Комплексное число в квадрате: Возведение комплексных чисел в степень

Содержание

Возведение комплексных чисел в степень

Начнем со всем любимого квадрата.

Пример 9

Возвести в квадрат комплексное число

Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения :

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения: . Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба сумма и куба разности. Но эти формулы более актуальны длязадач комплексного анализа, поэтому на данном уроке я воздержусь от подробных выкладок.

Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде ?

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая,

формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень справедлива формула:

Просто до безобразия.

Пример 10

Дано комплексное число , найти .

Что нужно сделать? Сначала нужно представить данной число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали:

Тогда, по формуле Муавра:

Упаси боже, не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляет радиан или 360 градусов. Смотрим сколько у нас оборотов в аргументе : оборотов, в данном случае можно убавить один оборот: . Надеюсь всем понятно, что и – это один и тот же угол.

Таким образом, окончательный ответ запишется так:

Любители стандартов везде и во всём могут переписать ответ в виде: (т.е. убавить еще один оборот и получить значение аргумента в стандартном виде).

Хотя – ни в коем случае не ошибка.

Пример 11

Дано комплексное число , найти . Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме.

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.

Пример 12

Возвести в степень комплексные числа , ,

Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.

Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:

Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень:

Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:

Пример 13

Возвести в степень комплексные числа ,

Это пример для самостоятельного решения.

Наконец-то. Меня всю дорогу подмывало привести этот маленький примерчик:

Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень – можно! А точнее, два корня:

Действительно ли найденные корни являются решением уравнения ? Выполним проверку:

Что и требовалось проверить.

Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: .

Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями.

Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно: , , , , и т.д. Во всех случаях получается

двасопряженных комплексных корня.

Пример 14

Решить квадратное уравнение

Вычислим дискриминант:

Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!

По известным школьным формулам получаем два корня: – сопряженные комплексные корни

Таким образом, уравнение имеет два сопряженных комплексных корня: ,

Теперь вы сможете решить любое квадратное уравнение!

И вообще, любое уравнение с многочленом «энной» степени имеет ровно корней, часть из которых может быть комплексными.

Простой пример для самостоятельного решения:

Пример 15

Найти корни уравнения и разложить квадратный двучлен на множители.

Разложение на множители осуществляется опять же по стандартной школьной формуле.

Как возвести комплексное число в степень: формула Муавра

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Алгебра Возведение комплексного числа в натуральную степень

В данной публикации мы рассмотрим, как комплексное число можно возвести в степень (в т.ч. с помощью формулы Муавра). Теоретический материал сопровождается примерами для лучшего понимания.

Возводим комплексное число в степень
- Квадрат числа
- N-ая степень

Для начала вспомним, что комплексное число имеет общий вид: z = a + bi (алгебраическая форма).

Теперь можем переходить, непосредственно, к решению поставленной задачи.

Квадрат числа

Мы можем представить степень в виде произведения одинаковых множителей, а затем найти их произведение (при этом помним, что i² = -1).

z² = (a + bi)² = (a + bi)(a + bi)

Пример 1:
z = 3 + 5i
z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Также можно воспользоваться формулой сокращенного умножения, а именно квадратом суммы:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Примечание: Таким же образом, если потребуется, можно получить формулы для квадрата разности, куба суммы/разности и т.д.

N-ая степень

Возвести комплексное число z в натуральную степень n гораздо проще, если оно представлено в тригонометрической форме.

Напомним, в общем виде запись числа выглядит так: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Для возведения в степень можно воспользоваться формулой Муавра (так названа в честь английского математика Абрахама де Муавра):

zⁿ = |z|ⁿ ⋅ (cos (nφ) + i ⋅ sin (nφ))

Формула получена путем перемножения комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме (перемножаются модули, а аргументы складываются).

Пример 2
Возведем комплексное число z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) в восьмую степень.

Решение
z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos (8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin (8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°)

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Что произойдет, если возвести в квадрат мнимое число?

Сумма действительного и мнимого чисел называется комплексным числом. Это числа, которые можно записать в виде a+ib. где a и b оба являются действительными числами. Обозначается z

Значение i равно (√-1) или мы можем записать как i ² = -1 .

Например:

3+4i — комплексное число, где 3 — действительное число (Re), а 4i — мнимое число (Im).
2+5i — комплексное число, где 2 — действительное число (Re), а 5i — мнимое число (I’m).
Воображаемые числа
Числа, которые не являются действительными, называются мнимыми числами. После возведения в квадрат мнимого числа он дает отрицательный результат. Мнимые числа представлены как Im().
Пример: √-3, √-7, √-11 — мнимые числа. здесь «i» — мнимое число, называемое «йота».
Что произойдет, если возвести в квадрат мнимое число?
Числа, которые не являются действительными, называются мнимыми числами. После возведения в квадрат мнимого числа получается отрицательное число . Мнимые числа представлены как Im(). Число, которое можно записать как действительное число, умноженное на мнимую единицу i, называется мнимым числом.
Пример: √3i, √-4i, √-11 — мнимые числа. здесь «i» — мнимое число, называемое «йота». Значение i равно (√-1) или мы можем записать как i ² = -1.
правила мнимых чисел 2 i ³ = -i
i ⁴ = 1
i ⁴ⁿ = 1
i ^4n-1 = -1
Вопрос 1: Если возвести в квадрат мнимое число (4i)?
Решение:
После возведения в квадрат мнимого числа результат будет отрицательным …
(4i) ² = 4i x 4i ²
= 16 (-1)
= -16
Вопрос 2: Найдите квадрат (5i)?
Решение:
После возведения в квадрат мнимого числа результат будет отрицательным …
(5i) ² = 5i x 5i 9Вопрос 3: Найдите квадрат (7i)?
Решение:
После возведения в квадрат мнимого числа результат будет отрицательным …
(7i) ² = 7i x 7i
= 49i ²
= 49(-1)
= -49
Вопрос 4: Найдите квадрат числа 4i/25?
Решение:
После возведения в квадрат мнимого числа результат будет отрицательным …
{(4/25)i} ² = 4i /25 x 4i /25 900 03
= (4/ 25) ² (i) ²
= 16 / 625 (-1)
= -16/625
900 11
Вопрос 5: Найдите квадрат -4i?
Решение:
Возведение в квадрат мнимого числа дает отрицательный результат …
(-4i) ² = -4i x -4i
= 16i ²
= 16(-1)
900 02 = – 16
Вопрос 6: Упростить (4 + 2i) – ( 3 + 4i), Найдите квадрат мнимого числа?
Решение:
Дано: (4 + 2i) – (3 + 4i)
= (4 – 3) + (2 – 4)i
= (1 – 2i)
Теперь мнимое число = -2i
(-2i) ² = -2i x -2i
= 4i ²
= 4(-1)
= – 4
Вопрос 7: Найдите квадрат (10i)?
Решение:
После возведения в квадрат мнимого числа результат будет отрицательным …
(10i) ² = 10i x 10i
90 002 = 100i ²
= 100(-1)
= -100
абсолютный квадрат комплексного числа
Главная » абсолютный квадрат комплексного числа
29 октября 2018 г.

« Назад к Глоссарию Индекс
Абсолютный квадрат комплексного числа вычисляется путем его умножения на сопряженное. (Абсолютный квадрат не совпадает ни с квадратом действительного числа, ни с абсолютным значением комплексного числа).
На примере комплексного числа 2 + 3i абсолютный квадрат записывается |(2 + 3i)| ² . Вот как вычислить абсолютный квадрат 2 + 3i :
(2 + 3i)(2 – 3i) = 4 + 3i(2) – 3i(2) +(3i)(-3i) = 4 +6i -6i -9i ² = 4 + 0 + 9 = 13. Таким образом, абсолютный квадрат 2 + 3i равен 13.
Вот сокращение для вычисления того же абсолютного квадрата: |(2 + 3i)| ² = 2 ² + 3 ² = 4 + 9 = 13.
Вот общее утверждение о том, как вычислить абсолютный квадрат комплексного числа:
|(а + би)|
2 = (a + bi)(a – bi) или a ² + b ²
Значение абсолютного квадрата комплексных чисел в квантовой механике.
Абсолютный квадрат комплексных чисел используется в квантовой механике. В частности, уравнение Шредингера часто выражает амплитуды квантовых волн с помощью комплексных чисел. Абсолютный квадрат комплексной амплитуды волны представляет собой вероятность обнаружения частицы. Точнее, это вероятность обнаружения свойства частицы, такого как положение, описываемого уравнением Шредингера.
Локализованная трехмерная волна проходит через квантовое поле. [Источник изображения: кадры из видеоролика Fermilab доктора Дона Линкольна, «Квантовая теория поля» (в открытом доступе), 14 января 2016 г.; https://www.youtube.com/watch?v=FBeALt3rxEA&feature=youtu.be.]Последовательность диаграмм A, B, C, D показывает волну в квантовом поле (красная сетка), движущуюся от нижнего левого угла к центр поля. Обнаружена ассоциированная частица. Это показано оранжевыми и синими кружками — оранжевым, когда волна распространяется вверх, и синим, когда волна распространяется вниз. Частица, скорее всего, будет обнаружена на наибольшей амплитуде (высоте) волны.

Амплитуда волны [Источник изображения: модификация Kraaiennest — CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=4038226. Проверено 21 сентября 2017 г.] Амплитуда волны. [Источник изображения: Kraaiennest — CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=4038226. Проверено 21 сентября 2017 г.]
Обычно амплитуда квантовой волны выражается в виде комплексного числа. Вероятность обнаружения ассоциированной частицы точно описывается как квадрат комплексного числа, представляющего амплитуду волны.
*Комплексное число — это число, имеющее как действительную, так и мнимую части. В комплексном числе 2 +3i реальная часть равна 2 , а мнимая часть равна 3i . «Мнимая часть» числа кратна i , например, 3i . Символ i означает квадратный корень из -1 .
Вот почему i называют «воображаемым».
No related posts.