Наибольшее и наименьшее значение функции
Все для самостоятельной подготовки к ЕГЭ
Зарегистрироваться
Русский язык Математика (профильная) Математика (базовая) Обществознание Физика История Биология Химия Английский язык Литература Информатика География
Задания Варианты Теория
Простейшие уравнения
Вычисления и преобразования. Логарифмические выражения
Логарифмические уравнения
Начала теории вероятностей
Вычисления и преобразования выражений
Тригонометрия. Основные тождества и формулы приведения
Тригонометрия.
Преобразование выражений
Тригонометрия. Простейшие уравнения
Планиметрия. Четырехугольники
Планиметрия. Задачи на окружности
Планиметрия. Вписанная и описанная окружность
Производная. Дифференцирование, физический смысл производной
Производная. Геометрический смысл
Производная. Производная сложной функции
Производная. Исследование функции
Задачи с прикладным содержанием
Текстовые задачи. Задачи на движение
Текстовые задачи. Проценты, совместная работа
Текстовые задачи. Смеси и сплавы, прогрессии
Стереометрия. Параллелепипед. Пирамида. Призма
Стереометрия. Цилиндр. Конус. Шар
Стереометрия. Комбинация тел
Тригонометрические уравнения
Уравнения
Стереометрия
Стереометрия.
Разбор сложных заданий в тг-канале:
Посмотреть
Наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение ординаты на рассматриваемом интервале.
Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции необходимо:
- Найти производную функции $f'(х)$
- Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
- Проверить, какие стационарные точки входят в заданный отрезок.
- Вычислить значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3
- Выбрать из полученных результатов наибольшее или наименьшее значение.
Чтобы найти точки максимума или минимума необходимо:
- Найти производную функции $f'(х)$
- Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
- Разложить производную функции на множители.
- Начертить координатную прямую, расставить на ней стационарные точки и определить знаки производной в полученных интервалах, пользуясь записью п.3.
- Найти точки максимума или минимума по правилу: если в точке производная меняет знак с плюса на минус, то это будет точка максимума (если с минуса на плюс, то это будет точка минимума). На практике удобно использовать изображение стрелок на промежутках: на промежутке, где производная положительна, стрелка рисуется вверх и наоборот.
Таблица производных некоторых элементарных функций:
| Функция | Производная |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n, n∈N$ | $nx^{n-1}, n∈N$ |
| ${1}/{x}$ | $-{1}/{x^2}$ |
| ${1}/x{^n}, n∈N$ | $-{n}/{x^{n+1}}, n∈N$ |
| $√^n{x}, n∈N$ | ${1}/{n√^n{x^{n-1}}, n∈N$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | ${1}/{cos^2x}$ |
| $ctgx$ | $-{1}/{sin^2x}$ |
| $cos^2x$ | $-sin2x$ |
| $sin^2x$ | $sin2x$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^xlna$ |
| $lnx$ | ${1}/{x}$ |
| $log_{a}x$ | ${1}/{xlna}$ |
Основные правила дифференцирования
1.
2}$
4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции
$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$
Пример:
$f(x)= cos(5x)$
$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= — sin(5x)∙5= -5sin(5x)$
Пример:
Найдите точку минимума функции $y=2x-ln(x+11)+4$
Решение:
1. Найдем ОДЗ функции: $х+11>0; х>-11$
2. Найдем производную функции $y’=2-{1}/{x+11}={2x+22-1}/{x+11}={2x+21}/{x+11}$
3. Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю
${2x+21}/{x+11}=0$
Дробь равна нулю если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю
$2x+21=0; x≠-11$
$2х=-21$
$х=-10,5$
4. Начертим координатную прямую, расставим на ней стационарные точки и определим знаки производной в полученных интервалах. Для этого подставим в производную любое число из крайней правой области, например, нуль.
$y'(0)={2∙0+21}/{0+11}={21}/{11}>0$
5. В точке минимума производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, точка $-10,5$ — это точка минимума.
3-5=6-90-5= -89$
Наибольшее значение равно $967$
Ответ: $967$
Практика: решай 12 задание и тренировочные варианты ЕГЭ по математике (профиль)
Составим твой персональный план подготовки к ЕГЭ
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции — пример
Поможем понять и полюбить математику
Начать учиться
Функции и графики в математике — темы, которые не могут оставить равнодушными никого. Ученики, а порой даже учителя, делятся на два враждующих лагеря: тех, кто ненавидит этот раздел, и тех, кому он кажется проще таблицы умножения. Истина где-то посередине: функции требуют нашего особого внимания, но способны подчиниться любому, кто знает правильные алгоритмы. Давайте и мы попробуем приручить их!
В этой статье мы разберём нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке, интервале, в
бесконечности, а также повторим основные свойства функции и связанные термины.
Что такое функция
Наш мир — это огромная коллекция взаимосвязей, которые порой явно, а порой невидимо влияют на всех, кто в них участвует. Ваше настроение может влиять на успеваемость в школе, питание — на спортивные достижения, навыки — на возможность поступить в университет. В физическом мире температура влияет на скорость протекания процесса, плотность тела — на его способность к плаванию в воде, угол падения лучей — на то, каким образом они будут преломляться, пройдя через прозрачную призму.
Некоторые из этих взаимоотношений можно описать математически: обозначить участников буквами латинского алфавита и описать их взаимосвязь через математические действия и знаки.
Функция — это правило, формула или выражение, которое описывает взаимосвязь двух величин.
Как описать зависимость пройденного пути от времени?
Есть ли правило, которое описывает отношение ускорения тела и силы, приложенной к нему? Да:
А что, если нужно вычислить зависимость остатка денег от количества купленных товаров? Пожалуйста:
, где
— остаток денег,
— исходная сумма,
— количество товара,
— стоимость товара за одну единицу.
В каждом из этих выражений есть зависимая и независимая переменные. Зависимая переменная — это и есть функция, а независимая — аргумент. Так, в нашем последнем примере стоимость товара за одну его единицу является независимой переменной (цену назначил продавец, и мы на это повлиять никак не можем). Зато остаток в кошельке поддаётся изменениям — чем меньше мы купим товара, тем больше останется денег. И так в любой зависимости!
Обратите внимание
Зависимая переменная стоит слева от знака «равно» и определяется через выражение, содержащее аргумент.
Реши домашку по математике на 5.
Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.
Графическое задание функции
Представьте, что для школьной научной конференции вы готовите доклад о загрязнении окружающей среды. Как вы думаете, что произведёт больший эффект на аудиторию:
перечисление статистических данных об увеличении количества мусора за последний год;
наглядная демонстрация роста загрязнений в виде графика?
Верно — иллюстрации, фотографии, графики и диаграммы говорят порой громче любых слов! 📈
Для наглядного отображения зависимости одной переменной от другой мы введём систему координат, в которой построим график.
График — это прямая, кривая или ломаная линия, которая была построена чётко по уравнению
(функции).
Как мы уже говорили, функция состоит из зависимой и независимой переменной. В декартовой системе координат независимая переменная отображается с помощью оси зависимая — с помощью оси
В зависимости от типа функции график может выглядеть, например, так:
Наибольшее и наименьшее значение функции
На уроках алгебры учитель просит определить наибольшее и наименьшее значение функции. Что он имеет в виду?
Чтобы найти наименьшее или наибольшее значение функции, необходимо понять, какое наименьшее или наибольшее численное значение принимает — зависимая переменная.
Наибольшее значение функции на некотором промежутке — это значение которое при любом значении делает справедливым неравенство
Теперь расшифровка! 😅 Если на данном интервале значение больше, чем значение в окрестностях точки то такой будет считаться наибольшим значением на данном промежутке.
Наименьшее значение функции на некотором промежутке — это значение которое при любом значении делает справедливым неравенство
Если на данном интервале значение меньше, чем значение в окрестностях точки то такой будет считаться наименьшим значением на данном промежутке.
Наибольшее и наименьшее значение функции на графиках
Самый простой способ определить и — рассмотреть график.
Если заданный интервал представлен прямой:
при возрастающей функции: наименьшее значение функция примет при наименьшем аргументе и наоборот, наибольшее значение функции будет соответствовать наибольшему значению аргумента;
при убывающей функции: наименьшее значение функция примет при наибольшем аргументе и наоборот, наибольшее значение функции будет соответствовать наименьшему значению аргумента.
Если заданный интервал представлен кривой:
максимальное значение функции выглядит как вершина горы, возвышенности, тогда как минимальное значение мы можем определить как самую низкую точку относительно этого пика;
минимальное значение функции выглядит как дно низины, оврага, тогда как максимальное значение мы можем определить как самую высокую точку относительно этого пика.
Определение наименьшего и наибольшего значения через производную
Удобен ли способ нахождения и через график? Определённо!
Всегда ли его можно использовать? К сожалению, нет.
Дело в том, что большинство заданий в алгебре на эту тему даются не через график, а через уравнение функции. Зачастую эти функции сложные, и построение их графиков займёт время. Ошибётесь в построении — допустите ошибку и в нахождении максимального и минимального значения, а нам это не нужно.
Способ, который не уступает первому в простоте и лаконичности, заключается в определении производной функции и поиске стационарных точек. Кажется, нам встретились два новых термина — давайте их разберём.
Производная функции — это отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращении аргумента.
Производная функции показывает, как быстро увеличивается функция при бесконечно малом увеличении
По сути, найти производную означает провести определённые действия с помощью таблицы производных
функций.
Обязательно загляните в нашу статью об этом и изучите материал, а мы пока пойдём дальше.
Стационарная точка — точка, в которой значение аргумента производной функции равно нулю.
Дело в том, что по теореме Ферма в стационарных точках определяется экстремум функции, поэтому можно сделать вывод, что на некотором промежутке в них можно определить и наибольшее/наименьшее значение функции.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке
Как определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?
Найдём область определения данной функции и проверим, входит ли в неё заданный отрезок.
Найдём производную данной функции.
Приравняем производную к нулю и найдём точки, в которых она обращается в нуль (решим уравнение).
Выберем из корней уравнения те точки, которые попадают в заданный промежуток, и вычислим значение функции в них.
Возьмём точки начала и конца отрезка и найдём значение функции в них.
Сделаем вывод о наибольшем и наименьшем значении функции.
Разберём пару примеров.
Задача 1
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Решение:
ОДЗ:
не попадает в промежуток Найдём значение функции только в крайних точках:
Тогда является наименьшим значением на данном отрезке, а наибольшим.
Задача 2
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Решение:
ОДЗ:
, но в таком случае знаменатель равен нулю, что невозможно. А значит, производная не обращается в нуль, стационарных точек нет.
Найдём значение функции в крайних точках отрезка:
— точка максимума на промежутке;
— точка минимума на промежутке.
Наименьшее и наибольшее значение функции на открытом или бесконечном интервале
В чём отличие отрезка от интервала? В отрезке определены крайние точки, в интервале же крайние точки могут не
существовать (например ), или значение функции в них мы рассматривать не будем (на интервале
мы рассмотрим значение функции в окрестностях этих точек, но не в них самих).
Вариантов задания интервала может быть множество, но каждый из них сведёт определение и к поиску производной и вычислению пределов в крайних точках, например и
Вернёмся на пару шагов назад. А что такое предел функции?
Если говорить коротко, то предел функции — это такое число , к которому функция стремится, в то время как аргумент стремится достичь числа
Предположим, наша функция представлена уравнением Найдём предел функции при подставив это значение вместо в уравнение:
Это означает, что функция стремится приблизиться к числу в то время как аргумент тоже приближается к этому значению. В отрыве от настоящего уравнения мы могли бы представить это так:
Функция может стремиться не только к рациональному
числу, но также и к бесконечности. В таком случае при подстановке бесконечности в функцию возникает
неопределённость, которую необходимо решить разными методами.
В рамках этой статьи мы не можем посвятить этому много времени, поэтому ждём Вас на курсах математики в онлайн-школе Skysmart — там ни один предел не останется незамеченным. 😉
Вернёмся к функции! Итак, как же определить наибольшее и наименьшее значение на интервале?
Найдём область определения данной функции и проверим, входит ли в неё заданный интервал.
Найдём производную данной функции.
Приравняем производную к нулю и найдём точки, в которых она обращается в нуль (решим уравнение).
Выберем из корней уравнения те точки, которые попадают в заданный промежуток, и вычислим значение функции в них.
Возьмём крайние точки интервала и вычислим значение предела в этих точках (согласно типу интервала).
Сделаем вывод о наибольшем и наименьшем значении функции.
Для вычисления предела вам поможет сводная таблица, которая учитывает вид интервала:
Интервал | Предел |
|---|---|
| и | |
| и | |
| и |
Если при вычислении одностороннего предела вы получаете бесконечность, то вычислить наибольшее/наименьшее
значение невозможно.
Задача 3
Необходимо найти наибольшее и наименьшее значение функции на всём промежутке области определения.
Решение:
ОДЗ:
Найдём стационарные точки:
Точка входит в промежуток области определения и является точкой минимума.
Так как — парабола, ветви которой направлены вверх, мы не можем определить точку максимума.
Cегодня мы на славу потрудились и разобрали множество важных вопросов:
что такое функция, какой она бывает;
что такое наименьшее и наибольшее значение функции;
как определить и на отрезке;
как находить наименьшее и наибольшее значение функции на интервале;
что такое предел и производная.
Вот и ещё одна тема по математике стала понятнее! А если всё же остались вопросы, спешим ещё раз пригласить вас на уроки математики в Skysmart — мы постараемся ответить на них, закрепить материал и попрактиковаться в решении задач. Обещаем, будет увлекательно и безумно интересно!
Шпаргалки для родителей по математике
Все формулы по математике под рукой
Дарья Вишнякова
К предыдущей статье
Вектор
К следующей статье
Вычисление первообразной функции
Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику
На вводном уроке с методистом
Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению
Расскажем, как проходят занятия
Подберём курс
5.1 Максимум и минимум
точка локального максимума на функции является
точка $(x,y)$ на графике функции, координата $y$ которой равна
больше, чем все остальные координаты $y$ на графике в точках «близких
к»$(x,y)$.
Точнее, $(x,f(x))$ является локальным максимумом, если существует
интервал $(a,b)$ с $allocal точкой минимума
если он имеет локально наименьшую координату $y$. Снова
точнее: $(x,f(x))$ является локальным минимумом, если существует
интервал $(a,b)$ с $локальным экстремумом
является либо локальным минимумом, либо локальным максимумом.
Локальные точки максимума и минимума хорошо различаются на графике функцию, и поэтому полезны для понимания формы график. Во многих прикладных задачах мы хотим найти наибольшее или наименьшее значение, которое достигает функция (например, мы можем захотеть найти минимальную стоимость, при которой может быть выполнена некоторая задача) и, следовательно, определение максимальных и минимальных точек будет полезно для прикладных также проблемы. Некоторые примеры точек локального максимума и минимума показаны на рис. 5.1.1.
Рисунок 5.1.1. Некоторые локальные точки максимума ($A$) и точки минимума ($B$).
Если $(x,f(x))$ — точка, в которой $f(x)$ достигает локального максимума или минимума,
и если производная от $f$ существует в точке $x$, то граф имеет
касательная, а касательная должна быть горизонтальной.
Это
достаточно важно, чтобы сформулировать его как теорему, хотя мы не будем его доказывать.
Теорема 5.1.1 (теорема Ферма). Если $f(x)$ имеет локальный экстремум в точке $x=a$ и $f$ дифференцируема в $a$, тогда $f'(a)=0$. $\qed$
Таким образом, единственный
точки, в которых функция может иметь локальный максимум или минимум
точки, в которых производная равна нулю, как на левом графике в
рисунок 5.1.1,
или производная не определена, как на правом графике. Любое значение
$x$, для которых $f'(x)$ равно нулю или не определено, называется критическое значение для $f$ и
точка $(x,f(x))$ на кривой называется критическая точка для $f$.
При поиске точек локального максимума и минимума вы, вероятно,
сделать два вида ошибок: вы можете забыть, что максимум или минимум
может произойти там, где производная не существует, и поэтому забудьте проверить
везде ли существует производная. Вы также можете предположить, что
любое место, где производная равна нулю, является локальным максимумом или минимумом
точка, но это не так.
2$ и $f'(0)=0$, но нет ни максимума, ни
минимум в $(0,0)$.
Рисунок 5.1.2. Нет ни максимума, ни минимума, хотя производная равна нулю.
Поскольку производная равна нулю или не определена как в локальном максимуме, так и в точки локального минимума, нам нужен способ определить, какие из них на самом деле происходит. Большинство элементарный подход, но часто утомительный или трудный, состоит в том, чтобы непосредственно проверить, находится ли координата $y$ «близко» к потенциальному максимум или минимум выше или ниже координаты $y$ в точке представляет интерес. Конечно, слишком много точек «рядом» с точкой чтобы проверить, но небольшое размышление показывает, что нам нужно проверить только два, если мы известно, что $f$ непрерывна (напомним, что это означает, что график В $f$ нет ни скачков, ни пробелов).
Предположим, например, что мы определили три точки, в которых
$f’$ равно нулю или не существует: $\ds (x_1,y_1)$, $\ds (x_2,y_2)$, $\ds (x_3,y_3)$,
и $\ds x_15.
1.3). Предположим, что мы вычисляем значение $f(a)$ для $\ds x_1f(x_2)$? Нет: если бы они были, график шел бы вверх от
$(a,f(a))$ до $(b,f(b))$, затем вниз до $\ds (x_2,f(x_2))$ и где-то в
между ними будет точка локального максимума. (Это не очевидно, это
результат теоремы об экстремальном значении, теорема 6.1.2.)
Но в этом локальном максимуме
производная от $f$ была бы нулевой или не существовала бы, но мы
уже известно, что производная равна нулю или не существует только при $\ds x_1$,
$\ds x_2$ и $\ds x_3$. В результате одно вычисление говорит нам, что
$\ds (x_2,f(x_2))$ имеет наибольшую координату $y$ любой точки на
график около $\ds x_2$ и левее $\ds x_2$. Мы можем выполнить то же самое
тест справа. Если мы обнаружим, что по обе стороны от $\ds x_2$ значения
меньше, то должен быть локальный максимум в точке $\ds (x_2,f(x_2))$; если
находим, что по обе стороны от $\ds x_2$ значения больше, тогда
должен быть локальный минимум в $\ds (x_2,f(x_2))$; если мы найдем один из каждого,
то нет ни локального максимума, ни минимума в точке $\ds x_2$.
2-1$. Это определяется
везде и равен нулю в $\ds x=\pm \sqrt{3}/3$. Глядя сначала на
$\ds x=\sqrt{3}/3$, мы видим, что $\ds f(\sqrt{3}/3)=-2\sqrt{3}/9$. Теперь мы тестируем
две точки по обе стороны
$\ds x=\sqrt{3}/3$, убедившись, что ни один из них не находится дальше, чем
ближайшее критическое значение; так как $\ds\sqrt{3}-2\sqrt{3}/9$
и $\ds f(1)=0>-2\sqrt{3}/9$, должен быть локальный минимум при
$\ds x=\sqrt{3}/3$. Для $\ds x=-\sqrt{3}/3$ мы видим, что
$\ds f(-\sqrt{3}/3)=2\sqrt{3}/9$. На этот раз мы можем использовать $x=0$ и $x=-1$,
и мы находим, что $\ds f(-1)=f(0)=0
Конечно, этот пример сделан очень простым благодаря нашему выбору точек для тест, а именно $x=-1$, $0$, $1$. Мы могли бы использовать другие значения, например $-5/4$, $1/3$ и $3/4$, но это сделало бы расчеты значительно утомительнее.
Пример 5.1.3
Найдите все локальные точки максимума и минимума для
$f(x)=\sinx+\cosx$. Производная равна $f'(x)=\cos x-\sin x$. Это
всегда определен и равен нулю всякий раз, когда $\cos x=\sin x$.
напоминая, что
$\cos x$ и $\sin x$ — координаты $x$ и $y$ точек на
единичный круг, мы видим, что $\cos x=\sin x$, когда $x$ равно $\pi/4$,
$\pi/4\pm\pi$, $\pi/4\pm2\pi$, $\pi/4\pm3\pi$ и т. д. Поскольку оба синуса
и косинус имеют период $2\pi$, нам нужно только определить состояние
$x=\pi/4$ и $x=5\pi/4$. Мы можем использовать $0$ и $\pi/2$ для проверки
критическое значение $x= \pi/4$.
Получаем, что $\ds f(\pi/4)=\sqrt{2}$, $\ds f(0)=1
Мы используем $\pi$ и $2\pi$ для проверки критического значения $x=5\pi/4$. соответствующие значения: $\ds f(5\pi/4)=-\sqrt2$, $\ds f(\pi)=-1>-\sqrt2$, $\ds f(2\pi)=1>-\sqrt2$, поэтому существует локальный минимум при $x=5\pi/4$, $5\pi/4\pm2\pi$, $5\pi/4\pm4\pi$ и т. д. Более кратко: локальные минимумы при $5\pi/4\pm 2k\pi$ для каждое целое число $k$. $\квадрат$
В задачах 1–12 найти все локальные максимумы и минимумы точек $(x,y)$ методом, описанным в этом разделе.
Пример 5.1.1 92 &$x \neq 0$\cr}$ (отвечать)
Пример 5.
1.13 Для любого действительного числа $x$ существует единственный
целое число $n$ такое, что $n \leq x
Пример 5.1.14 Объясните, почему функция $f(x)=1/x$ не имеет локальных максимумы или минимумы.
Пример 5.1.15 Сколько критических точек может иметь квадратичная полиномиальная функция? (отвечать)
Пример 5.1.16 Покажите, что кубический многочлен может иметь не более двух критических точки. Приведите примеры, показывающие, что кубический многочлен может иметь нуль, одна или две критические точки. 92 + Ьх = (ах + Ь)х. \end{выравнивание} Следовательно, если $(x,c)$ находится на кривой, то либо $ax + b = 0$, либо $x = 0$. Установив $x_1 = -\dfrac ba$ и $x_2 = 0$, мы можем подставить эти два значения для $x$ и подтвердите, что действительно две точки $\left(-\frac ba, c\right)$ и $(0, c)$ лежат на кривой.
Используя предположение, что кривая симметрична относительно вертикальной оси,
вертикальная ось должна быть на полпути между
$\left(-\frac ba, c\right)$ и $(0, c)$, т.