Комбинаторика — основные формулы. Перестановки, размещения, сочетания. Теория вероятностей
- Правило умножения
- Правило сложения
- Размещения и перестановки
- Сочетания
- Разбиение множества на группы
- Задачи контрольных и самостоятельных работ
Основные понятия и формулы
Комбинаторикой называется раздел математики, изучающий вопрос о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов).
Правило умножения (основная формула комбинаторики)
Общее число способов, которыми можно выбрать по одному элементу из каждой группы и расставить их в определенном порядке (то есть получить упорядоченную совокупность ), равно:
Пример 1
Монету подбросили 3 раза. Сколько различных результатов бросаний можно ожидать?
Решение
Первая монета имеет
альтернативы – либо орел, либо решка.
Для
второй монеты также есть
альтернативы
и т.д., т.е.
.
Искомое количество способов:
Правило сложения
Если любые две группы и не имеют общих элементов, то выбор одного элемента или из , или из , …или из можно осуществить способами.
Пример 2
На полке 30 книг, из них 20 математических, 6 технических и 4 экономических. Сколько существует способов выбора одной математической или одной экономической книги.
Решение
Математическая книга может быть выбрана способами, экономическая — способами.
По правилу суммы существует способа выбора математической или экономической книги.
Размещения и перестановки
Размещения – это
упорядоченные совокупности элементов, отличающиеся друг от друга либо составом,
либо порядком элементов.
Размещения без повторений, когда отобранный элемент перед отбором следующего не возвращается в генеральную совокупность. Такой выбор называется последовательным выбором без возвращения, а его результат – размещением без повторений из элементов по .
Число различных способов, которыми можно произвести последовательный выбор без возвращения элементов из генеральной совокупности объема , равно:
Пример 3
Расписание дня состоит из 5 различных уроков. Определите число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.
Решение
Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11, отличающихся от других вариантов как составом, так и порядком следования. поэтому:
Перестановки – это упорядоченные совокупности, отличающиеся друг от друга только порядком элементов. Число всех перестановок множества из элементов равно
Пример 4
Сколькими способами можно рассадить 4 человек за одним столом?
Решение
Каждый вариант рассадки отличается только порядком участников, то есть является перестановкой из 4 элементов:
Размещения с повторениями,
когда отобранный элемент перед отбором следующего возвращается в генеральную
совокупность.
Такой выбор называется последовательным выбором с возвращением, а
его результат — размещением с
повторениями из
элементов по
.
Общее число различных способов, которыми можно произвести выбор с возвращением элементов из генеральной совокупности объема , равно
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Пример 5
Лифт останавливается на 7 этажах. Сколькими способами могут выйти на этих этажах 6 пассажиров, находящихся в кабине лифта?
Решение
Каждый из способов
распределения пассажиров по этажам представляет собой комбинацию 6 пассажиров
по 7 этажам, отличающуюся от других комбинаций как составом, так и их порядком.
Так как одном этаже может выйти как
один, так и несколько пассажиров, то одни и те же пассажиры могут
повторяться. Поэтому число таких комбинаций равно числу размещений с
повторениями из 7 элементов по 6:
Сочетания
Сочетаниями из n элементов по k называются неупорядоченные совокупности, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.
Пусть из генеральной совокупности берется сразу несколько элементов (либо элементы берут последовательно, но порядок их появления не учитывается). В результате такого одновременного неупорядоченного выбора элементов из генеральной совокупности объема получаются комбинации, которые называются сочетаниями без повторений из элементов по .
Число сочетаний из элементов по равно:
Пример 6
В ящике 9 яблок.
Сколькими
способами можно выбрать 3 яблока из ящика?
Решение
Каждый вариант выбора состоит из 3 яблок и отличается от других только составом, то есть представляет собой сочетания без повторений из 9 элементов:
Количество способов, которыми можно выбрать 3 яблока из 9:
Пусть из генеральной совокупности объема выбирается элементов, один за другим, причем каждый отобранный элемент перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность. При этом ведется запись, какие элементы появились и сколько раз, однако порядок их появления не учитывается. Получившиеся совокупности называются сочетаниями с повторениями из элементов по .
Число сочетаний с повторениями из элементов по :
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач.
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Пример 7
На почте продают открытки 3 видов. Сколькими способами можно купить 6 открыток?
Решение
Это задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из 3 по 6:
Разбиение множества на группы
Пусть множество из различных элементов разбивается на групп так, то в первую группу попадают элементов, во вторую — элементов, в -ю группу — элементов, причем . Такую ситуацию называют разбиением множества на группы.
Число разбиений на групп, когда в первую попадают элементов, во вторую — элементов, в k-ю группу — элементов, равно:
Пример 8
Группу из 16 человек
требуется разбить на три подгруппы, в первой из которых должно быть 5 человек,
во второй – 7 человек, в третьей – 4 человека.
Сколькими способами это можно
сделать?
Решение
Здесь
Число разбиений на 3 подгруппы:
Задачи контрольных и самостоятельных работ
Задача 1
Монету подбросили 3 раза. Сколько различных результатов бросаний можно ожидать?
Задача 2
Доступ к файлу открывается, только если введен правильный пароль – определенный трехзначный номер из нечетных цифр. Какова максимальное число возможных попыток угадать пароль?
Задача 3
Группу из 10 человек требуется разбить на две непустые подгруппы и . Сколькими способами можно это сделать?
Задача 4
Два наборщика должны набрать 16 текстов. Сколькими способами они могут распределить эту работу между собой.
Задача 5
Шесть студентов-переводников нужно распределить по трем группам. Сколькими способами это можно сделать?
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач.
Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Задача 6
Лифт останавливается на 7 этажах. Сколькими способами могут выйти на этих этажах 6 пассажиров, находящихся в кабине лифта?
Задача 7
В ящике 5 красных и 4 зеленых яблока. Сколькими способами можно выбрать 3 яблока из ящика?
Задача 8
Из ящика, в котором лежат 10 красных и 5 зеленых яблок, выбирают одно красное и два зеленых яблока. Сколькими способами можно это сделать.
Задача 9
В группе из 25 студентов нужно выбрать старосту и 3 членов студенческого комитета. Сколькими способами можно это сделать.
Задача 10
Акционерное
собрание компании выбирает из 50 человек президента компании, председателя совета
директоров и 10 членов совета директоров.
Задача 11
В телевизионной студии работают 3 режиссера, 4 звукорежиссера, 5 операторов, 7 корреспондентов и 2 музыкальных редактора. Сколькими способами можно составить съемочную группу, состоящую из одного режиссера, двух операторов, одного звукорежиссера и двух корреспондентов.
Задача 12
На группу из 25 человек выделены 3 пригласительных билета на вечер. Сколькими способами они могут быть распределены (не более одного билета в руки).
Задача 13
Имеются 7 билетов: 3 в один театр и 4 – в другой. Сколькими способами они могут быть распределены между студентами группы из 25 человек?
Задача 14
Группу из 16 человек требуется разбить на три подгруппы, в первой из которых должно быть 5 человек, во второй – 7 человек, в третьей – 4 человека. Сколькими способами это можно сделать?
- Правило умножения
- Правило сложения
- Размещения и перестановки
- Сочетания
- Разбиение множества на группы
- Задачи контрольных и самостоятельных работ
определение, формула.
3=125. }\)Всего 125 паролей.
Результат можно получить непосредственно из правила произведения. Действительно, на первой позиции 5 вариантов символов, на второй – 5 вариантов, и на третьей – 5 вариантов. Итого, по правилу произведения: 5 · 5 · 5 = 53 = 125 паролей.
п.3. Примеры
Пример 1. Исследуйте различие между перестановкой без повторений и размещением без повторений 〈3,2〉-выборок для трёх разноцветных фишек. Изобразите полученные решения.
Рассматриваем фишки:
1) Для перестановок, 〈3,3〉-выборок, получаем:
| В каждом ряду – отдельная перестановка. Видно, как образуется факториал. Для каждой отдельной фишки – одна перестановка. Для каждой пары фишек – две перестановки: 2 · 1. Когда добавляем третью, получаем: 3 · 2 · 1 Итого: P3 = 3 · 2 · 1 = 6 перестановок. |
2) Для размещений без повторений, 〈3,2〉-выборок, получаем:
В каждом ряду – отдельное размещение. 3\cdot 9}{2}=8145 } $$ Ответ: 1) 604 800 2) 10 000 000; 3) 10 000; 4) 8145.Рейтинг пользователейза неделю
Помогай другим Отвечай на вопросы и получай ценные призы каждую неделю См. подробности Формула позиции — Изменение формулы позиции и примеры
Дата последнего обновления: 14 апреля 2023 г. • Всего просмотров: 4010. 0011 Просмотров сегодня: 12.22k Физика — одна из самых фундаментальных научных дисциплин. Он направлен на изучение той части естествознания, которая имеет дело с движением, поведением, энергией и силой в пространстве и времени. В этой конкретной статье мы обсудим одну такую важную тему физики, связанную с положением. Команда экспертов объяснила понятия самым простым языком, чтобы ученики могли их понять без особого труда. В этой статье учащиеся смогут изучить следующие понятия: Формулы положения – введениеЧтобы узнать движение объекта, важно понять его положение. Чтобы описать позицию, нам нужно взять точку отсчета. Часто мы используем Землю в качестве ориентира для определения положения объекта. Здесь следует отметить, что мы должны взять точку отсчета, которая обычно не находится в стационарном положении и, следовательно, находится в движении. Следуйте полной статье, чтобы хорошо понять концепцию. Каково положение объекта? Истинное положение объекта – это его местоположение, которое определяется основными размерами. Истинное положение помогает контролировать отклонение конкретной функции от желаемого положения. Например, резьбовые отверстия на крышке головки цилиндров должны совпадать с резьбовыми отверстиями на кожухе двигателя по размеру и положению. В противном случае две части не будут сопрягаться, и смазочное масло для узла клапана будет вытекать, нарушая назначение крышки. Крышка цилиндра бесполезна, и необходимо использовать другую деталь. Формула положения представлена в виде:Случай 1: \[\Delta x = x_2 — x_1\], Где x1 – первое положение тела, x2 – второе положение после подвергается смещению, А Δx – скорость изменения смещения.
Случай 2: Если тело меняет свое положение после времени t, скорость изменения положения в любой момент времени t, x(t), формулируется как 92 + v_0t + X_0\]
Где x(t) — положение тела во времени t, x0 — начальное положение тела, v0 — начальная скорость тела, а α — ускорение, которым обладает тело.
Пример: Мальчик с начальной скоростью 2 м/с уже прошел 10 м. Если он имеет постоянное ускорение 2 м/с2, найдите положение мальчика через 5 с. Ответ: 92 + v_0t + X_0\] = ½ x 2 x 25 + 2 x 5 + 10 = 45 м Советы по подготовке к IIT JEEЭкзамен является конкурентоспособным, потому что каждый год появляются тысячи студентов, но при правильном руководстве и организованной подготовке даже вы можете сдать этот экзамен. Вот некоторые из советов, которые наши эксперты дают кандидатам: Выбор учебного материала; вы не должны запутывать свой ум, ссылаясь на слишком много источников по одной теме. Определите свой источник и придерживайтесь одного источника для одной темы. Вы можете ознакомиться с учебными материалами, представленными на сайте. Иметь четкое представление о распределении баллов по каждой теме. Прочитайте темы из заметок один раз и посмотрите соответствующие видео, чтобы лучше понять концепцию. Одновременно начните практиковаться в ЕГЭ прошлого года и других образцах работ. Сравните и извлеките уроки из решений этих статей, подготовленных нашими профильными экспертами. Продолжайте практиковаться и пересматривать заметки, делайте свои собственные короткие заметки для более быстрого повторения. Общайтесь с наставниками, чтобы получать регулярные отзывы, поддержку и рекомендации, которые помогут вам не сбиться с пути. Никто не сможет остановить вас, если вы продолжите следовать процессу искренне и преданно. Недавно обновленные страницы. Формула – значение, расчет, решенные примеры и часто задаваемые вопросы Формула энергии фотона – уравнение, график, приложения и часто задаваемые вопросы Формула цилиндрического конденсатора – определение. Решенный пример и часто задаваемые вопросы Формула трансформатора — эффективность, коэффициент трансформации, повышение и понижение Формула радиоактивного распада — значение, уравнение, период полураспада и часто задаваемые вопросы Электрические формулы — объяснение, примеры решений и часто задаваемые вопросы Формула тепловой нагрузки — значение, расчет , Решенные примеры и часто задаваемые вопросы Формула энергии фотона — уравнение, график, приложения и часто задаваемые вопросы Формула цилиндрического конденсатора — определение. Решенный пример и часто задаваемые вопросы Актуальные темы Формула положения — GeeksforGeeks Движение любого объекта невозможно описать без определения его положения, обозначаемого «x». Каково положение объекта?Истинное положение любого объекта — это его точная координата или положение, определяемое его основными размерами или другими способами. Другими словами, положение означает, насколько далеко местоположение объекта может отклоняться от его «истинного положения». Траектория прямолинейного движения является траекторией прямой линии.
Положение можно указать просто, например, перед компьютером, или, точнее, используя долготу и широту определенного места на Земле. Позиция, в которой находится дом или строение, называется адресом. Ось, по которой задается положение на Земле, представляет собой широту и долготу Земли. Формула положенияСогласно уравнениям движения, когда a ускоряется с ускорением a за время t с начальной скоростью v0 и начальным положением объекта x0, то положение объекта во времени t равно
Вот формула для определения изменения положения объекта, то есть 9001
где:
Примеры задачЗадача 1. Шар катится с начальной скоростью 3 м/с по пути 20 м и угловым ускорением 2 м/с 2 . Каково будет положение мяча через 5 с? Решение:
Задача 2: Транспортное средство с начальной скоростью 2 м/с проехало расстояние 10 м с постоянным ускорением 2 м/с 2 . Найдите положение автомобиля через 5 с. Решение:
Задача 3. Автомобиль трогается с места и равномерно ускоряется за время 5 с на расстояние 100 м. Определить ускорение автомобиля. Решение:
Задача 4. Мяч катится с начальной скоростью 10 м/с на протяжении 20 м и угловым ускорением 0,2 м/с 2 . Каково будет положение мяча через 10 с? Решение:
|
Мы уже сделали это для вас. Пройдите их, прежде чем начать подготовку.
По сути, необходимо указать положение относительно общепринятой системы отсчета. Система отсчета представляет собой набор значений или правил, с помощью которых можно делать суждения о физике и измерениях. Мы часто рассматриваем землю как систему отсчета и склонны определять положение различных вещей и объектов по отношению к другим неподвижным объектам на земле. Мы также можем использовать объекты, которые находятся в движении, но находятся в относительном движении с землей. Поэтому для описания положения пассажира в поезде мы используем поезд в качестве эталона. Дайте нам больше узнать о позиции и ее формуле.
Это движение также осуществляется с постоянной скоростью ускорения. На прямой начальная точка может быть x 0 , при этом наблюдатель измеряет положение x движущегося объекта в момент времени t. Следовательно,
изменение положения объекта.
