Лабораторная работа по физике
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет
информационных технологий, механики и оптики
Институт холода и биотехнологий
Измерение плотности твердых тел простейшей формы
Работу выполнил
Студент 515 группы
Сатторов Диловар Эътборович
Преподаватель: Румп Геннадий Александрович
2013г
Лабораторная работа №1
Цель работы
1.Измерить диаметр и высоту цилиндра, его массу и по ним рассчитать платность материала.
2. Представить результаты измерения плотности материала с указанием абсолютной и относительной погрешностей.
Перечень используемого оборудования и средств измерений:
-образец цилиндрической формы
-штангенциркуль
-весы
Наименование средства измерения | Предел измерений | Цена деления | Класс точности | Погрешность, |
Штангенциркуль | 150 мм | 0,2мм/дел. | — | 0,2 мм |
Весы электронные | 500гр | 0,1г/дел. | — | 0,1 г |
Теоретическое обоснование
Измерить 5 раз диаметр D образца в различных сечениях по высоте и на разных образующих цилиндра
Измерить 3 раза высоту цилиндра H по разным образующим
Измерить 1 раз массу m образца
Таблица данных
Диаметр образца | D1 | D2 | D3 | D4 | D5 |
Значение диаметра Рi, мм | 26,1 | 30,1 | 30,1 | 28,1 | 29,1 |
Н1 | Н2 | Н3 | |||
Значение высоты Нi, мм | 40,6 | 42,1 | 43,1 | ||
Масса, гр | 11,0 | ||||
Метод измерения:
Плотность вещества равна отношению массы к объему
(1)
Где m-масса тела, кг;V-объем тела,
Объем цилиндра диаметром D и высотой H
(2)
Таким образом, плотность материала цилиндрического образца
(3)
Используемые
в работе образцы за счет погрешностей
изготовления имеют отклонения от формы
прямого кругового цилиндра: бочкообразность,
прогиб, конусность, эллиптичность
поперечного сечения, а также непараллельность
торцевых поверхностей(см.
рис1). Поэтому
диаметры D образца, измеренные в разных сечениях
и на разных образующих, будут разлицаться.
Также будут различаться и высоты H на разных продольных сечениях
А) б) в) г)
Для уменьшения случайной погрешности измерения диаметра D и высоты H, будем диаметр D измерять 5 раз, высоту H— три раза. Массу образца достаточно измерить 1 раз.
Для расчета плотности в формуле (3) будем использовать средние значения диаметра D и высоты H образца.
Поэтому окончательная расчетная формула для плотности примет вид
Примеры расчетов
По данным таблицы рассчитать средний диаметр цилиндра D для пяти измерений
Рассчитать среднее квадратичное отклонение (СКО) результата измерения диаметра
Рассчитать доверительный интервал случайной погрешности (случайную погрешность) измерения диаметра D для надежности α=0,95
Рассчитать полную и абсолютную погрешность измерения диаметра
Рассчитать относительную погрешность измерения диаметра в процентах
Записать результат измерения диаметра в виде
По данным таблицы рассчитать среднюю высоту цилиндра H для трех измерений
-
Рассчитать СКО результата измерения высоты
Рассчитать случайную погрешность измерения высоты образца для надежности α=0,95
Рассчитать полную абсолютную погрешность измерения высоты
Рассчитать относительную погрешность измерения высоты в процентах
Записать результат измерения высоты в виде
В таблице найти инструментальную погрешность измерения образца, которая дана для надежности α=1
Найти абсолютную и относительную погрешности измерения массы в процентах для надежности α=0,95.
В соответствии с рекомендациями
методических указаний
Записать результат измерения высоты в виде
- Рассчитать плотность материала образца
Плотность материала определяется путем косвенных изменений по формуле, в которую входят прямо измеряемые величины D, H, m. Формула представляет собой одночлен, поэтому в соответствии с рекомендациями методических указаний целесообразно вначале вычислить относительную погрешность измерения в процентах
Для этого в формулу все относительные погрешности следует поставить в процентах, а затем рассчитать абсолютную погрешность
Записать результат измерения плотности в виде
Вывод.
Таким
образом, плотность(Р) твердого тела
можно найти с помощью высоты(Н), диаметра(D)
и массы(m)
фигуры.
Плотность данного твердого тела напрямую зависит от высоты(Н) и диаметра(D) цилиндра.
Чем больше высота цилиндра, тем ниже плотность тела.
Чем больше высота цилиндра, тем меньше плотность тела.
Дата выполнения: 20 марта 2013 г. Подпись:
Физика. Механика
Представим снова элементарную работу в виде
Удельная величина, равная отношению работы совершенной за время dt к этому времени, называется мощностью:
Другими словами, мощность, развиваемая некоторой силой, равна скорости, с которой эта сила производит работу. Можно сказать и так: средняя за единицу времени мощность численно равна работе совершенной за единицу времени. Если мощность за выбранную единицу времени практически не меняется, то слово «средняя» можно опустить: мощность численно равна работе за единицу времени.
Как видно из определения, мощность равна скалярному произведению силы на скорость перемещения её точки приложения, поэтому работа силы за время от t1 до t2 может быть вычислена следующим образом:
Средняя мощность за этот же промежуток времени равна
За единицу мощности принимается такая мощность, при которой в единицу времени совершается единица работы.
В системе СИ единицей измерения мощности является ватт (Вт):
Внесистемная единица мощности — лошадиная сила (л.с.) — равна 736 Вт. В быту часто используют единицу энергии — 1 кВт•ч = 103 Вт•3600 с=3.6 МДж.
Пример. Вертолет массой m = 3 m висит в воздухе. Определить мощность, развиваемую мотором вертолета, если диаметр ротора равен d = 8 м. При расчете принять, что ротор отбрасывает вниз цилиндрическую струю воздуха диаметром, равным диаметру ротора. Плотность воздуха 1.29 кг/м3.
При решении этой задачи надо применить все известные нам законы динамики. Поскольку это — не одно- и не двухходовая задача, попробуем сначала найти вид окончательного выражения, пользуясь анализом размерности (см. тему 1.3). Искомая мощность зависит от: 1) веса вертолета mg; 2) диаметра винта d, 3) плотности воздуха , то есть искомая формула должна иметь вид
Размерность мощности будет [N] = [ML2T–3]. Составляем равенство размерностей в обеих частях искомой формулы:
Решая систему уравнений
находим
то есть искомая мощность двигателя вертолета будет
где C — некий числовой коэффициент.
Решим теперь эту же задачу точно. Пусть — скорость струи воздуха, отбрасываемой винтом. За время частицы воздуха проходят расстояние . Иными словами, за время винт вертолета придает скорость всем частицам воздуха, находящимся в цилиндре с площадью основания и высотой . Масса воздуха в этом объеме равна
а его кинетическая энергия дается выражением
Поскольку мотор передает воздуху кинетическую энергию , то такова и совершаемая им работа. Поэтому развиваемая мотором мощность (без учета потерь мощности во всех трансмиссиях на пути от двигателя до винта) равна
В этом выражении нам надо еще найти скорость струи воздуха, отбрасываемой винтом. Импульс , передаваемый частицам воздуха за время , равен
Из второго закона Ньютона следует, что средняя сила, действующая на отбрасываемый вниз воздух равна . По третьему закону Ньютона такая же сила действует на вертолет со стороны воздуха. Эта сила компенсирует вес вертолета:
Отсюда получаем уравнение
позволяющее найти скорость струи воздуха:
Подставляя найденную скорость в выражение для мощности двигателя вертолета, получаем окончательный результат:
Мы видим, что выражение для мощности действительно оказалось таким, каким ожидалось на основе анализа размерностей. Подставляя числовые данные, находим
Рис.4.5. Мощность в природе и технике
Ядерное имущество
Ядерное имущество Эрнест Резерфорд обнаружил, что весь положительный заряд
атом находился в крошечном плотном объекте на
центр атома. К 1930-м годам стало известно, что этот объект
представлял собой шар из положительно заряженных протонов и электрически нейтральных нейтронов
плотно упакованы. Протоны и нейтроны называются нуклона . Ядро – это квант.
объект. Мы не можем понять его свойства и поведение, используя классические
физика. Мы не можем отслеживать отдельные протоны и нейтроны внутри
ядро. Тем не менее эксперименты показали, что «объем»
а
ядра пропорциональна числу нуклонов, составляющих ядро.
Определим объем ядра (а также объем любого другого квантового
частица) как объем области, над которой происходит ее взаимодействие с
внешний мир отличается от мира точечной частицы, т. е. частицы без
размер.
С приведенным выше определением объема и размера кванта частицы мы находим, что протоны и нейтроны каждый примерно 1,4 * 10 -15 м в диаметре, а размер ядра по существу равен размеру шарика эти частицы. Например, железо 56 с его 26 протонами и 30 нейтронов, имеет диаметр около 4 диаметров протона. Уран 235 просто более 6 диаметров протона в поперечнике. Например, можно проверить, что сумка содержащий 235 подобных шариков, составляет около шести диаметров мрамора в поперечнике.
Большинство ядер имеют приблизительно сферическую форму. Средний радиус
ядра с A нуклонами R = R 0 A 1/3 , где R 0 = 1,2*10 -15 м. Объем ядра прямо
пропорциональна общему числу нуклонов. Это говорит о том, что все
ядра имеют примерно одинаковую плотность. Нуклоны объединяются, образуя ядро, как
хотя они были плотно упакованными сферами.
Ссылка: Плотная упаковка шаров
Проблема:
Какова плотность ядерного вещества?
Решение:
- Рассуждение:
Плотность ρ — это масса, деленная на объем.
Масса ядра равна А, умноженной на массу нуклона, м нуклон ~ 1,6*10 -27 кг.
Объем равен (4/3)πR 3 , где R = R 0 A 1/3 .
А — число нуклонов. - Детали расчета:
?
Сравните это с плотностью обычного вещества. Плотность воды, например, 1 кг/(10 см) 3 = 1000 кг/м 3 .
Проблема:
Найдите радиус ядра 238 Pu. 238 Pu представляет собой
изготовленный нуклид, который используется в качестве источника питания на некоторых космических зондах. I содержит 238 нуклонов.
Решение:
- Рассуждение:
Средний радиус ядра с A нуклонами равен R = R 0 A 1/3 - Детали расчета:
R = (1,2*10 -15 м)*(238) 1/3 = 7,4*10 -15 м.
Проблема:
Найдите диаметр ядра 56 Fe.
Решение:
- Рассуждение:
Средний радиус ядра с A нуклонами равен R = R 0 A 1/3 , где R 0 = 1,2*10 -15 м. - Детали расчета:
R = (1,2*10 -15 м)*(56) 1/3 = 4,6*10 -15 м.
диаметр = 2R = 9,2*10 -15 м.
То, что ядро существует, означает, что существует какая-то сила, отличная от силы
электростатическая сила или сила тяжести, которая удерживает его вместе. Протоны
все электрически отталкиваются друг от друга, нейтроны электрически нейтральны,
а гравитационная сила притяжения между протонами составляет около 10 -38 раз слабее силы электростатического отталкивания. Сила, которая удерживает
ядро вместе должно быть притягивающим и даже сильнее электростатического
отвращение. Эта сила притяжения называется ядерной силой. Ядерная сила взаимодействует с протонами и нейтронами
точно так же он не делает различий между протоном и нейтроном 90 133 .
Ядерная сила не зависит от заряда. По этой причине мы говорим о
ядерная сила между нуклонами. Ядерная сила
не действует на электроны. Свойства ядерной силы
можно вывести из свойств создаваемых им структур, а именно
атомные ядра. Тот факт, что протоны и нейтроны сохраняют свой размер
в то время как внутри ядра означает, что ядерная сила является одновременно притягивающей и
отталкивающий. Если мы попытаемся разорвать два нуклона, ядерное притяжение
сила держит их вместе, рядом друг с другом. Но если мы попытаемся сжать
два нуклона друг в друга, мы сталкиваемся с очень сильным отталкиванием, дающим
нуклоны по существу твердое ядро. Это отталкивающая часть ядерного
сила, которая делает ядерную материю почти несжимаемой.
В то время как ядерная сила притяжения должна быть сильнее, чем электростатическая
сила, удерживающая протоны вместе в ядре, невелика 1/r 2 силы, такие как электростатическая сила и гравитация. Выпадает гораздо больше
быстрее, чем 1/r 2 , так что если разделить два протона
больше, чем на несколько диаметров протона, электрическое отталкивание становится сильнее
чем ядерное притяжение. Разделение D 0 , при котором
электрическое отталкивание становится сильнее ядерного притяжения примерно в 4
диаметры протонов. Это расстояние D 0 , которое мы будем называть диапазон ядерной силы , можно определить, посмотрев на
стабильность атомных ядер. Если мы начнем с маленького ядра и продолжим
добавляя нуклоны, на некоторое время ядро становится более устойчивым, если мы добавляем правильные
смесь протонов и нейтронов. Под более стабильным мы подразумеваем более тесно связанный.
Чем стабильнее ядро, тем больше энергии требуется на нуклон, чтобы притянуть
ядро отдельно. Эта стабильность вызвана привлекательным ядерным
сила между нуклонами.
Железо 56 является наиболее стабильным ядром. Наиболее эффективно связывается и
имеет наименьшую среднюю массу на нуклон. Никель 62, железо 58 и железо 56
являются наиболее прочно связанными ядрами. Требуется больше энергии на нуклон, чтобы
полностью разделить одно из этих ядер, чем это требуется для любого другого ядра. Если
ядро получает
больше, чем эти ядра, он становится менее стабильным. Если
ядро становится слишком большим, больше, чем ядро свинца 208 или висмута 209, оно становится
неустойчив и распадается сам по себе. Стабильность железа 56 обусловлена
тот факт, что ядро железа 56 имеет диаметр примерно равный диапазону
ядерная сила. В ядре железа 56 каждый нуклон притягивает каждый
другой нуклон. Если мы перейдем к ядру больше, чем Железо 56, то соседние
нуклоны по-прежнему притягиваются друг к другу, но протоны по разные стороны от ядра
теперь только отталкиваются друг от друга. Это отталкивание между далекими протонами приводит к
меньшая энергия связи на частицу и нестабильность. Обычно мы даем
энергия связи ядра как положительное число. Тогда это энергия
который необходим от внешнего источника, чтобы разделить ядро на его
составляющие протоны и нейтроны.
Простейшее ядро состоит из одного протона. Это ядро водорода.
Протон — элементарная частица с массой m = 1,67*10 -27 кг и
массовая энергия около E = mc 2 = 940 МэВ. (Примечание: часто масса квантовой частицы равна
в единицах массовой энергии E = mc 2 . Таким образом, вы будете часто
читал, что масса протона ~940 МэВ.) Протон имеет один
единица положительного заряда и спина ½. Это а-фермион и подчиняется закону Паули.
принцип исключения. Никакие два протона не могут находиться в одном и том же квант
состояние. Следующим простейшим ядром является дейтрон. это предел
состояние протона и нейтрона. Нейтрон, как и протон, имеет спин
½ фермиона, но он не имеет электрического заряда и немного массивнее
чем протон. Энергия связи дейтрона, или энергия его
требуется, чтобы разорвать дейтрон на свободный протон и свободный нейтрон, составляет 2,2 МэВ.
Фотон такой энергии мог бы «ионизировать» дейтрон в отдельный протон и
нейтрон. Однако на самом деле нет необходимости проводить этот эксперимент, чтобы
установить, насколько прочно связан дейтрон. Нужно только взвесить
дейтрон точно. Имеет массу 1875,61 МэВ. Протон имеет
масса 938,27 МэВ, у нейтрона 939,56 МэВ, поэтому сумма их масс равна
1877,83 МэВ, что на 2,2 МэВ больше массы дейтрона. Таким образом, когда протон и
когда нейтрон собирается вместе, чтобы образовать дейтрон, они должны высвободить 2,2 МэВ энергии,
что они и делают, испуская γ-лучи. Общее число нуклонов в
ядро обычно обозначается массовым числом A, где A = Z + N, Z протонов и N нейтронов. Химические свойства
атома определяются количеством электронов, так же, как и число
протонов Z. Это называется атомный номер .
Ядра могут иметь одинаковый атомный номер, но разное количество нейтронов. Эти ядра называются изотопами , греч.
для «одного и того же места», так как они находятся в одном и том же месте в периодической таблице.
A Z X, где X — химический символ элемент.
Пример:
27 13 Ал
- Массовый номер 27.
- атомный номер 13.
- содержит 13 протонов.
- содержит 14 (27 — 13) нейтронов.
- Z можно опустить, так как элемент можно использовать определить З.
Встроенный вопрос 1
- Почему разные изотопы одного и того же элемента имеют схожий химический состав?
Обсудите это со своими сокурсниками на дискуссионном форуме!
Таблица нуклидов
Физики составляют карту инвентаря
известных ядер на «карте нуклидов». На графике, показанном на
справа вертикальная ось представляет количество протонов в ядре
содержит, а по горизонтальной оси отложено количество нейтронов,
обладает. Область стабильных ядер грубо находится на
диагональная линия, где число нейтронов примерно равно протону
число. Ниже этой диагонали проходит зубчатая линия, называемая «нейтронной
капельная линия», а выше этой диагонали есть еще одна зубчатая линия, называемая
«протонная капельная линия». Ядра, обнаруженные над линией протонного стока и
ниже нейтронной границы, как правило, очень нестабильны и подвергаются
радиоактивный распад сразу.
Ссылка: интерактивная
Таблица нуклидов
(Горизонтальная ось этой диаграммы представляет количество нейтронов и
вертикальная ось представляет количество протонов.)
Лучший способ увидеть конкуренцию между
ядерная сила притяжения и электрическая сила отталкивания внутри атомного
ядер, чтобы посмотреть на энергий связи ядер .
Энергия связи показывает, насколько
энергия, которую мы должны были бы предоставить, чтобы разорвать ядро на отдельные
свободные нуклоны. Ядерная сила пытается удержать ядро
вместе и, следовательно, увеличивает энергию связи. электростатическая сила, которая раздвигает протоны, уменьшает
энергия связи. Мы вычисляем энергию связи ядра по формуле
вычитание энергии покоя ядра из суммы остальных
энергии протонов и нейтронов, из которых состоит ядро. Мы
затем разделите на количество нуклонов, чтобы получить энергии связи на нуклон . Для дейтрона
Таким образом, энергия связи на нуклон составляет 1,1 МэВ.
Рисунок на справа — график энергии связи на нуклон наиболее стабильного ядра для каждого элемента. Пик этой кривой приходится на Iron 56. ядра, никакое другое ядро не связано более прочно. За исключением света ядер энергия связи составляет около 8 МэВ на нуклон.
Движение к более высокой энергии связи представляет собой высвобождение энергии.
Есть два способа сделать это. Мы можем начать с легких ядер и положить
их вместе, чтобы сформировать более тяжелые ядра, двигаясь влево и вверх
сторона на рисунке. Этот процесс называется ядерным синтезом. Или мы
может разделять тяжелые ядра, движущиеся внутрь и вверх с правой стороны. Этот процесс называется делением ядра. Фьюжн представляет собой
высвобождение ядерной потенциальной энергии, а деление представляет собой
выделение потенциальной электрической энергии. Когда мы добираемся до Iron 56, есть
энергия не высвобождается ни при синтезе, ни при делении.
Важно знать энергию связи ядра на нуклон. что он говорит нам, будет ли энергия высвобождаться в конкретном ядерном реакция. Если несколько слабосвязанное ядро урана (7,41 МэВ/ нуклон) распадается на два более тесно связанных ядра, таких как цезий (8,16 МэВ/нуклон) и циркония (8,41 МэВ/нуклон) выделяется энергия. В другой конец графика, если мы объединим два слабо связанных ядра дейтерия (2,8 МэВ/нуклон) с образованием более прочно связанного ядра гелия-4 (7,1 МэВ/нуклон), также выделяется энергия. Любая реакция, которая приближает нас к Ядро железа 56 высвобождает энергию.
Проблема:
Зная массу альфа-частицы mc 2 = 3727,38 МэВ, найти
энергии связи на нуклон.
Решение:
- Рассуждение:
Мы вычисляем энергию связи ядра, вычитая энергию покоя ядра из суммы энергий покоя протонов и нейтронов которые составляют ядро. - Детали расчета:
Сумма масс двух протонов и двух нейтронов равна 3755,66 МэВ.
Энергия связи гелия 4 составляет (3755,66 — 3727,38) МэВ = 28,28 МэВ.
Энергия связи на нуклон составляет 28,28 эВ/4 = 7,07 МэВ.
Формула энергии связи
В таблицах атомных и ядерных данных часто указывается масса нейтрального атома (не ядра) в атомных единицах массы (u). Атомные массы включают массы атомных электронов и, таким образом, не равны ядерным массам. Один u составляет (1/12) часть массы нейтрального углерода атом , 1 u = (1/12)m 12C . Это может быть легко преобразовано в единицы СИ. Один моль 12 C имеет массу 0,012 кг и содержит частицы числа Авогадро, таким образом,
1 u = (0,001 кг)/N A = 1,66054*10 -27 кг = 931,494 МэВ/c 2 .
Мы можем записать формулу для энергии связи ядра через ядерных масс или в терминах атомных масс. Энергия связи определяется как полная массовая энергия составляющих нуклонов минус масса энергия ядра. Это полная энергия, которую нужно вложить, чтобы разложить ядро на нуклоны.
В терминах ядерных масс мы пишем для энергия связи B(Z,N) ядра с Z протонами и N нейтронами
B(Z,N) = c 2 (Z*m p + N*m n — M nuc (Z,N)).
В пересчете на атомные массы запишем
B(Z,N) = c 2 (Z*m H + N*m n — M атом (Z,N)).
Массы электронов Z компенсируются и разница в энергиях связи электронов в разных атомах (~эВ) пренебрежимо мала по сравнению с энергией связи ядра (~МэВ).
Энергия связи альфа-частицы в пересчете на атомные единицы массы
Энергия связи: 28,3 МэВ
Проблема:
Какова энергия связи на нуклон для 120 Sn?
Решение:
- Рассуждение:
В терминах атомных масс запишем для энергии связи B(Z,N) ядра с Z протонов и N нейтронов
B(Z,N) = с 2 (Z*m H + N*m n — M атом (Z,N)). - Детали расчета:
Используя таблицу атомных и ядерных данных, находим для 120 Sn:
M атом = 119,9 u, Z = 50, N = 70, m H = 1,007825 u, m n = 1,008665 ед.
B(Z,N)/c 2 = (Z*m H + N*m n — M атом (Z,N)) = (50*1,007825 + 70*1,008665 — 119,9) u = 1,0956 u.
B(Z,N) = (1,0956 и)с 2 * (931,494 МэВ/c 2 )/u = 1020,5 МэВ.
Энергия связи на нуклон = 1020,5 МэВ/120 = 8,5 МэВ
Проблема:
Какова энергия связи на нуклон для 262 Бч? Масса атома 262,1231 ед.
Решение:
- Рассуждение:
В терминах атомных масс запишем для энергии связи B(Z,N) ядра с Z протонов и N нейтронов
В(Z,N) = с 2 (Z*m H + N*m n — M атом (Z,N)). - Детали расчета:
Используя таблицу атомных и ядерных данных, находим для 262 Bh (борий):
Z = 107, N = 155.
B(Z,N)/c 2 = (Z*m H + N* m n — M атом (Z,N)) = (107*1,007825 + 155*1,008665 — 262,1231) u = 2,05725 u.
B(Z,N) = (2,05725 u)c 2 * (931,494 МэВ/c 2 )/u = 1916,316 МэВ.
Энергия связи на нуклон = 1916,316 МэВ/262 = 7,3 МэВ.
Как человечество впервые определило размер Земли? | Научные ребята
июль 2001 г.
Вопреки распространенному мнению, Колумб и большинство образованных людей того времени знали, что Земля сферическая, а не плоская. Но его значение размера Земли было заимствовано у почти современных ему арабских астрономов, чья оценка окружности Земли была занижена примерно на треть. Таким образом, Колумб попытался отправиться в Восточную Азию, идя на запад из Испании. И когда он высадился на Эспаньоле 2 октября 149 г.2, он заявил, что достиг «Индии». Вскоре европейцы узнали, что Колумб достиг Нового Света, а не Индии и Восточной Азии.
Они могли бы избавить себя от многих проблем. Превосходная оценка длины окружности Земли была сделана еще за 200 лет до Рождества Христова! Еще раньше Пифагор (570-500 гг. до н.э.) и Аристотель (384-322 гг. до н.э.) предположили, что Земля представляет собой шар. Аристотель заметил, что Земля отбрасывает круглые тени на Луну во время лунных затмений, но его оценка окружности Земли была занижена примерно на 60 процентов.
Эратосфен (276-194 гг. до н.э.) работал главным библиотекарем в известной библиотеке в Александрии, Египет. Он наткнулся на интересные отчеты, в которых подробно описывались наблюдения за солнцем, сделанные путешественниками из Сиены (Асуан, Египет), расположенной к югу от Александрии. В день летнего солнцестояния (первый день лета) солнечные лучи освещают дно глубоких колодцев в Сиене. Эратосфен понял, что в тот день Солнце должно было находиться прямо над Сиеной или в зените. Он также знал, что Солнце находилось в 7 градусах от зенита в Александрии в день солнцестояния (что составляет около 1/50 длины окружности). Затем, используя простую геометрию, Эратосфен показал, что это означает, что расстояние от Александрии до Сиены составляет 1/50 окружности Земли.
Используя скорость, которую может пройти средний верблюд, и количество дней, которое требуется верблюду, чтобы добраться из Александрии в Сиену, он подсчитал, что расстояние от Сиены до Александрии составляет 5000 стадий. Поскольку он рассчитал, что это расстояние также равно 1/50 окружности Земли, то 50 умножить на 5000 стадий дает 250 000 стадий для окружности Земли. Теперь стадион (единственное число стадионов) в древние времена имел разную длину. Традиционно считается, что в километре (км) 6 стадий, а это означает, что Эратосфен обнаружил, что окружность Земли составляет около 42 000 км (26 000 миль). оценивать! Даже если он использовал более крупный олимпийский стадион в качестве своей базовой единицы длины, его оценка всего на 14 процентов больше. Такой точный расчет, основанный на таком небольшом количестве инструментов и измерений, является поразительным достижением.