Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ наибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π±Π΅Π· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°: НаибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

НаибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ВсС для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΊ Π•Π“Π­

Π—Π°Ρ€Π΅Π³ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ

Русский язык ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° (ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ) ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° (базовая) ΠžΠ±Ρ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠ·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ° Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ Биология Π₯имия Английский язык Π›ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π° Π˜Π½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ГСография

Задания Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Ρ‹ ВСория

ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ уравнСния ВычислСния ΠΈ прСобразования. ЛогарифмичСскиС выраТСния ЛогарифмичСскиС уравнСния Начала Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ вСроятностСй ВычислСния ΠΈ прСобразования Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ВригономСтрия. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ тоТдСства ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ привСдСния ВригономСтрия. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ВригономСтрия. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ уравнСния ΠŸΠ»Π°Π½ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ. Π§Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ ΠŸΠ»Π°Π½ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ. Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° окруТности ΠŸΠ»Π°Π½ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ. Вписанная ΠΈ описанная ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, физичСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ. ГСомСтричСский смысл ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ. ИсслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ с ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½Ρ‹ΠΌ содСрТаниСм ВСкстовыС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ. Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ВСкстовыС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ. ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚Ρ‹, совмСстная Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° ВСкстовыС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ. БмСси ΠΈ сплавы, прогрСссии БтСрСомСтрия. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄. ΠŸΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°. ΠŸΡ€ΠΈΠ·ΠΌΠ° БтСрСомСтрия. Π¦ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€. ΠšΠΎΠ½ΡƒΡ. Π¨Π°Ρ€ БтСрСомСтрия. ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΡ Ρ‚Π΅Π» ВригономСтричСскиС уравнСния УравнСния БтСрСомСтрия БтСрСомСтрия.

НахоТдСниС расстояний ΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ² ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΡŽ окруТностСй ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠžΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΡ ГрафичСский ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ окруТности ΠŸΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ xOa РасполоТСниС ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π’ΠΈΠ΅Ρ‚Ρ‚Π° Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ с ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Числа ΠΈ ΠΈΡ… свойства ΠŸΠ»Π°Π½ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ. Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ вСроятностях событий

Π Π°Π·Π±ΠΎΡ€ слоТных Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ Π² Ρ‚Π³-ΠΊΠ°Π½Π°Π»Π΅:

ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ

НаибольшСС (наимСньшСС) Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ – это самоС большоС (малСнькоС) ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π½Π° рассматриваСмом ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ наибольшСС ΠΈΠ»ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ:

  1. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ $f'(Ρ…)$
  2. Найти стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ $f'(Ρ…)=0$
  3. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ входят Π² Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ.
  4. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° ΠΈ Π² стационарных Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… ΠΈΠ· ΠΏ.3
  5. Π’Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² наибольшСС ΠΈΠ»ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ:

  1. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ $f'(Ρ…)$
  2. Найти стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ $f'(Ρ…)=0$
  3. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.
  4. ΠΠ°Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, Ρ€Π°ΡΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Π½Π΅ΠΉ стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°Ρ…, ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ записью ΠΏ.3.
  5. Найти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ: Ссли Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ производная мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ с плюса Π½Π° минус, Ρ‚ΠΎ это Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума (Ссли с минуса Π½Π° плюс, Ρ‚ΠΎ это Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°). На ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ стрСлок Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°Ρ…: Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅, Π³Π΄Π΅ производная ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°, стрСлка рисуСтся Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚.

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ
$c$$0$
$x$$1$
$x^n, n∈N$$nx^{n-1}, n∈N$
${1}/{x}$$-{1}/{x^2}$
${1}/x{^n}, n∈N$$-{n}/{x^{n+1}}, n∈N$
$√^n{x}, n∈N$${1}/{n√^n{x^{n-1}}, n∈N$
$sinx$$cosx$
$cosx$$-sinx$
$tgx$${1}/{cos^2x}$
$ctgx$$-{1}/{sin^2x}$
$cos^2x$$-sin2x$
$sin^2x$$sin2x$
$e^x$$e^x$
$a^x$$a^xlna$
$lnx$${1}/{x}$
$log_{a}x$${1}/{xlna}$

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° диффСрСнцирования

1. 2}$

4. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ внСшнСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

$f(g(x))β€²=fβ€²(g(x))βˆ™gβ€²(x)$

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

$f(x)= cos(5x)$

$fβ€²(x)=cosβ€²(5x)βˆ™(5x)β€²= β€” sin(5x)βˆ™5= -5sin(5x)$

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

НайдитС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ $y=2x-ln⁑(x+11)+4$

РСшСниС:

1. НайдСм ΠžΠ”Π— Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: $Ρ…+11>0; Ρ…>-11$

2. НайдСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ $y’=2-{1}/{x+11}={2x+22-1}/{x+11}={2x+21}/{x+11}$

3. НайдСм стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, приравняв ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ

${2x+21}/{x+11}=0$

Π”Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ Ссли Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ

$2x+21=0; x≠-11$

$2Ρ…=-21$

$Ρ…=-10,5$

4. НачСртим ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, расставим Π½Π° Π½Π΅ΠΉ стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°Ρ…. Для этого подставим Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ любоС число ΠΈΠ· ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ области, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π½ΡƒΠ»ΡŒ.

$y'(0)={2βˆ™0+21}/{0+11}={21}/{11}>0$

5. Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° производная мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ с минуса Π½Π° плюс, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° $-10,5$ β€” это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°. 3-5=6-90-5= -89$

НаибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ $967$

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: $967$

ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ°: Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΠΉ 12 Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Ρ‹ Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ (ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒ)

Боставим Ρ‚Π²ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΡΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ»Π°Π½ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΊ Π•Π“Π­

НахоТдСниС наибольшСго ΠΈ наимСньшСго значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ β€” ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

ПомоТСм ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡŽΠ±ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ

ΠΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ

Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ β€” Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΄ΡƒΡˆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³ΠΎ. Π£Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΈ, Π° ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π΄Π°ΠΆΠ΅ учитСля, дСлятся Π½Π° Π΄Π²Π° Π²Ρ€Π°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… лагСря: Ρ‚Π΅Ρ…, ΠΊΡ‚ΠΎ Π½Π΅Π½Π°Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚ этот Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π», ΠΈ Ρ‚Π΅Ρ…, ΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΎΠ½ каТСтся ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ умноТСния. Π˜ΡΡ‚ΠΈΠ½Π° Π³Π΄Π΅-Ρ‚ΠΎ посСрСдинС: Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‚ нашСго особого внимания, Π½ΠΎ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π½Ρ‹ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π»ΡŽΠ±ΠΎΠΌΡƒ, ΠΊΡ‚ΠΎ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΡ‹. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ…!

Π’ этой ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π·Π±Π΅Ρ€Ρ‘ΠΌ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ наибольшСго ΠΈ наимСньшСго значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅, ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅, Π² бСсконСчности, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΌ основныС свойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ связанныС Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ функция

Наш ΠΌΠΈΡ€ β€” это огромная коллСкция взаимосвязСй, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΉ явно, Π° ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π½Π΅Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²Π»ΠΈΡΡŽΡ‚ Π½Π° всСх, ΠΊΡ‚ΠΎ Π² Π½ΠΈΡ… участвуСт. Π’Π°ΡˆΠ΅ настроСниС ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Π»ΠΈΡΡ‚ΡŒ Π½Π° ΡƒΡΠΏΠ΅Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² школС, ΠΏΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ β€” Π½Π° спортивныС достиТСния, Π½Π°Π²Ρ‹ΠΊΠΈ β€” Π½Π° Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠΈΡ‚ΡŒ Π² унивСрситСт. Π’ физичСском ΠΌΠΈΡ€Π΅ Ρ‚Π΅ΠΌΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π° влияСт Π½Π° ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ протСкания процСсса, ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Π»Π° β€” Π½Π° Π΅Π³ΠΎ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊ плаванию Π² Π²ΠΎΠ΄Π΅, ΡƒΠ³ΠΎΠ» падСния Π»ΡƒΡ‡Π΅ΠΉ β€” Π½Π° Ρ‚ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΏΡ€Π΅Π»ΠΎΠΌΠ»ΡΡ‚ΡŒΡΡ, пройдя Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΡ€ΠΎΠ·Ρ€Π°Ρ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡƒ.

НСкоторыС ΠΈΠ· этих Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ матСматичСски: ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ участников Π±ΡƒΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ латинского Π°Π»Ρ„Π°Π²ΠΈΡ‚Π° ΠΈ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… взаимосвязь Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· матСматичСскиС дСйствия ΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ.

Ѐункция β€” это ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ описываСт взаимосвязь Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½.

Как ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ ΠΎΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ?

Π•ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ описываСт ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ускорСния Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΈ силы, ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ? Π”Π°:

А Ρ‡Ρ‚ΠΎ, Ссли Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ остатка Π΄Π΅Π½Π΅Π³ ΠΎΡ‚ количСства ΠΊΡƒΠΏΠ»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ€ΠΎΠ²? ΠŸΠΎΠΆΠ°Π»ΡƒΠΉΡΡ‚Π°:

, Π³Π΄Π΅

β€” остаток Π΄Π΅Π½Π΅Π³,

β€” исходная сумма,

β€” количСство Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ€Π°,

β€” ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ€Π° Π·Π° ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ.

Π’ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ· этих Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π΅ΡΡ‚ΡŒ зависимая ΠΈ нСзависимая ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅. Зависимая пСрСмСнная β€” это ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ функция, Π° нСзависимая β€” Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚. Π’Π°ΠΊ, Π² нашСм послСднСм ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ€Π° Π·Π° ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Π΅Π³ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ являСтся нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ (Ρ†Π΅Π½Ρƒ Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ» ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°Π²Π΅Ρ†, ΠΈ ΠΌΡ‹ Π½Π° это ΠΏΠΎΠ²Π»ΠΈΡΡ‚ΡŒ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ). Π—Π°Ρ‚ΠΎ остаток Π² кошСлькС поддаётся измСнСниям β€” Ρ‡Π΅ΠΌ мСньшС ΠΌΡ‹ ΠΊΡƒΠΏΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ€Π°, Ρ‚Π΅ΠΌ большС останСтся Π΄Π΅Π½Π΅Π³. И Ρ‚Π°ΠΊ Π² любой зависимости!

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅

Зависимая пСрСмСнная стоит слСва ΠΎΡ‚ Π·Π½Π°ΠΊΠ° Β«Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΒ» ΠΈ опрСдСляСтся Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, содСрТащСС Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚.

РСши Π΄ΠΎΠΌΠ°ΡˆΠΊΡƒ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° 5.

ΠŸΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² ΡΠ°ΠΌΠΎΠΉ слоТной Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅.

ГрафичСскоС Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для школьной Π½Π°ΡƒΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠΈ Π²Ρ‹ Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚Π΅ Π΄ΠΎΠΊΠ»Π°Π΄ ΠΎ загрязнСнии ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ срСды. Как Π²Ρ‹ Π΄ΡƒΠΌΠ°Π΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Ρ‘Ρ‚ больший эффСкт Π½Π° Π°ΡƒΠ΄ΠΈΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡŽ:

  • пСрСчислСниС статистичСских Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ± ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ количСства мусора Π·Π° послСдний Π³ΠΎΠ΄;

  • наглядная дСмонстрация роста загрязнСний Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°?

Π’Π΅Ρ€Π½ΠΎ β€” ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ, Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΈ, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ говорят ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π³Ρ€ΠΎΠΌΡ‡Π΅ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… слов! πŸ“ˆ

Для наглядного отобраТСния зависимости ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΌΡ‹ Π²Π²Π΅Π΄Ρ‘ΠΌ систСму ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ построим Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ β€” это прямая, кривая ΠΈΠ»ΠΈ ломаная линия, которая Π±Ρ‹Π»Π° построСна Ρ‡Ρ‘Ρ‚ΠΊΠΎ ΠΏΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ (Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ).

Как ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠ»ΠΈ, функция состоит ΠΈΠ· зависимой ΠΈ нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. Π’ Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΉ систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ нСзависимая пСрСмСнная отобраТаСтся с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ оси зависимая β€” с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ оси

Π’ зависимости ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Ρ‹Π³Π»ΡΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Ρ‚Π°ΠΊ:

НаибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

На ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°Ρ… Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ просит ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ наибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π§Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ?

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ наимСньшСС ΠΈΠ»ΠΈ наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ наимСньшСС ΠΈΠ»ΠΈ наибольшСС числСнноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ β€” зависимая пСрСмСнная.

НаибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ β€” это Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ любом Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚ справСдливым нСравСнство

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²ΠΊΠ°! πŸ˜… Если Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ большС, Ρ‡Π΅ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² окрСстностях Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ наибольшим Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅.

НаимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ β€” это Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ любом Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚ справСдливым нСравСнство

Если Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ мСньшС, Ρ‡Π΅ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² окрСстностях Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ наимСньшим Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅.

НаибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°Ρ…

Π‘Π°ΠΌΡ‹ΠΉ простой способ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ β€” Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

Если Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» прСдставлСн прямой:

  • ΠΏΡ€ΠΈ Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ функция ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈ наимСньшСм Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π΅ ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ΅ΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°;

  • ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ функция ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈ наибольшСм Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π΅ ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅ΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°.

Если Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» прСдставлСн ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ:

  • максимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ выглядит ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° Π³ΠΎΡ€Ρ‹, Π²ΠΎΠ·Π²Ρ‹ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ минимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°ΠΌΡƒΡŽ Π½ΠΈΠ·ΠΊΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ этого ΠΏΠΈΠΊΠ°;

  • минимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ выглядит ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π½ΠΎ Π½ΠΈΠ·ΠΈΠ½Ρ‹, ΠΎΠ²Ρ€Π°Π³Π°, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ максимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°ΠΌΡƒΡŽ Π²Ρ‹ΡΠΎΠΊΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ этого ΠΏΠΈΠΊΠ°.

Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ΅Π½ ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π³ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈ ΠΎΠ²Ρ€Π°Π³ΠΈ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ β€” Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ просто объСдиняСм ΠΎΠ±Π° ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π° для нахоТдСния ΠΈ Помним Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ: максимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ всСгда прСдставлСно самой высокой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси минимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ β€” самой Π½ΠΈΠ·ΠΊΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ наимСньшСго ΠΈ наибольшСго значСния Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ

Π£Π΄ΠΎΠ±Π΅Π½ Π»ΠΈ способ нахоТдСния ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ? ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½ΠΎ! ВсСгда Π»ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ? К соТалСнию, Π½Π΅Ρ‚.

Π”Π΅Π»ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ Π² Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ Π½Π° эту Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ Π΄Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, Π° Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π—Π°Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡƒΡŽ эти Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ слоТныС, ΠΈ построСниС ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Π·Π°ΠΉΠΌΡ‘Ρ‚ врСмя. ΠžΡˆΠΈΠ±Ρ‘Ρ‚Π΅ΡΡŒ Π² построСнии β€” допуститС ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΊΡƒ ΠΈ Π² Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ максимального ΠΈ минимального значСния, Π° Π½Π°ΠΌ это Π½Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ.

Бпособ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π½Π΅ уступаСт ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌΡƒ Π² простотС ΠΈ лаконичности, Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ поискС стационарных Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ. ΠšΠ°ΠΆΠ΅Ρ‚ΡΡ, Π½Π°ΠΌ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ Π΄Π²Π° Π½ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π° β€” Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΈΡ… Ρ€Π°Π·Π±Π΅Ρ€Ρ‘ΠΌ.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ β€” это ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ приращСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΏΡ€ΠΈ бСсконСчно ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, ΠΊΠ°ΠΊ быстро увСличиваСтся функция ΠΏΡ€ΠΈ бСсконСчно ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΌ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ

По сути, Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ провСсти ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½Ρ‹Π΅ дСйствия с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ заглянитС Π² Π½Π°ΡˆΡƒ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡŽ ΠΎΠ± этом ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π», Π° ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ° ΠΏΠΎΠΉΠ΄Ρ‘ΠΌ дальшС.

Бтационарная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

Π”Π΅Π»ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ Π€Π΅Ρ€ΠΌΠ° Π² стационарных Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… опрСдСляСтся экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, поэтому ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ Π² Π½ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ наибольшСС/наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Алгоритм нахоТдСния наибольшСго ΠΈ наимСньшСго значСния Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅

Как ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ наибольшСС ΠΈ наимСньшСС значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅?

  1. Найдём ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΠΌ, Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π»ΠΈ Π² Π½Π΅Ρ‘ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ.

  2. Найдём ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

  3. ΠŸΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄Ρ‘ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΎΠ½Π° обращаСтся Π² Π½ΡƒΠ»ΡŒ (Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅).

  4. Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ уравнСния Ρ‚Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π² Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ, ΠΈ вычислим Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Π½ΠΈΡ….

  5. Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΡ‘ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄Ρ‘ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Π½ΠΈΡ….

  6. Π‘Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ ΠΎ наибольшСм ΠΈ наимСньшСм Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π Π°Π·Π±Π΅Ρ€Ρ‘ΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ².

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1

НайдитС наибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅

РСшСниС:

  1. ΠžΠ”Π—:

  2. Π½Π΅ ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ Найдём Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…:

  3. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° являСтся наимСньшим Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅, Π° наибольшим.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 2

НайдитС наибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅

РСшСниС:

  1. ΠžΠ”Π—:

  2. , Π½ΠΎ Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ случаС Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ. А Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, производная Π½Π΅ обращаСтся Π² Π½ΡƒΠ»ΡŒ, стационарных Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π΅Ρ‚.

  3. Найдём Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°:

    β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅;

    β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅.

НаимСньшСС ΠΈ наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ бСсконСчном ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅

Π’ Ρ‡Ρ‘ΠΌ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° ΠΎΡ‚ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°? Π’ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ ΠΆΠ΅ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π½Π΅ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ), ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Π½ΠΈΡ… ΠΌΡ‹ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ (Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ ΠΌΡ‹ рассмотрим Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² окрСстностях этих Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Π½ΠΎ Π½Π΅ Π² Π½ΠΈΡ… самих).

Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ² задания ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ мноТСство, Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… свСдёт ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΊ поиску ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² Π² ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΈ

ВСрнёмся Π½Π° ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ шагов Π½Π°Π·Π°Π΄. А Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ?

Если Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΊΠΎ, Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ β€” это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ число , ΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ функция стрСмится, Π² Ρ‚ΠΎ врСмя ΠΊΠ°ΠΊ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ стрСмится Π΄ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‡ΡŒ числа

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, наша функция прСдставлСна ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Найдём ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ подставив это Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ вмСсто Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция стрСмится ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ числу Π² Ρ‚ΠΎ врСмя ΠΊΠ°ΠΊ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ приблиТаСтся ΠΊ этому Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ. Π’ ΠΎΡ‚Ρ€Ρ‹Π²Π΅ ΠΎΡ‚ настоящСго уравнСния ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ это Ρ‚Π°ΠΊ:

Ѐункция ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΊ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ числу, Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈ ΠΊ бСсконСчности. Π’ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ случаС ΠΏΡ€ΠΈ подстановкС бСсконСчности Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ.

Π’ Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°Ρ… этой ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΠ²ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ этому ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, поэтому ΠΆΠ΄Ρ‘ΠΌ Вас Π½Π° курсах ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π² ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-школС Skysmart β€” Ρ‚Π°ΠΌ Π½ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Π½Π΅ останСтся Π½Π΅Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ. πŸ˜‰

ВСрнёмся ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ! Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ наибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅?

  1. Найдём ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΠΌ, Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π»ΠΈ Π² Π½Π΅Ρ‘ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π».

  2. Найдём ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

  3. ΠŸΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄Ρ‘ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΎΠ½Π° обращаСтся Π² Π½ΡƒΠ»ΡŒ (Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅).

  4. Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ уравнСния Ρ‚Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π² Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ, ΠΈ вычислим Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Π½ΠΈΡ….

  5. Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΡ‘ΠΌ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π° ΠΈ вычислим Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π° Π² этих Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… (согласно Ρ‚ΠΈΠΏΡƒ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°).

  6. Π‘Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ ΠΎ наибольшСм ΠΈ наимСньшСм Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Для вычислСния ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π° Π²Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ сводная Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°, которая ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°:

Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»

ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π»

ΠΈ
ΠΈ
ΠΈ

Если ΠΏΡ€ΠΈ вычислСнии одностороннСго ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π° Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚Π΅ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ наибольшСС/наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 3

НСобходимо Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ наибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° всём ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ области опрСдСлСния.

РСшСниС:

  1. ΠžΠ”Π—:

  2. Найдём стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ:

  3. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ области опрСдСлСния ΠΈ являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°.

  4. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ β€” ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π°, Π²Π΅Ρ‚Π²ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Ρ‹ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…, ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ максимума.

CСгодня ΠΌΡ‹ Π½Π° славу ΠΏΠΎΡ‚Ρ€ΡƒΠ΄ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ ΠΈ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π»ΠΈ мноТСство Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Ρ… вопросов:

  • Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ функция, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΎΠ½Π° Π±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚;

  • Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ наимСньшСС ΠΈ наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ;

  • ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅;

  • ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ наимСньшСС ΠΈ наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅;

  • Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΈ производная.

Π’ΠΎΡ‚ ΠΈ Π΅Ρ‰Ρ‘ ΠΎΠ΄Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΠ° ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ стала понятнСС! А Ссли всё ΠΆΠ΅ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΈΡΡŒ вопросы, спСшим Π΅Ρ‰Ρ‘ Ρ€Π°Π· ΠΏΡ€ΠΈΠ³Π»Π°ΡΠΈΡ‚ΡŒ вас Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π² Skysmart β€” ΠΌΡ‹ постараСмся ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Π½ΠΈΡ…, Π·Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠΈ ΠΏΠΎΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡. ΠžΠ±Π΅Ρ‰Π°Π΅ΠΌ, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡƒΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈ Π±Π΅Π·ΡƒΠΌΠ½ΠΎ интСрСсно!

Π¨ΠΏΠ°Ρ€Π³Π°Π»ΠΊΠΈ для Ρ€ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅

ВсС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ Ρ€ΡƒΠΊΠΎΠΉ

Π”Π°Ρ€ΡŒΡ Π’ΠΈΡˆΠ½ΡΠΊΠΎΠ²Π°

К ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΉ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

К ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅

ВычислСниС ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ»Π°Π½ обучСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡŽΠ±ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ

На Π²Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ с ΠΌΠ΅Ρ‚одистом

  1. Выявим ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π΅Π»Ρ‹ Π² Π·Π½Π°Π½ΠΈΡΡ… ΠΈ Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ совСты ΠΏΠΎ ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ

  2. РасскаТСм, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΡ…одят занятия

  3. ΠŸΠΎΠ΄Π±Π΅Ρ€Ρ‘ΠΌ курс

5.1 ΠœΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡƒΠΌ ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ

Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° локального максимума Π½Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° $(x,y)$ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° $y$ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° большС, Ρ‡Π΅ΠΌ всС ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ $y$ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… Β«Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΡ… ΠΊΒ»$(x,y)$. Π’ΠΎΡ‡Π½Π΅Π΅, $(x,f(x))$ являСтся Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ максимумом, Ссли сущСствуСт ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» $(a,b)$ с $allocal Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ссли ΠΎΠ½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ локально Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΡƒΡŽ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρƒ $y$. Π‘Π½ΠΎΠ²Π° Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Π΅Π΅: $(x,f(x))$ являСтся Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠΌ, Ссли сущСствуСт ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» $(a,b)$ с $Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ экстрСмумом являСтся Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠΌ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ максимумом.

Π›ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, ΠΈ поэтому ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ для понимания Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ. Π’ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ… ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ наибольшСС ΠΈΠ»ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ достигаСт функция (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°Ρ…ΠΎΡ‚Π΅Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Π° нСкоторая Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°) ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ для ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹. НСкоторыС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ локального максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Π½Π° рис. 5.1.1.

Рисунок 5.1.1. НСкоторыС Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума ($A$) ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° ($B$).

Если $(x,f(x))$ β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ $f(x)$ достигаСт локального максимума ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°, ΠΈ Ссли производная ΠΎΡ‚ $f$ сущСствуСт Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ $x$, Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ, Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ. Π­Ρ‚ΠΎ достаточно Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ, хотя ΠΌΡ‹ Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 5.1.1 (Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π€Π΅Ρ€ΠΌΠ°). Если $f(x)$ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ экстрСмум Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ $x=a$ ΠΈ $f$ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠ° Π² $a$, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° $f'(a)=0$. $\qed$

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, СдинствСнный Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… функция ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ максимум ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° Π»Π΅Π²ΠΎΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π² рисунок 5.1.1, ΠΈΠ»ΠΈ производная Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅. Π›ΡŽΠ±ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ $x$, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… $f'(x)$ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ, называСтся критичСскоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ для $f$ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° $(x,f(x))$ Π½Π° ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ называСтся критичСская Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° для $f$. ΠŸΡ€ΠΈ поискС Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ локального максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Π²Ρ‹, вСроятно, ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π²Π° Π²ΠΈΠ΄Π° ошибок: Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π·Π°Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ максимум ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·ΠΎΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚Π°ΠΌ, Π³Π΄Π΅ производная Π½Π΅ сущСствуСт, ΠΈ поэтому Π·Π°Π±ΡƒΠ΄ΡŒΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅Π·Π΄Π΅ Π»ΠΈ сущСствуСт производная. Π’Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ любоС мСсто, Π³Π΄Π΅ производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ, являСтся Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ максимумом ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, Π½ΠΎ это Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ. 2$ ΠΈ $f'(0)=0$, Π½ΠΎ Π½Π΅Ρ‚ Π½ΠΈ максимума, Π½ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Π² $(0,0)$.

Рисунок 5.1.2. НСт Π½ΠΈ максимума, Π½ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°, хотя производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊ Π² локальном максимумС, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ локального ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ΅Π½ способ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ происходит. Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²ΠΎ элСмСнтарный ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄, Π½ΠΎ часто ΡƒΡ‚ΠΎΠΌΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ, состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ нСпосрСдствСнно ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ, находится Π»ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° $y$ Β«Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΎΒ» ΠΊ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ максимум ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ $y$ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ прСдставляСт интСрСс. ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, слишком ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ «рядом» с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ, Π½ΠΎ нСбольшоС Ρ€Π°Π·ΠΌΡ‹ΡˆΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π΄Π²Π°, Ссли ΠΌΡ‹ извСстно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $f$ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° (Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π’ $f$ Π½Π΅Ρ‚ Π½ΠΈ скачков, Π½ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π΅Π»ΠΎΠ²).

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… $f’$ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ сущСствуСт: $\ds (x_1,y_1)$, $\ds (x_2,y_2)$, $\ds (x_3,y_3)$, ΠΈ $\ds x_15. 1.3). ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ вычисляСм Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ $f(a)$ для $\ds x_1f(x_2)$? НСт: Ссли Π±Ρ‹ ΠΎΠ½ΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΈ, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ шСл Π±Ρ‹ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΎΡ‚ $(a,f(a))$ Π΄ΠΎ $(b,f(b))$, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²Π½ΠΈΠ· Π΄ΠΎ $\ds (x_2,f(x_2))$ ΠΈ Π³Π΄Π΅-Ρ‚ΠΎ Π² ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° локального максимума. (Π­Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, это Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎΠ± ΡΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ, Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 6.1.2.) Но Π² этом локальном максимумС производная ΠΎΡ‚ $f$ Π±Ρ‹Π»Π° Π±Ρ‹ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ сущСствовала Π±Ρ‹, Π½ΠΎ ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ извСстно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ сущСствуСт Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ $\ds x_1$, $\ds ​​x_2$ ΠΈ $\ds x_3$. Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ вычислСниС Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $\ds ​​(x_2,f(x_2))$ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡŽ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρƒ $y$ любой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ $\ds x_2$ ΠΈ Π»Π΅Π²Π΅Π΅ $\ds x_2$. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС тСст справа. Если ΠΌΡ‹ ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎ ΠΎΠ±Π΅ стороны ΠΎΡ‚ $\ds x_2$ значСния мСньшС, Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ максимум Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ $\ds (x_2,f(x_2))$; Ссли Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎ ΠΎΠ±Π΅ стороны ΠΎΡ‚ $\ds x_2$ значСния большС, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Π² $\ds (x_2,f(x_2))$; Ссли ΠΌΡ‹ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‚ΠΎ Π½Π΅Ρ‚ Π½ΠΈ локального максимума, Π½ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ $\ds x_2$. 2-1$. Π­Ρ‚ΠΎ опрСдСляСтся Π²Π΅Π·Π΄Π΅ ΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ Π² $\ds x=\pm \sqrt{3}/3$. Глядя сначала Π½Π° $\ds ​​x=\sqrt{3}/3$, ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $\ds f(\sqrt{3}/3)=-2\sqrt{3}/9$. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ тСстируСм Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠΎ ΠΎΠ±Π΅ стороны $\ds ​​x=\sqrt{3}/3$, ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΠ²ΡˆΠΈΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Π½Π΅ находится дальшС, Ρ‡Π΅ΠΌ блиТайшСС критичСскоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅; Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ $\ds\sqrt{3}-2\sqrt{3}/9$ ΠΈ $\ds f(1)=0>-2\sqrt{3}/9$, Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ $\ds ​​x=\sqrt{3}/3$. Для $\ds x=-\sqrt{3}/3$ ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $\ds ​​f(-\sqrt{3}/3)=2\sqrt{3}/9$. На этот Ρ€Π°Π· ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ $x=0$ ΠΈ $x=-1$, ΠΈ ΠΌΡ‹ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $\ds f(-1)=f(0)=0

ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, этот ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ сдСлан ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ простым благодаря Π½Π°ΡˆΠ΅ΠΌΡƒ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ для тСст, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ $x=-1$, $0$, $1$. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ значСния, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ $-5/4$, $1/3$ ΠΈ $3/4$, Π½ΠΎ это сдСлало Π±Ρ‹ расчСты Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡƒΡ‚ΠΎΠΌΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π΅Π΅.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5.1.3 НайдитС всС Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° для $f(x)=\sinx+\cosx$. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ€Π°Π²Π½Π° $f'(x)=\cos x-\sin x$. Π­Ρ‚ΠΎ всСгда ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ ΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ всякий Ρ€Π°Π·, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° $\cos x=\sin x$. напоминая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $\cos x$ ΠΈ $\sin x$ β€” ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ $x$ ΠΈ $y$ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³, ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $\cos x=\sin x$, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° $x$ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ $\pi/4$, $\pi/4\pm\pi$, $\pi/4\pm2\pi$, $\pi/4\pm3\pi$ ΠΈ Ρ‚. Π΄. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ±Π° синуса ΠΈ косинус ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ $2\pi$, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ состояниС $x=\pi/4$ ΠΈ $x=5\pi/4$. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ $0$ ΠΈ $\pi/2$ для ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ критичСскоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ $x= \pi/4$. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $\ds f(\pi/4)=\sqrt{2}$, $\ds f(0)=1

ΠœΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ $\pi$ ΠΈ $2\pi$ для ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ критичСского значСния $x=5\pi/4$. ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ значСния: $\ds f(5\pi/4)=-\sqrt2$, $\ds f(\pi)=-1>-\sqrt2$, $\ds ​​f(2\pi)=1>-\sqrt2$, поэтому сущСствуСт Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ $x=5\pi/4$, $5\pi/4\pm2\pi$, $5\pi/4\pm4\pi$ ΠΈ Ρ‚. Π΄. Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΎ: Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈ $5\pi/4\pm 2k\pi$ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число $k$. $\ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚$

Π’ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ… 1–12 Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ всС Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ максимумы ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ $(x,y)$ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ, описанным Π² этом Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5.1.1 92 &$x \neq 0$\cr}$ (ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5. 1.13 Для любого Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа $x$ сущСствуСт СдинствСнный Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число $n$ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $n \leq x

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5.1.14 ΠžΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ функция $f(x)=1/x$ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… максимумы ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5.1.15 Бколько критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ квадратичная полиномиальная функция? (ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5.1.16 ΠŸΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ кубичСский ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π΄Π²ΡƒΡ… критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ кубичСский ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π½ΡƒΠ»ΡŒ, ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π²Π΅ критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. 92 + Π¬Ρ… = (Π°Ρ… + Π¬)Ρ…. \end{Π²Ρ‹Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅} Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ссли $(x,c)$ находится Π½Π° ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ Π»ΠΈΠ±ΠΎ $ax + b = 0$, Π»ΠΈΠ±ΠΎ $x = 0$. Установив $x_1 = -\dfrac ba$ ΠΈ $x_2 = 0$, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ эти Π΄Π²Π° значСния для $x$ ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ $\left(-\frac ba, c\right)$ ΠΈ $(0, c)$ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π° ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ кривая симмСтрична ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси, Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ось Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ $\left(-\frac ba, c\right)$ ΠΈ $(0, c)$, Ρ‚.

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *