Уравнения с частными производными » СтудИзба
Васенин.
Уравнения с частными производными
Некоторые определения и понятия
Для функции u(x,y,…) независимых переменных x,y,… имеем соотношение вида
(1)
называется уравнением с частными производными. В дальнейшем мы всегда будем считать, что функция F непрерывна и имеет частные производные по всем своим аргументам в областях их изменения.
Функция u(x,y,…) называется решением дифференциального уравнения (1) если, будучи подставленной в это уравнение, она обращает его в тождество.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в него, например
— 1-го порядка, — 2-го порядка.
Уравнение (1) называется линейным, если оно линейно относительно функции u и всех ее частных производных. В то же время коэффициенты могут зависеть от независимых переменных x,y,…, например
Уравнение (1) называется квазилинейным если оно линейно относительно старших производных, в то время как его коэффициенты зависят от независимых переменных, искомой функции и производных более низкого порядка, например
В случае двух независимых переменных решение д. у. (1) можно геометрически рассматривать как поверхность в пространстве x,y,u.
Уравнение (1) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение, если независимая переменная одна.
Некоторые сведения о совокупности решений уравнений с частными производными
В отличие от обыкновенных д. у. в случае уравнения с частными производными элементы общего решения являются не константами, а функциями. При этом, выбирая указанные функции с помощью дополнительных условий, мы получим частное решение уравнения в частных производных.
Рассмотрим ряд примеров:
Пример 1. Для функции u=u(x,y) решим д. у. . Очевидно, что функция u не зависит от x, следовательно, u=f(y), где f(y) – произвольная функция y.
Пример 2. Для функции u=u(x,y)
, , ,
Интеграл от произвольной функции также является произвольной функцией. . Таким образом, общее решение уравнения второго порядка содержит две произвольные функции f(y) и φ(x).
Пример 3. Рассмотрим более сложный пример .
Для упрощения сделаем замену ξ=y—x, η=y+x.
подставим производные в новых переменных в д. у.
, следовательно, .
u не зависит от η, следовательно , f – произвольная функция.
Пример 4. Найдем общее решение уравнения колебаний струны
Разделим все уравнение на а2, которую считаем постоянной.
, обозначим at=y, .
Введем новые переменные ξ=x—y, η=x+y, и вычислим в этих переменных производные 1-го и 2-го порядков:
Найденные решения подставим в уравнение, получим .
При решении примера 2 мы получили, что решением такого д. у. является сумма двух произвольных функций . Возвращаясь к старым переменным найдем общее решение уравнения колебаний:
.
Пример 5. (якобиан равен нулю).
Следовательно, функции u и v зависимы и общее решение данного д. у. . Произвольные функции могут входить в общее решение достаточно сложным образом.
Пример 6. Рассмотрим простое д. у. , u=u(x,t). Общим решением будет , где φ – произвольная функция. Проверим, что данная функция есть общее решение:
, откуда .
, откуда .
Подставим все в д. у. , получили тождество.
Пример 7. Рассмотрим уравнение 4-го порядка
(бигармоническое уравнение). . Интегрируя по x получаем . Полученное выражение проинтегрируем по y: . Интегрируя еще раз по y получим .
Учитывая, что интегралы от произвольных функций также являются произвольными функциями, можно записать . Таким образом, общее решение уравнения 4-го порядка содержит 4 произвольные функции.
Пример 8. u=u(x,y,z), , .
Рассматривая приведенные примеры можно сделать предварительные выводы. Общее решение д. у. в частных производных зависит от произвольных функций. Число этих функций совпадает с порядком д. у., а число независимых переменных входящих в эти произвольные функции на единицу меньше, чем число независимых переменных входящих в д. у. Данный вывод подтверждается всеми существующими решениями уравнений в частных производных, однако существует достаточно общая теорема, которая фактически содержит это утверждение.
Теорема существования Коши-Ковалевской (для одного д. у.)
В этой теореме рассматривается д. у. порядка k, записанное в нормальном виде:
(1)
где x – некоторое выделенное направление в пространстве. Рассматривается решение в окрестности точки x=0. Предполагается, что в окрестности начальной точки: x=0, y1=0, …, yn=0.
Заданы дополнительные условия вида
(2)
Если функция f в уравнении (1) и функции φi(y1,y2,..,yn), входящие в начальные условия (2) аналитичны в окрестности начала координат, то задача Коши для уравнения (1) с условиями (2) имеет в этой окрестности единственное решение (без доказательства).
Из этой теоремы следует, что решение уравнения k-го порядка должно содержать k произвольных функций, которые можно определить из k начальных условий (2). Заметим, что решение состоит из произвольных функций, которые содержат число независимых переменных на единицу меньше, чем их число в уравнении.
Задача Коши состоит в том, чтобы построить решение уравнения (1), которое при x=0 принимает начальные значения (2).
studizba.com
Метод Фурье решения уравнений с частными производными
Метод Фурье (или метод разделения переменных), широко используемый при решении ряда задач математической физики, состоит в следующем. Искомая функция (решение), зависящая от нескольких переменных, ищется в виде произведения функций, каждая из которых зависит лишь от одной переменной. После подстановки этого произведения в исходное уравнение получается несколько обыкновенных дифференциальных уравнений, решения которых вместе с краевыми условиями исходной задачи позволяют найти искомое решение.
Сущность этого метода рассмотрим на следующем примере.
Пусть требуется найти решение одномерного волнового уравнения
, (5.31)
удовлетворяющее граничным условиям
, (5.32)
(для струны эти условия означают, что ее концы при и неподвижны (закреплены)), и начальным условиям
, . (5.33)
Ищем решение в виде произведения
,
.
Каждое отношение зависит здесь от своей переменной, а потому равенство возможно только в том случае, когда каждое из этих отношений равно постоянному числу. Полагая , , где постоянная (случай будет рассмотрен позднее), получаем два уравнения:
, (5.34)
. (5.35)
Оба уравнения являются линейными однородными уравнениями 2-го порядка с постоянными коэффициентами, характеристические уравнения которых при имеют комплексные корни. Общие решения этих уравнений будут:
, (5.36)
, (5.37)
где , , , – произвольные постоянные.
Постоянные и определяются из граничных условий (5.32). Так как не равна тождественно нулю (в противном случае ), функция должна удовлетворять условиям (5.32), т. е. должно быть , . Отсюда получаем систему уравнений:
Из первого уравнения находим . Тогда из второго уравнения следует
.
Так как (в противном случае было бы и ), имеем тригонометрическое уравнение , из которого получаем
( =1, 2, …) (5.38)
( =0 не берется, так как и в этом случае было бы и ). Числа называются собственными числами для уравнения (5.34) с граничными условиями (5.32), а соответствующие им решения
(5.39)
– собственными функциями.
Если же взять , то уравнение (5.34) будет иметь отличное от нуля общее решение
,
которое не может удовлетворять граничным условиям (5.32).
Для каждого собственного числа получается решение исходного волнового уравнения (5.31):
, (5.40)
которое удовлетворяет граничным условиям (5.32) (постоянная включена в и ). Так как заданное волновое уравнение линейное и однородное, то сумма решений
(5.41)
также будет его решением, удовлетворяющим граничным условиям (5.32). Это решение должно еще удовлетворять начальным условиям (5.33). Подставив в (5.41), получаем из первого начального условия
. (5.42)
Дифференцируя члены равенства (5.41) по и подставляя затем , получаем из второго начального условия
. (5.43)
Из этих равенств следует, что если числа являются коэффициентами ряда Фурье функции , т. е. если
,
а числа – коэффициентами Фурье функции , т. е. если
,
то ряд (5.41) представляет функцию , которая является искомым решением задачи (5.31) – (5.33).
В случае, когда исходное уравнение в частных производных является неоднородным, т. е. в характеризуемом этим уравнением физическом процессе имеются внешние силы и источники, предварительно находится система собственных функций соответствующего однородного уравнения, и решение ищется в виде ряда по этим собственным функциям с переменными коэффициентами.
infopedia.su
Использование производной для решения уравнений и неравенств
Использование производной для решения
уравнений и неравенств
Бирагова Л.Л.МБОУ лицей г.Владикавказ
При решении уравнения или неравенства часто бывает полезно доказать возрастание (убывание) на некотором промежутке функций, в него входящих. При этом часто пользуются производными.
Пример 1.
Решим уравнение
. (1)
Решение.
Рассмотрим функцию . Область существования этой функции есть промежуток 
. Функция f
Следовательно, функция f(x) возрастает на промежутке Х, и так как она непрерывна на этом промежутке, то каждое свое значение она принимает ровно в одной точке. А это означает, что уравнение (1) имеет не более одного корня. Легко видеть, что число 
удовлетворяет уравнению (1). Следовательно, уравнение (1) имеет единственный корень 
.
Ответ: -1.
Пример 2.
Решим неравенство
(2)
Решение.
Рассмотрим функцию f(x)= . Поскольку эта функция на интервале X=
имеет производную , которая положительна на этом интервале, то функция f(x) возрастает на интервале Х. Так как функция f непрерывна на интервале Х, то каждое свое значение она принимает ровно в одной точке. Следовательно, уравнение f(x)=0 может иметь не более одного корня. Легко видеть, что число 
является корнем уравнения f(x)=0. Поскольку функция f(x) непрерывна и возрастает на интервале Х, то f(x)<0 при x<0 и f(x)>0 при x>0. Поэтому решениями неравенства (2) являются все х из промежутка 
.
Ответ: .
Пример 3.
Выяснить, сколько действительных корней имеет уравнение:
Решение.
Рассмотрим функцию . Она на интервале 
имеет производную .
Производная обращается в нуль точках: 
и 
. Так как 
для любого х из интервалов 
и 
, то на каждом из промежутков
и 
функция 
возрастает. Так как 
, то на промежутке 
функция убывает. Так как , , 
, 
и функция непрерывна на каждом из интервалов 
, 
и 
, то на каждом из них есть единственная точка, в которой эта функция обращается в нуль. Следовательно, функция имеет три нуля, т.е. уравнение (1) имеет три действительных корня.
Ответ: три действительных корня.
Пример 4.
Решить уравнение:
(1)
Решение.
Обе части уравнения (1) определены на отрезке 
. Рассмотрим функцию
.
Эта функция на интервале 
имеет производную
,
которая обращается в ноль в единственной точке 
.Так как функция непрерывна на отрезке
, 
, 
. Так как , то наибольшее значение 2 на отрезке функция достигает в единственной точке . Следовательно, уравнение (1) имеет единственный корень .
Ответ: 3.
infourok.ru
Глава 10. Численные методы решения дифференциальных уравнений с частными производными
10.1. Классификация дифференциальных уравнений с частными производными
(1) |
Где xиy– независимые переменные,z– искомая функция,– первые и вторые частные производные по аргументамxиy.
Решением уравнения (1) называется функция , обращающая это уравнение в тождество. График решения представляет собой поверхность в пространствеOxyz.
Уравнение (1) называетсялинейным, если оно первой степени относительно искомой функции и всех ее производных и не содержит их произведений, т.е. если это уравнение может быть записано в виде:
(2) |
Причем коэффициенты могут зависеть лишь отxиy. В частности, если эти коэффициенты не зависят отxиy, то уравнение (2) представляет собойлинейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Остановимся на этом случае подробнее.
Пусть – дискриминант уравнения. В зависимости от знака функцииDлинейное дифференциальное уравнение (2) относится в данной области к одному из следующих типов:
D<0– эллиптический тип
D=0– параболический тип
D>0– гиперболический тип
Если Dне сохраняет постоянного значка – то уравнение будет смешанного типа.
10.2. Метод сеток
Метод сетокилиметод конечных разностей, является одним из самых распространенных методов численного решения дифференциальных уравнений с частными производными.
Воснове метода лежит идея замены производных конечно-разностными отношениями. Ограничимся случаем двух независимых переменных.
Пусть в плоскости 0xyимеется некоторая областьGс границейГ. Построим на плоскости два семейства параллельных прямыхи
.
Точки пересечения этих прямых назовем узлами.
● Два узла называются соседними, если они удалены друг от друга в направлении оси0xили0yна расстояние, равное шагу сеткиhилиlсоответственно.
Выделим узлы, принадлежащие области G+Г, а также некоторые узлы, не принадлежащие этой области, но расположенные на расстоянии, меньшем, чем шаг от границыГ.
● Те узлы, у которых все четыре соседних узла принадлежат выделенному множеству узлов, называются внутренними(например, узелА). Оставшиеся из выделенных узлов называютсяграничными(например, узлыВиС).
Значения искомой функции в узлах сетки будем обозначать через.
В каждом внутреннем узле заменим частные производные разностными отношениями:
| (3) |
,
В граничных точках будем пользоваться менее точными формулами:
| (4) |
,
Аналогично заменяем производные второго порядка:
, | (5) |
Указанные замены производных в каждом узле сетки позволяют свести решение дифференциальных уравнений с частными производными к решению системы разностных уравнений.
10.3. Итерационные методы решения системы конечно-разностных уравнений
В некоторых случаях требуется решить дифференциальное уравнение с частными производными с заданной точностью. Одним из наиболее простых методов является процесс усреднения Либмана.
Согласно этому методу вычисления ведутся следующим образом: вначале вычисляются (находятся) начальные приближения значений искомой функции, а затем последовательнее приближения для внутренних узлов определяются по формуле:
(6) |
Начальные приближения значений функции во внутренних точках можно получить следующими способами:
путем интерполяции, используя известные граничные значения;
составляют систему конечно-разностных уравнений для сетки с более крупным шагом, а затем полученные значения интерполируют на узлы даннойсетки.
Если
границаГобластиGкриволинейна, то значения искомой
функции
дляграничных узловполучают путем
переноса значений из точек на границеГ. Погрешность, получающуюся в
результате такого переноса можно
значительно уменьшить, если для каждого
граничного узла составить уравнения
следующего вида:
для узлаAh
для узлаDh,
где AhиDh– узловые граничные точки,АиD– ближайшие кAhиDhточки, лежащие на границе, δ1и δ2– расстояния междуAиAh, иDиDhсоответственно, причем, со знаком «+», если точка внутри области, и знаком «–», если точка вне области.
Пересчет граничных значений методом Либмана проводится по формулам:
(7) |
Итерации продолжают до тех пор, пока в двух последовательных приближениях значений функции, причем, как во внутренних, так и в граничных точках не совпадут требуемое количество десятичных знаков, т.е. .
studfiles.net