Комплексное число в степени онлайн: Возвести комплексное число в степень онлайн, подробное решение

Комплексные числа — презентация онлайн

Похожие презентации:

Комплексные числа

Комплексные числа

Комплексные числа

Комплексные числа

Комплексные числа. Основные понятия

Комплексные числа

Комплексные числа

Комплексные числа

Комплексные числа

Комплексные числа

Комплексные числа
§1. Определение, изображение, формы записи
комплексного числа
К понятию комплексного числа привело стремление
решить уравнение х2 +1=0 и извлечь корень из
отрицательного числа.
Комплексным числом называется выражение вида
z=x+iy, где x, y– действительные числа, i − мнимая
единица (i2=−1).
1
Числа x, y называются соответственно
действительной и мнимой частью комплексного
числа z и обозначаются x=Re z, y=Im z.
Если x=0, то число 0+iy=iy называется чисто
мнимым,
если y=0, то x+i0=x есть действительное число.
2
Два комплексных числа считаются равными, если
равны их действительные части и равны их мнимые

части, т. е.
Комплексные числа z=x+iy и z = x — iy,
отличающиеся знаком мнимой части, называются
комплексно-сопряженными.
3
Комплексное число изображается точкой М
плоскости с координатами x, y или ее радиусвектором OM .
Длина вектора OM называется модулем
комплексного числа z и обозначается |z|, r или ρ:
z r OM x 2 y 2 .
Угол φ между радиус-вектором OM
и положительным направлением
оси Ox называют аргументом комплексного числа z.
Угол φ определяется неоднозначно, с точностью до
слагаемого 2πk; договоримся брать то значение φ,
которое заключено между −π и π и обозначать его arg4z.
Наряду с алгебраической формой комплексного
числа z=x+iy рассмотрим еще две формы записи.
Так как x r cos , y r sin , то комплексное число
z=x+iy можно записать в тригонометрической
форме:
z r cos i sin .
Введя функцию e cos i sin , комплексное число
можно записать в показательной форме:
z r e i .
i
Итак, имеем три формы записи комплексного числа
z x i y r cos i sin r e i .
5
Пример. Записать комплексное число z 1 i 3
в тригонометрической и показательной формах.
6
§2. Основные действия над комплексными
числами
Операции сложения, вычитания, умножения
комплексных чисел определяются следующим
естественным образом.
1. При сложении (вычитании) двух комплексных
чисел складываются (соответственно вычитаются) их
действительные и мнимые части, т.е.
z1 z 2 ( x1 x 2 ) i ( y1 y 2 )
7
2. Умножение двух комплексных чисел в
алгебраической форме определяется по правилам
умножения двучленов с учетом равенства i2=−1, т.е.
z z ( x i y ) ( x i y ) ( x x y y ) i ( x y x y ).
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
Теорема. При умножении двух комплексных чисел в
тригонометрической форме их модули умножаются, а
аргументы складываются:
z1 z 2 r1 r2 cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ) .
Аналогично, в показательной форме
z 1 z 2 r1 e i r2 e i r1 r 2 e i ( ).
1
2
1
2
8
3. Деление комплексных чисел
При делении двух комплексных чисел в
алгебраической форме нужно числитель и знаменатель
z1
( z 2 0) умножить на число, сопряженное
дроби
z2
знаменателю; тогда делителем будет действительное
число: z
x 1 i y 1 ( x 1 i y 1 ) ( x2 i y 2 )
1
z 2 x2 i y 2 ( x2 i y 2 ) ( x2 i y 2 )
( x 1 x2 y 1 y 2 ) i ( y 1 x2 x 1 y 2 )
x y
2
2
2
2
.
9
2
5
i
Пример. Вычислить
.
7 3i
10
Теорема. При делении двух комплексных чисел в
тригонометрической и показательной формах их
модули делятся, а аргументы вычитаются, т.е.
z1 r(1 cos 1 i sin 1 )
z 2 r2 (cos 2 i sin 2 )
r1
cos ( 1 2 ) i sin ( 1 2 ) ,
r2
i 1
z1 r1 e
r1 i ( )
e
.
i
z 2 r2 e
r2
1
2
2
11
4. Возведение в степень комплексного числа
Возведение в степень комплексного числа в
алгебраической форме осуществляется по правилам
возведения в степень двучлена с учетом того, что i2=−1,
i3=i2i=−i, i4=(i2)2=(−1)2=1 и т. д.
Например, используя формулу куба разности, получим:
(2 i) 3 2 3 3 2 2 i 3 2 i 2 i 3 8 12 i 6 i 2 11i.
12
При возведении комплексного числа в бóльшую
степень удобно использовать его тригонометрическую
форму z r cos i sin .
Учитывая, что при умножении модули умножаются, а
аргументы складываются, получим формулу Муавра:
z n r n (cos n i sin n ) r n e in .
13
Пример. Вычислить z6, если
z 3 i.
14
5. Извлечение корня n-й степени из комплексного числа
определяется как действие, обратное возведению в
степень, т.е. n z w, если w n z.
При извлечении корня из комплексного числа z удобно
использовать тригонометрическую форму записи
комплексного числа.
Пусть z r (cos i sin ).
Тогда
15
Придавая k значения 0, 1, 2,….,n−1, получим n
различных значений корня n−й степени из
комплексного числа.
При других значениях k получим значения корня,
совпадающие с уже найденными. Например, при k=n и
при k=0 значения корней совпадают:
2 n
2 n
n
wn r cos
i sin
n
n
n
r cos 2 i sin 2
n
n
r cos i sin w0 .
n
n
n
16
Аналогично, wn 1 w1 , wn 2 w2 ,…
Таким образом, для любого z≠0 корень степени n из
числа z имеет n различных значений.
Пример. Решить уравнение z 3 1 0.
17
Замечание. Если нужно извлечь корень квадратный,
то можно и не пользоваться соответствующей
формулой.
Например,
12 i 5 12 i 9 4 12 i (3 i) 2 2 2
(2 3 i ) 2 (2 3 i).
Если вы не догадались о таком способе, то можно
обозначить 12 i 5 x i y и возвести это
равенство в квадрат: 12 i 5 x i y 2 x 2 2 i x y y 2
18

English     Русский Правила

Комплексные числа — презентация онлайн

После изучения темы «Комплексные числа
учащиеся должны:
Знать:
алгебраическую, геометрическую и тригонометрическую формы
комплексного числа.
Уметь:
•производить над комплексными числами операции сложения,
умножения, вычитания, деления, возведения в степень, извлечение
корня из комплексного числа;
•переводить комплексные числа из алгебраической формы в
геометрическую и тригонометрическую;
•пользоваться геометрической интерпретацией комплексных чисел;
•в простейших случаях находить комплексные корни уравнений с

действительными коэффициентами.

3. Какие числовые множества Вам знакомы?

I. Подготовка к изучению нового материала
Какие числовые множества Вам знакомы?
N
Z
Q
N Z Q R
R
Числовая система
Натуральные
числа, N
Целые числа, Z
Рациональные числа, Q
Действительные числа,
R
Комплексные
числа, C
Допустимые
алгебраические
операции
Сложение,
умножение
Сложение, вычитание,
умножение
Сложение, вычитание,
умножение, деление
Сложение, вычитание,
умножение, деление,
извлечение корней из
неотрицательных чисел
Все операции
Частично
допустимые
алгебраические
операции
Вычитание, деление,
извлечение корней
Деление,
извлечение корней
Извлечение корней из
неотрицательных
чисел
Извлечение корней
из произвольных
чисел
Минимальные условия, которым должны удовлетворять
комплексные числа:
С1) Существует квадратный корень из , т.е. существует
комплексное число, квадрат которого равен .
С2) Множество комплексных чисел содержит все действительные
числа.
С3) Операции сложения, вычитания, умножения и деления
комплексных чисел удовлетворяют обычным законам
арифметических действий (сочетательному, переместительному,
распределительному).
Выполнение этих минимальных условий позволяет определить
все множество С комплексных чисел.

6. Мнимые числа

i = -1, i – мнимая единица
i, 2i, -0,3i — чисто мнимые числа
Арифметические операции над чисто мнимыми числами
выполняются в соответствии с условием С3.
3i 13i 3 13 i 16i
3i 13i 3 13 i i 39i 2 39
i 7 i 2 i i
3
В общем виде правила арифметических операций с чисто мнимыми
числами таковы:
a b i;
a bi ab i;
ai bi
ai bi a b i;
ai bi abi a
где a и b — действительные числа.
2

7. Комплексные числа

Определение 1. Комплексным числом называют сумму
действительного числа и чисто мнимого числа.
z a bi C a R, b R,
i мнимая единица.
a Re z , b Im z
Определение 2. Два комплексных числа называют
равными, если равны их действительные части и равны
их мнимые части:
a bi c di a c, b d .

8. Классификация комплексных чисел

Комплексные числа
a + bi
Действительные числа
b=o
Рациональные
числа
Иррациональные
числа
Мнимые числа
b≠o
Мнимые числа с
ненулевой
действительной
частью
a ≠ 0, b ≠ 0.
Чисто
мнимые
числа
a = 0, b ≠ 0.

9. Арифметические операции над комплексными числами

(а + bi) + (c + di) = (а + с) + (b + d)i
(а + bi) — (c + di) = (а — с) + (b — d)i
(а + bi)·(с + di) = (ac — bd) + (ad + bc)i
a bi (a bi)( c di) ac bd bc ad
2
2
i
2
2
c di (c di)( c di) c d
c d

10. Сопряженные комплексные числа

Определение: Если у комплексного числа сохранить
действительную часть и поменять знак у мнимой части, то
получится комплексное число, сопряженное данному.
Если данное комплексное число обозначается буквой z, то
сопряженное число обозначается z :
z x yi z x yi
Из всех комплексных чисел действительные числа (и только они)
равны своим сопряженным числам.
Числа a + bi и a — bi называются взаимно сопряженными
комплексными числами.

11. Свойства сопряженных чисел

1. Сумма и произведение двух сопряженных чисел есть число
действительное.
z z ( a bi ) ( a bi ) 2a
z z (a bi )( a bi ) a 2 (bi ) 2 a 2 b 2
2. Число, сопряженное сумме двух комплексных чисел, равно
сумме сопряженных данным числам.
z1 z2 z1 z2
3. Число, сопряженное разности двух комплексных чисел, равно
разности сопряженных данным числам.
z1 z2 z1 z2
4. Число, сопряженное произведению двух комплексных чисел, равно
произведению сопряженных данным числам.
z1z2 z1 z2

12. Свойства сопряженных чисел

5. Число, сопряженное п-ой степени комплексного числа z,
равно п-ой степени числа, сопряженного к числу z, т.е.
z n ( z)n , n N
6. Число, сопряженное частному двух комплексных чисел, из
которых делитель отличен от нуля, равно частному
сопряженных чисел, т.е.
a bi a bi
c di c di

13.

Степени мнимой единицыПо определению первой степенью числа i является
1
само
число i, а второй степенью – число -1:
i1 = i, i2 = -1
.
Более высокие степени числа i находятся следующим
1
образом:
i4 = i3 ∙ i = -∙i2= 1;
i5 = i4 ∙ i = i;
i6 = i5 ∙ i = i2= — 1 и т.д.
Очевидно, что при любом натуральном n
i4n = 1;
i4n +2 = — 1
i4n+1 = i;
i4n+3 = — i.

14. Извлечение квадратных корней из комплексных чисел в алгебраической форме.

• Определение. Число w называют квадратным корнем из
2
комплексного числа z, если его квадрат равен z: w z
• Теорема. Пусть z=a+bi – отличное от нуля комплексное число.
Тогда существуют два взаимно противоположных комплексных
числа, квадраты которых равны z. Если b≠0, то эти два числа
выражаются формулой:
w
a2 b2 a
i signb
2
a 2 b 2 a
, где
2
1, если b 0
signb 1, если b 0
0, если b 0
При b 0, a 0 имеем : w a , при b 0, a 0 имеем : w i a .

15. Геометрическое изображение комплексных чисел.

Комплексному числу z на координатной плоскости
соответствует точка М(a, b).
Часто вместо точек на плоскости берут их
радиусы-векторы
OM
Определение: Модулем комплексного числа z = a + bi
называют неотрицательное числоa 2 b2
,
равное расстоянию от точки М до начала
z a 2 b2
координат
cos
y
М (a, b)
b
φ
O
a
x
a
и sin
b
a2 b2
a2 b2
аргумент комплексно го числа
;

16. Тригонометрическая форма комплексного числа

z r cos i sin
где φ – аргумент комплексного числа,
r=
a 2 b2 — модуль комплексного числа,
cos
a
a2 b2
и sin
b
a2 b2

17. Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме

Теорема
Если
1.
z1 0, z2 0
и
z1 r1 cos 1 i sin 1 , z2 r2 cos 2 i sin 2 , то:
а)
z1 z2 r1r2 cos 1 2 i sin 1 2
б)
z1 r1
cos 1 2 i sin 1 2
z2 r2
Теорема 2 (формула Муавра).
Пусть z — любое отличное от нуля
комплексное число, п — любое целое число.
Тогда
z r cos i sin r n cosn i sin n .
n
n

18. Извлечение корня из комплексного числа.

• Теорема. Для любого натурального числа n и
отличного от нуля комплексного числа z существуют
n различных значений корня n-степени.
Если
z r cos i sin ,
то эти значения выражаются формулой
2 k
2 k
wk r cos
i sin
,
n
n
где k 0,1,…, (n 1)
n

Комплексная мощность комплексного числа

спросил 9 лет, 5 месяцев назад

Изменено 2 года, 5 месяцев назад

Просмотрено 30 тысяч раз

$\begingroup$

Может ли кто-нибудь объяснить мне шаг за шагом, как вычислить все бесконечные значения, скажем, 9{{log_e}{(r)(c+id)+i\theta}(c+id)}$

$\endgroup$

$\begingroup$

Когда вы записываете свое комплексное число как e-степень, ваша проблема сводится к получению логарифма $(1+i)$. z$, задаваемых различными вариантами $k$. Но когда $z$ — действительное рациональное число со знаменателем (наименьшим членом) $n$, существует ровно $n$ различных значений. 96

---

Как работает калькулятор мнимых чисел?

Вычисляет мнимое число i, где i = √-1, возведенное в любую целую степень, а также произведение мнимых чисел на частные мнимых чисел
Этот калькулятор имеет 1 вход.

Какие 4 формулы используются для калькулятора мнимых чисел?

1. I = √ -1
2. I ² = -1
3. I ³ = -i
4. I ⁴ = 1

Для получения дополнительной математики, проверьте наш9

Калькулятор мнимых чисел Видео

• Электронная почта: donsevcik@gmail.

  No related posts.