Комплексного числа: Аргумент комплексного числа — Комплексные числа

На приведенной выше иллюстрации, конечно, показана только часть числовой строки (было бы невозможно показать ее целиком), и помечены только определенные числа (–1, 0, 1 и т. д.). Таким образом, действительным числом может быть 8, 4,357, -3/5, π, 9.0365 или любой другой подобный номер. Конкретное представление, будь то дробь, десятичная дробь или другое представление, не имеет значения. Возможно, лучший способ описать действительное число — определить числа, которые не являются действительными числами. Бесконечность (∞) — это , а не — действительное число, хотя оно больше любого заданного действительного числа; также не является действительным числом, так как не существует числа, квадрат которого равен –1.

В качестве краткого отступления давайте определим мнимое число 9.0365 (так называемый, потому что не существует эквивалентного «настоящего числа») с использованием буквы i ; затем мы можем создать новый набор чисел, называемый комплексными числами. Комплексное число — это любое число, включающее и . Таким образом, 3 i , 2 + 5,4 i и –π i — комплексные числа. (На самом деле действительные числа являются подмножеством комплексных чисел — любое действительное число r можно записать как r + 0 i , что является комплексным представлением.) Комплексные числа — важная часть алгебры, и они имеют отношение к таким вещам, как решения полиномиальных уравнений. Символ _{часто используется для набора комплексных чисел.}

Подмножества действительных чисел

Действительные числа включают диапазон явно различных чисел: например, числа без десятичных знаков, числа с конечным числом десятичных разрядов и числа с бесконечным числом знаков. десятичные знаки. Давайте рассмотрим некоторые подмножества действительных чисел, начиная с самых основных.

Сначала дети изучают «счетные» числа: 1, 2, 3 и т. д. Формально они называются 9.0069 натуральных чисел , а множество натуральных чисел часто обозначают символом _{. Если мы добавим к этому набору число 0, мы получим целых чисел . Помимо положительных чисел, есть и отрицательные числа: если мы включим в набор отрицательные значения каждого целого числа, то получим так называемые целых чисел . Набор целых чисел часто обозначается символом .}

В дополнение к целым числам множество действительных чисел также включает дробные (или десятичные) числа. Между любыми двумя целыми числами существует бесконечное число дробных значений. Рассмотрим, например, 1 и 2; между этими числами находятся значения 1,1, 1,11, 1,111, 1,1111 и т. д. Очевидно, мы могли бы добавить столько дополнительных знаков после запятой, сколько пожелаем. Множество действительных чисел делится на два принципиально разных типа чисел: рациональные числа и иррациональные числа. А рациональное число — это число, которое может быть эквивалентно выражено в виде дроби , где a и b оба являются целыми числами, а b не равно 0. Таким образом, рациональные числа включают целые числа, а также конечные десятичные дроби и повторяющиеся десятичные дроби (например, 0,126126126). Символ _{часто используется для обозначения набора рациональных чисел. Иррациональное число , с другой стороны, является неповторяющимся десятичным числом без завершения. Множество действительных чисел полностью состоит из рациональных и иррациональных чисел.}

Хотите узнать больше? Почему бы не пройти онлайн-курс по алгебре?

Практическая задача: Определите, какие из следующих чисел принадлежат _{: {0, i , 3,54, , ∞}.}

Решение: Если число можно записать как , где a и b — целые числа, то это число рационально (т. е. оно находится в множестве _{). Обратите внимание на следующее:}

Таким образом, каждое из этих чисел рационально. Число и мнимое, поэтому оно не принадлежит к реальным числам. Точно так же ∞ не является действительным числом; i и ∞ поэтому не входят в набор _.

Свойства действительных чисел

Теперь, когда вы знаете немного больше о действительных числах и некоторых их подмножествах, мы можем перейти к обсуждению некоторых свойств действительных чисел (и операций над действительными числами). Хотя некоторые свойства очевидны, они, тем не менее, полезны для обоснования различных шагов, необходимых для решения задач или доказательства теорем. Помните: переменные — это просто неизвестные значения, поэтому они действуют так же, как числа, когда вы складываете, вычитаете, умножаете, делите и т. д.

Одним из свойств является то, что умножение и сложение действительных чисел являются коммутативными. Коммутативность утверждает, что порядок умножения или сложения двух чисел не влияет на результат. Мы можем записать это символически ниже, где x и y — два действительных числа (обратите внимание, что . можно использовать вместо для обозначения умножения):

Представьте, что у вас есть группа из x бананов и группа из y бананов; не имеет значения, как вы их сложите, общее количество бананов всегда будет одинаковым: либо x + y , либо y + x . Точно так же, если у вас есть прямоугольник с длиной x и шириной y , не имеет значения, умножаете ли вы x на y или y на x ; площадь прямоугольника всегда одинакова, как показано ниже.

Другим свойством, подобным коммутативности, является ассоциативность. Ассоциативность утверждает, что порядок сложения трех чисел или порядок их умножения не влияет на результат. Если рассматривать действительные числа x , y и z , то

Напомним, что операции в круглых скобках выполняются перед теми, которые находятся вне круглых скобок.

Распределимость — еще одно свойство действительных чисел, которое в данном случае относится к комбинации умножения и сложения. Это свойство выражено ниже.

Мы можем понять это свойство, снова взглянув на группы бананов. Предположим, например, что у нас есть 3 группы по 6 бананов и 3 группы по 5 бананов. Если мы объединим эти группы один к одному (одна группа из 6 бананов с одной группой из 5), мы получим 3 группы по 11 бананов.

Последние два свойства, которые мы обсудим, — тождественность и инверсия. Свойство identity просто утверждает, что сложение любого числа x с 0 дает просто x , а умножение любого числа x на 1 равно x .

Свойство инвертирует для вещественного числа x :0046

Обратите внимание, что обратное свойство тесно связано с тождеством.

Эти свойства сами по себе могут показаться немного эзотерическими. Хотя, если их полностью вырвать из контекста, они могут показаться менее чем полезными, оказывается, что вы будете использовать их регулярно, даже если вы явно не признаете это в каждом случае.

Практическая задача: Определите свойство действительных чисел, которое оправдывает каждое равенство:

a + i = i + a ; ; 5 r + 3 s — (5 r + 3 s ) = 0.

Solution: In the first case, a + i = i + a , равенство явно подтверждается коммутативностью. Второе равенство также можно записать в следующем виде: 92 = -1j2=-1. Комплексные числа часто встречаются в математике и техники, особенно в таких темах, как обработка сигналов. Традиционно многие пользователи и библиотеки (например, TorchAudio) имеют обрабатывал комплексные числа, представляя данные в тензорах с плавающей запятой с формой (…, 2) (…, 2) (…, 2), где последний размерность содержит действительные и мнимые значения.

Тензоры сложных dtypes обеспечивают более естественный пользовательский интерфейс при работе с комплексными числами. Операции по комплексные тензоры (например, torch.mv() , torch.matmul() ), вероятно, будут быстрее и эффективнее использовать память чем операции над тензорами с плавающей запятой, имитирующие их. Операции с комплексными числами в PyTorch оптимизированы использовать векторизованные инструкции по сборке и специализированные ядра (например, LAPACK, cuBlas).

Примечание

Спектральные операции в поддержке модуля torch.fft родные комплексные тензоры.

Предупреждение

Сложные тензоры — это бета-функция, которая может быть изменена.

Создание сложных тензоров

Мы поддерживаем два сложных типа dtype: torch.cfloat и torch.cdouble

 >>> x = torch.randn(2,2, dtype=torch.cfloat)
>>> х
тензор([[-0,4621-0,0303j, -0,2438-0,5874j],
     [0,7706+0,1421j, 1,2110+0,1918j]])
 

Примечание

Тип dtype по умолчанию для сложных тензоров определяется типом dtype с плавающей запятой по умолчанию. Если тип dtype с плавающей запятой по умолчанию равен torch.float64 , то комплексные числа выводятся как иметь dtype torch.complex128 , в противном случае предполагается, что они имеют dtype torch.complex64 .

Все фабричные функции, кроме torch.linspace() , torch.logspace() и torch. arange() , поддерживается для комплексных тензоров.

Переход от старого представления

Пользователи, которые в настоящее время работали над отсутствием сложных тензоров с реальными тензорами формы (…,2)(…,2)(…,2) могут легко переключаться, используя сложные тензоры в своем коде, используя факел.view_as_complex() и torch.view_as_real() . Обратите внимание, что эти функции не копируют и не возвращают представление входного тензора.

 >>> x = torch.randn(3, 2)
>>> х
тензор([[ 0,6125, -0,1681],
     [-0,3773, 1,3487],
     [-0,0861, -0,7981]])
>>> y = torch.view_as_complex(x)
>>> г
тензор ([0,6125-0,1681j, -0,3773+1,3487j, -0,0861-0,7981j])
>>> torch.view_as_real(y)
тензор([[ 0,6125, -0,1681],
     [-0,3773, 1,3487],
     [-0,0861, -0,7981]])
 

Доступ к действительным и мнимым

Доступ к действительным и мнимым значениям комплексного тензора можно получить с помощью вещественных и изображение .

Примечание

При доступе к атрибутам real и imag память не выделяется, а обновления на месте Тензоры real и imag обновят исходный комплексный тензор. Так же возвращенные реальных и изображений тензоров не являются смежными.

 >>> у.реал
тензор ([ 0,6125, -0,3773, -0,0861])
>>> у.имаг
тензор ([-0,1681, 1,3487, -0,7981])
>>> y.real.mul_(2)
тензор ([ 1,2250, -0,7546, -0,1722])
>>> г
тензор([ 1,2250-0,1681j, -0,7546+1,3487j, -0,1722-0,7981j])
>>> y.real.stride()
(2,)
 

Угол и абс

Угол и абсолютные значения комплексного тензора можно вычислить с помощью torch.angle() и факел.abs() .

 >>> x1=torch.tensor([3j, 4+4j])
>>> x1.abs()
тензор([3.0000, 5.6569])
>>> x1.угол()
тензор ([1,5708, 0,7854])
 

Линейная алгебра

Многие операции линейной алгебры, такие как torch.matmul() , torch.