Возведение в квадрат и куб суммы и разности двух выражений. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и
88. Возведение в квадрат и куб суммы и разности двух выражений. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности.
Мы уже знаем, как умножить многочлен на многочлен. Но для некоторых случаев есть формулы, которые помогут существенно ускорить расчеты. Это формулы сокращенного умножения. Сегодня мы познакомимся с четырьмя из них.
Возведем в квадрат сумму (a+b):
(a+b)2 = (a+b)(a+b)
Применим правило умножения многочлена на многочлен:
(a+b)(a+b) = a*a+a*b+b*a+b*b = a2+ab+ab+b2 = a2+2ab+b2
Мы получили формулу:
(a+b)2 = a2+2ab+b2
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
Аналогично выведем формулу для квадрата разности:
(a-b)2 = (a-b)(a-b) = a*a-a*b-b*a+b*b = a2-ab-ab+b2 = a2-2ab+b2
(a-b)2 = a2-2ab+b2
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
Теперь, используя эти формулы, выведем формулы для куба суммы и куба разности двух выражений:
(a+b)3 = (a+b)(a+b)2 = (a+b)(a2+2ab+b2) = a*a2+a*2ab+a*b2+b*a2+b*2ab+b*b2 = a3+2a2b+ab2+a2b+2ab2+b3 = a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб третьего выражения.
Это правило не так-то легко запомнить? Достаточно выучить формулу! Правило – это всего лишь ее словесное описание.
Аналогично найдем формулу куба разности:
(a-b)3 = (a-b)(a-b)2 = (a-b)(a2-2ab+b2) = a*a2-a*2ab+a*b2-b*a2+b*2ab-b*b2 = a3-2a2b+ab2-a2b+2ab2-b3 = a3-3a2b+3ab2-b3
(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3
Если в формуле для куба суммы все одночлены соединены знаками «+», что понятно – минусу просто неоткуда взяться, то в формуле для куба разности знаки между одночленами чередуются: «-» «+» «-».
Формулы сокращенного умножения используются также при разложении на множители.
Пример 1. Разложим на множители многочлен 81a2-18ab+b2.
Можно ли слагаемое 81а2 представить в виде квадрата одночлена? 81 – это квадрат числа 9.
Тогда 81а2 = 92а2 = (9а)2. Причем -18аb = -2*9a*b.
«Свернем» многочлен, используя формулу квадрата суммы:
81a2-18ab+b2= (9а)2-2*9a*b+b2= (9а-b)2= (9а-b)(9а-b).
Найди закономерность и продолжи ряд — математические закономерности
Закономерность — это регулярные устойчивые взаимосвязи в количествах, свойствах и явлениях объектов. В математической закономерности нужно найти алгоритм, согласно которому в цепочке чисел происходит их повторение, изменение или замещение в соответствии с установленным правилом.
В чем смысл игры?
Игры такого рода развивают умение выделять закономерности в последовательном ряде элементов. Для этого сначала нужно внимательно рассмотреть задание: сравнить соседние объекты и попробовать определить правило закономерности.
Решить задачу можно с помощью простого счета, обобщения по какому-либо признаку или простого анализа рисунка, текста или схемы.
Как научить ребенка находить закономерности?
Маленьким детям, для решения задач на поиски закономерностей, понадобится только смекалка и воображение. Достаточно лишь объяснить, как можно установить закономерность между звеньями ряда. Если задачу решить не получается, то вместо прямых подсказок следует задать дополнительные вопросы, не раскрывая решение задачи полностью.
В любом случае, пользы будет больше, если ребенок решит, хотя бы одну задачу самостоятельно, нежели взрослый просто расскажет, как её решать.
Рассмотрим способы, которые помогут ребенку понять закономерности и последовательности в заданиях.
Инструкция по решению числовых последовательностей:
- Найти разницу между двумя рядом стоящими числами
- Определить алгоритм построения последовательности
- Применить алгоритм к следующей паре чисел
- Использовать алгоритм для определения следующего числа в ряду
Инструкция по нахождению закономерностей в заданиях с геометрическими фигурами:
- Рассмотреть фигуры и разделить их, на повторяющиеся группы
- Определить какой элемент изменился в группе
- Решить, какая именно фигура отсутствует или является лишней.
Задания для 1 класса
Задание 1
Раскрась дорожки для зайчика и белочки, сохраняя закономерность.
Решение: Белочка и зайчик бегут по разным дорожкам. У каждой дорожки есть своя закономерность. У зайчика повторяется 3 цвета на дорожке: красный, голубой, жёлтый, а у белочки 4: зеленый, коричневый, фиолетовый, жёлтый.
В этом задании можно обратить внимание на то, что обе дорожки состоят из 12 кругов. Но количество повторяющихся цветов разное.
Задание 2
Найди закономерность в ряду геометрических фигур.
Решение: В этом ряду нужно обратить внимание на размеры фигур, а не на цвет и форму. Сначала идет одна большая фигура, а за ней две маленькие, далее они повторяются.
Задание 3
Нарисуйте в четвертом квадрате правильный ответ.
Решение: Рассмотрев внимательно рисунок, мы увидим, что круги в квадратах исчезают по одному, против часовой стрелки. В этой задаче имеет значение только расположение кругов квадрате.
Таким образом, в последний квадрат мы должны нарисовать один синий круг в нижнем левом углу.
Задание 4
Соблюдая закономерность, продолжи ряд чисел до 10. Сформулируй правило, которое действует в этой закономерности. Используя это правило, придумай свою закономерность.
- 2, 4, 6,…
Решение: В этом ряду каждая цифра увеличивается на 2 относительно предыдущей – мы вычислили правило для данной закономерности. Значит, чтобы продолжить ряд, мы прибавим к каждой следующей цифре по 2. Ответ будет выглядеть так: 2,4,6,8,10.
Чтобы придумать подобную закономерность, нужно использовать сформулированное выше правило: например, 1,3,5,7,9.
Задания для 2 класса
Задание 1
Найди закономерность и в пустом квадрате нарисуй нужное количество кругов.
Решение: В таблице в первом горизонтальном ряду количество кругов увеличивается на 1. Во втором ряду увеличивается на 2. Таким образом, можно предположить, что в третьем ряду количество кругов будет увеличиваться на 3 и ответ будет 9.
Можно заметить, что и в вертикальных рядах эта закономерность повторяется.
Задание 2
В цепочке чисел найди закономерность и вставь пропущенные числа
- 95, 90, 85, 80, 75,_, 65,_, _,50
Решение: В цепочке чисел можно выделить пары: 95 -90, 85 – 80 и далее. Каждый раз, в паре, число уменьшается на 5. Значит, после 75 запишем 70, после 65 — 60, а затем 55 .
Задание 3
Найди закономерность и продолжи последовательность.
- 2, 3, 5, 8, …, …, …, …
Решение: В этой цепочке чисел к каждому последующему числу прибавляется предыдущее. 2+3=5+3=8+5=13+8=21+13=34 и далее.
Задание 4
В поезде едут геометрические фигуры. Нарисуйте фигуры, в четвёртом вагоне, соблюдая закономерность их расположения.
Решение: В поезде едут геометрические фигуры: квадрат, треугольник, прямоугольник и круг. В трёх вагонах все места заняты фигурами, в определённом порядке. Расставим их и в четвертом вагоне: Круг в нём будет располагаться в нижнем левом углу, квадрат в верхнем левом, треугольник поедет в правом нижнем, а прямоугольник – в левом верхнем углу.
Задания для 3 класса
Задание 1
Рассмотрите картинку и найдите закономерность в задаче.
Решение: В таблице мы увидим такую закономерность:
8-5=3, то есть число увеличилось на 3; далее 14-8=6, соответственно, число увеличилось на 6. В последней связке 23-14=9 число увеличилось на 9. Мы делаем вывод, что каждое следующее число увеличивается на предыдущее значение+3. Таким образом, следующее число увеличивается на 9+3=12. 23 + 12 = 35. Ответ: 35.
Задание 2
В пустые клетки вставьте геометрические фигуры, сохраняя закономерность.
Решение: Чтобы выполнить задание, нужно фигуры расставить по порядку, друг за другом, соблюдая последовательность. Значит, после прямоугольника стоит круг, треугольник и квадрат и т. д.
Задание 3
Найди закономерность и продолжи ряды:
- 12, 23, 34, 45, 56…
- 13, 24, 35, 46…
Решение: В этой задаче каждая последующая цифра увеличивается так: десятки на один десяток и единицы на одну единицу.
12=10+2, 23=20+3, 34=30+5 и т. д.
Задание 4
Продолжи ряд, сохраняя закономерность.
- 12, 36, 13, 39, 14, 42, 15,…
Решение: В числовой цепочке выделяем пары чисел. Первая пара:12 и 36. 12×3=36, далее по порядку: 13×3=39. Умножая каждый раз на 3, цифры, следующие по порядку (12,13,14,15…), мы продолжаем последовательный ряд. Ответ: 45.
Задания для 4 класса
Задание 1
Найди ошибку в бусах.
Решение: В первых бусах повторяются квадрат и круг, значит лишний шестой круг. Во вторых бусах, повторяется закономерность: круг, два треугольника, два круга, лишний – восьмой, по счету, круг.
Задание 2
Определите закономерность. Найдите лишнее число.
- 8, 16, 20, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72.
Решение: В этом числовом ряду таблица умножения на 8. Ответ: число 20 – лишнее.
Задание 3
Каких геометрических фигур не хватает? Дорисуй их, соблюдая закономерность в таблице:
Решение: Определить, какой элемент изменился во втором и последующих рядах, можно, выделив последовательность: ромб, трапеция, шестиугольник и параллелограмм.
Во втором ряду недостает шестиугольника, в третьем — ромба, в четвертом – параллелограмма и трапеции.
Математика и логика для детей 7-13 лет
Развиваем логическое мышление через решение сюжетных математических задач в интерактивном игровом формате
узнать подробнее
3-8
.. https://www.hackmath.net/en/calculator/fraction?input=2%2F3%5E2
Другими словами, две трети, возведенные в степень в квадрате, составляют четыре девятых. Правила выражения с дробями: Дроби — используйте косую черту для деления …
2. [Решено] Что такое дробь 3/2 в квадрате в виде дроби?? — Умно…
https://brainly.com/question/2034577
Что такое дробь 3/2 в квадрате в виде дроби?? Получите ответы, которые вам нужны, прямо сейчас!
3. Калькулятор дробей
https://www.calculator.net/fraction-calculator.html
Если человек съест 3 ломтика, оставшаяся часть пирога будет .
.. В отличие от сложения и вычитания целых чисел, таких как 2 и 8, дроби требуют a …
4. Калькулятор квадрата x²
https://www.calculatorsoup.com/calculators/алгебра/square-calculator.php
Вычислите значение квадрата числа, такого как n². … Решение: 32=3×3=9. Поделитесь этой ссылкой на ответ: помощь. Вставьте эту ссылку в электронное письмо, текст или социальные сети.
5. Чему равна дробь 3/2 в квадрате в виде дроби? Пожалуйста, помогите…
https://brainly.com/question/5027004
6 сентября 2017 г. … Нажмите здесь, чтобы получить ответ на свой вопрос ✍️ Чему равна дробь 3/2 в квадрате в виде дроби? Пожалуйста помоги.
6. Как возводить дроби в квадрат: 12 шагов (с иллюстрациями) — wikiHow
https://www.wikihow.com/Square-Fractions
Возведение дробей в квадрат — одна из самых простых операций, которые можно выполнять с дробями. … Как мне решить (3/16), деленное на [(1/2+1/4) в квадрате]?. Донаган.
7. (X/Y)² — Калькулятор квадрата дроби
https://getcalc.
com/math-x-square-calculator.htm
найти, чему равно квадратное значение любых дробных чисел? … Найдите, чему равен квадрат дроби 2/3? … шаг 2 Умножить 2/3 на саму дробь = 23 x 2 …
8. Чему равен квадратный корень из 3/2 в виде дроби? | Study.com
https://study.com/academy/answer/what-is-the-square-root-of-3-2-in-fraction-form.html
Как дробь, квадратный корень из 3 /2 можно выразить как √1,51 1,5 1 или просто как √1,5 1,5 . Мы можем упростить это… См. полный ответ ниже.
9. Калькулятор квадратного корня
https://www.calculatorsoup.com/calculators/алгебра/squareroots.php
Например, квадратные корни из 9 равны -3 и +3, так как (-3)2 = ( +3)2 = 9. Любое неотрицательное действительное число x имеет единственный неотрицательный квадратный корень r; …
10. Дробные показатели
https://www.mathsisfun.com/алгебра/exponent-fractional.html
Дробные показатели. Но что, если показатель степени — дробь? … Что показывает, что x2x3 = x(2+3) = x5 .