Комбинаторика задачи с решением 6 класс: Комбинаторные задачи 6 класс

Содержание

Комбинаторные задачи / Комбинаторика / Справочник по математике 5-9 класс

Главная
Справочники
Справочник по математике 5-9 класс
Комбинаторика
Комбинаторные задачи

Комбинаторика (от латинского слова combinare, означающего №соединять», «сочетать») — это область математики, которая изучает способы выбора, расположения, сочетания различных объектов. Решение задач в данном разделе математики требует рассмотрения и подсчёта всех возможных комбинаций (отсюда название комбинаторные задачи). Решая эти задачи, обычно надо отвечать на вопрос «Сколькими способами…?» или «Сколько вариантов..?«

Задача: Нам даны фигуры: треугольник, овал и прямоугольник . Необходимо построить пирамидку, состоящую из трех разных фигур. Сколькими способами это можно сделать?

Метод перебора

Данный метод удобен при небольшом числе вариантов. Решение в данном случае происходит путём перебора всех возможных вариантов. При этом очень важно выбрать правильный вариант перебора — логику перебора.

Воспользуемся методом перебора: Пусть в основании пирамидки находится прямоугольник, тогда возможны варианты построения: прямоугольник — овал — треугольник и прямоугольник — треугольник — овал.

Теперь в основании положим овал, тогда возможны варианты построения: овал — прямоугольник — треугольник и овал — треугольник — прямоугольник.

Теперь в основании положим треугольник, тогда возможны варианты построения: треугольник — прямоугольник — овал и треугольник — овал — прямоугольник.

Итак, мы получили шесть возможных вариантов:

Ответ: 6 способов.

При решении данной задачи мы изображали фигуры, но для упрощения решения можно использовать кодирование. Данный прием позволяет заметить фигуры, например, первыми буквами их названия, то есть овал обозначаем буквой О, треугольник — Т, прямоугольник — П. Тогда решение будет выглядеть так:

Т О Т П О П

О Т П Т П О

П П О О Т Т

Дерево возможных вариантов

Данный метод заключается в построении схемы, которая и называется деревом возможных вариантов. Данная схема действительно похожа на перевернутое дерево, «корень» которого обозначается «*». Построим данную схему для нашей задачи: Для этого от «корня» проведем три «ветки» — отрезки, на концах которых подпишем варианты фигур, которые мы можем взять за основание. Далее от каждой фигуры проводим такое количество «веток», которое будет соответствовать числу вариантов фигур на втором месте, в нашем случае по две «ветки» от каждой фигуры. Затем от каждой фигуры, стоящей на втором месте, проводим такое число «веток», которое будет соответствовать числу вариантов фигур на третьем месте, в нашем случае по одной «ветке» от каждой фигуры. Тогда имеем следующее дерево возможных вариантов:

Метод отрезков

Данный метод используется только для составления всевозможных пар.

Например, рассмотрим прямую, на которой обозначены точки A, B, C, D, F:

Необходимо ответить на вопрос: » Сколько отрезков изображено на рисунке?». Мы знаем, что отрезок обозначается двумя буквами, значит, для ответа на вопрос необходимо перебрать всевозможные пары букв. Это можно сделать при помощи следующей схемы: Отметим точки так, чтобы никакие 3 не лежали на одной прямой:

Соединим данные точки отрезками между собой. Число отрезков будет числом вариантов, то есть числом отрезков, изображенных на рисунке:

Итак, мы получили 10 отрезков, соединяющих точки.

Ответ: На рисунке 10 отрезков.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Случайные события. Вероятность случайного события

Комбинаторика

Правило встречается в следующих упражнениях:

5 класс

Задание 323, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 356, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 694, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 807, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1035, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1728, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 878, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 2

Задание 1, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 2

Номер 841, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 842, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

6 класс

Номер 24, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 990, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1212, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1343, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 53, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 160, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 232, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 355, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 462, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 517, Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

7 класс

Номер 78, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 301, Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Решение комбинаторных задач.

Приложение к уроку №1

1. РЕШЕНИЕ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ

ПРИЛОЖЕНИЕ к уроку №1
РЕШЕНИЕ
КОМБИНАТОРНЫХ
ЗАДАЧ
1
Предмет: математика.
Тип урока: урок комплексного применения знаний.
Продолжительность: 1 урок — 45 минут.
Класс: 9.
Учитель: Степушкина Н.Ю.

2. Задачи урока

2
Повторить решение комбинаторных задачи, которые
сводятся к подсчету возможных вариантов, с помощью
дерева вариантов, при помощи правил умножения и
сложения.
Развивать логическое мышление, память, внимание,
умение сравнивать и обобщать.
Развивать умения работать в группе, формировать
чувство ответственности за принятое решение.
Комбинаторика — ветвь математики, изучающая
комбинации и перестановки предметов.
Термин «комбинаторика» происходит от латинского
слова «combina», что в переводе на русский означает –
«сочетать», «соединять».
Комбинаторика — раздел математики, посвящённый
решению задач выбора и расположения элементов в
соответствии с данными условиями.

4. В Древней Греции

подсчитывали число различных
комбинаций длинных и
коротких слогов в стихотворных
размерах, занимались теорией
фигурных чисел, изучали
фигуры, которые можно
составить из частей и т.д.
Со временем появились различные игры
(нарды, карты, шашки, шахматы и т. д.)
В каждой из этих игр приходилось
рассматривать различные сочетания
фигур, и выигрывал тот, кто их лучше
изучал, знал выигрышные комбинации и
умел избегать проигрышных.
4

5. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1.07.1646 — 14.11.1716)

Леонард Эйлер(1707-1783)
Готфрид Вильгельм Лейбниц
(1.07.1646 — 14.11.1716)
рассматривал задачи о разбиении
чисел, о паросочетаниях,
циклических расстановках, о
построении магических и
латинских квадратов, положил
начало совершенно новой области
исследований, выросшей
впоследствии в большую и
важную науку—топологию,
которая изучает общие свойства
пространства и фигур.

Комбинаторику, как
самостоятельный раздел
математики первым стал
рассматривать немецкий ученый
Г. Лейбниц в своей работе «Об
искусстве комбинаторики»,
опубликованной в 1666г. Он также
впервые ввел термин
«Комбинаторика».
5
Для вывода формул автор использовал наиболее простые и
наглядные методы, сопровождая их многочисленными
таблицами и примерами. Сочинение Я. Бернулли
превзошло работы его предшественников и современников
систематичностью, простотой методов, строгостью
изложения и в течение XVIII века пользовалось
известностью не только как серьёзного научного трактата,
но и как учебно-справочного издания.
Комбинаторика — один из разделов
дискретной математики, который приобрел
большое значение в связи с использованием
его в теории вероятностей, математической
логике, теории чисел, вычислительной
технике, кибернетике.
6

7. Ответы на вопросы теста

7
1. При выборе подходящего комплекта одежды мы пользуемся:
сочетанием.

2. Комбинаторика изучает: способы решения задач на различные
комбинации объектов.
3. Множество – это: совокупность объектов произвольного рода.
4. Подсчитывая число маршрутов следования из пункта А в пункт В
через пункт С, можно воспользоваться правилом: умножения.
5.Для вычисления количества всевозможных пар вашей группы
необходимо знать формулы: сочетаний.
6.5! – это: сумма чисел от 1 до 5, 5 . 4 . 3 . 2 . 1 =120.
7.Количество способов занять очередь на экзамен n учащимися
определяются: перестановкой, Р = n!.
8.Комбинаторные задачи встречаются в профессиональной
деятельности: парикмахера-визажиста, диспетчера
автовокзала, завуча школы, экономиста, повара.

8. 2. На завтрак в школьной столовой любой ученик может выбрать булочку, ватрушку, кекс, а запить их он может соком, чаем или

компотом. Сколько вариантов завтрака предлагается в столовой?
сок
булочка
чай
булочка
компот
булочка
сок
ватрушка
чай
ватрушка
компот
ватрушка
8
сок
кекс
чай
кекс
компот
кекс
9 вариантов завтрака
9
9 вариантов завтрака

10.

Сколько различных двухзначных чисел можно записать, используя цифры 2, 7, 9 если цифры в этих числах могут повторяться?10
22
2
27
7
2
29
9
72
77
79
2
7
9
7
92
97
2
99
7
9
9
*
9 двухзначных чисел

11. 5. При встрече 8 приятелей обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

11
Каждому приятелю даем номер от 1 до 8, а рукопожатия
закодируем: например число 24 означает что 2-ой приятель пожал
руку 4-му. Число 35 и 53 означают одно и то же рукопожатие, и
брать будем меньшее из них.
12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,
23, 24, 25, 26, 27, 28,
34, 35, 36, 37, 38,
45, 46, 47, 48,
56, 57, 58,
67, 68,
78.
получилось 1+2+3+4+5+6+7=28 рукопожатий.
Ответ: 28
6. Из класса нужно выделить
одного дежурного, мальчика или
девочку. Сколько существует
способов для выбора дежурного,
если в классе 22 девочки и 18
мальчиков?
7.

Сколькими способами из
класса, в котором учатся 30
школьников, можно выбрать
капитана команды для
математических соревнований
и его заместителя?
8. Сколькими способами из
класса, в котором учатся 30
школьников, можно выбрать
двоих для участия в
математической олимпиаде?
Выбрать одну девочку из 22 можем
22-мя способами, а одного мальчика
из 18 можно 18-тью способами. Тогда
выбрать одного дежурного мальчика
или девочку можно18+22способами.
Ответ: 40
На роль капитана может быть выбран
любой из 30 учащихся, его
заместитель – любой из 29оставшихся
30∙29 = 870 способов.
Ответ: 870
Нам не важно, кто капитан, а кто
заместитель, нам нужны всего лишь
два участника, поэтому получаем, что
у нас каждая пара учащихся в
произведении повторяется два раза.
(30∙29):2
Ответ: 435
12
Сколько различных трехзначных чисел можно
записать, используя цифры 0, 4, 3, 6, при
условии ,что цифры в числе не повторяются.

13
18 чисел

14. Ответить на вопросы

14
Что изучает комбинаторика?
Какие способы решения комбинаторных задач вы
знаете?
Что такое дерево возможных вариантов?
Когда применить при решении задач правило сложения,
когда правило умножения?

15. Подведём итоги…

15
Домашнее задание.
Решить задачи из сборника Л. В.
Кузнецова, С. Б. Суворова
«Сборник заданий для
подготовки к итоговой
аттестации в 9 классе»
стр. 221-222.
Повторить формулы для
различных видов комбинаций.

16. Полезные ссылки

16
1.
2.
3.
http://combinatorica.narod.ru/
http://mmmf.math.msu.su/
http://portfolio.1september.ru/

Комбинаторика — Математическая задача $6$

спросил 4 года, 7 месяцев назад

Изменено 4 года, 7 месяцев назад

Просмотрено 133 раза

$\begingroup$

игрока по $10$ играют в карточную игру, в которой побеждает игрок, набравший наибольшее количество карт. Всего есть карты на $230$. Какое наименьшее количество карточек мог бы собрать выигравший игрок, если предположить, что каждый игрок собрал разное количество карточек?

Когда я пытался задать вопрос, я пробовал самые высокие последовательные числа, которые могли быть у других игроков за $9$, а затем добавлял их и вычитал это число из $230$. Так $26+25+24+ \cdots + 18 = 198$$ У победителя тогда $230-198= 32$ карт.

комбинаторика

$\endgroup$

$\begingroup$

Если у первого игрока было $27$ или меньше карт, то максимально возможное общее количество карт равно $27+26+25+\cdots+18=\frac{27\times28}{2}-\frac{17\times18 {2}=карт на 225$, поэтому у первого игрока должно быть карт не менее чем на 28$.

С другой стороны, обратите внимание, что $28+27+26+25+24+22+21+20+19+18=230$, поэтому вполне возможен первый игрок с картами на $28$ — и, таким образом, ответ $28$ .

редактировать: Просто примечание (читая комментарии к основному сообщению) — это предполагает, что каждая карта была собрана игроком — но это как бы подразумевается в вопросе, иначе первый игрок мог бы просто собрать карты на 9$ со всеми остальными, собирающими 8,7,6,5,4,3,2,1,0$, что довольно тривиально.

$\endgroup$ 9{n}k=un+\frac{1}{2}n(n+1)=n\left (u+\frac{n+1}{2}\right )$$

Следовательно,

$$n \left (u+\frac{n+1}{2}\right )

Таким образом, наименьшее целое число, удовлетворяющее этим требованиям, равно $$N=\lceil\frac{2c-n(n+1)} {2n}+1\rceil=\lceil\frac{2c-n(n-1)}{2n}\rceil$$

$$N=\lceil \frac c n+\frac{n-1}{2 }\rceil$$

В вашем конкретном случае $$N=\lceil \frac{230}{10} + \frac{9}{2}\rceil=\lceil 27.5\rceil=28$$ 9ки$. Решением задачи является $\lceil \frac {n-m}k \rceil+k$.

напр. $n=230$, $k=10$, затем $m=55$. Решения:

$\lceil \frac {230-55}{10} \rceil+10=\lceil \frac {175}{10} \rceil+10=\lceil 17.5 \rceil+10=17+10= 28$

Доказательство: $28+27+26+25+24+22+21+20+19+18=230$

напр. $n=21$, $k=4$, тогда $m=10$. Решения:

$\lceil \frac {21-10}{4} \rceil+4=\lceil \frac {11}{4} \rceil+4=\lceil 2.75 \rceil+4=3+4= 7$

Доказательство: $3+5+6+7=21$

напр. $n=23$, $k=4$, тогда $m=10$. Решения:

$\lceil \frac {23-10}{4} \rceil+4=\lceil \frac {13}{4} \rceil+4=\lceil 3.25 \rceil+4=4+4= 8$

Доказательство: $4+5+6+8=23$

$\endgroup$

Архивные материалы по математике 3012: Прикладная комбинаторика

Профессор Уильям Т. Троттер (почетный)

Электронная почта: trotter at math dot gatech dot edu

Руководство по курсу и образец программы (весна 2018 г.)

Руководство для 3012 Инструкторы
Программа, план курса и Политика классификации

Электронный учебник — в свободном доступе!!

Прикладная комбинаторика: Келлер и Троттер

Дополнительные видео и слайды

видеоролики, подготовленные в 2015 году и доступные по адресу Веб-сайт Math 3012 Open Resources также должен иметь значение для студентов, проходящих курс в кампусе. Слайды в формате PDF также были подготовлены в 2015, которые коррелируют с этими видео. Однако в осеннем семестре 2017 г. и новые версии перечислены сразу ниже. В любом случае содержание курсов всегда несколько различается из семестра в семестр, отражая как усилия преподавателей по улучшению курс, освещая текущие и разворачивающиеся разработки в области комбинаторики.

Слайды 2017 по темам

1 — Введение в комбинаторику
2 — Строки и биномиальные коэффициенты
3 — Индукция и рекурсия
4 — Принцип голубиной норы и сложность
5 — Основы теории графов
6 — Цепи Эйлера и гамильтоновы циклы

7 — Раскраска графика
8 — Планарные графики
9 — Продвинутые темы по теории графов
10 — Основные концепции Posets
11 — Цепные и антицепные разделы
12 — Графики покрытия и графики сопоставимости
13 — Интервальные заказы и интервальные графики
14 — Подмножество решеток
15 — Включение-исключение
16 — Генерирующие функции
17 — Уравнения оператора продвижения
18 — Алгоритмы связующего дерева
19 — Алгоритмы кратчайших путей
20 — Сетевые потоки
21 — Потоки с единичными мощностями
22 — Решение проблемы Дилуорта
23 — Приложения вероятности к комбинаторике

2015 Слайды по темам

Лекция 1 — 18 августа 2015 г.
Лекция 2 — 20 августа 2015 г.
Лекция 3 — 25 августа 2015 г.
Лекция 4 — 27 августа 2015 г.
Лекция 5 — 1 сентября 2015 г.
Лекция 6 — 3 сентября 2015 г.
Лекция 7 — 8 сентября 2015 г.
Лекция 8 — 10 сентября 2015 г.
Лекция 9 — 15 сентября 2015 г.
Лекция 10 — 22 сентября 2015 г.
Лекция 11 — 24 сентября 2015 г.
Лекция 12 — 29 сентября 2015 г.
Лекция 13 — 1 октября 2015 г.
Лекция 14 — 6 октября 2015 г.
Лекция 15 — 8 октября 2015 г.
Лекция 16 — 15 октября 2015 г.
Лекция 17 — 20 октября 2015 г.
Лекция 18 — 27 октября 2015 г.
Лекция 19 — 29 октября 2015 г.
Лекция 20 — 3 ноября 2015 г.
Лекция 21 — 5 ноября 2015 г.
Лекция 22 — 10 ноября 2015 г.
Лекция 23 — 12 ноября 2015 г.
Лекция 24 — 17 ноября 2015 г.
Лекция 25 — 19 ноября 2015 г.
Лекция 26 — 1 декабря 2015 г.
Лекция 27 — 3 декабря 2015 г.

Решения некоторых проблем с нечетными номерами в тексте

Одним из недостатков свободно доступного текста является то, что профессионально подготовленные решения обычно не доступный. Вот неполный список решений, которые мы должны встречаться.
Глава 2 Решения
Глава 3 Решения
Глава 5 Решения
Глава 6 Решения
Глава 7 Решения
Глава 8 Решения
Глава 9 Решения

Архив тестов WTT

Осень 2018 г.

Тест 1 — 2018 г. Тест 1 — 2018 — Решения
Тест 2 — 2018 Тест 2 — 2018 — Решение
Тест 3 — 2018 Тест 3 — 2018 — Решение
Выпускной экзамен — 2018 Выпускной экзамен — 2018 — Решения

Осень 2017 г.

Тест 1 — 2017 г. Тест 1 — 2017 — Решения
Тест 2 — 2017 Тест 2 — 2017 — Решение
Тест 3 — 2017 Тест 3 — 2017 — Решения
Выпускной экзамен — 2017 Выпускной экзамен — 2017 — Решения

Осень 2015 г.

Тест 1 — 2015 г. Тест 1 — 2015 — Решения
Тест 2 — 2015 г. Тест 2 — 2015 — Решения
Тест 3 — 2015 г. Тест 3 — 2015 — Решения
Выпускной экзамен — 2015 Выпускной экзамен — 2015 — Решения

Осень 2014 г.

Тест 1 — 2014 г. Тест 1 — 2014 — Решения
Тест 2 — 2014 г. Тест 2 — 2014 — Решения
Тест 3 — 2014 г. Тест 3 — 2014 — Решения
Выпускной экзамен — 2014 Решения недоступны.

Весна 2013 г.

Тест 1 — 2013 г. Тест 1 — 2013 — Решения
Тест 2 — 2013 г. Тест 2 — 2013 — Решения
Испытание 3 — 2013 г. Тест 3 — 2013 — Решения
Выпускной экзамен — 2013 Выпускной экзамен — 2013 — Решения

Осень 2011

Тест 1 — 2011 Тест 1 — 2011 — Решения
Тест 2 — 2011 г. Тест 2 — 2011 — Решения
Тест 3 — 2011 г. Тест 3 — 2011 — Решения
Выпускной экзамен — 2011 Выпускной экзамен — 2011 — Решения

Осень 2010 г.

Тест 1 — 2010 г. — Решения
Тест 2 — 2010 — Решения
Тест 3 — 2010 — Решения
Выпускной экзамен — 2010 Выпускной экзамен — 2010 — Решения