Формулы приведения. Бесплатный видеоурок — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике
Применять формулы приведения — легко! Их не надо зубрить наизусть. И не надо тащить на экзамен шпаргалки, рискуя спалиться. Надо всего лишь запомнить два правила, о которых вы узнаете, посмотрев этот ролик. Это так просто, что даже лошадка поймет! 🙂 Посмотри и передай друзьям.
Часто в задачах встречаются выражения вида а также или — то есть такие, где к аргументу прибавляется нечетное число, умноженное на или целое число, умноженное на Они упрощаются с помощью формул приведения.
Запомните: формулы приведения, от слова «привести». К привидениям, то есть к призракам и прочим глюкам, эти формулы отношения не имеют : -)
Эти формулы называются так потому, что с их помощью можно привести выражения к более простым.
Например,
Зубрить наизусть формулы приведения не нужно.
Достаточно знать правило, состоящее из двух пунктов.
1) Если в тригонометрической формуле к аргументу прибавляется (или вычитается из него) — в общем, угол, лежащий на вертикальной оси, — функция меняется на кофункцию. Синус меняется на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс и наоборот.
Если же мы прибавляем или вычитаем — в общем, то, что лежит на горизонтальной оси, — функция на кофункцию не меняется.
Это легко запомнить. Если прибавляемый угол лежит на вертикальной оси — вертикально киваем головой, говорим: «Да, да, меняется функция на кофункцию». Если прибавляемый угол лежит на горизонтальной оси — горизонтально мотаем головой, говорим: «Нет, нет, не меняется функция на кофункцию».
Это первая часть правила. Теперь вторая.
2) Знак получившегося выражения такой же, каким будет знак тригонометрической функции в левой его части, при условии, что аргумент мы берем из первой четверти.
Упростим, например, выражение Функция меняется на кофункцию — и в результате получится синус.
Взяв x из первой четверти и прибавив к нему попадем во вторую четверть. Во второй четверти косинус отрицателен. Значит, получится
Посмотрим, как формулы приведения применяются в задачах ЕГЭ по математике.
1. Найдите значение выражения:
Ответ: 11.
2. Вычислите:
Ответ: 4.
3. Вычислите:
Мы упростили выражения в скобках.
Ответ: — 24.
4. Найдите значение выражения:
Ответ: 4.
5. Упростите выражение:
Ответ: 2.
6. Найдите значение выражения:
Решение:
Используя формулы приведения, получим
Ответ: 0,4.
7. Найдите значение выражения: cos
Решение:
cos cos cos
Снова формула приведения.
Ответ: -12.
8. Найдите значение выражения:
Решение:
Мы применили одну из формул приведения.
Ответ: 42.
9. Найдите значение выражения:
Решение:
Воспользуемся формулами приведения:
Также мы применили основное тригонометрическое тождество. Сумма квадратов синуса и косинуса угла альфа равна единице.
Ответ: 9,5.
01Математика — 10 класс. Алгебра — Формулы приведения
Skip to main content- Классы
- 10 класс. Алгебра
- 04. Тригонометрические выражения
- Теория: 03. Формулы приведения
Задание
Решение
Каждое из выражений
\(\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}\pm \alpha\right),\, \cos\left(\frac{\pi}{2}\pm \alpha\right),\, \sin\left(\frac{3\pi}{2}\pm \alpha\right),\, \cos\left(\frac{3\pi}{2}\pm \alpha\right),\, \sin\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right),\, \cos\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right),\)
\(\displaystyle \sin\left(\pi\pm \alpha\right),\, \cos\left(\pi\pm \alpha\right), \, \sin\left(\alpha-\pi \right),\, \cos\left(\alpha-\pi\right)\)
равно либо \(\displaystyle \pm\sin\alpha{ \small ,}\) либо \(\displaystyle \pm\cos\alpha{\small .
}\)
- Если в формуле участвует \(\displaystyle \frac{\pi}{2} \) или \(\displaystyle \frac{3\pi}{2} { \small ,}\) то
- Знак синуса и косинуса определяется по знаку исходного выражения, при условии, что угол \(\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}{\small .}\)
Так как в выражении \(\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\) участвует \(\displaystyle \frac{\pi}{2}{ \small ,}\) то
\(\displaystyle {\bf \cos}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\,?\,{\bf \sin}\alpha{\small .}\)
Далее определим, какой знак должен стоять перед синусом.
Всегда можно считать, что угол \(\displaystyle \alpha\) – острый (располагается в первой четверти тригонометрического круга):
Тогда угол \(\displaystyle \frac{\pi}{2}-\alpha\) – это угол, полученный вычитанием угла \(\displaystyle \alpha \) из угла \(\displaystyle \frac{\pi}{2}{\small :}\)
Определим знак исходного выражения, то есть знак \(\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right){\small : }\)
Знак плюс.
Значит,
\(\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\color{red}{+}\sin{\alpha}\)
или
\(\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin{\alpha}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin{\alpha}{\small .}\)
Формулы приведения и косинус разности
Используем формулу косинуса разности.
Для двух углов \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y\) верно:
\(\displaystyle \cos(x-y)=\cos x\cdot \cos y+\sin x\cdot \sin y{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\frac{\pi}{2}\cdot \cos\alpha+\sin\frac{\pi}{2}\cdot \sin\alpha{\small .}\)
Так как \(\displaystyle \cos\frac{\pi}{2}=0\) и \(\displaystyle \sin\frac{\pi}{2}=1{ \small ,}\) то получаем:
\(\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=0\cdot \cos\alpha+1\cdot \sin\alpha{ \small ,}\)
\(\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha{\small .
}\)
Вход
Войти через
Регистрация
Тригонометрические функции
|b| они называются отрезков .Значение этих наводящих на размышления терминов наиболее очевидно при взгляде на графики тригонометрических функций. Однако с таким количеством параметров для «настройки» становится ясно, что это семейство обладает большой алгебраической гибкостью.
Ключевым алгебраическим свойством функций синуса и косинуса является их периодичность :
sin (q ± 2kp) = sin (q)
cos (q ± 2kp) = cos (q)
То есть прибавление или вычитание любого угла в 2kp радиан (k раз вокруг окружности) к любому углу q или из него возвращает нас к той же точке на окружности, к тем же координатам y и x и к тем же синусам и косинусам. . Другими словами, если мы знаем значения этих функций для q между 0 и 2p, то мы знаем значения для любых q .
Длина кратчайшего входного интервала, содержащего всю информацию о периодической функции, называется период .
И синус, и косинус имеют периоды 2p .
Еще одним важным алгебраическим свойством тригонометрических функций является связь между синусом и косинусом. Их поведение очень похоже. На самом деле, каждый раз, когда мы меняем наше положение на единичной окружности на p/2 радиан (90º), координаты x и y просто меняются местами, а одна из них меняет знак:
Мы видим, что:
p = cos(q) = sin(q + p/2) = sin(q p/2) = cos(q ± p)
и что:
q = sin(q) = cos(q + p/2) = cos(q p/2) = sin(q ± p)
Эти соотношения являются примерами тригонометрических тождеств . Идентичности дают нам эквивалентные способы сказать одинаковые вещи. В частности, тождество cos(q) = sin(q + p/2) говорит нам, что косинусоидальная функция идентична синусоидальной функции со сдвигом фазы p/2 . Вот почему мы можем работать исключительно с функцией синуса при моделировании периодических явлений: косинус не добавляет ничего нового.
Существует множество других полезных тождеств, связанных с функциями синуса и косинуса. Как и приведенные выше тождества, они возникают в результате наблюдения множества приятных симметрий круга.
Больше триггерных идентификаторов
Существуют и другие тригонометрические функции, которые иногда используются в приложениях. Однако все они являются простыми соотношениями синуса и косинуса. Точно так же, как мы понимаем рациональные функции, наблюдая за поведением полиномов в их числителях и знаменателях, остальные тригонометрические функции можно понять с точки зрения основных свойств синуса и косинуса.
Познакомьтесь с другими триггерными функциями
Тригонометрические функции существуют уже давно. Их истоки, однако, не были связаны с изучением периодических явлений. Скорее, ранняя тригонометрия занималась отношениями, встречающимися в прямоугольных треугольниках. (Греческие корни: три , три + гония , угол + метрия , мера.
) Даже если это имеет мало общего с моделированием, предмет все же в высшей степени практичен.
Введение в тригонометрию треугольника
Если вы хотите узнать больше о долгой истории
| Назад к содержанию | |
PDF БОЛЬШЕ ТРИГОНОМЕТРИИ Обзор модуля В этом модуле вы научитесь строить графики функций синуса, косинуса и тангенса. Вы также узнаете, как изменения в стандартном уравнении могут изменить амплитуду и период графика. Пифагорейское тождество будет доказано, а затем использовано для нахождения тригонометрических значений.  Графики характеристических кривых тригонометрических функций — синуса, косинуса и тангенса Тригонометрические функции можно изобразить в виде графика в прямоугольной системе координат путем нанесения точек, координаты которых принадлежат функции. В таблице ниже показаны значения функции синуса для критических значений θ , где 0 ≤ θ ≤ 2π. Каждое из этих значений можно соединить в пары и нанести на график с помощью точек на плоскости xy , разрешив « θ ” разместить на оси x , а sin θ нанести на ось y следующим образом: Если все значения в таблице отобразить таким образом, получится следующий стандартный график sin θ : Поскольку областью определения синуса являются действительные числа, график y = sin  Часть графика y = sin θ показана ниже:Синусоидальная функция имеет период 2π, потому что синусоида повторяется каждые 2π единицы. Максимальное значение функции равно 1, а минимальное значение функции равно –1. Средняя линия функции – это горизонтальная линия посередине между максимальным и минимальным значениями функции. Для y = sin θ , средней линией является линия y = 0 (горизонтальная ось). Амплитуда функции равна половине разницы между максимальным и минимальным значениями. Амплитуда функции y = sin θ равна 1. Обратите внимание, что синусоидальная функция имеет значение 0 всякий раз, когда θ кратно π. Таким образом, sin 0, sin π, sin 2π, sin 3π…, все имеют значения 0. График функции косинуса рисуется так же, как график функции синуса. В таблице ниже показаны значения функции косинуса для критических значений θ , где 0 ≤ θ ≤ 2π.  Если изобразить все значения в таблице, то получится стандартный график косинуса: Чтобы изобразить эти функции на графическом калькуляторе, используя радианы, установите режим в радианы. Введите следующие параметры:
Нажмите клавишу y = и введите функцию, график которой вы хотите изобразить, то есть y = sin x или y = cos x .  Чтобы изобразить эти функции на графическом калькуляторе с использованием градусов, установите режим на градусы. Введите следующие параметры:
График функции тангенса также можно построить, нанеся точки. В таблице ниже показаны значения функции тангенса для критических значений θ , где 0 ≤ θ ≤ 2π. Обратите внимание, что для θ существуют значения, при которых функция тангенса не определена. График имеет вертикальные асимптоты при этих значениях. Следующие диаграммы служат характеристическими кривыми для наших графиков для всех углов от 0 до 2π (от 0 до 360). Кривые синусов, косинусов и касательных (06:08) S топ! Перейдите к вопросам 1–8 по этому разделу, затем вернитесь, чтобы перейти к следующему разделу.  Вариации тригонометрических функций Как и в случае с другими функциями, изменения в уравнении родительского графика могут повлиять на внешний вид графика. Мы рассмотрим изменения амплитуды и периода характеристических графиков синуса и косинуса, исследуя графики y = A sin( Bx ) и y = A cos( Bx ). Амплитуда ( А ) Значение A влияет на амплитуду. Это значение определяет максимальное и минимальное вертикальные значения функции. В характеристической кривой y = sin θ амплитуда равна A = 1. С настройками окна вашего калькулятора, установленными для значений, используемых для нахождения характеристических кривых в первой части этого единицу, введите следующее уравнение в и посмотреть их графики:
Первой кривой для построения графика была характеристическая кривая для y = sin θ . Вторая кривая для y = 3sin θ отклоняется от экрана по вертикали, потому что при амплитуде «3» она достигает своих y -максимального и y -минимального значений 3 и –3 за пределами калькулятора. настройки окна для Ymin и Ymax. (Чтобы увидеть всю эту кривую, вы можете соответствующим образом настроить эти параметры). График третьей кривой достигает максимального и минимального значения и соответственно. Важной особенностью всех кривых является то, что все они достигают своих максимальных и минимальных значений при θ = и , и все три пересекают ось x в точках 0, π и 2π.  Изменение амплитуды тригонометрической кривой «растягивает» кривую по вертикали, но не влияет на значения θ , где она будет принимать максимальное, минимальное и нулевое значения.Когда A имеет отрицательное значение, график представляет собой отражение по оси x ( y = sin θ отображается красным, а y = –sin θ показан синим цветом). Амплитуда обеих этих функций равна 1, так как амплитуда | А |. В функции y = A cos θ амплитуда работает аналогично функции y = A sin θ . Касательная функция не имеет амплитуды, потому что у нее нет максимального или минимального значения. В функции y = A tan θ , изменения A влияют на крутизну графика. Частота и период Следующим компонентом стандартного уравнения является значение «B», «Частота» и «Период», который равен . На их характеристических графиках каждое тригонометрическое соотношение демонстрирует один полный «цикл» или «период» от 0 до 2π с «частотой», равной единице. Оба эти значения можно отрегулировать, изменив значение « B » в стандартном уравнении.Введите следующие уравнения в свой калькулятор и просмотрите каждый график.
Когда Y 2 отображается на графике, две полные косинусоидальные кривые появляются между 0 и 2π. Для Y 2 = cos(2 x ), значение B = 2. Таким образом, оно проходит 2 раза от 0 до 2π. Период функции = = π. Таким образом, он совершает один полный цикл каждые π единиц.  Если ввести третье уравнение в Y 3 например: Y 3 = cos(0,5 x ) и просмотреть его график, появится только первая половина характеристической кривой косинуса. Значение В = 0,5. Следовательно, значение « B » — частота — определяет, сколько характеристических кривых появится в стандартном окне просмотра от 0 до 2π. Период функции Y = cos(0,5 x ) можно найти, подставив 0,5 вместо B в выражении . Период функции будет = = 4π. Таким образом, он совершает один полный цикл каждые 4π единиц. Для функции y = A tan( Bx ) частота равна B . Период указан потому, что период тангенса x равен π вместо 2π. Кривые синусов, косинусов и касательных (продолжение) (11:50) S топ! Перейдите к вопросам № 9–17 , чтобы заполнить этот модуль.  Тождество Пифагора Тождество — это любое уравнение, истинное для каждого числа в области определения уравнения. Тождество, включающее тригонометрические выражения, называется тригонометрическим тождеством. Важным тригонометрическим тождеством является пифагорейское тождество. Пифагорейское тождество можно проверить, используя единичный круг и теорему Пифагора. Помните из предыдущего раздела, что прямоугольный треугольник можно вписать в окружность следующим образом. Для угла в стандартном положении конечная сторона угла в единичной окружности попадает в точку, координата x которой является косинусом угла, а координата y является синусом угла, то есть cos θ = x и sin θ = y . Уравнение единичного круга равно х 2 + у 2 = 1.
|
Асимптота — это воображаемая линия, к которой график приближается, но никогда не касается. Обратите внимание, что график касательной будет иметь асимптоту при всех половинных значениях π, таких как и т. д. Функция пересекает x — ось в нуле, на полпути между асимптотами. Таким образом, функция касательной будет пересекать ось x всякий раз, когда θ кратно π. Таким образом, тангенс 0, тангенс π, тангенс 2π, тангенс 3π…, все имеют значения 0. Поскольку график повторяется каждые π радиан, период функции тангенса равен π. Функция тангенса не имеет высоты, так как у нее нет ни максимального, ни минимального значения. 
