных длинах слагаемых векторов). Если рассматриваемый угол равен нулю, длина результирующего вектора максимальна; она равна арифметической сумме длин слагаемых векторов. Если же этот угол равен 180° (слагаемые векторы направлены в противоположные стороны), длина результирующего вектора минимальна; она равна арифметической разности длин слагаемых векторов. При этом результирующий вектор направлен в сторону вектора большей длины.

Для лучшего закрепления сказанного о сложении векторов представим ту же задачу в такой форме. Пловец пытается быстро переплыть реку шириной 200 м. Скорость пловца в стоячей воде равна 20 м/мин. Пловец старался плыть перпендикулярно течению, но течение реки каждую минуту относило его на 12 м от цели. Поэтому он достигает противоположного берега в точке C (рис. 3, а). Если же пловец будет стремиться плыть под некоторым углом к линии AB так, что течение все время будет сносить его на эту линию, то, плывя с той же скоростью по отношению к воде, он окажется в конце концов в точке B (рис. 3, б). В каком случае пловец скорее достигнет противоположного берега? Рассчитав, вы, к своему удивлению, получите такие ответы: в первом случае переправа займет 10 мин, а во втором 12,5 мин. Кратчайшая дорога не всегда скорейшая!

В следующей беседе нам понадобится умение вычитать векторы. Покажем, как это надо делать (см. рис. 4). Пусть из вектора надо вычесть вектор . Приставьте начало вектора к началу вектора , сохраняя, конечно, их направления. Затем проведите вектор от конца вектора (вычитаемого) к концу вектора (уменьшаемого). Полученный вектор и есть разность векторов и , в чем легко убедиться, проверив вычитание сложением:

Векторов

Вектор – это величина, заданная величиной плюс направление в пространстве

Свойства векторов

Любой вектор однозначно определяется тремя его компонентами x, y, z, которые являются проекциями вектора на координатные оси с единичными векторами (такими, что )

Обозначение вектора с координатами имеет вид

 это

Величина вектора  (или его длина) определяется теоремой Пифагора

|| =

Добавление векторов

Сложение векторов   и  является вектором суммы

 

Суммарный вектор определяется Правилом сложения параллелограмма

Величина вектора суммы определяется законом косинусов

где:

 и  являются величинами векторов  и

 это угол между ними

Компоненты вектора суммы:

х = х ₁ + х ₂

у = у ₁ + у ₂

z = z ₁ + г ₂

Правило сложения параллелограмма является частным случаем общего

Правила многоугольника , используемого для сложения нескольких векторов

Вычитание векторов

Вычитание векторов   и   является разностью векторов

 

Разность векторов определяется методом вычитания треугольников

Величина разности векторов

Компоненты разности векторов:

х = х ₁ — х ₂

у = у ₁ — у ₂

z = z ₁ — z ₂

Скалярное произведение

Скалярное (или точечное) произведение векторов и — это скалярная величина, определяемая числом

.

 

, где – угол между векторами и

.

Свойства скалярного произведения:

1)

2) Если  тогда

3) Если  тогда

4)

Векторный продукт

Векторное (или перекрестное) произведение векторов   и   — это вектор

.

 

Вектор  нормальен к плоскости, в которой лежат векторы  и (плоскость x-y), направленные в соответствии с Правилом правой руки: когда правая ладонь полусогнута от  к  , большой палец показывает направление вектора

Величина вектора

, где – угол между векторами и

.

Компоненты векторного произведения :

Свойства векторного произведения:

1)

2) Если  тогда

3) Если  тогда модуль векторного произведения равен

.

 

Вычитание векторов Важные понятия и советы по подготовке к экзамену JEE

Вектор можно определить как величину, измерение или объект, который имеет как величину, так и направление. Это одно из самых важных и основных понятий в физике, которое находит свое применение почти во всех разделах предмета. Вектор можно представить геометрически как направленный отрезок. Длина сегмента линии соответствует величине вектора, а наконечник стрелки соответствует направлению вектора. Направление любого вектора определяется от его хвоста к его голове, где находится стрелка.

Наиболее распространенные примеры векторных величин включают силу, скорость, ускорение, перемещение, импульс, электрическое поле и т. д. К векторам можно применять основные алгебраические операции, но для этих операций существуют свои правила. Мы не можем складывать или вычитать векторы, как мы складываем или вычитаем числа. У векторов тоже есть направления, так что это нужно учитывать. В этой статье мы подробно рассмотрим, как вычитать векторы.

Изображение: геометрическое представление вектора

Что такое вычитание векторов?

Предположим, что есть векторы a и b. Вычитание этих векторов представлено как, a-b. Простыми словами, это просто добавление вектора -b к вектору a. Его можно записать как

a-b=a+(-b)

Вычитание векторов можно представить как добавление вектора к другому вектору после поворота его на 180° в пространстве. Вычитание векторов включает в себя сложение векторов и отрицание любого вектора. Очевидно, что вычитание двух векторов даст в результате вектор. Можно выделить два правила вычитания векторов.

• Вычитание векторов может выполняться только между двумя векторами.

• Вычитаемые векторы должны представлять одну и ту же физическую величину, иначе их нельзя вычесть.

Параллелограмм Закон вычитания векторов

Продолжим с теми же векторами a и b. Эти векторы можно визуализировать в пространстве, как показано на диаграмме, приведенной ниже. Чтобы применить закон параллелограмма, векторы должны быть котерминальными или их начальные точки должны совпадать.

 

 Изображение: параллелограммный закон вычитания векторов

Основной вопрос перед началом вычитания: как понять, что означает вычитание этих векторов. Вычитание представляет собой a-b, и когда к этому вычитанию добавляется b, ответ должен быть a. Это можно представить как

(a-b)+b=a

На приведенном выше рисунке показаны векторы a и b. Теперь вычитание в основном означает добавление -b к a. Если мы повернем вектор b на 180°, а затем добавим его к a, мы получим ответ. Рисунок ниже помогает визуализировать этот процесс.

Теперь, образуя параллелограмм путем построения линий вокруг двух векторов, мы получим параллелограмм, как показано на рисунке выше. Тогда диагональ, проведенная из начальной точки векторов в противоположную вершину, даст равнодействующую, в данном случае, вычитание. Таким образом, у нас есть результирующая, a-b по закону параллелограмма.

Треугольный закон вычитания векторов

Чтобы использовать треугольный закон вычитания векторов, векторы не обязательно должны иметь одну и ту же начальную точку. Начальная точка одного вектора должна быть в конечной точке предыдущего вектора. Затем результирующая векторов или сумма этих векторов будет проведена от начальной точки первого вектора до конечной точки последнего вектора. Для вычитания второй вектор следует повернуть на 180°, а затем можно применить закон треугольника, чтобы получить результат или вычитание этих векторов.

Это можно визуализировать с помощью рисунка ниже.

Изображение: Закон треугольника для векторного вычитания

Здесь вектор b был повернут на 180°, а затем результирующая проведена от начальной точки a до вершины -b, чтобы получить a-b.

Формула вычитания векторов

Продолжим работу с векторами a и b. Помимо графических способов вычитания векторов, их также можно вычитать, вычитая их соответствующие компоненты друг из друга. Пусть,

a={a1, a2} 

b={b1, b2}

Соответствующие компоненты можно вычесть, чтобы получить a-b.

a-b=a+(-b) 

a-b={(a1-b1), (a2-b2)}

Это формула вычитания векторов. Это может быть распространено на любое количество компонентов, которые имеет вектор.

Давайте рассмотрим пример вычитания векторов, чтобы лучше понять ситуацию.

Предположим, что a={3,5}, а b={2,6}.

Вычитание будет иметь вид

a-b={(3-2), (5-6)} 

a-b={1, -1}

Важно знать, каким законам подчиняется вычитание векторов. Вычитание векторов подчиняется закону распределения, то есть

a(b-c)=ab-ac

Здесь a, b и c – векторы.