бесконечную десятичную дробь перевести в обыкновенную
Вы искали бесконечную десятичную дробь перевести в обыкновенную? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и как бесконечную десятичную дробь перевести в обыкновенную дробь, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «бесконечную десятичную дробь перевести в обыкновенную».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает.
На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и бесконечную десятичную дробь перевести в обыкновенную. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, как обыкновенную дробь перевести в десятичную периодическую дробь).Где можно решить любую задачу по математике, а так же бесконечную десятичную дробь перевести в обыкновенную Онлайн?
Решить задачу бесконечную десятичную дробь перевести в обыкновенную вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.
Сравнение конечных и бесконечных десятичных дробей: правила, примеры, решения
В данной теме будет рассмотрена как общая схема сравнения десятичных дробей, так и детальный разбор принципа сравнения конечных и бесконечных дробей.
Теоретическую часть закрепим решением типичных задач. Также разберем на примерах сравнение десятичных дробей с натуральными или смешанными числами, и обыкновенными дробями.
Внесем уточнение: в теории ниже будет рассмотрено сравнение только положительных десятичных дробей.
Общий принцип сравнения десятичных дробей
Для каждой конечной десятичной и бесконечной периодической десятичной дробей существуют соответствующие им некоторые обыкновенные дроби. Следовательно, сравнение конечных и бесконечных периодических дробей возможно производить как сравнение соответствующих им обыкновенных дробей. Собственно, это утверждение и является общим принципом сравнения десятичных периодических дробей.
На основе общего принципа формулируются правила сравнения десятичных дробей, придерживаясь которых возможно не осуществлять перевод сравниваемых десятичных дробей в обыкновенные.
То же самое можно сказать и про случаи, когда происходит сравнение десятичной периодической дроби с натуральными числами или смешанными числами, обыкновенными дробями – заданные числа необходимо заменить соответствующими им обыкновенными дробями.
Если же речь идет о сравнении бесконечных непериодических дробей, то его обычно сводят к сравнению конечных десятичных дробей. Для рассмотрения берется такое количество знаков сравниваемых бесконечных непериодических десятичных дробей, которое даст возможность получить результат сравнения.
Равные и неравные десятичные дроби
Определение 1Равные десятичные дроби – это две конечные десятичные дроби, у которых равны соответствующие им обыкновенные дроби. В противном случае десятичные дроби являются неравными.
Опираясь на данное определение, просто обосновать такое утверждение: если в конце заданной десятичной дроби подписать или, наоборот, отбросить несколько цифр 0, то получится равная ей десятичная дробь. К примеру: 0,5 = 0,50 = 0,500 = …. Или: 130,000 = 130,00 = 130,0 = 130. По сути, дописать или отбросить нуль в конце дроби справа — значит умножить или разделить на 10 числитель и знаменатель соответствующей обыкновенной дроби. Добавим к сказанному основное свойство дробей (умножая или деля числитель и знаменатель дроби на одно и то же натуральное число, получаем дробь, равную исходной) и имеем доказательство вышеуказанного утверждения.
К примеру, десятичной дроби 0,7 соответствует обыкновенная дробь 710. Дописав нуль справа, получим десятичную дробь 0,70, которой соответствует обыкновенная дробь 70100, 7·70100:10. Т.е.: 0,7 = 0,70. И наоборот: отбрасывая в десятичной дроби 0,70 нуль справа, получаем дробь 0,7 – таким образом, от десятичной дроби 70100 мы переходим к дроби 710, но 710=70:10100:10 Тогда: 0,70 = 0,7.
Теперь рассмотрим содержание понятия равных и неравных бесконечных периодических десятичных дробей.
Определение 2Равные бесконечные периодические дроби – это бесконечные периодические дроби, у которых равны отвечающие им обыкновенные дроби. Если же соответствующие им обыкновенные дроби не равны, то заданные для сравнения периодические дроби также являются неравными.
Данное определение позволяет сделать следующие выводы:
— если записи заданных периодических десятичных дробей совпадают, то такие дроби являются равными. К примеру, периодические десятичные дроби 0,21(5423) и 0,21(5423) равны;
— если в заданных десятичных периодических дробях периоды начинаются с одной и той же позиции, первая дробь имеет период 0, а вторая – 9; значение разряда, предшествующего периоду 0, на единицу больше, чем значение разряда, предшествующего периоду 9, то такие бесконечные периодические десятичные дроби равны.
— две любые другие периодические дроби не являются равными. Например: 8,0(3) и 6,(32); 0,(42) и 0,(131) и т.д.
Осталось рассмотреть равные и неравные бесконечные непериодические десятичные дроби. Такие дроби представляют из себя иррациональные числа, и их невозможно перевести в обыкновенные дроби. Следовательно, сравнение бесконечных непериодических десятичных дробей не сводится к сравнению обыкновенных.
Определение 3Равные бесконечные непериодические десятичные дроби – это непериодические десятичные дроби, записи которых полностью совпадают.
Логичным будет вопрос: как сравнить записи, если увидеть «законченную» запись таких дробей невозможно? Сравнивая бесконечные непериодические десятичные дроби, нужно рассматривать только некоторое конечное число знаков заданных для сравнения дробей так, чтобы это позволило сделать вывод. Т.е. по сути сравнение бесконечных непериодических десятичных дробей заключается в сравнении конечных десятичных дробей.
Такой подход дает возможность утверждать о равенстве бесконечных непериодических дробей только с точностью до рассматриваемого разряда. Например, дроби 6,73451… и 6,73451… равны с точностью до стотысячных, т.к. равными являются конечные десятичные дроби 6,73451 и 6,7345. Дроби 20,47… и 20,47… равны с точностью до сотых, т.к. равными являются дроби 20,47 и 20,47 и так далее.
Неравенство бесконечных непериодических дробей устанавливается вполне конкретно при явных различиях в записях. Например, неравными являются дроби 6,4135… и 6,4176… или 4,9824… и 7,1132… и так далее.
Правила сравнения десятичных дробей. Решение примеров
Если установлен факт неравенства двух десятичных дробей, обычно также необходимо определить, какая из них больше, а какая – меньше. Рассмотрим правила сравнения десятичных дробей, которые дают возможность решить вышеуказанную задачу.
Очень часто достаточно лишь сравнить целые части заданных к сравнению десятичных дробей.
Определение 4Та десятичная дробь, у которой целая часть больше, является бОльшей.
Меньшей является та дробь, у которой целая часть меньше.
Указанное правило распространяется как на конечные десятичные дроби, так и на бесконечные.
Пример 1Необходимо сравнить десятичные дроби: 7,54 и 3,97823… .
Решение
Совершенно очевидно, что заданные десятичные дроби равными не являются. Целые их части равны соответственно: 7 и 3. Т.к. 7 > 3, то 7,54 > 3,97823… .
Ответ: 7,54 > 3,97823… .
В случае, когда целые части заданных к сравнению дробей равны, решение задачи сводится к сравнению дробных частей. Сравнение дробных частей производится поразрядно – от разряда десятых к более младшим.
Рассмотрим сначала случай, когда нужно сравнить конечные десятичные дроби.
Пример 2Необходимо выполнить сравнение конечных десятичных дробей 0,65 и 0,6411.
Решение
Очевидно, что целые части заданных дробей равны (0 = 0). Проведем сравнение дробных частей: в разряде десятых значения равны (6 = 6), а вот в разряде сотых значение дроби 0,65 больше, чем значение разряда сотых в дроби 0,6411 (5 > 4).
Таким образом, 0,65 > 0,6411.
Ответ: 0,65 > 0,6411.
В некоторых задачах на сравнение конечных десятичных дробей с разным количеством знаков после запятой необходимо к дроби с меньшим количеством десятичных знаков приписывать нужное количество нулей справа. Удобно уравнивать таким образом количество десятичных знаков в заданных дробях еще до начала сравнения.
Пример 3Необходимо сравнить конечные десятичные дроби 67,0205 и 67,020542.
Решение
Данные дроби очевидно не являются равными, т.к. записи их различны. При этом их целые части равны: 67 = 67. Прежде чем приступить к поразрядному сравнению дробных частей заданных дробей, уравняем количество знаков после запятой, дописав нули справа в дроби с меньшим количеством знаков. Тогда получим для сравнения дроби: 67,020500 и 67,020542. Проводим поразрядное сравнение и видим, что в разряде стотысячных значение в дроби 67,020542 больше, чем соответствующее в дроби 67,020500 (4 > 0).
Таким образом, 67,020500 < 67,020542, а значит 67,0205 < 67,020542.
Ответ: 67,0205 < 67,020542.
Если необходимо сравнить конечную десятичную дробь с бесконечной, то конечная дробь заменяется бесконечной, ей равной с периодом 0. Затем производится поразрядное сравнение.
Пример 4Необходимо сравнить конечную десятичную дробь 6,24 с бесконечной непериодической десятичной дробью 6,240012…
Решение
Мы видим, что целые части заданных дробей равны (6 = 6). В разрядах десятых и сотых значения обеих дробей также являются равными. Чтобы иметь возможность сделать вывод, продолжаем сравнение, заменяя конечную десятичную дробь равной ей бесконечной с периодом 0 и получаем: 6,240000… . Дойдя до пятого знака после запятой, находим различие: 0 < 1, а значит: 6,240000… < 6,240012…. Тогда: 6,24 < 6,240012… .
Ответ: 6,24 < 6,240012… .
Сравнивая бесконечные десятичные дроби, также применяют поразрядное сравнение, которое окончится тогда, когда значения в каком-то разряде у заданных дробей окажутся различными.
Необходимо сравнить бесконечные десятичные дроби 7,41(15) и 7,42172… .
Решение
В заданных дробях — равные целые части, значения десятых также равны, а вот в разряде сотых мы видим различие: 1 < 2. Тогда: 7,41(15) < 7,42172… .
Ответ: 7,41(15) < 7,42172… .
Пример 6Необходимо сравнить бесконечные периодические дроби 4,(13) и 4,(131).
Решение:
Понятными и верными являются равенства: 4,(13) = 4,131313… и 4,(133) = 4,131131… . Сравниваем целые части и поразрядно дробные, и на четвертом знаке после запятой фиксируем расхождение: 3 > 1. Тогда: 4,131313… > 4,131131…, а 4,(13) > 4,(131).
Ответ: 4,(13) > 4,(131).
Сравнение десятичных дробей с натуральными числами, обыкновенными дробями и смешанными числами
Чтобы получить результат сравнения десятичной дроби с натуральным числом, необходимо сравнить целую часть заданной дроби с заданным натуральным числом.
При этом надо учесть, что периодические дроби с периодами 0 или 9 нужно предварительно представить в виде равных им конечных десятичных дробей.
Если целая часть заданной десятичной дроби меньше заданного натурального числа, то и вся дробь является меньшей по отношению к заданному натуральному числу. Если целая часть заданной дроби больше или равна заданному натуральному числу, то дробь больше заданного натурального числа.
Пример 7Необходимо сравнить натуральное число 8 и десятичную дробь 9,3142… .
Решение:
Заданное натуральное число меньше, чем целая часть заданной десятичной дроби (8 < 9), а значит это число меньше заданной десятичной дроби.
Ответ: 8 < 9,3142… .
Пример 8Необходимо сравнить натуральное число 5 и десятичную дробь 5,6.
Решение
Целая часть заданной дроби равна заданному натуральному числу, тогда, согласно вышеуказанному правилу, 5 < 5,6.
Ответ: 5 < 5,6.
Пример 9Необходимо сравнить натуральное число 4 и периодическую десятичную дробь 3,(9).
Решение
Период заданной десятичной дроби равен 9, а значит перед сравнением необходимо заменить заданную десятичную дробь равной ей конечной или натуральным числом. В данном случае: 3,(9) = 4. Таким, образом исходные данные равны.
Ответ: 4 = 3,(9).
Чтобы произвести сравнение десятичной дроби с обыкновенной дробью или смешанным числом, необходимо:
— записать обыкновенную дробь или смешанное число в виде десятичной дроби, а затем выполнить сравнение десятичных дробей или
— записать десятичную дробь в виде обыкновенной дроби (за исключением бесконечной непериодической), а затем выполнить сравнение с заданной обыкновенной дробью или смешанным числом.
Необходимо сравнить десятичную дробь 0,34 и обыкновенную дробь 13.
Решение
Решим задачу двумя способами.
- Запишем заданную обыкновенную дробь 13 в виде равной ей периодической десятичной дроби: 0,33333… . Тогда становится необходимым произвести сравнение десятичных дробей 0,34 и 0,33333… . Получим: 0,34 > 0,33333…, а значит 0,34 > 13.
- Запишем заданную десятичную дробь 0,34 в виде равной ей обыкновенной. Т.е.: 0,34 = 34100 = 1750. Сравним обыкновенные дроби с разными знаменателями и получим: 1750 > 13. Таким образом, 0,34 > 13.
Ответ: 0,34 > 13.
Пример 11Необходимо сравнить бесконечную непериодическую десятичную дробь 4,5693… и смешанное число 438.
Решение
Бесконечную непериодическую десятичную дробь нельзя представить в виде смешанного числа, но возможно перевести смешанное число в неправильную дробь, а ее, в свою очередь, записать в виде равной ей десятичной дроби. Тогда: 438= 358 и
Т.е.: 438= 358= 4,375. Проведем сравнение десятичных дробей: 4,5693… и 4,375 (4,5693… > 4,375) и получим: 4,5693… > 438.
Ответ: 4,5693… > 438.
Калькулятор преобразования повторяющихся десятичных чисел в дроби
Этот калькулятор преобразования повторяющихся десятичных чисел в дроби можно использовать для преобразования повторяющихся десятичных чисел в исходную дробную форму.
Просто введите повторяющуюся часть десятичной дроби (повторяющуюся) и ее неповторяющуюся часть (где применимо). Например, если вы конвертируете 0,6 в 2/3, оставьте неповторяющееся поле пустым.
Как преобразовать повторяющиеся десятичные дроби в дроби
Когда дробь представляется в виде десятичной дроби, она может принимать форму завершающей десятичной дроби; например:
3/5 = 0,6 и 1/8 = 0,125,
или повторяющаяся десятичная дробь; например,
19/70 = 0,2714285 и 1/6 = 0,16
Полоска, изображенная выше, представлена над повторяющимся элементом числовой строки. Это известно как повторение. Вы можете преобразовать дробь в десятичную, чтобы упростить сложение и вычитание величин.
Однако в практической математике часто встречаются повторяющиеся десятичные дроби при преобразовании дробей в проценты или десятичные дроби, что снижает точность вычислений.
Вы можете преобразовать десятичную дробь в исходную дробь, выполнив шаги, описанные ниже. Однако, если вы хотите немного облегчить себе жизнь, воспользуйтесь нашим калькулятором преобразования десятичной дроби в дробную.
Шаг 1: Отделите неповторяющуюся часть десятичного числа от повторяющейся части. Например, предположим, что вы хотите преобразовать следующее число в дробь:
0,3210708
Полоса располагается над неповторяющейся частью десятичной дроби. Таким образом, вы должны отделить 321 от 0708.
Шаг 2: Запишите неповторяющуюся часть десятичной дроби в степени 10, содержащую столько нулей, сколько чисел содержится в неповторяющейся части десятичной дроби (включая все нули). Например, поскольку 321 состоит из трех чисел, мы представляем дробь как 321/1000.
Шаг 3: Запишите повтор с таким количеством девяток, сколько цифр в этом повторе (опять же, включая нули). Например, поскольку 0708 состоит из четырех цифр, он представляется как 0708/9.999. Затем разделите эту дробь на степень 10, примененную на шаге 2. Например, поскольку мы применили 1000 на шаге два, мы вычислим следующее: (0708/9999)/1000 = 0708/9999000 = 708/9999000.
Шаг 4: Сложите две дроби, полученные на шагах 2 и 3 соответственно (согласно правилам сложения дробей, убедитесь, что вы даете им общий знаменатель). Например:
321/1000 + 708/9999000
= 3209679/9999000 + 708/9999000
= 3210387/9999000
Шаг 5: Уменьшите дробь, полученную на шаге 4. Например, и 3210387, и 9999000 можно разделить на 3. Таким образом, мы делим числитель и знаменатель на 3, чтобы получить следующее:
1070129/3333000.
Это дробная часть, эквивалентная 0,3210708.
Почему этот метод работает?
С помощью алгебры можно продемонстрировать, что все повторяющиеся десятичные дроби являются рациональными числами.
Например, допустим, у нас есть x = 0,3210708 . Следующие алгебраические шаги можно применить, чтобы продемонстрировать, что x можно представить в виде дроби:
x = 0,3210708
x = 321/1000 + 0,0000708
x − 321/1000 = 0,0000708
9000 2 1000 (х — 321/1000) = 0,070810000 (1000 (х — 321/1000)) = 708,0708
10000 (1000 (х — 321/1000)) = 708 + 0,0708
10000 (1000 (х — 321/10) 00)) = 708 + 1000 ( х — 321/1000)
10000000х — 3210000 = 708 + 1000х — 321
9999000х = 3210387
x = 3210387/9999000 = 1070129/3333000
Вас также может заинтересовать наш Sig Fig Calculator
Калькулятор повторяющихся десятичных дробей | Математические калькуляторы
Калькулятор повторяющихся десятичных дробей используется для вычисления того, сколько число, записанное повторяющимися десятичными цифрами, может быть записано дробями. Этот простой на вид онлайн-калькулятор на самом деле вычисляет 6 шагов для выполнения задачи преобразования.
| Неповторяющаяся часть | |
| Повторяющееся число |
| Обычная дробь | ||
| / | ||
| / | ||
★ ★ ★ ★ ★ [ 47 Голосов ] 90 003
Все, что вам нужно знать о повторяющемся калькуляторе десятичной дроби
Есть предположения, сколько времени у вас уйдет на все эти расчеты? Правильно, больше, чем вы думаете.
Итак, двигаясь дальше, каждый расчет, который вы делаете, процессор будет делать намного быстрее, давая вам точные результаты, чем вы способны произвести. Однако, учитывая тот факт, что время имеет решающее значение и есть и другие задачи, которые необходимо выполнить, iCalculator разработал повторяющийся калькулятор десятичной дроби, чтобы помочь вам сэкономить время.
Что такое повторяющееся преобразование десятичной дроби в дробную?
Прежде чем мы начнем с деталей калькулятора десятичной дроби, давайте сначала разберемся в его функции. Как указано в его названии, этот калькулятор вычисляет преобразование повторяющегося десятичного числа в его дробный эквивалент.
Чтобы лучше понять это, предположим, что вам нужно найти дробный эквивалент, скажем, 0,333333
Преобразование повторяющихся десятичных чисел в дроби для одной повторяющейся цифры
Итак, дайте ему имя, скажем, x.
Сейчас,
- x = 0,333333———-(1)
- 10x = 3,33333——(2)
- Вычесть (1) из (2)
- 9x = 3
- x = 3/9
- x = 1/3
Таким образом, ясно, что 1/3 является дробным эквивалентом 0,333333
Но нет, это относится к одной повторяющейся цифре после запятой. Что, если у вас есть число с двумя повторяющимися десятичными цифрами, например, 0,21212121. В таком случае
Повторяющееся преобразование десятичной дроби в дробную для двух повторяющихся цифр
x = 0,21212121—(1)
Теперь мы не можем умножить обе части на 10, потому что это изменит порядок повторяющихся десятичных знаков.
Итак, нам нужно умножить обе части на 100. Итак, теперь у нас есть
100x = 21,212121 — (2)
Теперь вычтите (1) из (2), и мы получим
- .
- 99x = 21
- x = 21/99
- x = 7/33
Преобразование повторяющихся десятичных чисел в дроби для трех повторяющихся цифр
Аналогичным образом, если повторяющиеся десятичные цифры находятся в наборе из трех , ты нужно обе части умножить на 1000, например, допустим
x = 0,738738738738
Учитывая вышеизложенное правило,
- 1000x = 738,738738738
- 999x = 738
- x = 738/999
- x = 82/111
Проще говоря, чтобы найти дробный эквивалент повторяющегося десятичного числа, вам нужно умножить обе части на показатель степени 10, экспоненциальное значение которого равно количеству повторяющихся цифр.
Однако, если у вас есть однозначное повторяющееся десятичное число, такое как 738,333333, то как вы будете решать эту проблему? Звучит сложно? Нет, запомните правило.
Просто умножьте 738,333333 на 10, и вы получите 7383,33333. Это то же самое путешествие сейчас, верно? Нет. Это даст вам неправильный ответ.
Повторяющееся преобразование десятичной дроби в смешанную дробь
Это потому, что в таком случае число слева от десятичной точки (или число перед десятичной точкой, как вам лучше запомнить) не используется. Затем вы работаете с данной дробью, как обычно.
Таким образом, работая над 0,33333, вы получите долю 1/3. Теперь идет поворот смешанных фракций. 738, которые вы отложили, станут причиной того, что дробь станет смешанной, и у вас будет
x = 738⅓
Для подтверждения просто умножьте 738 на 3, прибавьте к нему 1 и разделите сумму на 3, и вы получите 738,33333.
В конце концов, все сводится к тому, насколько быстро вы упрощаете дроби. И помните, не было бы онлайн-калькуляторов или любых других математических калькуляторов, если бы упрощение дробей было таким простым.
Использование калькулятора десятичной дроби в реальной жизни
От выпечки до банковских операций и химических экспериментов, этот конкретный математический расчет играет важную роль во всех них.