Как освободиться от иррациональности в знаменателе: способы, примеры, решения
При изучении преобразований иррационального выражения очень важным является вопрос о том, как освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. Целью этой статьи является объяснение этого действия на конкретных примерах задач. В первом пункте мы рассмотрим основные правила данного преобразования, а во втором – характерные примеры с подробными пояснениями.
Понятие освобождения от иррациональности в знаменателе
Начнем с пояснения, в чем вообще заключается смысл такого преобразования. Для этого вспомним следующие положения.
Об иррациональности в знаменателе дроби можно говорить в том случае, если там присутствует радикал, он же знак корня. Числа, которые записаны при помощи такого знака, часто относятся к числу иррациональных. Примерами могут быть 12, -2x+3, x+yx-2·x·y+1, 117-5 . К дробям с иррациональными знаменателями также относятся те, что имеют там знаки корней различной степени (квадратный, кубический и т.
д.), например, 343, 1x+x·y4+y. Избавляться от иррациональности следует для упрощения выражения и облегчения дальнейших вычислений. Сформулируем основное определение:
Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби – значит преобразовать ее, заменив на тождественно равную дробь, в знаменателе которой не содержится корней и степеней.
Такое действие может называться освобождением или избавлением от иррациональности, смысл при этом остается тем же. Так, переход от 12 к 22 , т.е. к дроби с равным значением без знака корня в знаменателе и будет нужным нам действием. Приведем еще один пример: у нас есть дробь xx-y . Проведем необходимые преобразования и получим тождественно равную ей дробь x·x+yx-y, освободившись от иррациональности в знаменателе.
После формулировки определения мы можем переходить непосредственно к изучению последовательности действий, которые нужно выполнить для такого преобразования.
Основные действия для избавления от иррациональности в знаменателе дроби
Для освобождения от корней нужно провести два последовательных преобразования дроби: умножить обе части дроби на число, отличное от нуля, а затем преобразовать выражение, получившееся в знаменателе.
Рассмотрим основные случаи.
В наиболее простом случае можно обойтись преобразованием знаменателя. Например, мы можем взять дробь со знаменателем, равным корню из 9. Вычислив 9, мы запишем в знаменателе 3 и избавимся таким образом от иррациональности.
Однако гораздо чаще приходится предварительно умножать числитель и знаменатель на такое число, которое потом позволит привести знаменатель к нужному виду (без корней). Так, если мы выполним умножение 1x+1 на x+1, мы получим дробь x+1x+1·x+1 и сможем заменить выражение в ее знаменателе на x+1. Так мы преобразовали 1x+1 в x+1x+1 , избавившись от иррациональности.
Иногда преобразования, которые нужно выполнить, бывают довольно специфическими. Разберем несколько наглядных примеров.
Как преобразовать выражение в знаменателе дроби
Как мы уже говорили, проще всего выполнить преобразование знаменателя.
Пример 1Условие: освободите дробь 12·18+50 от иррациональности в знаменателе.
Решение
Для начала раскроем скобки и получим выражение 12·18+2·50.
Используя основные свойства корней, перейдем к выражению 12·18+2·50. Вычисляем значения обоих выражений под корнями и получаем 136+100. Здесь уже можно извлечь корни. В итоге у нас получилась дробь 16+10, равная 116. На этом преобразования можно закончить.
Запишем ход всего решения без комментариев:
12·18+50=12·18+2·50==12·18+2·50=136+100=16+10=116
Ответ: 12·18+50=116.
Пример 2Условие: дана дробь 7-x(x+1)2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе.
Решение
Ранее в статье, посвященной преобразованиям иррациональных выражений с применением свойств корней, мы упоминали, что при любом A и четных n мы можем заменить выражение Ann на |A| на всей области допустимых значений переменных. Следовательно, в нашем случае мы можем записать так: 7-xx+12=7-xx+1 . Таким способом мы освободились от иррациональности в знаменателе.
Ответ: 7-xx+12=7-xx+1.
Избавление от иррациональности методом умножения на корень
Если в знаменателе дроби находится выражение вида A и само выражение A не имеет знаков корней, то мы можем освободиться от иррациональности, просто умножив обе части исходной дроби на A.
Условие: даны дроби x3 и -1×2+y-4. Избавьтесь от иррациональности в их знаменателях.
Решение
Выполним умножение первой дроби на корень второй степени из 3. Получим следующее:
x3=x·33·3=x·332=x·33
Во втором случае нам надо выполнить умножение на x2+y-4 и преобразовать получившееся выражение в знаменателе:
-1×2+y-4=-1·x2+y-4×2+y-4·x2+y-4==-x2+y-4×2+y-42=-x2+y-4×2+y-4
Ответ: x3=x·33 и -1×2+y-4=-x2+y-4×2+y-4 .
Если же в знаменателе исходной дроби имеются выражения вида Anm или Amn (при условии натуральных m и n), нам нужно выбрать такой множитель, чтобы получившееся выражение можно было преобразовать в Ann·k или An·kn (при натуральном k).
После этого избавиться от иррациональности будет несложно. Разберем такой пример.
Условие: даны дроби 7635 и xx2+1415. Избавьтесь от иррациональности в знаменателях.
Решение
Нам нужно взять натуральное число, которое можно разделить на пять, при этом оно должно быть больше трех. Чтобы показатель 6 стал равен 5, нам надо выполнить умножение на 625. Следовательно, обе части исходной дроби нам придется умножить на 625:
7635=7·625635·625=7·625635·62=7·625655==7·6256=7·3656
Во втором случае нам потребуется число, большее 15, которое можно разделить на 4 без остатка. Берем 16. Чтобы получить такой показатель степени в знаменателе, нам надо взять в качестве множителя x2+14. Уточним, что значение этого выражения не будет 0 ни в каком случае. Вычисляем:
xx2+1415=x·x2+14×2+1415·x2+14==x·x2+14×2+1416=x·x2+14×2+1444=x·x2+14×2+14
Ответ: 7635=7·3656 и xx2+1415=x·x2+14×2+14.
Избавление от иррациональности методом умножения на сопряженное выражение
Следующий метод подойдет для тех случаев, когда в знаменателе исходной дроби стоят выражения a+b, a-b, a+b, a-b, a+b, a-b.
В таких случаях нам надо взять в качестве множителя сопряженное выражение. Поясним смысл этого понятия.
Для первого выражения a+b сопряженным будет a-b, для второго a-b – a+b . Для a+b – a-b, для a-b – a+b, для a+b – a-b, а для a-b – a+b. Иначе говоря, сопряженное выражение – это такое выражение, в котором перед вторым слагаемым стоит противоположный знак.
Давайте рассмотрим, в чем именно заключается данный метод. Допустим, у нас есть произведение вида a-b·a+b . Оно может быть заменено разностью квадратов a-b·a+b=a2-b2, после чего мы переходим к выражению a−b, лишенному радикалов. Таким образом, мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби с помощью умножения на сопряженное выражение. Возьмем пару наглядных примеров.
Пример 5Условие: избавьтесь от иррациональности в выражениях 37-3 и x-5-2.
Решение
В первом случае берем сопряженное выражение, равное 7+3. Теперь производим умножение обеих частей исходной дроби на него:
37-3=3·7+37-3·7+3=3·7+372-32==3·7+37-9=3·7+3-2=-3·7+32
Во втором случае нам понадобится выражение -5+2, которое является сопряженным выражению -5-2.
Умножим на него числитель и знаменатель и получим:
x-5-2=x·-5+2-5-2·-5+2==x·-5+2-52-22=x·-5+25-2=x·2-53
Возможно также перед умножением выполнить преобразование: если мы вынесем из знаменателя сначала минус, считать будет удобнее:
x-5-2=-x5+2=-x·5-25+2·5-2==-x·5-252-22=-x·5-25-2=-x·5-23==x·2-53
Ответ: 37-3=-3·7+32 и x-5-2=x·2-53.
Важно обратить внимание на то, чтобы выражение, полученное в итоге умножения, не обращалось в 0 ни при каких переменных из области допустимых значений для данного выражения.
Пример 6Условие: дана дробь xx+4. Преобразуйте ее так, чтобы в знаменателе не было иррациональных выражений.
Решение
Начнем с нахождения области допустимых значений переменной x. Она определена условиями x≥0 и x+4≠0. Из них можно сделать вывод, что нужная область представляет собой множество x≥0.
Сопряженное знаменателю выражение представляет собой x-4. Когда мы можем выполнить умножение на него? Только в том случае, если x-4≠0 .
xx+4=x·x-4x+4·x-4==x·x-4×2-42=x·x-4x-16
Если x будет равен 16, то мы получим:
xx+4=1616+4=164+4=2
Следовательно, xx+4=x·x-4x-16 при всех значениях x, принадлежащих области допустимых значений, за исключением 16. При x=16 получим xx+4=2.
Ответ: xx+4=x·x-4x-16, x∈[0, 16)∪(16, +∞)2, x=16.
Преобразование дробей с иррациональностью в знаменателе с использованием формул суммы и разности кубов
В предыдущем пункте мы выполняли умножение на сопряженные выражения с тем, чтобы потом использовать формулу разности квадратов. Иногда для избавления от иррациональности в знаменателе полезно воспользоваться и другими формулами сокращенного умножения, например, разностью кубов a3−b3=(a−b)·(a2+a·b+b2). Этой формулой удобно пользоваться, если в знаменателе исходной дроби стоят выражения с корнями третьей степени вида A3-B3, A32+A3·B3+B32. и т.
Условие: преобразуйте дроби 173-23 и 34-2·x3+x23 так, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе.
Решение
Для первой дроби нам нужно воспользоваться методом умножения обеих частей на неполный квадрат суммы 73 и 23, поскольку потом мы сможем выполнить преобразование с помощью формулы разности кубов:
173-23=1·732+73·23+23273-23·732+73·23+232==732+73·23+232733-233=723+7·23+2237-2==493+143+435
Во второй дроби представим знаменатель как 22-2·x3+x32. В этом выражении виден неполный квадрат разности 2 и x3 , значит, мы можем умножить обе части дроби на сумму 2+x3 и воспользоваться формулой суммы кубов. Для этого должно быть соблюдено условие 2+x3≠0, равносильное x3≠-2 и x≠−8:
34-2·x3+x23=322-2·x3+x32==3·2+x322-2·x3+x32·2+x3=6+3·x323+x33==6+3·x38+x
Подставим в дробь -8 и найдем значение:
34-2·83+823=34-2·2+4=34
Подведем итоги.
При всех x, входящих в область значений исходной дроби (множество R), за исключением -8, мы получим 34-2·x3+x23=6+3·x38+x. Если x=8, то 34-2·x3+x23=34.
Ответ: 34-2·x3+x23=6+3·x38+x, x≠834, x=-8.
Последовательное применение различных способов преобразования
Часто на практике встречаются более сложные примеры, когда мы не можем освободиться от иррациональности в знаменателе с помощью всего одного метода. Для них нужно последовательно выполнять несколько преобразований или подбирать нестандартные решения. Возьмем одну такую задачу.
Условие: преобразуйте 574-24, чтобы избавиться от знаков корней в знаменателе.
Решение
Выполним умножение обеих частей исходной дроби на сопряженное выражение 74+24 с ненулевым значением. Получим следующее:
574-24=5·74+2474-24·74+24==5·74+24742-242=5·74+247-2
А теперь применим тот же способ еще раз:
5·74+247-2=5·74+24·7+27-2·7+2==5·74+24·7+272-22=5·74+74·7+27-2==5·74+24·7+25=74+24·7+2
Ответ: 574-24=74+24·7+2.
Калькулятор вариационных уравнений
Калькулятор вариационных уравненийКак работает калькулятор вариационных уравнений?
Этот калькулятор решает следующие уравнения прямой вариации и уравнения обратной вариации ниже:
* y изменяется прямо как x
* y изменяется обратно пропорционально x
* y изменяется прямо как квадрат x
* y изменяется прямо как куб x
* y изменяется прямо как квадратный корень из x
* y изменяется обратно пропорционально квадрату x 93 Дополнительные математические формулы см. в нашем досье формул
Какие 3 концепции рассматриваются в Калькуляторе вариационных уравнений?
- константа пропорциональности
- отношение, которое связывает два заданных значения в так называемом пропорциональном отношении
k - обратное
- противоположное или противоположное в положении переменная
Видео калькулятор вариационных уравнений
