Функция МНИМ.СТЕПЕНЬ — Служба поддержки Майкрософт
Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 for Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Excel для Mac 2011 Excel Starter 2010 Еще…Меньше
В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции МНИМ.СТЕПЕНЬ в Microsoft Excel.
Описание
Возвращает комплексное число в текстовом формате x + yi или x + yj, возведенное в степень.
Синтаксис
МНИМ.СТЕПЕНЬ(компл_число;число)
Аргументы функции МНИМ.СТЕПЕНЬ описаны ниже.
-
Компл_число — обязательный аргумент. Комплексное число, возводимое в степень.
-
Число — обязательный аргумент. Степень, в которую необходимо возвести комплексное число.
Замечания
-
Для преобразования коэффициентов при действительной и мнимой части в комплексное число используйте функцию КОМПЛЕКСН.
-
Если число не является числом, imPOWER возвращает #VALUE! (значение ошибки).
-
Число может быть целым, дробным или отрицательным.
org/ListItem»>
Комплексное число, возведенное в степень, вычисляется следующим образом:
где
и
и
Пример
Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.
|
Формула |
Описание |
Результат |
|
=МНИМ. |
Комплексное число 2+3i, возведенное в куб (-46 + 9i) |
-46+9,00000000000001i |
СТЕПЕНЬ(«2+3i»; 3)Возведение мнимого числа в степень. Возведение комплексных чисел в степень
Начнем с любимого квадрата.
Пример 9
Возвести в квадрат комплексное число
Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов.
Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения :
Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:
Аналогичную формулу можно вывести для
квадрата разности, а также для куба
сумма и куба разности.
Но эти формулы
более актуальны длязадач
комплексного анализа. Что делать,
если комплексное число нужно возвести,
скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень?
Ясно, что в алгебраической форме проделать
такой трюк практически невозможно,
действительно, подумайте, как вы будете
решать пример вроде?
И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра : Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степеньсправедлива формула:
Просто до безобразия.
Пример 10
Дано комплексное число , найти.
Что нужно сделать? Сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали:
Тогда, по формуле Муавра:
Упаси
боже, не нужно считать на калькуляторе
,
а вот угол в большинстве случае следует
упростить. Как упростить? Образно
говоря, нужно избавиться от лишних
оборотов.
Один оборот составляетрадиан
или 360 градусов. Выясним сколько у нас
оборотов в аргументе.
Для удобства делаем дробь правильной:,
после чего становится хорошо видно, что
можно убавить один оборот:.
Надеюсь всем понятно, чтои–
это один и тот же угол.
Таким образом, окончательный ответ запишется так:
Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.
Пример 12
Возвести в степень комплексные числа ,,
Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.
Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:
Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень:
Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:
Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнями
Рассмотрим пример:
Нельзя
извлечь корень? Если речь идет о
действительных числах, то действительно
нельзя.
В комплексных числах извлечь
корень – можно! А точнее,
Действительно ли найденные корни являются решением уравнения ? Выполним проверку:
Что и требовалось проверить.
Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: .
Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями .
Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно: ,,,,и т.д. Во всех случаях получаетсядва сопряженных комплексных корня.
Начнем с любимого квадрата.
Пример 9
Возвести в квадрат комплексное число
Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов.
Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения :
Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:
Аналогичную формулу можно вывести для
квадрата разности, а также для куба
сумма и куба разности.
И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра : Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степеньсправедлива формула:
Просто до безобразия.
Пример 10
Дано комплексное число , найти.
Что нужно сделать? Сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали:
Тогда, по формуле Муавра:
Упаси
боже, не нужно считать на калькуляторе
,
а вот угол в большинстве случае следует
упростить. Как упростить? Образно
говоря, нужно избавиться от лишних
оборотов.
Один оборот составляетрадиан
или 360 градусов. Выясним сколько у нас
оборотов в аргументе.
Для удобства делаем дробь правильной:,
после чего становится хорошо видно, что
можно убавить один оборот:.
Надеюсь всем понятно, чтои–
это один и тот же угол.
Таким образом, окончательный ответ запишется так:
Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.
Пример 12
Возвести в степень комплексные числа ,,
Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.
Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:
Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень:
Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:
Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнями
Рассмотрим пример:
Нельзя
извлечь корень? Если речь идет о
действительных числах, то действительно
нельзя.
В комплексных числах извлечь
корень – можно! А точнее, два корня:
Действительно ли найденные корни являются решением уравнения ? Выполним проверку:
Что и требовалось проверить.
Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: .
Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями .
Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно: ,,,,и т.д. Во всех случаях получаетсядва сопряженных комплексных корня.
Пример 13
Решить квадратное уравнение
Вычислим дискриминант:
Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!
По известным школьным формулам получаем два корня: – сопряженные комплексные корни
Таким образом, уравнение имеет два сопряженных комплексных корня:,
Теперь вы сможете решить любое квадратное уравнение!
И
вообще, любое уравнение с многочленом
«энной» степени
имеет
ровнокорней,
часть из которых может быть комплексными.
Простой пример для самостоятельного решения:
Пример 14
Найти корни уравнения и разложить квадратный двучлен на множители.
Разложение на множители осуществляется опять же по стандартной школьной формуле.
Поделиться с друзьями:
Похожие публикации
Формула степени комплексного числа — GeeksforGeeks
Комплексные числа — это числа с формулой a + ib, где a и b — действительные числа, а I (йота) — мнимая составляющая и представляет (-1) и часто представляются в виде прямоугольника или стандартная форма. Например, 10 + 5i — это комплексное число, в котором 10 представляет действительную часть, а 5i — мнимую часть. В зависимости от значений a и b они могут быть полностью реальными или чисто фиктивными. Когда a = 0 в a + ib, ib — вполне мнимое число, а когда b = 0, мы получаем a, строго действительное число.
Формула степени комплексного числа
Чтобы разложить комплексное число по указанному показателю, его необходимо сначала преобразовать в полярную форму, компонентами которой являются модуль и аргумент.
После этого применяется теорема Де Муавра, которая гласит:
Формула Муавра утверждает, что для всех действительных значений числа, скажем, x, (nx), где n — любое целое число.
Вывод формулы
Теорему Де Муавра можно вывести/доказать с помощью математической индукции следующим образом: nx) ⇢ (1)
При n = 1 получаем:
(cos x + i sin x) 1 = cos(1x) + i sin(1x) = cos(x) + i sin(x) ), что является правдой.
Предположим, что формула верна для любого целого числа, скажем, n = k. Тогда
(cos x + i sin x) k = cos(kx) + i sin(kx) ⇢ (2)
Теперь нам нужно доказать, что формула верна для n = k + 1.
(cos x + i sin x) k+1 = (cos x + i sin x)k (cos x + i sin x)
= (cos (kx) + i sin (kx)) (cos x + i sin x) [Используя (i) ]
= cos (kx) cos x − sin(kx) sinx + i (sin(kx) cosx + cos(kx) sinx)
= cos {(k + 1)x} + i sin {(k + 1)x}
⇒ (cos x + i sin x)k+1 = cos {(k + 1)x} + i sin {(k + 1)x}
Следовательно, результат доказан.
Вопрос 1: Расширить (1 + i) 5 .
Решение:
Здесь r = = , θ = π/4
Полярная форма (1 + i) =
cos(nθ) + i sin(nθ).
Таким образом, (1 + i) 5 =
=
= −4 − 4i
Вопрос 2: Разложить (2 + 2i) 6 .
Решение:
Здесь r = , θ = π/4
Полярная форма (2 + 2i) =
(nθ) + i sin(nθ).
Таким образом, (2 + 2i) 6 =
=
= 512 (-i)
= −512i
Вопрос 3: вывести (1 + I) 18 .
Решение:
Здесь r = , θ = π/4
Полярная форма (1+i) =
Согласно теореме Муавра: (cosθ + sinθ) n = cos(nθ) + isin(nθ).
Таким образом, (1 + i) 18 =
=
= 512i
Решение:
Здесь r = , θ = 2π/3
Полярная форма (-√3 + 3i) =
Согласно теореме де Муавра 6 sin 9 θ90 +0017 = cos(nθ) + i sin(nθ).
Таким образом, (-√3 + 3i) 31 =
Вопрос 5: Разверните (1 – i) 10 .
Решение:
r = , θ = π/4
Полярная форма (1 – i) =
) + i sin(nθ).
Таким образом, (1 – i) 10 =
=
= 32 [0 + i(-1)]
= 32 (-i)
= -32i
Вопрос 6: Упростить (1 + √3i) 6 .
Решение:
Модуль (1 + √3i) 6 =
Аргумент = тангенс -1 /3 (√3/1) = 1 тангенс (√3/1) = 1 тангенс 3
⇒ Полярная форма =
Теперь (1 + √3i) 6 =
Согласно теореме Де Муавра (cos x + isinx) n = cos(nx) + isin(nx).
⇒
=
= 64 (cos 2π + i sin 2π) 9{√3} =
Согласно теореме Де Муавра: (cosθ + isinθ) n = cos(nθ) + isin(nθ).
⇒
=
Функция IMPOWER — Служба поддержки Microsoft
Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 для Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel 2007 Excel для Mac 2011 Excel Starter 2010 Дополнительно… Меньше
В этой статье описывается синтаксис формулы и использование IMPOWER функция в Microsoft Excel.
Описание
Возвращает комплексное число в текстовом формате x + yi или x + yj, возведенное в степень.
Синтаксис
IMPOWER(номер, число)
Синтаксис функции IMPOWER имеет следующие аргументы:
Замечания
Если число не является числом, функция IMPOWER возвращает #VALUE! значение ошибки.
Число может быть целым, дробным или отрицательным.
Комплексное число, возведенное в степень, вычисляется следующим образом:
где:
и:
и:
org/ListItem»>Используйте COMPLEX для преобразования действительных и мнимых коэффициентов в комплексное число.
Пример
Скопируйте данные примера из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового рабочего листа Excel.