Когда можно делить на косинус: Однородные уравнения и неравенства

x≥0\)

Что значит «все слагаемые имеют одинаковую суммарную степень»?



Пример не однородных уравнений и неравенств:




Слагаемые, которые делают уравнения (неравенства) не однородными – подчеркнуты.

Содержание

Решение однородных уравнений

Хотя однородные уравнения и выглядят «большими» и «страшными», решить их не сложнее, чем биквадратные. Надо знать лишь об одной «фишке»: если поделить однородное уравнение на одночлен (без коэффициента), то потом можно легко сделать замену переменных.

Пример. Решить уравнение \(\sin⁡x=\sqrt{3}\cos⁡x\).

\(\sin⁡x=\sqrt{3}\cos⁡x\)

Перед нами типичное однородно-тригонометрическое уравнение. Надо разделить уравнение на cos⁡x, но делить на число равное нулю нельзя, поэтому проверим, является ли \(\cos⁡x=0\) решением уравнения. Если \(\cos⁡x=0\), то \(\sin⁡x=±1\). Очевидно, что \(±1≠0\).

\(\cos⁡x≠0\)

 

Теперь с чистой совестью поделим уравнение на \(\cos⁡x\)

\(\frac{\sin⁡x}{\cos⁡x}\)\(=\sqrt{3}\)

Заменим \(\frac{\sin⁡x}{\cos⁡x}\)\(=tgx\)

\(tg x= \sqrt{3}\)

 

Решим тригонометрическое уравнение.

\(x=\)\(\frac{π}{3}\)\(+πk\), \(k∈Z\)

 

Запишем ответ.

Ответ: \(x=\)\(\frac{π}{3}\)\(+πk\), \(k∈Z\).{\frac{1}{x}}\)\(≥\)\(\frac{2}{5}\)    \(⇔\)      \(\frac{1}{x}\)\(≥-1\)

 

Перенесем \(-1\) в левую часть и приведем к общему знаменателю.

\(\frac{1+x}{x}\)\(≥0\)
\(\frac{x+1}{x}\)\(≥0\)

 

Применим метод интервалов.


 

Обратите внимание, ноль – выколот, так как при \(x=0\) у нас будет деление на ноль слева. А вот точка \(-1\) вколота, так как неравенство нестрогое.

Ответ: \((-∞;-1]∪(0;∞)\).

Смотрите также:
Решение уравнений методом разложения на множители

Скачать статью

Учебное занятие «Однородные уравнения и уравнения, сводимые к однородным»

Дидактическая цель: Создать условия для осознания и осмысления новой информации и успешного применения ранее полученных знаний.

Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления нового материала.

Триединая дидактическая цель:

Образовательная:

  • продолжить формирование знаний по решению тригонометрических уравнений и умения применять эти знания в стандартной ситуации;
  • создавать условия для выработки умений применять известные алгоритмы в стандартной ситуации.

Развивающая:

  • создавать условия для развития аналитических навыков при решении однородных тригонометрических уравнений.

Воспитательная:

  • создание условий для качественного выполнения работы;
  • воспитание воли и упорства в достижении поставленной цели.

Технология проблемного обучения

Форма организации учебной деятельности индивидуальная, фронтальная.

Конспект занятия

I. Математический диктант с самопроверкой (актуализация знаний)

Карточки с уравнениями на магнитах крепятся к доске. Ответы ученики пишут в тетрадях.

Уравнение

Ответ

Уравнение

Ответ

1)

cos x = 0

x = + n, nZ

1)

sin x = 0

x = n, nZ

2)

tg x = —

x = + n

2)

tg x = 1

x =

+ n

3)

sin x = — 1

x = + 2n

3)

ctg x = —

x = + n

4)

tg x = 1

x = + n

4)

cos x = 1

x = 2n

5)

ctg x = —

x = + n

5)

tg x =

x = +n

II. Изучение нового материала

A. sin x cos x = 0 — однородное уравнение первой степени.

Заканчивая предыдущий урок, я сказала, что пока мы не умеем решать такое уравнение, но некоторые сомневались и предлагали разделить обе части уравнения на cos x. Сохранится ли равносильность? Может быть, решения уравнения cos x = 0 являются решениями данного уравнения? Нет! Почему? Как это доказать?

Если cos x = 0 , то sin x 0 = 0 sin x = 0, что невозможно, т.к. теряет смысл тождество sin2 x + cos2 x = 1. Синус и косинус одного и того же аргумента не могут быть равны 0 одновременно. Следовательно, при делении на cos

x получаем уравнение, равносильное данному.

sin x cos x = 0 | : cos x

tg x = 0; tg x = ; x = + n, nZ

(Ответ: x = + n, nZ)

Если это неубедительно, то обратимся к квадратному уравнению у2 у = 0; если разделим его на у, то потеряем корень 0.

Можно ли делить на sin x? Если делить на sin x, то выдвигать условие sin x 0. Будут ли значения x, при которых sin x = 0, корнями данного уравнения? Нет! Если sin x = 0, то cos x = 0 , что невозможно, т.к. теряет смысл основное тригонометрическое тождество sin2 x +  cos2 x = 1.

Учащиеся изучают “Материалы к уроку”.

Материалы к уроку (раздаются каждому ученику)

Тема урока: “Однородные уравнения и уравнения, сводимые к однородным”

1. Уравнения

a·sin x + b·cos x = 0,

a·sin2 x + b·sin x·cos x + c·cos2 x = 0,

a·sin3 x + b·sin2 x·cos x + c·sin x·cos2 x + d·cos3 x = 0 и т.д.,

где a, b, с, d — действительные числа, называют однородными относительно sin x и cos x.

2. Сумма показателей степеней при sin x и cos x у всех членов такого уравнения одинакова. Эта сумма называется степенью однородного уравнения. Рассмотренные уравнения имеют соответственно первую, вторую и третью степень.

3. Делением на cosk x, где k степень однородного уравнения, уравнение приводится к алгебраическому относительно функции tg

 x.

4. Разделим обе части уравнения на cos x. Значения x, при которых cos = 0, не являются решениями данного уравнения, т.к. если cos х = 0, то и sin должен обращаться в 0, а косинус и синус одного аргумента не могут быть равны нулю одновременно. Следовательно, при делении на cos x получаем уравнение, равносильное данному.

5. Например, sin x cos x = 0. Если cos x = 0, то sin x — ·0 = 0 sin x = 0, что невозможно, т.к. теряет смысл основное тригонометрическое тождество sin2 x + cos2 x = l.

B. sin2 x + sin x cos x — 2cos2 x = 0 — однородное II степени.

sin2 x + sin x cos x — 2cos2 x = 0 | : cos2 x

cos2 x 0, т.к. если cos x = 0, то sin2 x + sin x ·0 — 2 ·0 = 0 sin x = 0, что невозможно (противоречит основному тригонометрическому тождеству).

tg2 x + tg x — 2 = 0

Пусть tg x = t, тогда t2 + t — 2 = 0.

В полученном квадратном уравнении a + b + c = 0, значит, t1 = 1, t2 = — 2.

tg x = 1 или tg x = — 2

x = + n, nZ; x = arctg 2 + k, kZ

Ответ: x = + n, nZ; x = — arctg 2 + k, kZ

C. sin x cos x — 3cos2 x + 1 = 0. Является ли уравнение однородным?

Нет, т.к. слагаемое 1 — нулевой степени. Следовательно, чтобы привести это уравнение к однородному необходимо заменить 1 на sin2 x + cos2 x.

sin x cos x — 3cos2 x + sin2 x + cos2 x = 0

sin2 x + sin x cos x 2 cos2 x = 0 | : cos2 x

tg2 x + tg x — 2 = 0 и т.д. (см. пример B).

D. 4 sin2 x + sin x cos x + cos2 x = 3 — уравнение не является однородным.

4 sin2 x + sin x cos x + cos2 x = 3(sin2 x + cos2 x)

4 sin2 x + sin x cos x + cos2 x 3 sin2 x 3 cos2 x = 0

sin2 x + sin x cos x 2 cos2 x = 0 | : cos2 x однородное II степени

tg2 x + tg x — 2 = 0 и т.д. (см. пример B).

E. sin2 x + 3sin x cos x 8cos2 x = — 2 — уравнение не является однородным.

sin2x + 3sin x cos x 8cos2x + 2(sin2x + cos2x) = 0

3sin2x + 3sin x cos x 6cos2x = 0 | : 3

sin2x + sin x cos x 2 cos2x = 0 | : cos2x однородное II степени

tg2x + tg x — 2 = 0 и т.д. (см. пример B)

III. Устная работа

Указать прием решения уравнения:

1) sin 2x + cos 2x = 0

2) 3sin2 x 4sin x cos x + cos2 x = 0

3) sin3 x cos x 2sin2 x cos2 x = 3sin x cos3 x — 6cos4 x

4) sin2 x + sin 2x = 0  (sin2 x + 2sin x cos x = 0)

5) cos2 x + sin 2x = 0  (cos2 x + 2sin x cos x = 0)

IV. Неполные однородные уравнения

Уравнения 4) и 5) из устной работы два ученика решают одновременно на доске.

Традиционная ошибка школьников при решении неполных однородных уравнений II степени делением на одну из функций — потеря корней. Решая уравнения разложением на множители оба ученика получают две серии корней. А при решении новым способом (деление на функцию) у одного получаются две серии корней, а у другого — одна. В чём ошибка?

После обсуждения проблемы сформулировали вывод: “дели на то, чего мало”.

sinx + 2sin x cos x = 0.

I способ решения:

разложим левую часть уравнения на множители

sin x (sin x + 2cos x) = 0

sin x = 0 или sin x + 2cos x = 0 | : cos x (получили однородное уравнение I степени)

x = n, nZ; tg x = 2; x = arctg 2 + k, kZ

Ответ: x = n, nZ; x = — arctg 2 + k, kZ

II способ:

Решаем данное уравнение как однородное II степени

sinx + 2sin x cos x = 0 | : cosx

tgx + 2tg x = 0

tg x (tg x + 2) = 0

tg x = 0 или tg x + 2 = 0

x = n, nZ; tg x = 2; x = arctg2 + k, kZ

cosx + 2sin x cos x = 0.

I способ (решаем как однородное уравнение II степени):

cosx + 2sin x cos x = 0 | : sinx (“дели на то, чего мало”)

если sin x = 0, то cosx + 2·0·cos x = 0 U сos x = 0,что невозможно

сtgx + 2сtg x = 0

сtg x (сtg x + 2) = 0

сtg x = 0 или сtg x + 2 = 0

х = + n, nZ; x = — arcctg 2 + k, kZ.

Ответ: х = + n, nZ; x = - arcctg 2 + k, kZ

II способ для проверки (решаем разложением на множители):

cos x (cos x + 2sin x ) = 0

cos x = 0 или cos x + 2sin x = 0 | : cos x

х = + n, nZ; 1 + 2tg x = 0 ; tg x = ;

x = arctg + k, kZ

V. Самостоятельная работа

Решите уравнения:

1)

sin x — cos x = 0

1)

sin x + cos x = 0

2)

3cos2x 5sin2x — 2sin x cos x = 0

2)

3cos2x = 4sin x cos x sin2x

3)

6sin2x + sin 2x 5cos2x = 2

3)

6sin2x + sin 2x cos2x = 2

4)

sin2 ( + x) + 3 cos2 ( + x) =1

4)

4 cos2 sin x + 5sin2 = 3

5)

2sin x + cos x = 2

5)

sin 4x — 3cos 4x = 8 sin22x

Ответы: во всех случаях полагается n, kI Z

VI. Домашнее задание (Колмогоров А.Н. и др., “Алгебра и начала анализа”)

п.11, № 171(в), 169(а, б), 170(а), 172(а, в), стр.285 № 154(в, г)

VII. Рефлексия (ответы на вопросы ученики пишут на листочках и сдают их учителю)

1) Прочитайте цели урока ещё раз.

2) Запишите тему урока.

3) Чему научились на уроке:

а)
б)
в)

Учитель благодарит учеников за работу.

Решение однородных тригонометрических уравнений

В этой статье мы рассмотрим способ решения однородных тригонометрических уравнений.

Однородные тригонометрические уравнения имеют ту же структуру, что и однородные уравнения любого другого вида. Напомню способ решения однородных уравнений второй степени:

Рассмотрим однородные  уравнения вида

Отличительные признаки однородных уравнений:

а) все одночлены имеют одинаковую степень,

б) свободный член равен нулю,

в) в уравнении присутствуют степени с двумя различными основаниями.

Однородные уравнения решаются по сходному алгоритму.

Чтобы решить уравнение такого типа, разделим обе части уравнения на  (можно разделить на  или на )

Внимание! При делении правой и левой части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять корни. Поэтому необходимо проверить, не являются ли корни того выражения, на которое мы делим обе части уравнения, корнями исходного уравнения.

Если является, то мы выписываем этот корень, чтобы потом про него не забыть, а затем делим на это выражение.

Вообще, первым делом, при решении любого уравнения, в правой части которого стоит ноль, нужно попытаться разложить левую часть уравнения на множители любым доступным способом. А затем каждый множитель приравнять к нулю. В этом случае мы точно не потеряем корни.

Итак, осторожно разделим  левую часть уравнения на выражение  почленно. Получим:

Сократим числитель и знаменатель второй и третьей дроби:

Введем замену:

,

Получим квадратное уравнение:

Решим квадратное уравнение, найдем значения ,  а затем вернемся к исходному неизвестному.

При решении  однородных тригонометрических уравнений, нужно помнить несколько важных вещей:

1. Свободный член можно преобразовать к квадрату синуса и косинуса с помощью основного тригонометрического тождества:

2. Синус и косинус двойного аргумента являются одночленами второй степени —  синус двойного аргумента легко преобразовать к произведению синуса и косинуса, а косинус двойного аргумента — к квадрату синуса или косинуса:

 

Рассмотрим несколько примеров решения однородных тригонометрических уравнений.

1. Решим уравнение:

Это классический пример однородного тригонометрического уравнения первой степени: степень каждого одночлена равна единице, свободный член равен нулю.

Прежде чем делить  обе части уравнения на , необходимо проверить, что корни уравнения  не являются корнями исходного уравнения. Проверяем: если , то , следовательно их сумма не равна нулю.

Разделим обе части уравнения на .

Получим: 

, где 

, где 

Ответ: , где 

2. Решим уравнение:

Это пример однородного тригонометрического уравнения второй степени. Мы помним, что если мы можем разложить левую часть уравнения на множители, то желательно это сделать. В этом уравнении мы можем вынести за скобки . Сделаем это:

Приравняем каждый множитель к нулю:

Решение первого уравнения: , где 

Второе уравнение — однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Чтобы его решить, разделим обе части уравнения на . Получим:

, где 

Ответ:  , где ,

, где 

3. Решим уравнение:

Чтобы это уравнение «стало» однородным, преобразуем  в произведение, и представим число 3 в виде суммы квадратов синуса и косинуса:

Перенесем все слагаемые влево, раскроем скобки и приведем подобные члены. Получим:

Разложим левую часть на множители и приравняем каждый множитель к нулю:

Отсюда:

, где ,

, где 

Ответ: , где ,

, где 

4.3 6 Risolvere per ? cos(x)=1/2 7 Risolvere per x sin(x)=-1/2 8 Преобразовать из градусов в радианы 225 9 Risolvere per ? cos(x)=( квадратный корень 2)/2 10 Risolvere per x cos(x)=( квадратный корень 3)/2 11 Risolvere per x sin(x)=( квадратный корень 3)/2 12 График g(x)=3/4* корень пятой степени x 13 Найти центр и радиус x^2+y^2=9 14 Преобразовать из градусов в радианы 120 град.2+n-72)=1/(n+9)

Таблица производных тригонометрических функций

Развернуть структуру обучения Свернуть структуру обучения

См. также:

Таблица производных тригонометрических функций и обратных тригонометрических функций

Для нахождения производных от тригонометрических функций применяют следующие правила дифференцирования:
  1. (sin x )’ = cos x 
    Производная синуса от икс равна косинусу от икс
  2. (cos x )’ = -sin x 
    Производная косинуса от икс равна минус синус икс
  3. (tg x)’ = 1/ cos2x = 1 + tg2
    Производную тангенса от икс можно найти как 
    • единицу, деленную на косинус квадрат икс
    • единицу плюс тангенс квадрат икс
  4. (ctg x)’ = — 1/ sin2x = -(1 + ctg2 x) 
    Производную котангенса от икс, аналогично можно представить двумя выражениями: 
    • минус единицу, деленную на синус квадрат икс
    • минус сумму единицы и котангенса квадрат икс
  5. (arcsin x)’ = 1/(√(1-x2))
    Производная арксинуса икс равна единице, деленной на корень из разности единицы и икс квадрат
  6. (arccos x)’ = -1/(√(1-x2))
    Производная арккосинуса икс равна минус единице, деленной на корень из разности единицы и икс квадрат
  7. ( arctg x )’ = 1 / ( 1 + x2
    Производная арктангенса от икс равна дроби, в числителе которой находится единица, а в знаменателе — единица плюс икс квадрат
  8. ( arcctg x )’ = -1 / ( 1 + x2
    Производная арккотангенса от икс равна минус единице, деленной на сумму единицы и икс квадрат
  9. (sex x)’ = tg x sec x
    Производная секанса от икс равна произведению тангенса икс и секанса икс
  10. (cosec x)’ = -ctg x cosec x
    Производная косеканса от икс равна минус котангенс икс умноженный на косеканс икс
  11. (arcsec x)’ = 1 / (|x|√(x2 -1))
    Производная арксеканса икс равна дроби, в числителе которой единица, а в знаменателе произведение модуля икс и корня квадратного разности икс квадрат и единицы
  12. (arccosec x)’ = — 1 / (|x|√(x2 -1)) 
    Производная арккосеканса икс равна дроби, в числителе которой минус единица, а в знаменателе произведение модуля икс и корня квадратного разности икс квадрат и единицы
 Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций | Описание курса | Производная числа 

   

cos x корень из 3 делить на 2

Вы искали cos x корень из 3 делить на 2? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и cosx корень из 3 делить на 2, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «cos x корень из 3 делить на 2».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как cos x корень из 3 делить на 2,cosx корень из 3 делить на 2. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и cos x корень из 3 делить на 2. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, cos x корень из 3 делить на 2).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же cos x корень из 3 делить на 2 Онлайн?

Решить задачу cos x корень из 3 делить на 2 вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Формулы понижения степени в тригонометрии

Тригонометрические формулы обладают рядом свойств, одно из которых это применение формул понижения степени. Они способствуют упрощению выражений при помощи уменьшения степени.

Определение 1

Формулы понижения работают по принципу выражения степени синуса и косинуса через синус и косинус первой степени, но кратного угла. При упрощении формула становится удобной для вычислений, причем повышается кратность угла от α до nα.

Формулы понижения степени, их доказательство

Ниже приводится таблица формул понижения степени со 2 по 4 для sin и cos угла. После ознакомления с ними зададим общую формулу для всех степеней.

sin2α=1-cos 2α2cos2α=1+cos 2α2sin3=3·sin α-sin 3α4sin4=3-4·cos 2α+cos 4α8cos4 α=3+4·cos 2α+cos 4α8

Данные формулы предназначены для понижения степени.

Существует формулы двойного угла у косинуса и синуса, из которых и следуют формулы понижения степени cos2α=1-2·sin2α и cos2α=2·cos2α-1. Равенства разрешаются относительно квадрата синуса и косинуса, которые предоставляются как sin2α=1-cos2α2 и cos2α=1+cos2α2.

Формулы понижения степеней тригонометрических функций перекликаются с формулами синуса и косинуса половинного угла.

Имеет место применение формулы тройного угла  sin3α=3·sinα-4·sin3αи cos3α=-3·cosα+4·cos3α.

Если решать равенство относительно синуса и косинуса в кубе, получим формулы понижения степеней для синуса и косинуса:

sin3α=3-4·cos2α+cos4α8 и cos3α=3·cosα+cos3α4.

Формулы четвертой степени тригонометрических функций выглядят так: sin4α=3-4·cos2α+cos4α8 и cos4α=3+4·cos2α+cos4α8.

Чтобы понизить степени эти выражений, можно действовать в 2 этапа, то есть дважды понижать, тогда это выглядит таким образом:

sin4α =(sin2α)2=(1-cos2α2)2=1-2·cos2α+cos22α4==1-2·cos2α+1+cos4α24=3-4·cos2α+cos4α8;cos4α=(cos2α)2=(1+cos2α2)2=1+2·cos2α+cos22α4===1+2·cos2α+1+cos4α24=3+4·cos2α+cos4α8

Методом подстановки мы упростили сложное выражение. Для того, чтобы записать общий вид формул понижения степени разделим их на с наличием четных и нечетных показателей. Четные показатели, где n=2, 4, 6…, выражение имеет вид sinnα=Cn2n2n+12n-1·∑(-1)n2-kk=0n2-1·Ckn·cos((n-2·k)α) и cosnα=Cn2n2n+12n-1∑(-1)n2-kk=0n2-1·Ckn·cos((n-2·k)α).

Нечетные показатели, где n=3, 5, 7…, выражение имеет вид

sinnα=12n-1·∑(-1)n-12-kk=0n-12·Ckn·cos((n-2·k)α) и cosnα=12n-1∑(-1)n-12-kk=0n-12·Ckn·cos((n-2·k)α).

Cpq=p!q!·(p-q)! — это число сочетаний из p элементов по q.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Формулы понижения степени общего вида используются на любого выражения с высокой степенью для его упрощения. Рассмотрим пример для понижения кубического синуса. Третья степень нечетная, значит воспользуемся формулой sinnα=12n-1·∑(-1)n-22-kk=0n-12-k·Ckn·sin((n-2·k)α) где значение n присвоим 3. Подставляя n=3 в выражение, получим

sin3α=123-1·∑(-1)3-12-kk=03-12-k·Ck3·sin((3-2·k)α)==14·∑(-1)1-kk=01·Ck3·sin((3-2·k)α)==14·((-1)1-0·C03·sin((3-2·0)α) +(1)1-1·C13·sin((3-2·1)α))==14·((-1)1·3!0!·3!·sin3α+(-1)0·3!1!·(3-1)!·sinα)==14·(-sin3α+3·sinα)=3·sinα-sin3α4

Примеры применения формул понижения степени

Чтобы закрепить материал, необходимо детально разобрать его на примерах с использованием формулы понижения степени. Таким образом будет понятен принцип решения, подстановка и весь алгоритм.

Пример 1

Справедлива ли формула вида cos4α=3+4·cos2α+cos4α8 при α=α6.

Решение

 Для того, чтобы данная формула прошла проверку на возможность понижения степени с заданным значением угла α, необходимо посчитать левую и правую стороны. По условию имеем, что α=π6, тогда 2α=π3, следовательно 4α=2π3.

По таблице тригонометрических функций имеем, что cosα=cosπ6=32, тогда cos2α=cosπ3=12.

Для подробного уяснения необходимо проштудировать статью значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Подставляя в формулу, получим cos4α=(cosπ6)4=(32)4=916 и 3+4cos2α+cos4α8=3+4cosπ3+cos2π38=3+4·12+(-12)8=916

Отсюда видим, что левая и правая части равенства верны при α=π6, значит, выражение  справедливо при значении заданного угла. Если угол отличен от α, формула понижения степени одинаково применима.

Пример 2

При помощи формулы понижения степени преобразовать выражение sin32β5.

Решение

 Кубический синус для угла α имеет формулу вида sin3α=3·sinα-sin3α4. В данном случае необходимо выполнить замену α на 2β5 и подставить в формулу, тогда получаем выражение вида sin32β5=3·sin2β5-sin(3·2β5)4.

Это выражение равно равенству sin32β5=3·sin2β5-sin6β54.

Ответ: sin32β5=3·sin2β5-sin6β54.

Для решения сложных тригонометрических уравнений применяют формулы понижения степени. Они способны упростить выражение и сделать его намного удобным для вычислений или подстановки числовых значений. 

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Как подтвердить частную и взаимную идентичность

Факторную и взаимную идентичность

Когда дело доходит до более продвинутых исследований по тригонометрии, в конечном итоге использования только синуса, косинуса и тангенса самих по себе будет недостаточно. Вот почему так важно узнать о том, что мы называем «частными» и «взаимными» идентичностями.

При этом, прежде чем мы перейдем к использованию этих частных и взаимных тождеств, важно, чтобы у вас было полное понимание того, как использовать синус, косинус и тангенс.Щелкните ссылки на каждом из этих идентификаторов, чтобы быстро ознакомиться с их использованием, прежде чем переходить к этой статье. Кроме того, убедитесь, что вы понимаете, как каждое из этих соотношений ведет себя в четырехквадрантной декартовой плоскости, просмотрев эту замечательную ссылку здесь.

Частные идентичности

В тригонометрии частные тождества относятся к тригонометрическим тождествам, которые делятся друг на друга. Есть два частных тождества, которые имеют решающее значение для решения задач, связанных с триггерами: тангенс и котангенс.{-1} xsin − 1x или 1 / sin⁡x1 / \ sin x1 / sinx, вместо этого мы можем использовать обратное тождество cscx. Косеканс (csc), секанс (sec) и котангенс (cot) — чрезвычайно полезные тождества, и вы будете широко использовать их по мере продвижения математики к предварительному исчислению и исчислению. Поэтому очень важно запомнить и понять все эти идентичности. На изображении ниже показано, что вы, , должны знать, .

Взаимные идентичности

Использование частных и взаимных идентичностей

Теперь, когда мы рассмотрели, что такое частное и взаимное тождества, давайте разберемся, как их использовать.Как всегда, лучший способ научиться и освоиться с этими личностями — это выполнить некоторые практические задания.

Пример 1:

Упростите выражение:

cos⁡x⋅tan⁡x + sin⁡x2tan⁡x \ frac {\ cos x \ cdot \ tan x + \ sin x} {2 \ tan x} 2tanxcosx⋅tanx + sinx

Шаг 1. Определите любые частные или взаимные идентичности для упрощения с помощью

Чтобы упростить это выражение, нам определенно понадобится использовать некоторые триггерные идентификаторы.Обратите внимание на наличие танкс в числителе и знаменателе. Давайте заменим это частным тождеством и посмотрим, упростит ли это задачу. Уловка при решении таких проблем состоит в том, чтобы попытаться получить все в выражении в терминах синуса и косинуса.

= cos⁡x⋅sin⁡xcos⁡x + sin⁡x2⋅sin⁡xcos⁡x = \ frac {\ cos x \ cdot \ frac {\ sin x} {\ cos x} + \ sin x} {2 \ cdot \ frac {\ sin x} {\ cos x}} = 2⋅cosxsinx cosx⋅cosxsinx + sinx

Шаг 2. Упростите, упростите и еще немного упростите

Обратите внимание, что мы можем исключить cosx в числителе.Давайте сделаем это, а затем посмотрим, можно ли сделать больше упрощений.

= sin⁡x + sin⁡x2sin⁡cos⁡x = \ frac {\ sin x + \ sin x} {\ frac {2 \ sin} {\ cos x}} = cosx2sin sinx + sinx

= 2sin⁡x2sin⁡xcos⁡x = \ frac {2 \ sin x} {\ frac {2 \ sin x} {\ cos x}} = cosx2sinx 2sinx

= 2sin⁡xcos⁡x2sin⁡x = 2 \ sin x \ frac {\ cos x} {2 \ sin x} = 2sinx2sinxcosx

= cos⁡x = \ cos x = cosx

И вот оно! Наш окончательный ответ — cosx. Надеюсь, что с помощью этого примера вы начнете осознавать силу частного и взаимного тождеств в упрощении триггерных выражений.На этом изображении ниже представлено визуальное описание всего, что мы сделали для решения этой проблемы:

Частное и обратное тождества, пример 1, решение

Пример 2:

Упростите выражение:

cot⁡x (sin⁡x + tan⁡x) csc⁡x + cot⁡x \ frac {\ cot x (\ sin x + \ tan x)} {\ csc x + \ cot x} cscx + cotxcotx (sinx + tanx)

Шаг 1. Определите любые частные или взаимные идентичности для упрощения с помощью

Чтобы упростить это выражение, нам определенно понадобится использовать некоторые триггерные идентификаторы.Обратите внимание на наличие нескольких обратных и частных тождеств, которые мы можем использовать как в числителе, так и в знаменателе. Давайте заменим их и посмотрим, упростит ли это задачу. Опять же, уловка для решения подобных проблем состоит в том, чтобы попытаться получить все в выражении в терминах синуса и косинуса.

= cos⁡xsin⁡x (sin⁡x + sin⁡xcos⁡x) 1sin⁡x + cos⁡xsin⁡x = \ frac {\ frac {\ cos x} {\ sin x} (\ sin x + \ frac {\ sin x} {\ cos x})} {\ frac {1} {\ sin x} + \ frac {\ cos x} {\ sin x}} = sinx1 + sinxcosx sinxcosx (sinx + cosxsinx )

Шаг 2. Упростите, упростите и еще немного упростите

Теперь, когда мы сделали некоторые замены, обратите внимание на выше, мы можем вычеркнуть много из числителя и упростить дробь в знаменателе.Давайте сделаем это, а затем посмотрим, можно ли сделать больше упрощений.

= cos⁡x + 11 + cos⁡xsin⁡x = \ frac {\ cos x + 1} {\ frac {1+ \ cos x} {\ sin x}} = sinx1 + cosx cosx + 1

= (cos⁡x + 1) sin⁡x1 + cos⁡x = (\ cos x +1) \ frac {\ sin x} {1+ \ cos x} = (cosx + 1) 1 + cosxsinx

= sin⁡x = \ sin x = sinx

И снова мы успешно упростили это выражение! На этом изображении ниже представлено визуальное описание всего, что мы сделали для решения этой проблемы:

Частное и обратное тождества, пример 2, решение

Подтверждение личности:

Последние типы вопросов, которые могут вам задать, касающиеся частных и взаимных идентичностей, могут быть «доказательными».В этих задачах вас обычно просят «доказать», что одна сторона уравнения равна другой стороне уравнения, и для этого вам нужно будет упростить выражения, используя частные и обратные тождества. Давайте рассмотрим пример, чтобы понять, что мы подразумеваем под «подтверждением личности»:

Пример:

Докажите, что следующее выражение верно:

sin⁡A + tan⁡A1 + cos⁡A = 11 + cot⁡A \ frac {\ sin A + \ tan A} {1 + \ cos A} = \ frac {1} {1 + \ cot A} 1 + cosAsinA + tanA = 1 + cotA1

Шаг 1. Использование частных и / или взаимных идентичностей для упрощения левой стороны

Как и в предыдущих примерах, используйте силу частного и взаимного тождества, чтобы максимально упростить левую часть.

sin⁡A + tan⁡A1 + cos⁡A \ frac {\ sin A + \ tan A} {1 + \ cos A} 1 + cosAsinA + tanA

= sin⁡A + sin⁡Acos⁡A1 + cos⁡A = \ frac {\ sin A + \ frac {\ sin A} {\ cos A}} {1+ \ cos A} = 1 + cosAsinA + cosAsinA

= (sin⁡A + sin⁡Acos⁡A) (1 + cos⁡A) ⋅cos⁡Acos⁡A = \ frac {(\ sin A + \ frac {\ sin A} {\ cos A})} { (1 + \ cos A)} \ cdot \ frac {\ cos A} {\ cos A} = (1 + cosA) (sinA + cosAsinA) ⋅cosAcosA

= sin⁡Acos⁡A + sin⁡A (1 + cos⁡A) cos⁡A = \ frac {\ sin A \ cos A + \ sin A} {(1+ \ cos A) \ cos A} = ( 1 + cosA) cosAsinAcosA + sinA

= sin⁡A (cos⁡A + 1) (1 + cos⁡A) cos⁡A = \ frac {\ sin A (\ cos A +1)} {(1 + \ cos A) \ cos A} = (1 + cosA) cosAsinA (cosA + 1)

= sin⁡Acos⁡A = \ frac {\ sin A} {\ cos A} = cosAsinA

Шаг 2. Использование идентификаторов для упрощения правой стороны для соответствия упрощенной левой стороне

Теперь, когда мы упростили левую часть до более простого выражения, давайте попробуем воспроизвести это выражение в правой части.Если мы добьемся успеха, мы успешно решим эту проблему и предоставим доказательства.

1cot⁡A \ frac {1} {\ cot A} cotA1

= 1 (cos⁡Asin⁡A) = \ frac {1} {(\ frac {\ cos A} {\ sin A})} = (sinAcosA) 1

= 1⋅sin⁡Acos⁡A = 1 \ cdot \ frac {\ sin A} {\ cos A} = 1⋅cosAsinA

= sin⁡Acos⁡A = \ frac {\ sin A} {\ cos A} = cosAsinA

Так как правая и левая части равны одному и тому же выражению, мы успешно решили эту задачу! Это изображение суммирует то, что мы только что достигли:

Частное и взаимное тождества, пример 3, решение

И это все, что касается частных и взаимных идентичностей! Всегда удобно иметь под рукой полный список тригонометрических идентичностей в том месте, где вы учитесь.Мы подготовили для вас:

Таблица тригономерности идентичностей Вы можете получить эту отличную шпаргалку по идентификаторам триггеров здесь. В следующих разделах вы узнаете, как решать тригонометрические уравнения, используя тождества сумм и разностей. Наконец, если вы ищете, как определить недопустимое значение для триггерных выражений со всеми этими идентификаторами. Геометрия

: косинусное отношение

Косинусное отношение

История до сих пор: учитывая один из острых углов в прямоугольном треугольнике, вы изучили два отношения, включающие длины сторон треугольника.Отношение касательных включает длину стороны, противоположной углу, деленную на длину стороны, прилегающей к углу. Отношение синусов включает длину стороны, противоположной углу, деленную на длину гипотенузы треугольника. Вы играли фаворитами с противоположной стороны угла за счет соседней стороны. Чтобы выровнять ситуацию, позвольте мне представить новое соотношение — косинусное отношение. Косинус угла — это отношение длины стороны, примыкающей к углу, к длине гипотенузы треугольника.Косинус? A будет обозначен как cos? A.

Вы можете играть в те же игры, в которые вы играли, с тангенциальными и синусоидальными соотношениями.

  • Пример 4 : Если прямоугольный треугольник имеет угол с коэффициентом касания 9 / 14 , найдите коэффициент синуса и коэффициент косинуса угла.
  • Решение : поскольку изображение стоит тысячи слов при решении этих проблем, я обрисовал эту ситуацию на рисунке 20.7. Поскольку вам нужно знать отношения синуса и косинуса угла, вам нужно будет вычислить длину гипотенузы треугольника. Вы можете извлечь теорему Пифагора и позаботиться об этом прямо сейчас:
  • a 2 + b 2 = c 2
  • 9 2 + 14 2 = c 2
  • c 2 = 277
  • Теперь, когда вы знаете длину всех трех сторон, найти отношения синуса и косинуса можно с помощью определения sin? A = 9 /? 277 и cos? A = 14 / ? 277 .
Solid Facts

В прямоугольном треугольнике косинус угла представляет собой отношение длины стороны, примыкающей к углу, к длине гипотенузы треугольника.

Рисунок 20.7 Прямоугольный треугольник с коэффициентом касательной 9 / 14 .

На этом этапе у вас может возникнуть соблазн рационализировать знаменатель и записать свои ответы как

  • sin? A = 9? 277 / 277 и cos? A = 14? 277 / 277 .

Если так, то я был бы впечатлен вашей готовностью сделать еще один шаг вперед, бесстрашно углубившись в бурные алгебраические воды, чтобы написать свой ответ в форме, которую, я уверен, ваш учитель алгебры подчеркнул, когда вы впервые узнали об этом. радикалы.

Конечно, возможно, что мысль о рационализации знаменателя (так официально называется процесс) даже не приходила вам в голову. Это тоже нормально. Это не книга по алгебре, и есть преимущества в том, чтобы оставлять вещи в такой технически неподходящей форме.(Хотя, когда я ношу свою алгебраическую шляпу, вы никогда не услышите? Или прочтете? Я скажу? Или напишу? Что оставлять вещи неправильно — это нормально.) косинусные отношения меньше 1. Это быстрая и простая проверка, чтобы увидеть, имеют ли ваши ответы смысл. Отношения синуса и косинуса могут быть равны 1 в особых случаях, но отношения никогда не будут больше 1. Помните, что отношение тангенса не имеет такого ограничения. Вы уже видели, что тангенциальное отношение может быть больше, меньше или равно 1.

Вы можете выполнять эти расчеты в самых разных направлениях. Если вам дано отношение синуса, косинуса или тангенса угла, вы можете найти два других отношения после использования теоремы Пифагора.

Запутанный узел

Отношения синуса и косинуса угла не могут быть больше 1. На отношение тангенса такого ограничения нет.

Выдержка из The Complete Idiot’s Guide to Geometry 2004 Дениз Сечей, доктор философии. Все права защищены, включая право на полное или частичное воспроизведение в любой форме.Используется по договоренности с Alpha Books , членом Penguin Group (USA) Inc.

Чтобы заказать эту книгу непосредственно у издателя, посетите веб-сайт Penguin USA или позвоните по телефону 1-800-253-6476. Вы также можете приобрести эту книгу на Amazon.com и Barnes & Noble.

Синус-косинус-касательная

Чтобы лучше понять некоторые проблемы, связанные с самолетами и двигательная установка необходимо использовать некоторые математические идеи из тригонометрия, изучение треугольников.Начнем с некоторых определений и терминологии. который мы будем использовать на этом слайде. Прямоугольный треугольник — это трехсторонняя фигура с одним углом, равным 90 градусам. Угол 90 градусов называется прямым углом , что дало название прямоугольному треугольнику. Выбираем один из двух оставшихся углов и маркируем его c а третий угол обозначаем d . Сумма углов любого треугольника равна 180 градусам. Если мы знаем значение c , тогда мы знаем, что значение d :

90 + с + г = 180

г = 180 — 90 — в

d = 90 — c

Определим сторону треугольника противоположную от прямого угла к гипотенуза .Это самая длинная из трех сторон. прямоугольного треугольника. Слово «гипотенуза» происходит от двух греческих слов. означает «растягивать», так как это самая длинная сторона. Обозначим гипотенузу символом h . Есть сторона, противоположная углу c , которую мы обозначаем как o . для «противоположного». Оставшуюся сторону мы маркируем как для «смежных». Угол c образован пересечением гипотенузы h и соседняя сторона а .

Нас интересует соотношение сторон и углов прямоугольный треугольник. Начнем с некоторых определений. Мы будем называть соотношение стороны прямоугольного треугольника, противоположной гипотенузе синус и присвоить ему символ sin .

грех = о / ч

Отношение смежной стороны прямоугольного треугольника к гипотенузе называется косинус и обозначен символом cos .

cos = а / ч

Наконец, отношение противоположной стороны к соседней стороне называется касательная и обозначена символом tan .

загар = о / а

Мы утверждаем, что значение каждого коэффициента зависит только от значения угол c , образованный смежной и гипотенузой. Чтобы продемонстрировать этот факт, давайте изучим три фигуры в середине страницы.В этом примере у нас есть 8-футовая лестница, которую мы собираемся прислонить к стене. Стена 8 футов высотой, и мы нарисовали белые линии на стене и синие линии вдоль земли с интервалом в один фут. Длина лестницы фиксированная. Если наклонить лестницу так, чтобы ее основание находилось на расстоянии 2 фута от стены, лестница образует угол около 75,5 градусов с землей. Лестница, земля и стена образуют прямоугольный треугольник. Соотношение расстояния от стены (а — прилегающая) к длине лестницы (h — гипотенуза) составляет 2/8 =.25. Это определено как косинус c = 75,5 градусов. (На другая страница покажем, что если бы лестница была вдвое длиннее (16 футов), и наклонена под тем же углом (75,5 градуса), чтобы он сидел вдвое больше далеко (4 фута) от стены. 2 = 64 — 4 = 60

о = 7.745

Отношение противоположности к гипотенузе равно 0,967 и определяется как синус угла c = 75,5 градусов.

Теперь предположим, что мы наклоняем 8-футовую лестницу так, чтобы ее основание находилось на 4 футах от стены. Как показано на рисунке, теперь лестница наклонена под меньшим углом, чем в первый пример. Угол составляет 60 градусов, а соотношение прилегающих к гипотенуза теперь 4/8 = 0,5. Уменьшение угла c увеличивает косинус угла, потому что гипотенуза фиксирована а соседний увеличивается с уменьшением угла.Если мы наклоним 8 футов лестнице так, чтобы ее основание находилось на расстоянии 6 футов от стены, угол уменьшается до около 41,4 градуса, и соотношение увеличивается до 6/8, что составляет 0,75. Как видите, для каждого угла на земле есть уникальная точка, которой соприкасается 8-футовая лестница, И это одна и та же точка каждый раз, когда мы устанавливаем лестницу под этим углом. Математики называют эту ситуацию функция. Соотношение соседних сторона гипотенузы является функцией угла c , поэтому мы можем записать символ как cos (c) = значение .

Также обратите внимание, что по мере увеличения cos (c) уменьшается sin (c) . Если мы наклоним лестницу так, чтобы основание находилось на расстоянии 6,938 фута от стены, угол c становится 30 градусов, а отношение соседних к гипотенуза 0,866. Сравнивая этот результат со вторым примером, мы обнаруживаем, что:

cos (c = 60 градусов) = sin (c = 30 градусов)

sin (c = 60 градусов) = cos (c = 30 градусов)

Мы можем обобщить это соотношение:

sin (c) = cos (90 — c)

90 — c — величина угла d .Вот почему мы назовем соотношение смежного и гипотенузы «косинусом» угла.

sin (c) = cos (d)

Поскольку синус, косинус и тангенс являются функциями угла c , мы можем определить (измерить) коэффициенты один раз и составить таблицы значений синус, косинус и тангенс для различных значений c . Позже, если мы узнаем значение угла в прямоугольном треугольнике, таблицы покажут нам соотношение сторон треугольника.Если нам известна длина одной стороны, мы можем найти длину другой. стороны. Или, если мы знаем соотношение любых двух сторон прямоугольного треугольника, мы можем найти значение угла между сторонами. Мы можем использовать таблицы для решения проблем. Некоторые примеры проблем, связанных с треугольниками и углами, включают силы на самолете в полете, приложение крутящих моментов, и разрешение составные части вектора.

Вот таблицы синуса, косинуса и тангенса, которые вы можете использовать для решения проблемы.


Действия:

Экскурсии с гидом

Навигация ..


Руководство для начинающих Домашняя страница

Правило синуса тригонометрии — Xcelerate Math


Есть 3 правила тригонометрии:

  • Sin θ = O / H
  • Cos θ = A / H
  • Tan θ = O / A (при отсутствии гипотенузы)


Пример первый — правило синуса для поиска противоположной стороны

Горный склон имеет длину уклона 12 метров и угол наклона 50 ° , который образует склон с ровной поверхностью.Какова вертикальная высота склона?

Ответ:
sin θ = O / H

(Всегда нарисуйте схему и запишите правило. Затем замените цифры и буквы, относящиеся к этому вопросу. См. Следующую строку работы.)

грех 50 = х / 12
(Если x находится в верхней части дроби, умножьте обеих сторон уравнения на число в нижней части, равное 12.)

грех 50 × 12 = х
(Теперь введите на калькуляторе sin 50 × 12.Может потребоваться закрыть скобу после 50)

х = 9,19

Высота трассы по вертикали 9,19 метра .

Вопрос — В поисках противоположной стороны

Другая гора имеет длину уклона 32 метра и угол наклона 40 ° , который образует склон с ровной поверхностью. Какова вертикальная высота склона? (Нарисуйте схему.)

Ответ
20,57 метра

Пример второй — правило синуса для нахождения гипотенузы

Канатная дорога на горнолыжном курорте поднимает лыжников на вершину горы.Он поддерживается стальным тросом. Высота горы по вертикали составляет 3000 метров , а угол, под которым кабель образует с землей, составляет 40 ° . Что такое наклонная длина кабеля?

Ответ:

грех θ = O / H
(Нарисуйте диаграмму и напишите правило. Затем замените цифры и буквы, относящиеся к этому вопросу. См. Следующую строку работы.)

грех 40 = 3000 / х
(Если x находится на нижней части дроби, умножьте обе стороны на x и разделите обе стороны на sin 40.Фактически, вы поменяете местами грех и сторону. См. Следующую рабочую строку.)

х = 3000 / грех 40
(Введите на калькуляторе 3000 / sin 40. Возможно, вам придется закрыть скобку после 40.)

x = 4667,17 метров

Длина кабеля с уклоном должна составлять 4667,17 метра .

Вопрос — Нахождение гипотенузы

Другой снежный склон имеет высоту по вертикали 1800 метров и угол наклона кабеля 30 ° .Что такое наклонная длина кабеля? (Нарисуйте схему.)

Ответ
3600 метров

Пример 3 — правило синуса для поиска угла

Для трюка на мотоцикле каскадер Дикий Рам Бо должен проехать на высокой скорости по рампе с вертикальной высотой 20 метров и уклонной длиной 30 метров . Какой угол относительно земли ?

Ответ:

грех θ = O / H
(Нарисуйте схему и напишите правило.Затем замените цифры и буквы, относящиеся к этому вопросу. См. Следующую рабочую строку.)

грех θ = 20/30

θ = грех -1 (20/30)
(Введите на калькуляторе Shift Sin (20/30). Используйте скобки для дробной части.)

θ = 41,81 °

Угол каскадной рампы 41,81 ° .

Вопрос — Определение угла

Что касается плохих новостей, трюк не сработал. Хорошая новость в том, что Рам выздоравливает в больнице.Заменяющий всадник, Уайлдер Спин, построен новый пандус вертикальной высотой 25 метров и такой же наклонной длиной 30 метров. Какой угол относительно земли ? (Нарисуйте схему.)

Ответ
56,44 °

Знаете ли вы, что …?

Робби Мэддисон из команды каскадеров на мотоциклах Crusty Demons перепрыгнул лондонский Тауэрский мост сальто назад. Открытый подъемный мост был пандусом.

Основные тождества

Если уравнение содержит одну или несколько переменных и действительно для всех замещающих значений переменных, для которых определены обе стороны уравнения, тогда уравнение называется тождеством .Уравнение x 2 + 2 x = x ( x + 2), например, является тождеством, поскольку оно действительно для всех значений замены x .

Если уравнение действительно только для определенных замещающих значений переменной, оно называется условным уравнением . Уравнение 3 x + 4 = 25, например, является условным уравнением, потому что оно не применимо для всех значений замены x .Уравнение, которое называется тождеством без указания каких-либо ограничений, в действительности является тождеством только для тех значений замены, для которых определены обе стороны тождества. Например, удостоверение личности

действительно только для тех значений α, для которых определены обе части уравнения.

Основные (базовые) тригонометрические тождества можно разделить на несколько групп. Во-первых, это взаимных идентификаторов . К ним относятся

Далее идут частные тождества.К ним относятся

Затем есть идентификаторов совместных функций . К ним относятся

Далее идут идентификаторы для негативов . К ним относятся

Наконец, есть пифагорейских тождеств . К ним относятся

Вторая идентичность получается делением первой на cos 2 α, а третья идентичность получается делением первой на sin 2 α.Процесс подтверждения действительности одной личности на основе ранее известных фактов называется , подтверждение личности . Справедливость вышеупомянутых тождеств следует непосредственно из определений основных тригонометрических функций и может использоваться для проверки других тождеств.

Не существует стандартного метода для определения идентичностей, но есть некоторые общие правила или стратегии, которым можно следовать, чтобы направлять процесс:

  1. Попытайтесь упростить более сложную сторону идентичности до тех пор, пока она не станет идентичной второй стороне идентичности.
  2. Попытайтесь преобразовать обе стороны идентичности в идентичное третье выражение.
  3. Попытайтесь выразить обе стороны тождества только с помощью синусов и косинусов; затем попробуйте сделать обе стороны одинаковыми.
  4. Постарайтесь максимально использовать пифагорейские тождества.
  5. Попробуйте использовать факторизацию и объединение терминов, умножение одной стороны тождества на выражение, равное 1, возведение в квадрат обеих сторон тождества и другие алгебраические методы для управления уравнениями.

Пример 1: Используйте основные тригонометрические тождества, чтобы определить другие пять значений тригонометрического

.

функций при условии, что


Пример 2: Проверить тождество cos α + sin α tan α = sec α.

Пример 3: Подтвердите личность

Пример 4: Подтвердите личность

Тригонометрия — что такое синус, косинус и тангенс?

Знаете ли вы, что два угла, находящиеся внутри одного прямоугольного треугольника, сказали друг другу? Первый угол звучит так: «Привет, Тельма (или это Тета?), Я не хочу идти по касательной, но каков твой синус?» На что второй угол отвечает: «Фил (или это Фи?), Я не знаю, зачем ты вообще спрашиваешь, мой синус, очевидно, такой же, как твой косинус!»

Хорошо, может быть, это не лучшая шутка в мире, но как только вы поймете синусы и косинусы, это будет немного забавно.Конечно, это означает, что если вы, , не знаете, разницы между синусом и косинусом, вы в настоящее время оставлены в метафорическом холоде.

Ясно, что мы не можем допустить этого — и не будем! Потому что сегодня мы узнаем все о синусах, косинусах и касательных.

Резюме: тригонометрия и треугольники

Когда мы говорили о мире тригонометрии, мы узнали, что часть математики, называемая тригонометрией, имеет дело с треугольниками.И, в частности, это часть математики, которая занимается выяснением отношений между тремя сторонами и тремя углами, составляющими каждый треугольник.

Особый интерес для нас представляет особый тип треугольников, известный как прямоугольные треугольники. Каждый прямоугольный треугольник имеет один угол в 90 градусов (например, угол квадрата или прямоугольника) и два угла, каждый из которых находится в диапазоне от 0 до 90 градусов (при этом, как мы поговорим в будущем, сумма всех трех углов составляет 180 градусов).

Для нашего обсуждения синуса, косинуса и тангенса (которые, не волнуйтесь, не так сложны, как кажется), важно, чтобы у нас был способ обозначать стороны прямоугольных треугольников.

Как мы узнали в прошлый раз, самая длинная сторона треугольника известна как его «гипотенуза». Сторона, противоположная углу, на который мы смотрим, известна как «противоположная» сторона (логически). А сторона, прилегающая к углу, на который мы смотрим (тот, который не является гипотенузой), называется «прилегающей» стороной.

Синус, косинус и тангенс

Теперь, когда все эти предварительные сведения с радостью всплывают в нашем растущем пуле математических знаний, мы, наконец, готовы заняться значениями синуса, косинуса и тангенса. Вот ключевая идея:

Соотношения сторон прямоугольного треугольника полностью определяются его углами.

Соотношения сторон прямоугольного треугольника полностью определяются его углами.

Другими словами, значение, которое вы получаете, когда делите длины любых двух сторон прямоугольного треугольника — скажем, длину стороны, противоположной одному из его углов, деленную на его гипотенузу, — полностью высечено в камне, как только углы высечены в камне.

Почему? Что ж, если углы фиксированные, увеличение или уменьшение треугольника не влияет на относительную длину его сторон. Но даже незначительное изменение углов треугольника дает! Если вам нужно что-то убедительное, попробуйте нарисовать несколько собственных треугольников, и вы убедитесь, что это действительно правда.

Итак, тот факт, что у треугольника три стороны, означает, что существуют также три возможных отношения длин сторон треугольника. И, как вы уже могли догадаться, эти три соотношения — не что иное, как известные тригонометрические функции синуса, косинуса и тангенса.

Что такое SOH-CAH-TOA?

Синус одного из углов прямоугольного треугольника (часто сокращенно «грех») — это отношение длины стороны треугольника, противоположной углу, к длине гипотенузы треугольника. Косинус (часто сокращенно «cos») — это отношение длины стороны, прилегающей к углу, к длине гипотенузы. А касательная (часто сокращенно «загар») — это отношение длины стороны, противоположной углу, к длине смежной стороны.

Так как это немного сложно запомнить, добрые люди на протяжении веков придумали удобную мнемонику, которая поможет вам (и бесчисленным поколениям детей в школе) выйти из школы. Все, что вам нужно запомнить, это СОХ-КАХ-ТОА. Другими словами:

  • SOH → sin = «противоположный» / «гипотенуза»
  • CAH → cos = «смежная» / «гипотенуза»
  • TOA → tan = «напротив» / «рядом»

Реальная тригонометрия

Вам может быть интересно, как тригонометрия применима в реальной жизни.Как вы будете использовать синус, косинус и тангенс вне класса и почему это актуально?

Есть несколько карьерных путей, которые приводят к постоянному использованию этих уравнений. Например, предположим, что вы звукорежиссер, работающий над продюсированием нового альбома популярного исполнителя. Вы знаете, что звук распространяется волнами, и инженеры могут управлять этими волнами (измеряя и применяя тригонометрию) для создания различных звуков, генерируемых компьютером.

Что делать, если вы архитектор, которому нужно знать высоту существующего здания в районе, который вам назначен? Вы можете использовать расстояние, на котором вы находитесь от здания, и угол возвышения, чтобы определить высоту.Вы даже можете использовать триггер, чтобы определить, под каким углом солнце будет попадать в здание или комнату.

Строители также используют синус, косинус и тангенс. Им необходимо измерить размеры участков, углы кровли, высоту стен и ширину пола и многое другое.

Следователи на месте преступления используют тригонометрию для определения угла траектории пули, причины аварии или направления упавшего объекта.

А как насчет места преступления? Следователи могут использовать тригонометрию, чтобы определить углы траектории пули, причину аварии или направление упавшего объекта.

НАСА использует синус, косинус и тангенс. Физики и астронавты часто используют роботизированные манипуляторы для выполнения заданий в космосе и используют тригонометрию, чтобы определить, куда и как переместить руку для выполнения своей задачи.

Думаете об изучении морской биологии? В этой карьере синус, косинус и тангенс иногда используются для определения размера крупных морских существ на расстоянии, а также для расчета уровней освещенности на определенных глубинах, чтобы увидеть, как они влияют на фотосинтез.

Десятки профессий используют тригонометрию в повседневных задачах.Итак, вы можете перестать говорить такие вещи, как «Я никогда не буду использовать тригонометрию в реальном мире ».

Что дальше?

Хотя все эти разговоры об углах и сторонах прямоугольных треугольников и их соответствии друг другу благодаря красоте и великолепию тригонометрии действительно прекрасны, это может оставить вас в недоумении по поводу «Почему?». «Какие?» и когда?» всего этого. Под этим я подразумеваю:

  • Почему это полезно в реальном мире?
  • Для чего нужны кнопки sin, cos и tan на моем калькуляторе? (А как они работают?)
  • Когда я действительно смогу вычислить синус или косинус чего-нибудь?

Это, очевидно, очень важные (и очень разумные) вопросы.И это тоже очень важные вопросы, на которые нужно ответить. Именно за эту задачу мы и возьмемся в следующий раз.

Искусство решения проблем

В тригонометрии тригонометрические тождества — это уравнения, включающие тригонометрические функции, которые верны для всех входных значений. Тригонометрические функции имеют множество тождеств, из которых в эту статью включены только наиболее широко используемые.

Пифагорейские тождества

Пифагорейские тождества утверждают, что

Используя определение единичной окружности в тригонометрии, поскольку точка определена как находящаяся на единичной окружности, это расстояние, равное единице от начала координат.Тогда по формуле расстояния. Чтобы получить два других тождества Пифагора, разделите на или и подставьте соответствующую тригонометрию вместо соотношений, чтобы получить желаемый результат.

Идентификаторы сложения углов

Тригонометрические тождества сложения углов устанавливают следующие тождества:

Есть много доказательств этих личностей. Для краткости мы перечислим здесь только один.

личность Эйлера утверждает, что. У нас есть это Рассматривая действительную и мнимую части, мы выводим формулы сложения синуса и косинуса угла.

Чтобы вывести формулу сложения касательных, мы сокращаем задачу до использования синуса и косинуса, делим числитель и знаменатель на и упрощаем. по желанию.

Идентификаторы двойные

Тригонометрические тождества с двойным углом легко выводятся из формул сложения углов, просто позволяя. Это дает:

Тождество с двойным углом косинуса

Вот две одинаково полезные формы тождества двойного угла косинуса. Оба получены через тождество Пифагора на тождестве с двойным углом косинуса, приведенном выше.

Кроме того, следующие тождества полезны при интегрировании и выводе тождеств половинного угла. Они представляют собой простую перестановку двух вышеупомянутых.

Идентификаторы полуугловые

Тригонометрические тождества полууглов устанавливают следующие равенства:

Плюс или минус не означает, что есть два ответа, но что знак выражения зависит от квадранта, в котором находится угол.

Рассмотрим два выражения, перечисленные в разделе двойного угла косинуса для и, и замените вместо. Затем извлечение квадратного корня дает желаемые тождества половинного угла для синуса и косинуса. Что касается тождества касательной, разделите тождества синуса и косинуса половинного угла.

Идентификаторы продукта к сумме

Идентификаторы произведения на сумму следующие:

Их можно получить, развернув и или и, а затем комбинируя их, чтобы изолировать каждый член.

Идентификаторы суммы к продукту

Подстановка и в тождества продукт-сумма дает тождества суммы-продукта.

Прочие идентификационные данные

Вот несколько идентификаторов, которые менее важны, чем приведенные выше, но все же полезны.

Четно-нечетные тождества

Функции, и нечетные, а, и четные. Другими словами, шесть тригонометрических функций удовлетворяют следующим равенствам:

Они получены из определений единичной окружности в тригонометрии.Сделать любой угол отрицательным — это то же самое, что отразить его поперек оси x. При этом координата x остается неизменной, но координата y становится отрицательной. Таким образом, и.

Идентификаторы конверсии

Следующие тождества полезны при преобразовании тригонометрических функций.

Все это можно проверить с помощью идентификаторов с добавлением углов.

Тождество Эйлера

Идентичность Эйлера — это формула комплексного анализа, которая связывает комплексное возведение в степень с тригонометрией.В нем говорится, что для любого действительного числа, где — постоянная Эйлера, а — мнимая единица. Тождество Эйлера имеет фундаментальное значение для изучения комплексных чисел и широко считается одной из самых красивых формул в математике.

Аналогично получению тождеств произведения на сумму, мы можем выделить синус и косинус путем сравнения и, что дает следующие тождества:

Их также можно получить, вычислив и.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.