Калькулятор сокращенного умножения онлайн: Формулы сокращенного умножения | Онлайн калькулятор

Содержание

Формулы сокращенного умножения основные. Калькулятор онлайн.Упрощение многочлена.Умножение многочленов

В предыдущем уроке мы разобрались с разложением на множители. Освоили два способа: вынесение общего множителя за скобки и группировку. В этом уроке — следующий мощный способ: формулы сокращённого умножения . В краткой записи — ФСУ.

Формулы сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне необходимы во всех разделах математики. Они применяются в упрощении выражений, решении уравнений, умножении многочленов, сокращении дробей, решении интегралов и т.д. и т.п. Короче, есть все основания разобраться с ними. Понять откуда они берутся, зачем они нужны, как их запомнить и как применять.

Разбираемся?)

Откуда берутся формулы сокращённого умножения?

Равенства 6 и 7 записаны не очень привычно. Как бы наоборот. Это специально.) Любое равенство работает как слева направо, так и справа налево. В такой записи понятнее, откуда берутся ФСУ.

Они берутся из умножения.) Например:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

Вот и всё, никаких научных хитростей. Просто перемножаем скобки и приводим подобные. Так получаются все формулы сокращённого умножения. Сокращённое умножение — это потому, что в самих формулах нет перемножения скобок и приведения подобных. Сокращены.) Сразу дан результат.

ФСУ нужно знать наизусть. Без первых трёх можно не мечтать о тройке, без остальных — о четвёрке с пятёркой.)

Зачем нужны формулы сокращённого умножения?

Есть две причины, выучить, даже зазубрить эти формулы. Первая — готовый ответ на автомате резко уменьшает количество ошибок. Но это не самая главная причина. А вот вторая…

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию.
Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов. 3 \)

Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.

Этот результат обычно формулируют в виде правила.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.

Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.

Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов

Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.

Обычно пользуются следующим правилом.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.

Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов

С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения $(a + b)^2, \; (a — b)^2 $ и $a^2 — b^2 $, т. 2 = (a — b)(a + b) \) — разность квадратов равна произведению разности на сумму.

Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно — правые части левыми. Самое трудное при этом — увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.

Сумма двух кубов: онлайн калькулятор, формула, вычисления с примерами

Сумма двух кубов – это формула сокращенного умножения, позволяющие преобразовывать и упрощать математические выражения. Формулы сокращенного умножения постоянно используются при развязывании уравнений или решении алгебраических, тригонометрических, логарифмических и показательных выражений.

Историческая справка

Некоторые формулы сокращенного умножения были составлены еще в четвертом тысячелетии до нашей эры древними вавилонянами. Древние греки развили идеи вавилонских ученых и разработали целый набор подобных формул. Однако античные математики мыслили зримо – в то время числа визуализировались в геометрических фигурах или подручных предметах, например, камнях на счетной доске. Формулы суммы квадратов выводились не алгебраически, а геометрически, путем рассечения плоского квадрата на части. Расцвет математической науки пришелся на времена Лейбница, Ньютона и Эйлера и именно эти ученые внесли большой вклад в развитие формул сокращенного умножения.

Сумма двух кубов

Алгебраический куб – это возведение числа или неизвестного в третью степень. Следовательно, сумма двух кубов – это результат сложения двух чисел в третьей степени. Записывается это следующим образом:

a³ + b³

Такой пример решается довольно просто, но при любых значениях a и b ответ можно представить в виде:

(a + b) × (a² − ab + b²).

Следовательно, у нас есть тождество, которое работает при любых значениях переменных:

a³ + b³ = (a + b) × (a² − ab + b²).

Доказать его можно простым раскрытием скобок и сокращением членов в правой части выражения. Данное тождество используется для сокращения выражений и быстрого поиска ответов или для разложения на множители.

Вряд ли подобные формулы понадобятся нам в реальной повседневности, но школьникам крайне важно знать формулы сокращенного умножения наизусть. Простыми словами формула звучит так: сумма двух кубов есть произведение суммы членов выражения на неполный квадрат их разности. Словосочетание «неполный» квадрат может вызвать у ребят сомнения. Полный квадрат разности – это еще одна формула сокращенного умножения, которая выглядит так:

(a − b)² = a² − 2ab + b²

В левой части у нас квадрат разности a – b, а справа – полный квадрат, разложенный на множители. Выражение a² – ab + b² для суммы двух кубов носит название неполного, так как в нем произведение ab без двойки. Данные тождества используются для упрощения громоздких выражений, а также для проверки полученных результатов сложения кубов или квадратов больших чисел.

Применение формулы на практике

Сумма двух кубов используется на практике для упрощения многочленов. Например, у нас есть сложный тригонометрический пример:

(sinx + cosy) × (sin² x − sinx × cosy + cos² y)

Решать этот пример при помощи тригонометрического аппарата было бы довольно сложно, особенно для школьника, незнакомого со свойствами синусов и косинусов. Однако мы можем применить правило суммы двух кубов, ведь данный пример полностью повторяет разложение на множители выражения a² + b², только здесь a = sinx, b = cosy. В итоге громоздкое тригонометрическое выражение превратится в компактную запись:

sin³ x + cos³ y.

Теперь давайте применим эту формулу при счете. Большинство людей практически наизусть знает квадраты натуральных чисел до 15, а те, кто постоянно занимается арифметикой, знают куда больше квадратов. С кубами все обстоит сложнее, поэтому если вам требуется посчитать сумму двух кубов, куда проще использовать формулу разложения на множители. Например, давайте посчитаем выражение:

15³ + 12³

Сходу вычислить кубы этих чисел непросто, если вы не ученик математического кружка. Давайте используем формулу:

15³ + 12³ = (15 + 12) × (15² − 15×12 + 12²)

Квадраты 12 и 15 многие помнят наизусть – это 144 и 225 соответственно. Осталось провести небольшие вычисления:

15³ + 12³ = 27 × (225 − 180 + 144) = 27 × 189 = 5 103

Проверим вычисления на калькуляторе. Число 15 в кубе дает 3 375, а 12 — 1 728. Суммируем их и получим 3 375 + 1 728 = 5 103. Все верно, но оперировать меньшими числами гораздо удобнее.

Мы представляем вам программу, которая считает сумму двух кубов с иллюстрацией промежуточных выкладок. Для расчета вам понадобится ввести значения в соответствующие ячейки и сделать один клик мышкой. Используя калькулятор, вы получите не только мгновенный и правильный ответ, но и весь процесс решения. Такая программа пригодится школьникам, которые хотят проверить свои выкладки, а также тем взрослым, кто хочет освежить в памяти школьный курс алгебры.

Заключение

Формулы сокращенного умножения – важная тема школьной алгебры, которая пригодится при решении громоздких выражений на любую тему. Это своеобразный фундамент, на котором строятся решения тригонометрических, показательных, логарифмических и даже интегральных и дифференциальных исчислений. Наш калькулятор может вам освоить применение формулы суммы двух кубов или освежить в памяти школьный материал.

∏ Калькулятор продукта — онлайн Infinite Π Operator Pi от 1 до N

Поиск инструмента

Найдите инструмент в dCode по ключевым словам:

Просмотрите полный список инструментов dCode

Продукт ∏

Инструмент для выполнения формальных вычислений произведений с помощью оператора ∏ (пи в верхнем регистре), допускающего бесконечные произведения или определенное арифметическое умножение от 1 до n .

Результаты

Продукт ∏ — dCode

Метки: Арифметика

dCode и многое другое

dCode бесплатен, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокэшинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

Продукт ∏ Калькулятор

Математическое выражение для умножения
Индекс суммирования
От/Начало/Нижняя граница суммирования
До/Стоп/Верхняя граница суммирования
Шаг приращения (обычно =1)

Формат результата

Автоматический выбор
Точное значение (если возможно)
Приблизительное числовое значение
Научное обозначение

См. также: Суммирование Σ — Расширение ряда — Умножение

Ответы на вопросы (FAQ)

Что такое продукт ∏? (Определение)

В математике произведение , обозначаемое $ \prod $, является результатом умножения $ \times $ ряда чисел.

Как рассчитать конечный продукт? 9n}} $$

Как вычислить двойное произведение?

Обозначение $ \prod \prod $ читается как $ \prod \left (\prod \right) $, поэтому сначала вычисляется внутренний продукт (между скобками), а затем вычисляется внешний продукт.

Как сделать символ продукта ∏?

Продукт написан с использованием специального математического символа ∏ (Unicode U+220F), который вдохновлен прописной греческой буквой Π (Unicode U+03A0).

В греческом языке пи соответствует букве P (аналогично первой букве Продукт ).

В LaTeX оператором является \prod

Исходный код

dCode сохраняет право собственности на исходный код «Product ∏». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (указано Creative Commons/бесплатно), алгоритма «Продукт ∏», апплета или фрагмента (конвертер, решатель, шифрование/дешифрование, кодирование/декодирование, шифрование/дешифрование, транслятор) или «Продукта ∏» функции (вычисление, преобразование, решение, расшифровка/шифрование, расшифровка/шифрование, декодирование/кодирование, перевод), написанные на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C#, Javascript, Matlab и т. д.) и загрузка всех данных, скрипт, или доступ к API для «Продукта ∏» не являются общедоступными, то же самое для автономного использования на ПК, мобильных устройствах, планшетах, iPhone или в приложениях для Android!
Напоминание: dCode можно использовать бесплатно.

Cite dCode

Копирование и вставка страницы «Продукт ∏» или любых ее результатов разрешено, если вы цитируете dCode!
Экспорт результатов в виде файла .csv или .txt осуществляется бесплатно, если щелкнуть значок export
Ссылка на источник (библиография):
Продукт ∏ на dCode. fr [онлайн-сайт], получено 29 апреля 2023 г. , https://www.dcode.fr/product-calculator

Сводка

Продукт ∏ Калькулятор
Что такое продукт ∏? (Определение)
Как рассчитать конечный продукт?
Как рассчитать бесконечное произведение?
Как рассчитать двойное произведение?
Как сделать символ продукта ∏?

Похожие страницы

Умножение
Суммирование Σ
Расширение ряда
Предыдущее простое число
Решатель модульных уравнений
Coprim es
Масштаб карты

СПИСОК ИНСТРУМЕНТОВ DCODE 9Поддержка

произведение,умножение,пи,индекс,время,бесконечность

Ссылки

▲

Калькулятор умножения многочленов с шагами

Калькулятор умножения многочленов представляет собой простой в использовании калькулятор, отображающий произведение функций с двумя переменными. Все шаги полиномиального умножения детально проработаны, и лучше всего понять полное решение. Пошаговое умножение полиномов является ключом к улучшению процесса обучения студентов.

Когда учащиеся смогут распознать основные правила умножения многочленов. Тогда они смогут без труда понять полиномиальное умножение.
Посмотрим!
Что такое многочлен и различные типы многочленов до понимания рабочего шаблона Умножения многочленов?

Что такое многочлен?

Многочленное слово представляет собой комбинацию двух терминов: «Поли» означает «Много», а Номинальное означает «Термины». По определению полином — это выражение, состоящее из переменных, констант и показателей. Переменные и константы объединяются математическими операциями, такими как сложение, вычитание, умножение и деление. Мы просто добавляем эти операторы в калькулятор умножения полиномов и умножаем два полинома, применяя последовательность операторов. Для понимания понятий лучше всего применить калькулятор умножения многочленов.

Основные части многочленов:

- Константы: 1, 2, 3 и т. д.
- Переменные: g, h, x, y и т. д.
- Экспоненты: 3 в X3, 4 в X4 и т. д.

Примеры многочленов:

{3x+1, 4×2+x+5 , 6×3+2×2+3x+5 , 6×4+3×3+3×2+2x +1}

Типы многочленов:

Многочлены делятся на три типа в зависимости от количества членов, входящих в состав многочленов. Эти полиномы бывают следующих типов:

1. Одночлен
2. Биномиальный
3. Трехчлены

1:Моном:

Одночлен — это выражение, которое содержит только один член или имеет один член. Чтобы выражение было мономом, один член должен быть ненулевым. Калькулятор умножения одночленов отображает результат одночленов, показывая все его шаги.

Примеры мономов:

5x, 3, 6a4, 5×3,-3xy

2: Биномиальное:

Биномиальное выражение — это полиномиальное выражение, которое содержит ровно два члена. Бином считается суммой или разностью двух или более одночленов. Калькулятор умножения биномов специально разработан для того, чтобы сделать умножение расчетов биномиальным полиномом пригодным для нас.

Примеры мономов:

-5×2+3, 3a2+24, 6a4-2b2, 5×3+13,-3xy+14

3:Трехчлены:

Трехчлен – это выражение, состоящее ровно из трех членов. Умножение трехчленов может быть беспокойным для студентов, и это длительная процедура. Когда мы умножаем трехчлены, лучше использовать калькулятор умножения многочленов, который удобен для понимания пользователями.

Примеры трехчленных выражений:

– 8a4+2x+7,4×2 + 9x + 7

Мономиал	Биномиальный	Трехчленный
Один срок	Два термина	Три термина
Пример: х, 3у, 29, х/2	Пример: х2+х, х3-2х, у+2	Пример: x2+2x+20

Степень полинома:

Значение полинома определяется как наивысшая степень монома внутри полинома, мы учитываем степень члена и рассматриваем полином Линейный, Квадратичный, Кубический или Квадратичный. Таким образом, полиномиальное уравнение имеет одну переменную с наибольшим показателем степени, и мы используем ее для представления степени полинома, как линейные и квадратичные полиномы.

Многочлен	Градус	Пример
Константа или нулевой полином	0	6
Линейный многочлен	1	3x+1
Квадратичный многочлен	2	4×2+1x+1
Кубический многочлен	3	6×3+4×3+3x+1
Полином четвертой степени	4	6×4+3×3+3×2+2x+1

Как умножать многочлены?

Когда мы умножаем многочлены Очень важно понимать некоторые вещи, касающиеся операторов и экспоненциальных значений.
Существуют определенные правила, которым следует следовать при умножении многочленов:

Правила операторов умножения (*или×):

Когда мы умножаем многочлены, чтобы получить эквивалентное полиномиальное выражение, отрицательные и отрицательные значения дают положительные значения . Умножение отрицательного и положительного дает отрицательный результат, а положительное и положительное слагаемое дает положительный результат. Как комбинировать одинаковые термины с операциями умножения, выглядит следующим образом:

Мы можем использовать калькулятор умножения полиномов, чтобы найти действие правил умножения.

(-)*(-) =	(-)*(+) =	(+)*(-) =	(+)*(+)
(-5x)*(-5x) =25×2	(-5x)*(+8)= -40x	(+5×3)*(-6×4)=-30×7	(+5×2)*(+7x)=35×3

Правила дистрибутивности при умножении:

Для умножения используем дистрибутивность, для понимания дистрибутивности многочленов используем следующие примеры:

Рассматривает два полинома (a+b)*(c+d)
Теперь оставьте одну квадратную скобку постоянной, мы получим a(c+d)+b(c+d)
Получаем ответ как ac+ad+bc+bd

Помимо применения свойства дистрибутивности к произведениям многочленов. Мы можем разработать правила распределительного свойства с помощью калькулятора распределительного свойства.

Примеры:

Существуют различные примеры умножения многочленов, чтобы знать, как умножать многочлены?

Пример 1:

Умножить (2x+3)(4x+4)

Приведенные выше многочлены можно решить следующим образом:

(2x + 3)(4x + 5) = 2x(4x + 5) + 3 (4x + 4)

⇒ 8×2 + 10x + 12x + 12

Следовательно, произведение равно 8×2 + 22x + 12

Пример 2:

Умножить xz(x2 + z 2)

Вышеуказанные полиномы могут быть решается как:

= xz(x2 + z2) = (xz × x2) + (xz × z2)

⇒ x3z + xz3

Следовательно, произведение равно x3z + xz3

Эти примеры помогают понять распределительные свойства умножений. Калькулятор полиномиального умножения применяет распределительное свойство и подробно представляет все шаги.

Работа с калькулятором умножения полиномов:

Ниже приведены этапы работы калькулятора функций умножения:

Ввод:

Введите полиномы в соответствующее поле ввода
Повторите тот же шаг для второго многочлена
Теперь нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы получить продукт.

Вывод:

Бесплатный калькулятор коэффициентов умножения производит пошаговые детали полиномиального умножения

Отображается пошаговый результат
Легко понять

Часто задаваемые вопросы:

Как умножить, используя вертикальный метод многочленов?

Настройте вертикальное умножение, поместив многочлены вертикально и умножив их вертикально как целочисленное умножение. То же правило умножения применяется, чтобы упростить вставку значений в калькулятор умножения многочленов.

Какая польза от многочленов в реальной жизни?

Полиномы представляют собой алгебраические выражения, и существует широкий спектр приложений в области бизнеса, экономики, статистики и т.д. полиномов.

Как умножать двучлены с помощью метода FOIL?

Метод FOIL представляет собой сокращения последовательностей First, Outer, Inner и Last. Полиномиальный множитель применяет эти термины автоматически и следует последовательности метода FOIL

Вывод:

Облегчение вычислений — это то, что нужно делать, когда вы преподаете студентам основы математики.