Каноническое уравнение эллипс: Кривые второго порядка. Эллипс: формулы и задачи

Кривые второго порядка. Эллипс: формулы и задачи

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.

Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

,

где A, B, C, D, E, F — числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.

Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы обозначены как и на рисунке ниже.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

,

где a и b (a > b) — длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку. Точка

О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.

Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат — в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат — малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

Если a = b, то уравнение эллипса принимает вид . Это уравнение окружности радиуса a, а окружность — частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a, если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy.

Пример 1.

Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением , эллипсом.

Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:

Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия — эллипс.

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось — это a = 5, меньшая полуось — это b = 4. Получаем каноническое уравнение эллипса:

.

---

---

Точки и , обозначенные зелёным на большей оси, где

,

называются фокусами.

Число

называется эксцентриситетом эллипса.

Отношение b/a характеризует «сплюснутость» эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.

Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.

Решение. Делаем несложные умозаключения:

— если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5,

— если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.

Подставляем и вычисляем:

Результат — каноническое уравнение эллипса:

.

Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет .

Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13. Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:

.

Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:

Составляем каноническое уравнение эллипса:

Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением .

Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:

.

Получаем фокусы эллипса:

---

Если — произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

.

Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

,

называются директрисами эллипса (на чертеже — красные линии по краям).

Пример 7. Дан эллипс . Составить уравнение его директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. . Все данные для этого есть. Вычисляем:

.

Получаем уравнение директрис эллипса:

Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки , а директрисами являются прямые .

Решение. Смотрим в уравнение директрис, видим, что в нём можем заменить символ эксцентриситета формулой эксцентриситета как отношение первой координаты фокуса к длине большей полуоси. Так сможем вычислить квадрат длины большей полуоси. Получаем:

.

Теперь можем получить и квадрат длины меньшей полуоси:

Уравнение эллипса готово:

Пример 9. Проверить, находится ли точка на эллипсе . Если находится, найти расстояние от этой точки до фокусов эллипса.

Решение. Подставляем координаты точки x и

y в уравнение эллипса, на выходе должно либо получиться равенство левой части уравнения единице (точка находится на эллипсе), либо не получиться это равенство (точка не находится на эллипсе). Получаем:

.

Получили единицу, следовательно, точка находится на эллипсе.

Приступаем к нахождению расстояния. Для этого нужно вычислить: число c, определяющее первые координаты фокусов, число e — эксцентриситет и числа «эр» с подстрочными индексами 1 и 2 — искомые расстояния. Получаем:

Проведём проверку: сумма расстояний от любой точки на эллипсе до фокусов должна быть равна 2a.

,

так как из исходного уравнения эллипса

.

Одним из самых замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с его фокусами, пересекают касательную к эллипсу под разными углами. Это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отраэения попадёт в другой. Это свойство лежит в основе аккустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.

Поделиться с друзьями

Другие материалы по теме Кривые второго порядка

Эллипс. Формулы, признаки и свойства эллипсa

F₁ и F₂ — фокусы эллипсa

Оси эллипсa.

А₁А₂ = 2a — большая ось эллипса (проходит через фокусы эллипса)

B₁B₂ = 2b — малая ось эллипса (перпендикулярна большей оси эллипса и проходит через ее центр)

a — большая полуось эллипса

b — малая полуось эллипса

O — центр эллипса (точка пересечения большей и малой осей эллипса)

Вершины эллипсa A₁, A₂, B₁, B₂ — точки пересечения эллипсa с малой и большой осями эллипсa

Диаметр эллипсa — отрезок, соединяющий две точки эллипса и проходящий через его центр.

Фокальное расстояние c — половина длины отрезка, соединяющего фокусы эллипсa.

Эксцентриситет эллипсa e характеризует его растяженность и определяется отношением фокального расстояния c к большой полуоси a. Для эллипсa эксцентриситет всегда будет 0 e e = 0, для параболы e = 1, для гиперболы e > 1.

Фокальные радиусы эллипсa r₁, r₂ — расстояния от точки на эллипсе до фокусов.

Радиус эллипсa R — отрезок, соединяющий центр эллипсa О с точкой на эллипсе.

R =	ab	=	b
	√a2sin2φ + b2cos2φ		√1 — e2cos2φ

где e — эксцентриситет эллипсa, φ — угол между радиусом и большой осью A₁A₂. Фокальный параметр эллипсa p — отрезок который выходит из фокуса эллипсa и перпендикулярный большой полуоси: Коэффициент сжатия эллипсa (эллиптичность) k — отношение длины малой полуоси к большой полуоси. Так как малая полуось эллипсa всегда меньше большей, то k k = 1:

k = √1 — e²

где e — эксцентриситет. Сжатие эллипсa (1 — k ) — величина, которая равная разности между единицей и эллиптичностью:

Директрисы эллипсa — две прямые перпендикулярные фокальной оси эллипса, и пересекающие ее на расстоянии ae от центра эллипса. Расстояние от фокуса до директрисы равно pe.

Эллипс

Определение эллипса.

Напомним, что мы назвали эллипсом линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\label{ref1}
$$
при условии \(a \geq b > 0\).

Из уравнения \eqref{ref1} следует, что для всех точек эллипса \(|x| \leq a\) и \(|y| \leq b\). Значит, эллипс лежит в прямоугольнике со сторонами \(2a\) и \(2b\).

Точки пересечения эллипса с осями канонической системы координат, имеющие координаты \((a, 0)\), \((-a, 0)\), \((0, b)\) и \((0, -b)\), называются вершинами эллипса. Числа \(a\) и \(b\) называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Рис. 8.1. Эллипс

В каноническое уравнение входят только квадраты координат. Поэтому, если координаты \((x, y)\) какой-либо точки /(M) ему удовлетворяют, то ему удовлетворяют и координаты \((-x, y)\), \((x, -y)\) и \((-x, -y)\) точек \(M_{1}\), \(M_{2}\) и \(M_{3}\) (рис. 8.1). Следовательно, справедливо следующее утверждение.

Утверждение 1.

Оси канонической системы координат являются осями симметрии эллипса, а начало канонической системы — его центром симметрии.

Внешний вид эллипса проще всего описать сравнением с окружностью радиуса \(a\) с центром в центре эллипса: \(x^{2}+y^{2}=a^{2}\). При каждом \(x\) таком, что \(|x| < a\), найдутся две точки эллипса с ординатами \(\pm b \sqrt{1-x^{2}/a^{2}}\) и две точки окружности с ординатами \(\pm a \sqrt{1-x^{2}/a^{2}}\). Пусть точке эллипса соответствует точка окружности с ординатой того же знака. Тогда отношение ординат соответствующих точек равно \(b/a\). Итак, эллипс получается из окружности таким сжатием ее к оси абсцисс, при котором ординаты всех точек уменьшаются в одном и том же отношении \(b/a\) (рис. 8.2).

Рис. 8.2. Сжатие окружности к эллипсу. Ординаты всех точек уменьшаются в отношении \(b/a\).

---

Фокусы, эксценриситет и директрисы эллипса.

У эллипса есть две замечательные точки, которые называются его фокусами.

Определение.

Пусть по определению
$$
c^{2}=a^{2}-b^{2}\label{ref2}
$$
и \(c \geq 0\).

Фокусами называются точки \(F_{1}\) и \(F_{2}\) с координатами \((c, 0)\) и \((-c, 0)\) в канонической системе координат (рис. 8.3).

Рис. 8.3. Фокусы эллипса.

Для окружности \(c=0\), и оба фокуса совпадают с центром. Ниже мы будем предполагать, что эллипс не является окружностью.

Определение.

Отношение
$$
\varepsilon=\frac{c}{a}\label{ref3}
$$
называется эксцентриситетом эллипса.

Отметим, что \(\varepsilon < 1\).

Утверждение 2.

Расстояние от произвольной точки \(M(x, y)\), лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов (рис. 8.3) является линейной функцией от ее абсциссы \(x\):
$$
r_{1}=|F_{1}M|=a-\varepsilon x,\ r_{2}=|F_{2}M|=a+\varepsilon x.\label{ref4}
$$

Доказательство.

Очевидно, что \(r_{1}^{2}=(x-c)^{2}+y^{2}\). Подставим сюда выражение для \(y^{2}\), найденное из уравнения эллипса. Мы получим
$$
r_{1}^{2}=x^{2}-2cx+c^{2}+b^{2}-\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}}.\nonumber
$$

Учитывая равенство \eqref{ref2}, это можно преобразовать к виду
$$
r_{1}^{2}=a^{2}-2cx+\frac{c^{2}x^{2}}{a^{2}}=(a-\varepsilon x)^{2}.\nonumber
$$
Так как \(x \leq a\) и \(\varepsilon < 1\), отсюда следует, что справедливо первое из равенств \eqref{ref4}: \(r_{1}=a-\varepsilon x\). Второе равенство доказывается аналогично.

Утверждение 3.

Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса \(2a\).

Доказательство.

Необходимость. Если мы сложим равенства \eqref{ref4} почленно, то увидим, что
$$
r_{1}+r_{2}=2a.\label{ref5}
$$
Достаточность. Пусть для точки \(M(x, y)\) выполнено условие \eqref{ref5}, то есть
$$
\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a-\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}.\nonumber
$$
Возведем обе части равенства в квадрат и приведем подобные члены:
$$
xc+a^{2}=a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}.\label{ref6}
$$
Это равенство также возведем в квадрат и приведем подобные члены, используя соотношение \eqref{ref2}. Мы придем к \(b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}\), равносильному уравнению эллипса \eqref{ref1}.

С эллипсом связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами. Их уравнения в канонической системе координат (рис. 8.4)
$$
x=\frac{a}{\varepsilon},\\ x=-\frac{a}{\varepsilon}.\label{ref7}
$$
Директрису и фокус, которые лежат по одну сторону от центра, будем считать соответствующими друг другу.

Рис. 8.4. Фокусы и директрисы эллипса.

Утверждение 4.

Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету эллипса \(\varepsilon\).

Доказательство.

Докажем это предложение для фокуса \(F_{2}(-c, 0)\). Пусть \(M(x, y)\) — произвольная точка эллипса. Расстояние от \(M\) до директрисы с уравнением \(x=-a/\varepsilon\) по формуле (9) §3 гл. II равно
$$
d_{2}=|x+\frac{a}{\varepsilon}|=\frac{1}{\varepsilon}(\varepsilon x+a).\nonumber
$$
Из формулы \eqref{ref4} мы видим теперь, что \(r_{2}/d_{2}=\varepsilon\).

Обратно, пусть для какой-то точки плоскости \(r_{2}/d_{2}=\varepsilon\), то есть
$$
\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=\varepsilon \left(x+\frac{a}{\varepsilon}\right).\nonumber
$$
Так как \(\varepsilon=c/a\), это равенство легко приводится к виду \eqref{ref6}, из которого, как мы знаем, следует уравнение эллипса.

Уравнение касательной к эллипсу.

Выведем уравнение касательной к эллипсу, заданному каноническим уравнением. Пусть \(M_{0}(x_{0}, y_{0})\) — точка на эллипсе и \(y_{0} \neq 0\). Через \(M_{0}\) проходит график некоторой функции \(y=f(x)\), который целиком лежит на эллипсе. (Для \(y_{0} > 0\) это график \(f_{1}(x)=b\sqrt{1-x^{2}/a^{2}}\), для \(y_{0} < 0\) — график \(f_{2}(x)=-b\sqrt{1-x^{2}/a^{2}}\). Не уточняя знака \(y_{0}\), обозначим подходящую функцию \(f(x)\).) Для нее выполнено тождество
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{(f(x))^{2}}{b^{2}}=1.\nonumber
$$
Дифференцируем его по \(x\):
$$
\frac{2x}{a^{2}}+\frac{2ff’}{b^{2}}=0.\nonumber
$$
Подставляя \(x=x_{0}\) и \(f(x_{0}=y_{0})\), находим производную от \(f\) в точке \(x_{0}\), равную угловому коэффициенту касательной:
$$
f'(x_{0})=\frac{b^{2}}{a^{2}} \frac{x_{0}}{y_{0}}.\nonumber
$$
Теперь мы можем написать уравнение касательной:
$$
y-y_{0}=-\frac{b^{2}}{a^{2}} \frac{x_{0}}{y_{0}}(x-x_{0}).\nonumber
$$
Упрощая это уравнение, учтем, что \(b^{2}x_{0}^{2}+a^{2}y_{0}^{2}=a^{2}b^{2}\), так как \(M_{0}\) лежит на эллипсе. Результату можно придать вид
$$
\frac{xx_{0}}{a^{2}}+\frac{yy_{0}}{b^{2}}=1.\label{ref8}
$$

При выводе уравнения \eqref{ref8} мы исключили вершины эллипса \((a, 0)\) и \((-a, 0)\), положив \(y_{0} \neq 0\). Для этих точек оно превращается, соответственно, в уравнения \(x=a\) и \(x=-a\). Эти уравнения определяют касательные в вершинах. Проверить это можно, заметив, что в вершинах ж как функция от у достигает экстремума. Предоставим читателю проделать это подробно и показать тем самым, что уравнение \eqref{ref8} определяет касательную для любой точки \(M_{0}(x_{0}, y_{0})\) на эллипсе.

Утверждение 5.

Касательная к эллипсу в точке \(M_{0}(x_{0}, y_{0})\) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами.

Доказательство.

Нам надо сравнить углы \(\varphi_{1}\) и \(\varphi_{2}\), составленные векторами \(\overrightarrow{F_{1}M_{0}}\) и \(\overrightarrow{F_{2}M_{0}}\) с вектором \(\boldsymbol{n}\), перпендикулярным касательной (рис. 8.5). Из уравнения \eqref{ref8} находим, что \(\boldsymbol{n}(x_{0}/a^{2}, y_{0}/b^{2})\), и потому
$$
(\overrightarrow{F_{1}M_{0}}, \boldsymbol{n})=\frac{x_{0}}{a^{2}}(x_{0}-c)+\frac{y_{0}}{b^{2}}y_{0}=1-\frac{x_{0}c}{a^{2}}=\frac{a-\varepsilon x_{0}}{a}.\nonumber
$$
Используя \eqref{ref4}, мы получаем отсюда, что \(\cos \varphi_{1}=1/(a|\boldsymbol{n}|)\). Аналогично находим \(\cos \varphi_{2}=1/(a|\boldsymbol{n}|)\). Утверждение доказано.

Рис. 8.5.