Когда можно делить на косинус: Однородные уравнения и неравенства

x = n, nZ; tg x = — 2; x = — arctg2 + k, kZ

cos² x + 2sin x cos x = 0.

I способ (решаем как однородное уравнение II степени):

cos² x + 2sin x cos x = 0 | : sin² x (“дели на то, чего мало”)

если sin x = 0, то cos² x + 2·0·cos x = 0 U сos x = 0,что невозможно

сtg² x + 2сtg x = 0

сtg x (сtg x + 2) = 0

сtg x = 0 или сtg x + 2 = 0

х = + n, nZ; x = — arcctg 2 + k, kZ.

Ответ: х = + n, nZ; x = - arcctg 2 + k, kZ

II способ для проверки (решаем разложением на множители):

cos x (cos x + 2sin x ) = 0

cos x = 0 или cos x + 2sin x = 0 | : cos x

х = + n, nZ; 1 + 2tg x = 0 ; tg x = — ;

x = — arctg + k, kZ

V. Самостоятельная работа

Решите уравнения:

Ответы: во всех случаях полагается n, kI Z

VI. Домашнее задание (Колмогоров А.Н. и др., “Алгебра и начала анализа”)

п.11, № 171(в), 169(а, б), 170(а), 172(а, в), стр.285 № 154(в, г)

VII. Рефлексия (ответы на вопросы ученики пишут на листочках и сдают их учителю)

1) Прочитайте цели урока ещё раз.

2) Запишите тему урока.

3) Чему научились на уроке:

а)
б)
в)

Учитель благодарит учеников за работу.

Решение однородных тригонометрических уравнений

В этой статье мы рассмотрим способ решения однородных тригонометрических уравнений.

Однородные тригонометрические уравнения имеют ту же структуру, что и однородные уравнения любого другого вида. Напомню способ решения однородных уравнений второй степени:

Рассмотрим однородные  уравнения вида

Отличительные признаки однородных уравнений:

а) все одночлены имеют одинаковую степень,

б) свободный член равен нулю,

в) в уравнении присутствуют степени с двумя различными основаниями.

Однородные уравнения решаются по сходному алгоритму.

Чтобы решить уравнение такого типа, разделим обе части уравнения на  (можно разделить на  или на )

Внимание! При делении правой и левой части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять корни. Поэтому необходимо проверить, не являются ли корни того выражения, на которое мы делим обе части уравнения, корнями исходного уравнения.

Если является, то мы выписываем этот корень, чтобы потом про него не забыть, а затем делим на это выражение.

Вообще, первым делом, при решении любого уравнения, в правой части которого стоит ноль, нужно попытаться разложить левую часть уравнения на множители любым доступным способом. А затем каждый множитель приравнять к нулю. В этом случае мы точно не потеряем корни.

Итак, осторожно разделим  левую часть уравнения на выражение  почленно. Получим:

Сократим числитель и знаменатель второй и третьей дроби:

Введем замену:

,

Получим квадратное уравнение:

Решим квадратное уравнение, найдем значения ,  а затем вернемся к исходному неизвестному.

При решении  однородных тригонометрических уравнений, нужно помнить несколько важных вещей:

1. Свободный член можно преобразовать к квадрату синуса и косинуса с помощью основного тригонометрического тождества:

2. Синус и косинус двойного аргумента являются одночленами второй степени —  синус двойного аргумента легко преобразовать к произведению синуса и косинуса, а косинус двойного аргумента — к квадрату синуса или косинуса:

Рассмотрим несколько примеров решения однородных тригонометрических уравнений.

1. Решим уравнение:

Это классический пример однородного тригонометрического уравнения первой степени: степень каждого одночлена равна единице, свободный член равен нулю.

Прежде чем делить  обе части уравнения на , необходимо проверить, что корни уравнения  не являются корнями исходного уравнения. Проверяем: если , то , следовательно их сумма не равна нулю.

Разделим обе части уравнения на .

Получим: 

, где 

, где 

Ответ: , где 

2. Решим уравнение:

Это пример однородного тригонометрического уравнения второй степени. Мы помним, что если мы можем разложить левую часть уравнения на множители, то желательно это сделать. В этом уравнении мы можем вынести за скобки . Сделаем это:

Приравняем каждый множитель к нулю:

Решение первого уравнения: , где 

Второе уравнение — однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Чтобы его решить, разделим обе части уравнения на . Получим:

, где 

Ответ:  , где ,

, где 

3. Решим уравнение:

Чтобы это уравнение «стало» однородным, преобразуем  в произведение, и представим число 3 в виде суммы квадратов синуса и косинуса:

Перенесем все слагаемые влево, раскроем скобки и приведем подобные члены. Получим:

Разложим левую часть на множители и приравняем каждый множитель к нулю:

Отсюда:

, где ,

, где 

Ответ: , где ,

, где 

4.3 6 Risolvere per ? cos(x)=1/2 7 Risolvere per x sin(x)=-1/2 8 Преобразовать из градусов в радианы 225 9 Risolvere per ? cos(x)=( квадратный корень 2)/2 10 Risolvere per x cos(x)=( квадратный корень 3)/2 11 Risolvere per x sin(x)=( квадратный корень 3)/2 12 График g(x)=3/4* корень пятой степени x 13 Найти центр и радиус x^2+y^2=9 14 Преобразовать из градусов в радианы 120 град.2+n-72)=1/(n+9)

Таблица производных тригонометрических функций

cos x корень из 3 делить на 2

Вы искали cos x корень из 3 делить на 2? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и cosx корень из 3 делить на 2, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «cos x корень из 3 делить на 2».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как cos x корень из 3 делить на 2,cosx корень из 3 делить на 2. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и cos x корень из 3 делить на 2. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, cos x корень из 3 делить на 2).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же cos x корень из 3 делить на 2 Онлайн?

Решить задачу cos x корень из 3 делить на 2 вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Формулы понижения степени в тригонометрии

Тригонометрические формулы обладают рядом свойств, одно из которых это применение формул понижения степени. Они способствуют упрощению выражений при помощи уменьшения степени.

Формулы понижения работают по принципу выражения степени синуса и косинуса через синус и косинус первой степени, но кратного угла. При упрощении формула становится удобной для вычислений, причем повышается кратность угла от α до nα.

Формулы понижения степени, их доказательство

Ниже приводится таблица формул понижения степени со 2 по 4 для sin и cos угла. После ознакомления с ними зададим общую формулу для всех степеней.

sin2α=1-cos 2α2cos2α=1+cos 2α2sin3=3·sin α-sin 3α4sin4=3-4·cos 2α+cos 4α8cos4 α=3+4·cos 2α+cos 4α8

Данные формулы предназначены для понижения степени.

Существует формулы двойного угла у косинуса и синуса, из которых и следуют формулы понижения степени cos2α=1-2·sin2α и cos2α=2·cos2α-1. Равенства разрешаются относительно квадрата синуса и косинуса, которые предоставляются как sin2α=1-cos2α2 и cos2α=1+cos2α2.

Формулы понижения степеней тригонометрических функций перекликаются с формулами синуса и косинуса половинного угла.

Имеет место применение формулы тройного угла  sin3α=3·sinα-4·sin3αи cos3α=-3·cosα+4·cos3α.

Если решать равенство относительно синуса и косинуса в кубе, получим формулы понижения степеней для синуса и косинуса:

sin3α=3-4·cos2α+cos4α8 и cos3α=3·cosα+cos3α4.

Формулы четвертой степени тригонометрических функций выглядят так: sin4α=3-4·cos2α+cos4α8 и cos4α=3+4·cos2α+cos4α8.

Чтобы понизить степени эти выражений, можно действовать в 2 этапа, то есть дважды понижать, тогда это выглядит таким образом:

sin4α =(sin2α)2=(1-cos2α2)2=1-2·cos2α+cos22α4==1-2·cos2α+1+cos4α24=3-4·cos2α+cos4α8;cos4α=(cos2α)2=(1+cos2α2)2=1+2·cos2α+cos22α4===1+2·cos2α+1+cos4α24=3+4·cos2α+cos4α8

Методом подстановки мы упростили сложное выражение. Для того, чтобы записать общий вид формул понижения степени разделим их на с наличием четных и нечетных показателей. Четные показатели, где n=2, 4, 6…, выражение имеет вид sinnα=Cn2n2n+12n-1·∑(-1)n2-kk=0n2-1·Ckn·cos((n-2·k)α) и cosnα=Cn2n2n+12n-1∑(-1)n2-kk=0n2-1·Ckn·cos((n-2·k)α).

Нечетные показатели, где n=3, 5, 7…, выражение имеет вид

sinnα=12n-1·∑(-1)n-12-kk=0n-12·Ckn·cos((n-2·k)α) и cosnα=12n-1∑(-1)n-12-kk=0n-12·Ckn·cos((n-2·k)α).

Cpq=p!q!·(p-q)! — это число сочетаний из p элементов по q.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Формулы понижения степени общего вида используются на любого выражения с высокой степенью для его упрощения. Рассмотрим пример для понижения кубического синуса. Третья степень нечетная, значит воспользуемся формулой sinnα=12n-1·∑(-1)n-22-kk=0n-12-k·Ckn·sin((n-2·k)α) где значение n присвоим 3. Подставляя n=3 в выражение, получим

sin3α=123-1·∑(-1)3-12-kk=03-12-k·Ck3·sin((3-2·k)α)==14·∑(-1)1-kk=01·Ck3·sin((3-2·k)α)==14·((-1)1-0·C03·sin((3-2·0)α) +(1)1-1·C13·sin((3-2·1)α))==14·((-1)1·3!0!·3!·sin3α+(-1)0·3!1!·(3-1)!·sinα)==14·(-sin3α+3·sinα)=3·sinα-sin3α4

Примеры применения формул понижения степени

Чтобы закрепить материал, необходимо детально разобрать его на примерах с использованием формулы понижения степени. Таким образом будет понятен принцип решения, подстановка и весь алгоритм.

Справедлива ли формула вида cos4α=3+4·cos2α+cos4α8 при α=α6.

Решение

 Для того, чтобы данная формула прошла проверку на возможность понижения степени с заданным значением угла α, необходимо посчитать левую и правую стороны. По условию имеем, что α=π6, тогда 2α=π3, следовательно 4α=2π3.

По таблице тригонометрических функций имеем, что cosα=cosπ6=32, тогда cos2α=cosπ3=12.

Для подробного уяснения необходимо проштудировать статью значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Подставляя в формулу, получим cos4α=(cosπ6)4=(32)4=916 и 3+4cos2α+cos4α8=3+4cosπ3+cos2π38=3+4·12+(-12)8=916

Отсюда видим, что левая и правая части равенства верны при α=π6, значит, выражение  справедливо при значении заданного угла. Если угол отличен от α, формула понижения степени одинаково применима.

При помощи формулы понижения степени преобразовать выражение sin32β5.

Решение

 Кубический синус для угла α имеет формулу вида sin3α=3·sinα-sin3α4. В данном случае необходимо выполнить замену α на 2β5 и подставить в формулу, тогда получаем выражение вида sin32β5=3·sin2β5-sin(3·2β5)4.

Это выражение равно равенству sin32β5=3·sin2β5-sin6β54.

Ответ: sin32β5=3·sin2β5-sin6β54.

Для решения сложных тригонометрических уравнений применяют формулы понижения степени. Они способны упростить выражение и сделать его намного удобным для вычислений или подстановки числовых значений. 

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Как подтвердить частную и взаимную идентичность

Факторную и взаимную идентичность

Когда дело доходит до более продвинутых исследований по тригонометрии, в конечном итоге использования только синуса, косинуса и тангенса самих по себе будет недостаточно. Вот почему так важно узнать о том, что мы называем «частными» и «взаимными» идентичностями.

При этом, прежде чем мы перейдем к использованию этих частных и взаимных тождеств, важно, чтобы у вас было полное понимание того, как использовать синус, косинус и тангенс.Щелкните ссылки на каждом из этих идентификаторов, чтобы быстро ознакомиться с их использованием, прежде чем переходить к этой статье. Кроме того, убедитесь, что вы понимаете, как каждое из этих соотношений ведет себя в четырехквадрантной декартовой плоскости, просмотрев эту замечательную ссылку здесь.

Частные идентичности

В тригонометрии частные тождества относятся к тригонометрическим тождествам, которые делятся друг на друга. Есть два частных тождества, которые имеют решающее значение для решения задач, связанных с триггерами: тангенс и котангенс.{-1} xsin − 1x или 1 / sin⁡x1 / \ sin x1 / sinx, вместо этого мы можем использовать обратное тождество cscx. Косеканс (csc), секанс (sec) и котангенс (cot) — чрезвычайно полезные тождества, и вы будете широко использовать их по мере продвижения математики к предварительному исчислению и исчислению. Поэтому очень важно запомнить и понять все эти идентичности. На изображении ниже показано, что вы, , должны знать, .

Использование частных и взаимных идентичностей

Теперь, когда мы рассмотрели, что такое частное и взаимное тождества, давайте разберемся, как их использовать.Как всегда, лучший способ научиться и освоиться с этими личностями — это выполнить некоторые практические задания.

Пример 1:

Упростите выражение:

cos⁡x⋅tan⁡x + sin⁡x2tan⁡x \ frac {\ cos x \ cdot \ tan x + \ sin x} {2 \ tan x} 2tanxcosx⋅tanx + sinx

Шаг 1. Определите любые частные или взаимные идентичности для упрощения с помощью

Чтобы упростить это выражение, нам определенно понадобится использовать некоторые триггерные идентификаторы.Обратите внимание на наличие танкс в числителе и знаменателе. Давайте заменим это частным тождеством и посмотрим, упростит ли это задачу. Уловка при решении таких проблем состоит в том, чтобы попытаться получить все в выражении в терминах синуса и косинуса.

= cos⁡x⋅sin⁡xcos⁡x + sin⁡x2⋅sin⁡xcos⁡x = \ frac {\ cos x \ cdot \ frac {\ sin x} {\ cos x} + \ sin x} {2 \ cdot \ frac {\ sin x} {\ cos x}} = 2⋅cosxsinx cosx⋅cosxsinx + sinx

Шаг 2. Упростите, упростите и еще немного упростите

Обратите внимание, что мы можем исключить cosx в числителе.Давайте сделаем это, а затем посмотрим, можно ли сделать больше упрощений.

= sin⁡x + sin⁡x2sin⁡cos⁡x = \ frac {\ sin x + \ sin x} {\ frac {2 \ sin} {\ cos x}} = cosx2sin sinx + sinx

= 2sin⁡x2sin⁡xcos⁡x = \ frac {2 \ sin x} {\ frac {2 \ sin x} {\ cos x}} = cosx2sinx 2sinx

= 2sin⁡xcos⁡x2sin⁡x = 2 \ sin x \ frac {\ cos x} {2 \ sin x} = 2sinx2sinxcosx

= cos⁡x = \ cos x = cosx

И вот оно! Наш окончательный ответ — cosx. Надеюсь, что с помощью этого примера вы начнете осознавать силу частного и взаимного тождеств в упрощении триггерных выражений.На этом изображении ниже представлено визуальное описание всего, что мы сделали для решения этой проблемы:

Пример 2:

Упростите выражение:

cot⁡x (sin⁡x + tan⁡x) csc⁡x + cot⁡x \ frac {\ cot x (\ sin x + \ tan x)} {\ csc x + \ cot x} cscx + cotxcotx (sinx + tanx)

Шаг 1. Определите любые частные или взаимные идентичности для упрощения с помощью

Чтобы упростить это выражение, нам определенно понадобится использовать некоторые триггерные идентификаторы.Обратите внимание на наличие нескольких обратных и частных тождеств, которые мы можем использовать как в числителе, так и в знаменателе. Давайте заменим их и посмотрим, упростит ли это задачу. Опять же, уловка для решения подобных проблем состоит в том, чтобы попытаться получить все в выражении в терминах синуса и косинуса.

= cos⁡xsin⁡x (sin⁡x + sin⁡xcos⁡x) 1sin⁡x + cos⁡xsin⁡x = \ frac {\ frac {\ cos x} {\ sin x} (\ sin x + \ frac {\ sin x} {\ cos x})} {\ frac {1} {\ sin x} + \ frac {\ cos x} {\ sin x}} = sinx1 + sinxcosx sinxcosx (sinx + cosxsinx )

Шаг 2. Упростите, упростите и еще немного упростите

Теперь, когда мы сделали некоторые замены, обратите внимание на выше, мы можем вычеркнуть много из числителя и упростить дробь в знаменателе.Давайте сделаем это, а затем посмотрим, можно ли сделать больше упрощений.

= cos⁡x + 11 + cos⁡xsin⁡x = \ frac {\ cos x + 1} {\ frac {1+ \ cos x} {\ sin x}} = sinx1 + cosx cosx + 1

= (cos⁡x + 1) sin⁡x1 + cos⁡x = (\ cos x +1) \ frac {\ sin x} {1+ \ cos x} = (cosx + 1) 1 + cosxsinx

= sin⁡x = \ sin x = sinx

И снова мы успешно упростили это выражение! На этом изображении ниже представлено визуальное описание всего, что мы сделали для решения этой проблемы:

Подтверждение личности:

Последние типы вопросов, которые могут вам задать, касающиеся частных и взаимных идентичностей, могут быть «доказательными».В этих задачах вас обычно просят «доказать», что одна сторона уравнения равна другой стороне уравнения, и для этого вам нужно будет упростить выражения, используя частные и обратные тождества. Давайте рассмотрим пример, чтобы понять, что мы подразумеваем под «подтверждением личности»:

Пример:

Докажите, что следующее выражение верно:

sin⁡A + tan⁡A1 + cos⁡A = 11 + cot⁡A \ frac {\ sin A + \ tan A} {1 + \ cos A} = \ frac {1} {1 + \ cot A} 1 + cosAsinA + tanA = 1 + cotA1

Шаг 1. Использование частных и / или взаимных идентичностей для упрощения левой стороны

Как и в предыдущих примерах, используйте силу частного и взаимного тождества, чтобы максимально упростить левую часть.

sin⁡A + tan⁡A1 + cos⁡A \ frac {\ sin A + \ tan A} {1 + \ cos A} 1 + cosAsinA + tanA

= sin⁡A + sin⁡Acos⁡A1 + cos⁡A = \ frac {\ sin A + \ frac {\ sin A} {\ cos A}} {1+ \ cos A} = 1 + cosAsinA + cosAsinA

= (sin⁡A + sin⁡Acos⁡A) (1 + cos⁡A) ⋅cos⁡Acos⁡A = \ frac {(\ sin A + \ frac {\ sin A} {\ cos A})} { (1 + \ cos A)} \ cdot \ frac {\ cos A} {\ cos A} = (1 + cosA) (sinA + cosAsinA) ⋅cosAcosA

= sin⁡Acos⁡A + sin⁡A (1 + cos⁡A) cos⁡A = \ frac {\ sin A \ cos A + \ sin A} {(1+ \ cos A) \ cos A} = ( 1 + cosA) cosAsinAcosA + sinA

= sin⁡A (cos⁡A + 1) (1 + cos⁡A) cos⁡A = \ frac {\ sin A (\ cos A +1)} {(1 + \ cos A) \ cos A} = (1 + cosA) cosAsinA (cosA + 1)

= sin⁡Acos⁡A = \ frac {\ sin A} {\ cos A} = cosAsinA

Шаг 2. Использование идентификаторов для упрощения правой стороны для соответствия упрощенной левой стороне

Теперь, когда мы упростили левую часть до более простого выражения, давайте попробуем воспроизвести это выражение в правой части.Если мы добьемся успеха, мы успешно решим эту проблему и предоставим доказательства.

1cot⁡A \ frac {1} {\ cot A} cotA1

= 1 (cos⁡Asin⁡A) = \ frac {1} {(\ frac {\ cos A} {\ sin A})} = (sinAcosA) 1

= 1⋅sin⁡Acos⁡A = 1 \ cdot \ frac {\ sin A} {\ cos A} = 1⋅cosAsinA

= sin⁡Acos⁡A = \ frac {\ sin A} {\ cos A} = cosAsinA

Так как правая и левая части равны одному и тому же выражению, мы успешно решили эту задачу! Это изображение суммирует то, что мы только что достигли:

И это все, что касается частных и взаимных идентичностей! Всегда удобно иметь под рукой полный список тригонометрических идентичностей в том месте, где вы учитесь.Мы подготовили для вас:

: косинусное отношение

Косинусное отношение

История до сих пор: учитывая один из острых углов в прямоугольном треугольнике, вы изучили два отношения, включающие длины сторон треугольника.Отношение касательных включает длину стороны, противоположной углу, деленную на длину стороны, прилегающей к углу. Отношение синусов включает длину стороны, противоположной углу, деленную на длину гипотенузы треугольника. Вы играли фаворитами с противоположной стороны угла за счет соседней стороны. Чтобы выровнять ситуацию, позвольте мне представить новое соотношение — косинусное отношение. Косинус угла — это отношение длины стороны, примыкающей к углу, к длине гипотенузы треугольника.Косинус? A будет обозначен как cos? A.

Вы можете играть в те же игры, в которые вы играли, с тангенциальными и синусоидальными соотношениями.

• Пример 4 : Если прямоугольный треугольник имеет угол с коэффициентом касания ⁹ / ₁₄ , найдите коэффициент синуса и коэффициент косинуса угла.

• Решение : поскольку изображение стоит тысячи слов при решении этих проблем, я обрисовал эту ситуацию на рисунке 20.7. Поскольку вам нужно знать отношения синуса и косинуса угла, вам нужно будет вычислить длину гипотенузы треугольника. Вы можете извлечь теорему Пифагора и позаботиться об этом прямо сейчас:
• a ² + b ² = c ²
• 9 ² + 14 ² = c ²
• c ² = 277
• Теперь, когда вы знаете длину всех трех сторон, найти отношения синуса и косинуса можно с помощью определения sin? A = ⁹ /_{? 277} и cos? A = ¹⁴ / _{? 277} .

Solid Facts

В прямоугольном треугольнике косинус угла представляет собой отношение длины стороны, примыкающей к углу, к длине гипотенузы треугольника.

Рисунок 20.7 Прямоугольный треугольник с коэффициентом касательной ⁹ / ₁₄ .

На этом этапе у вас может возникнуть соблазн рационализировать знаменатель и записать свои ответы как

• sin? A = ^{9? 277} / ₂₇₇ и cos? A = ^{14? 277} / ₂₇₇ .

Если так, то я был бы впечатлен вашей готовностью сделать еще один шаг вперед, бесстрашно углубившись в бурные алгебраические воды, чтобы написать свой ответ в форме, которую, я уверен, ваш учитель алгебры подчеркнул, когда вы впервые узнали об этом. радикалы.

Конечно, возможно, что мысль о рационализации знаменателя (так официально называется процесс) даже не приходила вам в голову. Это тоже нормально. Это не книга по алгебре, и есть преимущества в том, чтобы оставлять вещи в такой технически неподходящей форме.(Хотя, когда я ношу свою алгебраическую шляпу, вы никогда не услышите? Или прочтете? Я скажу? Или напишу? Что оставлять вещи неправильно — это нормально.) косинусные отношения меньше 1. Это быстрая и простая проверка, чтобы увидеть, имеют ли ваши ответы смысл. Отношения синуса и косинуса могут быть равны 1 в особых случаях, но отношения никогда не будут больше 1. Помните, что отношение тангенса не имеет такого ограничения. Вы уже видели, что тангенциальное отношение может быть больше, меньше или равно 1.

Вы можете выполнять эти расчеты в самых разных направлениях. Если вам дано отношение синуса, косинуса или тангенса угла, вы можете найти два других отношения после использования теоремы Пифагора.

Запутанный узел

Отношения синуса и косинуса угла не могут быть больше 1. На отношение тангенса такого ограничения нет.

Выдержка из The Complete Idiot’s Guide to Geometry 2004 Дениз Сечей, доктор философии. Все права защищены, включая право на полное или частичное воспроизведение в любой форме.Используется по договоренности с Alpha Books , членом Penguin Group (USA) Inc.

Чтобы заказать эту книгу непосредственно у издателя, посетите веб-сайт Penguin USA или позвоните по телефону 1-800-253-6476. Вы также можете приобрести эту книгу на Amazon.com и Barnes & Noble.

Синус-косинус-касательная

Чтобы лучше понять некоторые проблемы, связанные с самолетами и двигательная установка необходимо использовать некоторые математические идеи из тригонометрия, изучение треугольников.Начнем с некоторых определений и терминологии. который мы будем использовать на этом слайде. Прямоугольный треугольник — это трехсторонняя фигура с одним углом, равным 90 градусам. Угол 90 градусов называется прямым углом , что дало название прямоугольному треугольнику. Выбираем один из двух оставшихся углов и маркируем его c а третий угол обозначаем d . Сумма углов любого треугольника равна 180 градусам. Если мы знаем значение c , тогда мы знаем, что значение d :

90 + с + г = 180

г = 180 — 90 — в

d = 90 — c

Определим сторону треугольника противоположную от прямого угла к гипотенуза .Это самая длинная из трех сторон. прямоугольного треугольника. Слово «гипотенуза» происходит от двух греческих слов. означает «растягивать», так как это самая длинная сторона. Обозначим гипотенузу символом h . Есть сторона, противоположная углу c , которую мы обозначаем как o . для «противоположного». Оставшуюся сторону мы маркируем как для «смежных». Угол c образован пересечением гипотенузы h и соседняя сторона а .

Нас интересует соотношение сторон и углов прямоугольный треугольник. Начнем с некоторых определений. Мы будем называть соотношение стороны прямоугольного треугольника, противоположной гипотенузе синус и присвоить ему символ sin .

грех = о / ч

Отношение смежной стороны прямоугольного треугольника к гипотенузе называется косинус и обозначен символом cos .

cos = а / ч

Наконец, отношение противоположной стороны к соседней стороне называется касательная и обозначена символом tan .

загар = о / а

Мы утверждаем, что значение каждого коэффициента зависит только от значения угол c , образованный смежной и гипотенузой. Чтобы продемонстрировать этот факт, давайте изучим три фигуры в середине страницы.В этом примере у нас есть 8-футовая лестница, которую мы собираемся прислонить к стене. Стена 8 футов высотой, и мы нарисовали белые линии на стене и синие линии вдоль земли с интервалом в один фут. Длина лестницы фиксированная. Если наклонить лестницу так, чтобы ее основание находилось на расстоянии 2 фута от стены, лестница образует угол около 75,5 градусов с землей. Лестница, земля и стена образуют прямоугольный треугольник. Соотношение расстояния от стены (а — прилегающая) к длине лестницы (h — гипотенуза) составляет 2/8 =.25. Это определено как косинус c = 75,5 градусов. (На другая страница покажем, что если бы лестница была вдвое длиннее (16 футов), и наклонена под тем же углом (75,5 градуса), чтобы он сидел вдвое больше далеко (4 фута) от стены. 2 = 64 — 4 = 60

о = 7.745

Отношение противоположности к гипотенузе равно 0,967 и определяется как синус угла c = 75,5 градусов.

Теперь предположим, что мы наклоняем 8-футовую лестницу так, чтобы ее основание находилось на 4 футах от стены. Как показано на рисунке, теперь лестница наклонена под меньшим углом, чем в первый пример. Угол составляет 60 градусов, а соотношение прилегающих к гипотенуза теперь 4/8 = 0,5. Уменьшение угла c увеличивает косинус угла, потому что гипотенуза фиксирована а соседний увеличивается с уменьшением угла.Если мы наклоним 8 футов лестнице так, чтобы ее основание находилось на расстоянии 6 футов от стены, угол уменьшается до около 41,4 градуса, и соотношение увеличивается до 6/8, что составляет 0,75. Как видите, для каждого угла на земле есть уникальная точка, которой соприкасается 8-футовая лестница, И это одна и та же точка каждый раз, когда мы устанавливаем лестницу под этим углом. Математики называют эту ситуацию функция. Соотношение соседних сторона гипотенузы является функцией угла c , поэтому мы можем записать символ как cos (c) = значение .

Также обратите внимание, что по мере увеличения cos (c) уменьшается sin (c) . Если мы наклоним лестницу так, чтобы основание находилось на расстоянии 6,938 фута от стены, угол c становится 30 градусов, а отношение соседних к гипотенуза 0,866. Сравнивая этот результат со вторым примером, мы обнаруживаем, что:

cos (c = 60 градусов) = sin (c = 30 градусов)

sin (c = 60 градусов) = cos (c = 30 градусов)

Мы можем обобщить это соотношение:

sin (c) = cos (90 — c)

90 — c — величина угла d .Вот почему мы назовем соотношение смежного и гипотенузы «косинусом» угла.

sin (c) = cos (d)

Поскольку синус, косинус и тангенс являются функциями угла c , мы можем определить (измерить) коэффициенты один раз и составить таблицы значений синус, косинус и тангенс для различных значений c . Позже, если мы узнаем значение угла в прямоугольном треугольнике, таблицы покажут нам соотношение сторон треугольника.Если нам известна длина одной стороны, мы можем найти длину другой. стороны. Или, если мы знаем соотношение любых двух сторон прямоугольного треугольника, мы можем найти значение угла между сторонами. Мы можем использовать таблицы для решения проблем. Некоторые примеры проблем, связанных с треугольниками и углами, включают силы на самолете в полете, приложение крутящих моментов, и разрешение составные части вектора.

Вот таблицы синуса, косинуса и тангенса, которые вы можете использовать для решения проблемы.