Вероятность произведения событий: Теорема умножения вероятностей: формула и примеры решений

alexxlab / / Разное

Содержание

Теория вероятности вероятность произведения событий. Сложение вероятностей

При оценки вероятности наступления какого-либо случайного события очень важно предварительно хорошо представлять, зависит ли вероятность (вероятность события) наступления интересующего нас события от того, как развиваются остальные события. В случае классической схемы, когда все исходы равновероятны, мы уже можем оценить значения вероятности интересующего нас отдельного события самостоятельно. Мы можем сделать это даже в том случае, если событие является сложной совокупностью нескольких элементарных исходов. А если несколько случайных событий происходит одновременно или последовательно? Как это влияет на вероятность реализации интересующего нас события? Если я несколько раз кидаю игральную кость, и хочу, чтобы выпала «шестерка», а мне все время не везет, значит ли это, что надо увеличивать ставку, потому что, согласно теории вероятностей, мне вот-вот должно повезти? Увы, теория вероятности не утверждает ничего подобного. Ни кости, ни карты, ни монетки не умеют запоминать, что они продемонстрировали нам в прошлый раз. Им совершенно не важно, в первый раз или в десятый раз сегодня я испытываю свою судьбу. Каждый раз, когда я повторяю бросок, я знаю только одно: и на этот раз вероятность выпадения «шестерки» снова равна одной шестой. Конечно, это не значит, что нужная мне цифра не выпадет никогда. Это означает лишь то, что мой проигрыш после первого броска и после любого другого броска — независимые события. События А и В называются независимыми, если реализация одного из них никак не влияет на вероятность другого события. Например, вероятности поражения цели первым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события «первое орудие поразило цель» и «второе орудие поразило цель» независимы. Если два события А и В независимы, и вероятность каждого из них известна, то вероятность одновременного наступления и события А, и события В (обозначается АВ) можно посчитать, воспользовавшись следующей теоремой.

Теорема умножения вероятностей для независимых событий

P(AB) = P(A)*P(B) вероятность одновременного наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Пример 1 . Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р 1 = 0,7; р 2 = 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе обоими орудиями одновременно.

как мы уже видели события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы, т.е. Р(АВ)=Р(А)*Р(В)=р1*р2=0,56. Что произойдет с нашими оценками, если исходные события не являются независимыми? Давайте немного изменим предыдущий пример.

Пример 2. Два стрелка на соревнованиях стреляют по мишеням, причем, если один из них стреляет метко, то соперник начинает нервничать, и его результаты ухудшаются. Как превратить эту житейскую ситуацию в математическую задачу и наметить пути ее решения? Интуитивно понятно, что надо каким-то образом разделить два варианта развития событий, составить по сути дела два сценария, две разные задачи.

В первом случае, если соперник промахнулся, сценарий будет благоприятный для нервного спортсмена и его меткость будет выше. Во втором случае, если соперник прилично реализовал свой шанс, вероятность поразить мишень для второго спортсмена снижается. Для разделения возможных сценариев (их часто называют гипотезами) развития событий мы будем часто использовать схему «дерева вероятностей». Эта схема похожа по смыслу на дерево решений, с которым Вам, наверное, уже приходилось иметь дело. Каждая ветка представляет собой отдельный сценарий развития событий, только теперь она имеет собственное значение так называемой условной вероятности (q 1 , q 2 , q 1 -1, q 2 -1).

Эта схема очень удобна для анализа последовательных случайных событий. Остается выяснить еще один немаловажный вопрос: откуда берутся исходные значения вероятностей в реальных ситуациях? Ведь не с одними же монетами и игральными костями работает теория вероятностей? Обычно эти оценки берутся из статистики, а когда статистические сведения отсутствуют, мы проводим собственное исследование.

И начинать его нам часто приходится не со сбора данных, а с вопроса, какие сведения нам вообще нужны.

Пример 3. Допустим, нам надо оценить в городе с населением в сто тысяч жителей объем рынка для нового товара, который не является предметом первой необходимости, например, для бальзама по уходу за окрашенными волосами. Рассмотрим схему «дерева вероятностей». При этом значение вероятности на каждой «ветке» нам надо приблизительно оценить. Итак, наши оценки емкости рынка:

1) из всех жителей города женщин 50%,

2) из всех женщин только 30% красят волосы часто,

3) из них только 10% пользуются бальзамами для окрашенных волос,

4) из них только 10% могут набраться смелости попробовать новый товар,

5) из них 70% обычно покупает все не у нас, а у наших конкурентов.


По закону перемножения вероятностей, определяем вероятность интересующего нас события А ={житель города покупает у нас этот новый бальзам}=0,00045. Умножим это значение вероятности на число жителей города. В результате имеем всего 45 потенциальных покупательниц, а если учесть, что одного пузырька этого средства хватает на несколько месяцев, не слишком оживленная получается торговля. И все-таки польза от наших оценок есть. Во-первых, мы можем сравнивать прогнозы разных бизнес-идей, на схемах у них будут разные «развилки», и, конечно, значения вероятности тоже будут разные. Во-вторых, как мы уже говорили, случайная величина не потому называется случайной, что она совсем ни от чего не зависит. Просто ее точное значение заранее не известно. Мы знаем, что среднее количество покупателей может быть увеличено (например, с помощью рекламы нового товара). Так что имеет смысл сосредоточить усилия на тех «развилках», где распределение вероятностей нас особенно не устраивает, на тех факторах, на которые мы в состоянии повлиять. Рассмотрим еще один количественный пример исследования покупательского поведения.

Пример 3. За день продовольственный рынок посещает в среднем 10000 человек. Вероятность того, что посетитель рынка заходит в павильон молочных продуктов, равна 1/2. Известно, что в этом павильоне в среднем продается в день 500 кг различных продуктов. Можно ли утверждать, что средняя покупка в павильоне весит всего 100 г?

Обсуждение.

Конечно, нельзя. Понятно, что не каждый, кто заходил в павильон, в результате что-то там купил.


Как показано на схеме, чтобы ответить на вопрос о среднем весе покупки, мы должны найти ответ на вопрос, какова вероятность того, что человек, зашедший в павильон, что-нибудь там купит. Если таких данных в нашем распоряжении не имеется, а нам они нужны, придется их получить самим, понаблюдав некоторое время за посетителями павильона. Допустим, наши наблюдения показали, что только пятая часть посетителей павильона что-то покупает. Как только эти оценки нами получены, задача становится уже простой. Из 10000 человек, пришедших на рынок, 5000 зайдут в павильон молочных продуктов, покупок будет только 1000. Средний вес покупки равен 500 грамм. Интересно отметить, что для построения полной картины происходящего, логика условных «ветвлений» должна быть определена на каждом этапе нашего рассуждения так же четко, как если бы мы работали с «конкретной» ситуацией, а не с вероятностями.

Задачи для самопроверки.

1. Пусть есть электрическая цепь, состоящая из n последовательно соединенных элементов, каждый из которых работает независимо от остальных. Известна вероятность p невыхода из строя каждого элемента. Определите вероятность исправной работы всего участка цепи (событие А).


2. Студент знает 20 из 25 экзаменационных вопросов. Найдите вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.

3. Производство состоит из четырех последовательных этапов, на каждом из которых работает оборудование, для которого вероятности выхода из строя в течение ближайшего месяца равны соответственно р 1 , р 2 , р 3 и р 4 . Найдите вероятность того, что за месяц не случится ни одной остановки производства из-за неисправности оборудования.

Начнем с задачи.

Предположим, что вероятность получения вами пятерки за контрольную равна 0,5, а четверки — 0,3. Какова вероятность того, что за контрольную вы получите 4 или 5?

Некоторые сразу выпалят: «0,8», но почему именно так? Почему, например, не 0,15 (перемножили, а не сложили)? Разберемся.

Предположим, есть некоторый опыт, у которого есть исходов. Из них наступлению события благоприятны , а событию — . Нетрудно по формуле найти вероятности наступления каждого из событий — это соответственно и . Но какова вероятность того, что наступит либо первое событие, либо второе? Иначе говоря, мы ищем вероятность объединения этих событий. Для этого надо выяснить, сколько у нас благоприятных исходов. ? Не совсем. Ведь может случиться так, что эти события выполнятся одновременно.

Тогда предположим, что события непересекающиеся, то есть не могут выполняться одновременно. Вот тогда получаем, что благоприятных исходов для объединения — . Значит, вероятность объединения будет равна:

Вероятность объединения несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Обратим внимание: здесь речь идет об ОДНОМ эксперименте, в результате которого может наступить либо первое событие, либо второе, но не оба сразу.

В частности, в примере с контрольной мы понимаем, что ученик не может одновременно получить за контрольную и 5, и 4 (речь идет об одной оценке за одну и ту же контрольную), значит, вероятность того, что он получит 4 или 5, равна сумме вероятностей, то есть, все-таки, 0,8.

Ответ: 0,8.

А что делать, если события пересекаются, то есть существуют исходы, благоприятные для них обоих? Такая ситуация будет рассмотрена в конце урока.

2. Математический форум Math Help Planet ()

3. Интернет-сайт «Математика, которая мне нравится» ()

Домашнее задание

1. Два стрелка стреляют по мишени. Первый стрелок поражает мишень с вероятностью 0,9. Второй стрелок поражает мишень с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что мишень будет поражена.

2. Случайный эксперимент состоит в подбрасывании двух игральных костей. Одна из игральных костей окрашена в синий цвет, другая — в красный. Найти вероятность того, что на синей игральной кости выпадет число 3, а на красной игральной кости выпадет число 4.

  • Теорема. Вероятность суммы несовместных событий иравна сумме вероятностей этих событий:

  • Следствие 1. С помощью метода математической индукции формулу (3.10) можно обобщить на любое число попарно несовместных событий:

  • Следствие 2. Поскольку противоположные события являются несовместными, а их сумма – достоверным событием, то, используя (3.10), имеем:

  • Часто при решении задач формулу (3.12) используют в виде:

    (3.13)

    Пример 3.29. В опыте с бросанием игральной кости найти вероятности выпадения на верхней грани числа очков более 3 и менее 6.

    Обозначим события, связанные с выпадением на верхней грани игральной кости одного очка, через U 1 , двух очков через U 2 ,…, шести очков через U 6 .

    Пусть событие U – выпадение на верхней грани кости числа очков более 3 и менее 6. Это событие произойдет, если произойдет хотя бы одно из событий U 4 или U 5 , следовательно, его можно представить в виде суммы этих событий: . Т. к. событияU 4 и U 5 являются несовместными, то для нахождения вероятности их суммы используем формулу (3. 11). Учитывая, что вероятности событий U 1 , U 2 ,…,U 6 равны , получим:

  • Замечание. Ранее задачи такого типа решали с помощью подсчета числа благоприятствующих исходов. Действительно, событию U благоприятствуют два исхода, а всего шесть элементарных исходов, следовательно, используя классический подход к понятию вероятности, получим:

    Однако классический поход к понятию вероятности, в отличие от теоремы о вероятности суммы несовместных событий, применим только для равновозможных исходов.

    Пример 3.30. Вероятность попадания в цель стрелком равна 0,7. Какова вероятность того, что стрелок не попадет в цель?

    Пусть событие − попадание стрелком в цель, тогда событие, состоящее в том, что стрелок не попадет в цель, является противоположным событиемсобытию, т. к. в результате каждого испытания всегда происходит одно и только одно из этих событий. Используя формулу (3. 13), получим:

  • 3.2.10. Вероятность произведения событий

  • Определение. Событие называетсязависимым от события если вероятность события зависит от того, произошло событиеили нет.

    Определение. Вероятность события вычисленная при условии, что событиепроизошло, называетсяусловной вероятностью события и обозначается

    Теорема. Вероятность произведения событий иравна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

  • Условие независимости события от события можно записать в виде Из этого утверждения следует, что для независимых событий выполняется соотношение:

  • т. е. вероятность произведения независимых событий и, равна произведению их вероятностей.

    Замечание. Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

  • Если события независимые, то имеем:

  • Пример 3. 31. В ящике 5 белых и 3 черных шара. Из него наугад последовательно без возвращения вытаскивают два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

    Пусть событие − появление белого шара при первом вынимании,− появление белого шара при втором вынимании. Учитывая, что,(вероятность появления второго белого шара при условии, что первый вынутый шар был белым и его не возвратили в ящик). Так как событияизависимые, то вероятность их произведения найдем по формуле (3.15):

  • Пример 3.32. Вероятность попадания в цель первым стрелком 0,8; вторым – 0,7. Каждый стрелок выстрелил по мишени. Какова вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в цель? Какова вероятность того, что один стрелок попадет в цель?

    Пусть событие – попадание в цель первым стрелком,– вторым. Все возможные варианты можно представить в видетаблицы 3.5 , где «+» обозначает, что событие произошло, а «−» − не произошло.

    Таблица 3.5

  • Пусть событие – попадание хотя бы одним стрелком в цель, Тогда событиеявляется суммой независимых событийиследовательно, применить теорему о вероятности суммы несовместных событий в данной ситуации нельзя.

    Рассмотрим событие противоположное событиюкоторое произойдет тогда, когда ни один стрелок не попадет в цель, т. е. является произведением независимых событийИспользуя формулы (3.13) и (3.15), получим:

  • Пусть событие – попадание одним стрелком в цель. Это событие можно представить следующим образом:

    События и– независимые, событияитакже являются независимыми. События, являющиеся произведениями событийи– несовместными. Используя формулы (3.10) и (3.15) получим:

  • Свойства операций сложения и умножения событий:

  • Пусть событие может произойти только вместе с одним из попарно несовместных событий (гипотез),,…,, образующих полную группу, т. е.

    Вероятность события находится по формулеполной вероятности:

  • Если событие уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формулеБайеса :

    (3.17)

    Пример 3. 33. Имеются две одинаковых урны с шарами. В первой урне 5 белых и 10 черных шаров, во второй − 3 белых и 7 черных шаров. Выбирают наугад одну урну и вытаскивают из нее один шар.

      Найти вероятность того, что этот шар белый.

      Из наугад выбранной урны вытащили белый шар. Найти вероятность того, что шар вытащили из первой урны.

    Учреждение образования «Белорусская государственная

    сельскохозяйственная академия»

    Кафедра высшей математики

    СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ

    Лекция для студентов землеустроительного факультета

    заочной формы обучения

    Горки, 2012

    Сложение и умножение вероятностей. Повторные

    независимые испытания

    Суммой двух совместных событий А и В называется событие С , состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В . Аналогично суммой нескольких совместных событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

    Суммой двух несовместных событий А и В называется событие С , состоящее в наступлении или события А , или события В . Аналогично суммой нескольких несовместных событий называется событие, состоящее в наступлении какого-либо одного из этих событий.

    Справедлива теорема сложения вероятностей несовместных событий: вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий , т.е. . Эту теорему можно распространить на любое конечное число несовместных событий.

    Из данной теоремы следует:

    сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице;

    сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е.
    .

    Пример 1 . В ящике находятся 2 белых, 3 красных и 5 синих шара. Шары перемешивают и наугад извлекают один. Какова вероятность того, что шар окажется цветным?

    Решение . Обозначим события:

    A ={извлечён цветной шар};

    B ={извлечён белый шар};

    C ={извлечён красный шар};

    D ={извлечён синий шар}.

    Тогда A = C + D . Так как события C , D несовместны, то воспользуемся теоремой сложения вероятностей несовместных событий: .

    Пример 2 . В урне находятся 4 белых шара и 6 – чёрных. Из урны наугад вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что все они одного цвета?

    Решение . Обозначим события:

    A ={вынуты шары одного цвета};

    B ={вынуты шары белого цвета};

    C ={вынуты шары чёрного цвета}.

    Так как A = B + C и события В и С несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий
    . Вероятность события В равна
    , где
    4,

    . Подставим k и n в формулу и получим
    Аналогично найдём вероятность события С :
    , где
    ,
    , т.е.
    . Тогда
    .

    Пример 3 . Из колоды в 36 карт наугад вынимают 4 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется не менее трёх тузов.

    Решение . Обозначим события:

    A ={среди вынутых карт не менее трёх тузов};

    B ={среди вынутых карт три туза};

    C ={среди вынутых карт четыре туза}.

    Так как A = B + C , а события В и С несовместны, то
    . Найдём вероятности событий В и С :


    ,
    . Следовательно, вероятность того, что среди вынутых карт не менее трёх тузов, равна

    0.0022.

    1. Умножение вероятностей

    Произведением двух событий А и В называется событие С , состоящее в совместном наступлении этих событий:
    . Это определение распространяется на любое конечное число событий.

    Два события называются независимыми , если вероятность наступления одного из них не зависит от того, произошло другое событие или нет. События , , … , называются независимыми в совокупности , если вероятность наступления каждого из них не зависит от того, произошли или не произошли другие события.

    Пример 4 . Два стрелка стреляют по цели. Обозначим события:

    A ={первый стрелок попал в цель};

    B ={второй стрелок попал в цель}.

    Очевидно, что вероятность попадания в цель первым стрелком не зависит от того, попал или не попал второй стрелок, и наоборот. Следовательно, события А и В независимы.

    Справедлива теорема умножения вероятностей независимых событий: вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий : .

    Эта теорема справедлива и для n независимых в совокупности событий: .

    Пример 5 . Два стрелка стреляют по одной цели. Вероятность попадания первого стрелка равна 0.9, а второго – 0.7. Оба стрелка одновременно делают по одному выстрелу. Определить вероятность того, что будут иметь место два попадания в цель.

    Решение . Обозначим события:

    A

    B

    C ={оба стрелка попадут в цель}.

    Так как
    , а события А и В независимы, то
    , т.е. .

    События А и В называются зависимыми , если вероятность наступления одного из них зависит от того, произошло другое событие или нет. Вероятность наступления события А при условии, что событие В уже наступило, называется условной вероятностью и обозначается
    или
    .

    Пример 6 . В урне находятся 4 белых и 7 чёрных шаров. Из урны извлекаются шары. Обозначим события:

    A ={извлечён белый шар} ;

    B ={извлечён чёрный шар}.

    Перед началом извлечения шаров из урны
    . Из урны извлекли один шар и он оказался чёрным. Тогда вероятность события А после наступления события В будет уже другой, равной . Это означает, что вероятность события А зависит от события В , т.е. эти события будут зависимыми.

    Справедлива теорема умножения вероятностей зависимых событий: вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило , т. е. или .

    Пример 7 . В урне находятся 4 белых шара и 8 красных. Из неё наугад последовательно извлекают два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут чёрными.

    Решение . Обозначим события:

    A ={первым извлечён чёрный шар};

    B ={вторым извлечён чёрный шар}.

    События А и В зависимы, так как
    , а
    . Тогда
    .

    Пример 8 . Три стрелка стреляют по цели независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0.5, для второго – 0.6 и для третьего – 0.8. Найти вероятность того, что произойдут два попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.

    Решение . Обозначим события:

    A ={произойдут два попадания в цель};

    B ={первый стрелок попадёт в цель};

    C ={второй стрелок попадёт в цель};

    D ={третий стрелок попадёт в цель};

    ={первый стрелок не попадёт в цель};

    ={второй стрелок не попадёт в цель};

    ={третий стрелок не попадёт в цель}.

    По условию примера
    ,
    ,
    ,

    ,
    ,
    . Так как , то используя теорему сложения вероятностей несовместных событий и теорему умножения вероятностей независимых событий, получим:

    Пусть события
    образуют полную группу событий некоторого испытания, а событии А может наступить только с одним из этих событий. Если известны вероятности и условные вероятности события А , то вероятность события А вычисляется по формуле:

    Или
    . Эта формула называется формулой полной вероятности , а события
    гипотезами .

    Пример 9 . На сборочный конвейер поступает 700 деталей с первого станка и 300 деталей со второго. Первый станок даёт 0.5% брака, а второй – 0.7%. Найти вероятность того, что взятая деталь будет бракованной.

    Решение . Обозначим события:

    A ={взятая деталь будет бракованной};

    ={деталь изготовлена на первом станке};

    ={деталь изготовлена на втором станке}.

    Вероятность того, что деталь изготовлена на первом станке, равна
    . Для второго станка
    . По условию вероятность получения бракованной детали, изготовленной на первом станке, равна
    . Для второго станка эта вероятность равна
    . Тогда вероятность того, что взятая деталь будет бракованной, вычисляется по формуле полной вероятности

    Если известно, что в результате испытания наступило некоторое событие А , то вероятность того, что это событие наступило с гипотезой
    , равна
    , где
    — полная вероятность события А . Эта формула называется формулой Байеса и позволяет вычислять вероятности событий
    после того, как стало известно, что событие А уже наступило.

    Пример 10 . Однотипные детали к автомобилям производятся на двух заводах и поступают в магазин. Первый завод производит 80% общего количества деталей, а второй – 20%. Продукция первого завода содержит 90% стандартных деталей, а второго – 95%. Покупатель купил одну деталь и она оказалась стандартной. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена на втором заводе.

    Решение . Обозначим события:

    A ={куплена стандартная деталь};

    ={деталь изготовлена на первом заводе};

    ={деталь изготовлена на втором заводе}.

    По условию примера
    ,
    ,
    и
    . Вычислим полную вероятность события А : 0.91. Вероятность того, что деталь изготовлена на втором заводе, вычислим по формуле Байеса:

    .

    Задания для самостоятельной работы

      Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0.8, для второго – 0.7 и для третьего – 0.9. Стрелки произвели по одному выстрелу. Найти вероятность того, что имеет место не менее двух попаданий в цель.

      В ремонтную мастерскую поступило 15 тракторов. Известно, что 6 из них нуждаются в замене двигателя, а остальные – в замене отдельных узлов. Случайным образом отбираются три трактора. Найти вероятность того, что замена двигателя необходима не более, чем двум отобранным тракторам.

      На железобетонном заводе изготавливают панели, 80% из которых – высшего качества. Найти вероятность того, что из трёх наугад выбранных панелей не менее двух будут высшего сорта.

      Три рабочих собирают подшипники. Вероятность того, что подшипник, собранный первым рабочим, высшего качества, равна 0.7, вторым – 0.8 и третьим – 0.6. Для контроля наугад взято по одному подшипнику из собранных каждым рабочим. Найти вероятность того, что не менее двух из них будут высшего качества.

      Вероятность выигрыша по лотерейному билету первого выпуска равна 0.2, второго – 0.3 и третьего – 0.25. Имеются по одному билету каждого выпуска. Найти вероятность того, что выиграет не менее двух билетов.

      Бухгалтер выполняет расчёты, пользуясь тремя справочниками. Вероятность того, что интересующие его данные находятся в первом справочнике, равна 0.6, во втором – 0.7 ив третьем – 0.8. Найти вероятность того, что интересующие бухгалтера данные содержатся не более, чем в двух справочниках.

      Три автомата изготавливают детали. Первый автомат изготавливает деталь высшего качества с вероятностью 0.9, второй – с вероятностью 0.7 и третий – с вероятностью 0.6. Наугад берут по одной детали с каждого автомата. Найти вероятность того, что среди них не менее двух высшего качества.

      На двух станках обрабатываются однотипные детали. Вероятность изготовления нестандартной детали для первого станка равна 0.03, в для второго – 0.02. Обработанные детали складываются в одном месте. Среди них 67% с первого станка, а остальные – со второго. Наугад взятая деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она изготовлена на первом станке.

      В мастерскую поступили две коробки однотипных конденсаторов. В первой коробке было 20 конденсаторов, из которых 2 неисправных. Во второй коробки 10 конденсаторов, из которых 3 неисправных. Конденсаторы были переложены в один ящик. Найти вероятность того, что наугад взятый из ящика конденсатор окажется исправным.

      На трёх станках изготавливают однотипные детали, которые поступают на общий конвейер. Среди всех деталей 20% с первого автомата, 30% — со второго и 505 – с третьего. Вероятность изготовления стандартной детали на первом станке равна 0.8, на втором – 0.6 и на третьем – 0.7. Взятая деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, эта деталь изготовлена на третьем станке.

      Комплектовщик получает для сборки 40% деталей с завода А , а остальные – с завода В . Вероятность того, что деталь с завода А – высшего качества, равна 0.8, а с завода В – 0.9. Комплектовщик наугад взял одну деталь и она оказалась не высшего качества. Найти вероятность того, что эта деталь с завода В .

      Для участия в студенческих спортивных соревнованиях выделено 10 студентов из первой группы и 8 – из второй. Вероятность того, что студент из первой группы попадёт в сборную академии, равна 0.8, а со второй – 0.7. Наугад выбранный студент попал в сборную. Найти вероятность того, что он из первой группы.

    Событие A называется независимым от события B, если вероятность события A не зависит от того, произошло событие B или нет. Событие A называется зависимым от события B, если вероятность события A меняется в зависимости от того, произошло событие B или нет.

    Вероятность события A, вычисленная при условии, что событие B уже произошло, называется условной вероятностью события A и обозначается .

    Условие независимости события A от события B можно записать в виде
    .

    Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

    Если событие A не зависит от события B, то событие B не зависит от события A. При этом вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей:

    .

    Пример 14. Имеется 3 ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором — 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

    Вероятность того, что из первого ящика вынута стандартная деталь (событие A) равна
    . Вероятность того, что из второго ящика вынута стандартная деталь (событиеB) равна
    . Вероятность того, что из третьего ящика вынута стандартная деталь (событиеC) равна
    .

    Так как события A, B и C независимые в совокупности, то по теореме умножения искомая вероятность равна

    Приведем пример совместного использования теорем сложения и умножения.

    Пример 15. Вероятности появления независимых событий A 1 и A 2 равны соответственно p 1 и p 2 . Найти вероятность появления только одного из этих событий (событие A). Найти вероятность появления хотя бы одного из этих событий (событие B).

    Обозначим вероятности противоположных событий ичерезq 1 =1-p 1 и q 2 =1-p 2 соответственно.

    Событие A произойдет, если произойдет событие A 1 и не произойдет событие A 2 , или если произойдет событие A 2 и не произойдет событие A 1 . Следовательно,

    Событие B произойдет, если произойдет событие A, или произойдут события A 1 и A 2 одновременно. Следовательно,

    Вероятность события B можно определить иначе. Событие , противоположное событиюB состоит в том, что оба события A 1 и A 2 не произойдут. Поэтому по теореме умножения вероятностей для независимых событий получим

    что совпадает с выражением, полученным ранее, так как имеет место тождество

    7. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

    Теорема 1 . Предположим, что события
    образуют полную группу попарно несовместных событий (такие события называются гипотезами). ПустьA — произвольное событие. Тогда вероятность события A может быть вычислена по формуле

    Доказательство. Так как гипотезы образуют полную группу, то , и, следовательно,.

    В силу того, что гипотезы являются попарно несовместными событиями, то события также попарно несовместны. По теореме сложения вероятностей

    Применяя теперь теорему умножения вероятностей, получим

    Формула (1) называется формулой полной вероятности. В сокращенном виде ее можно записать следующим образом

    .

    Формула полезна, если условные вероятности события A вычисляются легче, чем безусловная вероятность.

    Пример 16 . Имеется 3 колоды по 36 карт и 2 колоды по 52 карты. Наудачу выбираем одну колоду и из нее наудачу одну карту. Найти вероятность того, что вынутая карта — туз.

    Пусть A — событие, состоящее в том, что вынутая карта — туз. Введем в рассмотрение две гипотезы:

    — карта вынута из колоды в 36 карт,

    — карта вынута из колоды в 52 карты.

    Для вычисления вероятности события A воспользуемся формулой полной вероятности:

    Теорема 2 . Предположим, что события
    образуют полную группу попарно несовместных событий. ПустьA — произвольное событие. Условная вероятность гипотезы в предположении, что произошло событиеA, может быть вычислена по формуле Байеса:

    Доказательство. Из теоремы умножения вероятностей для зависимых событий следует, что .

    .

    Применяя формулу полной вероятности, получим (2).

    Вероятности гипотез
    называются априорными, а вероятности гипотез
    при условии, что событие A имело место, называются апостериорными. Сами формулы Байеса называются еще формулами вероятностей гипотез.

    Пример 17 . Имеются 2 урны. Первая урна содержит 2 белых и 4 черных шара, а вторая урна содержит 7 белых и 5 черных шаров. Наудачу выбираем урну и из нее наудачу извлекаем один шар. Он оказался черным (событие A произошло). Найти вероятность того, что шар был извлечен из первой урны (гипотеза
    ). Найти вероятность того, что шар был извлечен из второй урны (гипотеза
    ).

    Применим формулы Байеса:

    ,

    .

    Пример 18 . На заводе болты выпускаются тремя машинами, которые выпускают соответственно 25%, 35% и 40% всех болтов. Брак продукции этих машин составляет соответственно 5%, 4%, 2%. Из продукции всех трех машин был выбран один болт. Он оказался дефектным (событие A). Найти вероятность того, что болт был выпущен первой, второй, третьей машиной.

    Пусть
    — событие, состоящее в том, что болт был выпущен первой машиной,
    — второй машиной,
    — третьей машиной. Эти события попарно несовместны и образуют полную группу. Воспользуемся формулами Байеса

    В результате получим

    ,

    ,

    .

    • Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей —

    Теория

    Пусть А и В – два события, рассматриваемые в данном испытании. При этом наступление одного из событий может влиять на возможность наступления другого. Например, наступление события А может влиять на событие В или наоборот. Для учёта такой зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности.

    Определение. Если вероятность события В находится при условии, что событие А произошло, то получаемая вероятность события В называется условной вероятностью события В. Для обозначения такой условной вероятности используются символы: рА(В) или р(В / А).

    Замечание 2. В отличие от условной вероятности, рассматривается и “безусловная” вероятность, когда какие-либо условия наступления некоторого события В отсутствуют.

    Пример. В урне 5 шаров, среди которых 3 красных и 2 синих. Поочерёдно из неё извлекают по одному шару с возвратом и без возврата. Найти условную вероятность извлечения во второй раз красного шара при условии, что в первый раз извлечён: а) красный шар; б) синий шар.

    Пусть событие А – извлечение красного шара в первый раз, а событие В – извлечение красного шара во второй раз. Очевидно, что р(А) = 3 / 5; тогда в случае, когда вынутый 1-й раз шар возвращается в урну, р(В)=3/5. В случае же когда вынутый шар не возвращается, вероятность извлечения красного шара р(В) зависит от того, какой шар был извлечён в первый раз – красный (событие А) или синий (событие ). Тогда в первом случае рА(В) = 2 / 4, а во втором ( В ) = 3 / 4.

    Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло:

    р(А ∙ В) = р(А) ∙ рА(В) . (1.7)

    Доказательство. Действительно, пусть n – общее число равновозможных и несовместных (элементарных) исходов испытания. И пусть n1 – число исходов, благоприятствующих событию А, которое наступает вначале, а m – число исходов, в которых наступает событие В в предположении, что событие А наступило. Таким образом, m – это число исходов, благоприятствующих событию В. Тогда получим:

    р(А ∙ В) = = ∙ = ∙ = р(А) ∙ рА(В).

    Если события А и В поменять ролями в отношении первичного и вторичного совершения, то получим:

    р(В ∙ А) = р(В) ∙ рВ(А).

    Таким образом, в общем случае будем иметь:

    р(А ∙ В) = р(А) ∙ рА(В) = р(В) ∙ рВ(А). ч. и т. д. (1.8)

    Теорема умножения (формула (1.7)) для произвольного числа событий обобщается и имеет вид:

    Т.е. вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности других, причём условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли.

    Пример. В команде из 10 спортсменов 4 мастера спорта. По жеребьёвке из команды выбирают 3-х спортсменов. Какова вероятность того, что все выбранные спортсмены – мастера спорта?

    Решение. Приведём задачу к “урновой” модели, т.е. будем считать, что в урне, содержащей 10 шаров, имеется 4 красных шара и 6 белых. Из этой урны наудачу извлекаются 3 шара ( выборка S = 3 ). Пусть событие А состоит в извлечении 3-х шаров. Задачу можно решить двумя способами: по классической схеме и по формуле (1.9).

    Первый способ, основанный на формуле комбинаторики:

    р(А) = = = .

    Второй способ (по формуле (1.9)). Из урны последовательно без возвращения извлекаются 3 шара. Пусть А1 – первый извлечённый шар красный, А2 – второй извлечённый шар красный, А3 – третий извлечённый шар красный. Пусть также событие А означает, что все 3 извлечённых шара – красные. Тогда: А = А1 ∙ (А2 / А1) ∙ А3 / (А1 ∙ А2), т.е.

    Пример. Пусть из совокупности карточек а, а, р, б, о, т последовательно извлекаются карточки по одной. Какова вероятность получения слова “работа” при последовательном складывании их в одну строку слева направо?

    Пусть В – событие, при котором получается заявленное слово. Тогда по формуле (1.9) получим:

    р( В ) = 1/6 ∙ 2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 ∙ 1/2 ∙ 1/1 = 1/360.

    Теорема умножения вероятностей приобретает наиболее простой вид, когда произведение образуется независимыми друг от друга событиями.

    Определение. Событие В называется независимым от события А, если его вероятность не меняется от того, произошло событие А или нет. Два события называются независимыми ( зависимыми ), если появление одного из них не изменяет (изменяет) вероятность появления другого. Таким образом, для независимых событий р(В/A) = р(В) или = р(В), а для зависимых событий р(В/A) р(В) или р(В).

    Утверждение. Если событие В не зависит от А, то и событие А не зависит от В.

    Действительно, если по условию событие В не зависит от А, то р(В/A) = р(В). Запишем теорему умножения вероятностей (1.8) в двух формах:

    р(А ∙ В) = р(А) ∙ р(В/A) = р(В) ∙ р(А/B).

    Заменяя р(В/A) на р(В), получим р(А) ∙ р(В) = р(В) ∙ р(А/B), откуда, предполагая р(В) 0, получим р(А/B) = р(А), т.е. событие А не зависит от В, ч. и т. д.

    Таким образом, независимость и зависимость событий всегда взаимны. Поэтому справедливо следующее определение независимости (зависимости) событий.

    Теорема умножения вероятностей с примерами решения

    Содержание:

     

    1. Теорема умножения вероятностей
    2. Теорема умножения вероятностей формулируется следующим образом.
    Теорема умножения вероятностей

    Рассмотрим различные типы групп событий.

    Произведение событий и условная вероятность

    Определение 6. Произведением двух событий называется событие АВ, означающее совместное появление этих событий (это определение также напоминает определение произведения множеств)*.

    Например, если событие А — шар, событие В — белый цвет, то их произведение АВ — белый шар. Аналогично определяется произведение нескольких событий как совместное наступление их всех.

    Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме необходимого комплекса условий S, не налагается, то такая вероятность называется безусловной. Если же вводятся дополнительные условия, содержащие случайные события, то вероятность называется условной.

    Определение 7. Вероятность события В в предположении о наступлении события А называют условной вероятностью .

    По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теории вероятности:

    Предмет теория вероятности
    Пример 1.

    В ящике лежат 11 деталей, 3 из них нестандартные. Из ящика дважды берут по одной детали, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что во второй раз из ящика будет извлечена стандартная деталь — событие В, если в первый раз была извлечена нестандартная деталь — событие А.

    Решение:

    После первого извлечения в ящике из 10 деталей имеется 8 стандартных, и, следовательно, искомая вероятность

    Пусть теперь известны вероятность Р(Л) события А и условная вероятность Рд(В) события В. Тогда справедлива следующая теорема.

    Теорема 1.3. Вероятность произведения двух событий определяется формулой

    Возможно вам будут полезны данные страницы:

    Формула лапласа

    Теорема сложения вероятностей

    Сочетания с повторениями

    Метод моментов

    Пример 2.

    В условиях примера 10 найти вероятности того, что в первый раз извлечена нестандартная деталь, а во второй раз — стандартная, и наоборот.

    Решение:

    Событие А — это извлечение из ящика нестандартной детали, а событие В — стандартной. Тогда:

    1) вероятность Р(А) = 3/11, а условная вероятность . Искомая вероятность произведения этих событий (их совместного наступления в указанном порядке) согласно теореме 1.3 равна

    2) вероятность Р(В) = 8/11, а условная вероятность . Мы видим, что и в этом случае вероятность произведения событий

    В этом примере мы проверили известное в теории равенство

    Теорема 1.3 допускает обобщение на случай произведения любого числа событий

    т.е. вероятность совместного наступления п событий равна произведению вероятностей, где — условная вероятность события в предположении, что события уже произошли

    Пример 3.

    В урне находятся 4 белых, 5 красных и 3 синих шара. Наудачу извлекают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что в первый раз появится белый шар (событие А), во второй раз — красный (событие В), в третий — синий (событие С).

    Решение:

    Вероятность появления белого шара в первом извлечении Р(А) = 1/3; условная вероятность появления красного шара во втором извлечении при условии появления в первый раз белого шара; условная вероятность появления синего шара в третьем извлечении при условии появления в предыдущих извлечениях белого и красного шаров Искомая вероятность определяется по формуле (1.13) при = 3:

    Теорема умножения вероятностей

    Перед тем как излагать теорему умножения вероятностей, введем еще одно важное понятие: понятие о независимых и зависимых событиях.

    Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

    Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет. Д

    Рассмотрим примеры.

    1) Опыт состоит в бросании двух монет; рассматриваются события:

    А — появление герба на первой монете,

    В — появление герба на второй монете.

    В данном случае вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет; событие А независимо от события В.

    2) В урне два белых шара и один черный; два лица вынимают из урны по одном}’1 шару; рассматриваются события:

    А — появление белого шара у 1-го лица,

    В — появление белого шара у 2-го лица.

    Вероятность события А до того, как известно что-либо о событии В, равна у. Если стало известно, что событие В произошло, то вероятность события А становится равной из чего заключаем, что событие А зависит от события В.

    Вероятность события А, вычисленная при услозии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается

    Для условий последнего примера

    Условие независимости события А от события В можно записать в виде:

    а условие зависимости — в виде:

    Перейдем к формулировке и доказательству теоремы умножения вероятностей.

    Теорема умножения вероятностей формулируется следующим образом.

    Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

    Пример 4.

    Происходит бой («дуэль») между двумя участниками (ле-ъательными аппаратами, ганками, кораблями) А и В. У стороны А в запасе два выстрела, у стороны В — один. Начинает стрельбу А: он делает, по В один выстрел и поражает его с вероятностью 0,2. Если В не поражен, он отвечает противнику выстрелом н поражает его с вероятностью 0,3. Если А этим выстрелом не поражен, то он делает по В свой последний выстрел;-4 которым поражает его с вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что в бою будет поражен: а) участник А, б) участник В.

    Решение:

    Рассмотрим события:

    А — поражение участника А, В — поражение участника В.

    Для выполнения события А необходимо совмещение (произведение) двух событий: 1) А не поразил В первым выстрелом и 2) В поразил А своим ответным выстрелом. По теореме умножения вероятностей получим

    Перейдем к событию В. Оно, очевидно, состоит из двух несовместных вариантов:

    где — поражение участника В первым выстрелом А,

    — поражение участника В вторым выстрелом А.

    По теореме сложения вероятностей

    По условию . Что касается события В2, то оно представляет собой совмещение (произведение) трех событий, а именно:

    • 1) первый выстрел стороны А не должен поразить В;
    • 2) ответный выстрел стороны В не должен поразить А;
    • 3) последний (второй) выстрел стороны А должен поразить В,

    По теореме умножения вероятностей

    Пример 5.

    Цель, по которой ведется стрельба, состоит нз трех различных по уязвимости частей. Для поражения цели достаточно одного попадания в первую часть, или двух попаданий во вторую, или трех попаданий в третью. Если снаряд попал в цель, то вероятность ему попасть в ту или другую часть пропорциональна площади этой части. На проекции цели иа плоскость, перпендикулярную направлению стрельбы, первая, вторая и третья части занимают относительные площади 0,1, 0,2 и 0,7. Известно, что в цель попало ровно два снаряда. Найти вероятность того, что цель будет поражена.

    Решение:

    Обозначим А — поражение цели; Р (А|2) — условную вероятность поражения цели при условии, что в нее попало ровно два снаряда. Два снаряда, попавшие в цель, могут поразить ее двумя способами: или хотя бы один из них попадает в первую часть, или же оба снаряда попадут во вторую. Эти варианты несовместны, так как в цель попало всего два снаряда; поэтому можно применить теорему сложения. Вероятность того, что хотя бы один снаряд попадет в первую часть, может быть вычислена через вероятность противоположного события (ни один нз двух снарядов не попадет в первую часть) и равна . Вероятность того, что оба снаряда попадут во вторую часть, равна . Следовательно,

    Пример 6.

    Для условий предыдущего примера найти вероятность поражения цели, если известно, что в нее попало топ снаряда.

    Решение:

    Решим задачу двумя способами: через прямое и противоположное событие.

    Прямое событие —поражение цели при трех попаданиях — распадается на четыре несовместных варианта:

    А, —хотя бы одно попадание в первую часть, А2 — два попадания во вторую часть и одно — в третью, Аз — три попадания во вторую часть, А4—три попадания в третью часть.

    Вероятность первого варианта находим аналогично предыдущему примеру:

    Найдем вероятность второго варианта. Три попавших снаряда могут распределиться по второй и третьей частям нужным образом (два во вторую и один — в третью) тремя способами . Следовательно,

    Далее находим:

    Отсюда

    Однако проще решается задача, если перейти к противоположному событию — непоражению цели при трех попаданиях. Это событие может осуществиться только одним способом: если два снаряда нз трех попадут в третью часть, а один — во вторую. Таких комбинаций может быть три , следовательно,

    откуда

    Пример 7.

    Монета бросается 6 раз. Найти вероятность того, что выпадет больше гербов, чем цифр.

    Решение:

    Для нахождения вероятности интересующего нас события А (выпадет больше гербов, чем цифр) можно было бы перечислить все возможные его варианты, например:

    —выпадет шесть гербов и ни одной цифры,

    — выпадет пять гербов н одна цифра

    и т.д.

    Однако проще будет применить другой прием. Перечислим все возможные исходы опыта:

    А — выпадет больше гербов, чем цифр, В —выпадет больше цифр, чем гербов, С — выпадет одинаковое число цифр и гербов.

    События А, В, С несовместны и образуют полную группу. Следовательно,

    Так как задача симметрична относительно «герба» и «цифры»,

    , откуда

    и

    Найдем вероятность события С, состоящего в том, что при шести бросаниях монеты появится ровно три герба (а значит, ровно три цифры). Вероятность любого из вариантов события С (например, последовательности г, ц, г, г, ц, ц при шести бросаниях) одна и та же и равна Число таких комбинаций равно (числу способов, какими можно нз шести бросаний выбрать три, в которых появился герб). Следовательно,

    отсюда

    Пример 8.

    Прибор состоит из четырех узлов: причем узел дублирует а узел дублирует узел . При отказе (выходе из строя) любого из основных узлов происходит автоматическоэ переключение на дублирующий узел. Надежность (вероятность безотказной работы) в течение заданного времени каждого из узлов равна соответственно Надежность каждого из переключающих устройств равна р. Все элементы выходят из строя независимо друг от друга. Определить надежность прибора.

    Решение:

    Рассмотрим совокупность узлов и соответствующего переключающего устройства как один «обобщенный узел» В, а совокупность узлов и соответствующего переключающего устройства — как обобщенный узел С. Рассмотрим события:

    А — безотказная работа прибора,

    В — безотказная работа обобщенного узла В,

    С —безотказная работа обобщенного узла С.

    Очевидно,

    , откуда

    Найдем вероятность события В. Оно распадается на два варианта:

    —исправно работал узел и

    —узел отказал, но оказались исправными переключающее устройство и узел

    Имеем:

    , аналогично

    откуда

    Вероятностные события — типы, примеры, определение

    Вероятностные события можно определить как набор результатов случайного эксперимента. Выборочное пространство указывает на все возможные результаты эксперимента. Таким образом, события в вероятности также могут быть описаны как подмножества выборочного пространства.

    В теории вероятности существует множество различных типов событий. Каждый тип события имеет свои индивидуальные свойства. Такая классификация событий по вероятности помогает упростить математические расчеты. В этой статье мы узнаем больше о событиях в вероятности, их типах и увидим некоторые связанные примеры.

    1. Что такое события в вероятности?
    2. Типы событий в вероятности
    3. Пересечение событий в вероятности
    4. Объединение событий в вероятности
    5. Как найти вероятность события?
    6. Часто задаваемые вопросы о событиях в вероятности

    Что такое события в вероятности?

    Вероятностные события являются результатами случайных экспериментов. Любое подмножество выборочного пространства будет формировать события с вероятностью. Вероятность возникновения событий в вероятности можно рассчитать, разделив количество благоприятных исходов на общее количество исходов этого эксперимента.

    Определение событий в вероятности

    Вероятностные события можно определить как некоторые вероятные результаты эксперимента, которые образуют подмножество конечного пространства выборки. Вероятность появления любого события всегда будет находиться в диапазоне от 0 до 1. С одним пространством выборки может быть связано много событий.

    Пример вероятностных событий

    Предположим, что брошена правильная игральная кость. Общее количество возможных результатов образует выборочное пространство и определяется как {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Пусть событие E определяется как выпадение четного числа на кубике. Тогда Е = {2, 4, 6}. Таким образом, можно видеть, что E является подмножеством выборочного пространства и результатом броска игральной кости.

    Типы событий в вероятности

    Существует несколько различных типов событий по вероятности. Для случайного эксперимента может быть только одно выборочное пространство, однако может быть много разных типов событий. Некоторые из важных событий в вероятности перечислены ниже.

    Независимые и зависимые события

    Независимые события по вероятности — это события, исход которых не зависит от какого-либо предыдущего исхода. Сколько бы раз ни проводился эксперимент, вероятность появления независимых событий будет одинаковой. Например, подбрасывание монеты является независимым событием по вероятности.

    Зависимые события в вероятности — это события, исход которых зависит от предыдущего исхода. Это означает, что на вероятность возникновения зависимого события будет влиять некоторый предыдущий результат. Например, вытягивание из мешка двух мячей друг за другом без замены.

    Невозможные и гарантированные события

    Событие, которое никогда не может произойти, называется невозможным событием. Так как невозможные по вероятности события никогда не произойдут, то вероятность того, что они произойдут, всегда равна 0. Например, вращение Солнца вокруг Земли — невозможное событие.

    Верное событие — это то, что всегда происходит. Вероятность наступления достоверного события всегда будет равна 1. Например, вращение Земли вокруг Солнца является достоверным событием.

    Простые и составные события

    Если событие состоит из одной точки или одного результата из выборочного пространства, оно называется простым событием. Событие получения менее 2 очков при броске правильного кубика, обозначаемое как E = {1}, является примером простого события.

    Если событие состоит из более чем одного результата из выборочного пространства, оно называется составным событием. Примером составного события по вероятности является бросание правильного кубика и получение нечетного числа. Е = {1, 3, 5}.

    Дополнительные события

    Когда есть два события, одно из которых может произойти тогда и только тогда, когда не происходит другое, тогда такие события называются дополнительными событиями по вероятности. Сумма вероятностей дополнительных событий всегда будет равна 1. Например, при подбрасывании монеты пусть E определяется как выпадение орла. Тогда дополнением E является E’, что будет событием получения хвоста. Таким образом, Е и Е’ вместе составляют дополнительные события. Такие события являются взаимоисключающими и исчерпывающими.

    Взаимоисключающие события

    События, которые не могут произойти одновременно, называются взаимоисключающими событиями. Таким образом, взаимоисключающие по вероятности события не имеют общих исходов. Например, S = {10, 9, 8, 7, 6, 5, 4}, A = {4, 6, 7} и B = {10, 9, 8}. Поскольку между множествами A и B нет ничего общего, они являются взаимоисключающими событиями.

    Исчерпывающие события

    Исчерпывающие события по вероятности – это события, взятые вместе из пространства выборки случайного эксперимента. Другими словами, набор событий, из которых хотя бы одно обязательно произойдет при проведении эксперимента, является исчерпывающим. Например, результат экзамена либо сдан, либо не сдан.

    Равновероятные события

    Равновероятные события по вероятности — это события, исходы которых равновозможны. Например, при подбрасывании монеты выпадение орла или решки равновероятные события.

    Пересечение событий в вероятности

    Пересечение событий по вероятности соответствует событию И. Если два события связаны оператором «И», это означает, что результатом будут общие результаты обоих событий. Обозначается символом пересечения «∩». Например, A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 5, 6}, тогда A ∩ B = {2, 3}.

    Объединение событий в вероятности

    Объединение событий по вероятности такое же, как событие ИЛИ. Если есть два события, принадлежащие к этой группе, то результатом будет результат одного или обоих событий. Символ объединения (∪) используется для обозначения события ИЛИ. Например, A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 5, 6}, тогда A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

    Как найти вероятность события?

    Чтобы найти вероятность появления событий в вероятности, шаги следующие:

    • Определить выборочное пространство или общее количество возможных исходов эксперимента.
    • Определить количество благоприятных исходов события.
    • Разделите значение, полученное на шаге 2, на значение, полученное на шаге 1, чтобы получить требуемую вероятность.

    Статьи по теме:

    • Вероятность и статистика
    • Вероятностные правила
    • Формула условной вероятности
    • Экспериментальная вероятность
    • Калькулятор вероятности события

    Важные примечания о вероятностных событиях

    • Вероятностные события можно определить как определенные результаты случайного эксперимента.
    • Вероятностные события являются подмножеством выборочного пространства.
    • Типы событий в вероятности: простые, достоверные, невозможные, дополнительные, взаимоисключающие, исчерпывающие, равновероятные, составные, независимые и зависимые события.

    Часто задаваемые вопросы о событиях в вероятности

    Что понимается под вероятностными событиями?

    Вероятностные события относятся к определенным результатам случайного эксперимента, которые составляют часть выборочного пространства. Вероятность возникновения любого события будет находиться в диапазоне от 0 до 1.

    Какие существуют типы событий в вероятности?

    Различные типы событий по вероятности перечислены ниже:

    • Независимые события
    • Зависимые события
    • Простые события
    • Составные события
    • Невозможные события
    • Надежные события
    • Дополнительные события
    • Взаимоисключающие события
    • Исчерпывающие события
    • Равновероятные события

    Что такое независимые и зависимые события в вероятности?

    Независимые события — это события, которые не зависят от какого-либо предыдущего результата, в то время как на зависимые события влияют предыдущие результаты.

    Какова вероятность возникновения невозможных событий в вероятности?

    Невозможные события с точки зрения вероятности — это события, которые никогда не могут произойти. Таким образом, вероятность появления таких событий всегда будет равна 0.

    В чем разница между взаимоисключающими и дополнительными событиями в вероятности?

    Взаимоисключающие события — это события, которые не могут произойти одновременно, однако при объединении этих событий не обязательно заполнять пространство выборки. Дополнительные события в вероятности — это взаимоисключающие события, которые также являются исчерпывающими.

    Что такое простые события в вероятности?

    Простые события с точки зрения вероятности — это события, имеющие только одну точку. Такие события включают только один результат из выборочного пространства.

    Что такое составные события в вероятности?

    События, которые могут иметь более одного результата из выборочного пространства, называются составными событиями по вероятности.

    Калькулятор вероятностей

    Создано Кришной Нелатуру и Давиде Борчиа

    Последнее обновление: 22 августа 2022 г.

    Содержание:
    • Определение вероятности: Что такое вероятность?
    • Как найти вероятность различных результатов на основе двух событий?
    • Как повторение испытания влияет на вероятность события?
    • Как пользоваться этим калькулятором вероятности двух событий

    Добро пожаловать в наш калькулятор вероятности , где вы можете определить вероятность различных типов исходов на основе вероятностей двух независимых событий . Вы также можете найти вероятность события, повторив испытание несколько раз .

    Если вас смущает расчет вероятности двух событий, прокрутите вниз, потому что мы собираемся разобрать эту концепцию и ответить на некоторые фундаментальные вопросы:

    • Каково определение вероятности?
    • Каковы различные вероятные результаты, основанные на двух событиях?
    • Как, используя формулу вероятности, найти вероятности различных исходов, основанных на двух независимых событиях?
    • Как повторение испытания влияет на вероятность события?

    Недавно мы обновили калькулятор, чтобы вы могли использовать его как калькулятор вероятности 4 событий и даже калькулятор вероятности 5 событий. Посмотрите, какие классные фотографии мы подготовили!

    Определение вероятности: Что такое вероятность?

    Предположим, ваша очередь бросать кости в вашей любимой настольной игре, и вы выигрываете, если выпадает четверка или шестерка. Как определить свои шансы на победу? Азартная игра (например, игра в кости), в которой результат испытания (бросок костей) является случайным, является идеальной средой для понимания вероятности, которая противоположна, например, уравнению передаточного числа для механического преимущества, которое, как известно, равно 100. % верно во всех случаях.

    В математических терминах мы определяем вероятность как отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов . Мы можем выразить это с помощью формулы вероятности:

    P(A)=Количество благоприятных исходовОбщее количество исходов\малое P(A) = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов }}P(A)=Общее количество исходовКоличество благоприятных исходов

    Здесь P(A)P(A)P(A) — вероятность события ААА. Вы видите, что значение вероятности любого события должно лежать в пределах 0-10-10-1. Иногда удобно говорить об этом в процентах.

    В приведенном выше примере с костями вы выигрываете, если выбрасываете четыре или шесть, что означает, что у вас есть два благоприятных исхода из шести возможных. Следовательно, ваша вероятность победы равна 26=13\frac{2}{6} = \frac{1}{3}62​=31​.

    Прежде чем перейти к следующему разделу, давайте установим следующие термины:

    • Испытание — это эксперимент или процесс, который приводит к случайным результатам, таким как бросок игральной кости или подбрасывание монеты.
    • Событие является результатом испытания, которое нас особенно интересует, например выпадение орла при подбрасывании монеты.
    • Два события являются независимыми , если возникновение одного события не влияет на вероятность другого, например, выпадение двух решек при подбрасывании двух монет.

    Примером вероятности в физике является радиоактивный распад, который мы описываем с помощью калькулятора периода полураспада, чтобы увидеть, как быстро нестабильный материал уменьшает свою массу.

    Как найти вероятность различных исходов на основе двух событий?

    Рассмотрим следующие независимые события, когда вы бросаете кости:

    • ААА — это событие, когда вы бросаете четное число. Поскольку у нас есть три четных числа (2,4,6)(2,4,6)(2,4,6) на кости, P(A)=36=12P(A) = \frac{3}{6 } = \frac{1}{2}P(A)=63​=21​.
    • BBB — это событие, когда выпадает простое число. Поскольку на игральной кости три простых числа (2,3,5)(2,3,5)(2,3,5), P(B)=36=12P(B) = \frac{3}{6} = \ гидроразрыв{1}{2}P(B)=63​=21​.

    Как найти вероятность того, что и A, и B встречаются вместе? Можем ли мы рассчитать вероятность того, что произойдет хотя бы одно событие? Можно ли рассчитать вероятность того, что события А и В не произойдут? В следующей таблице мы исследуем такие разные комбинации этих двух независимых событий и их формулы вероятности.

    Комбинация событий

    Формула вероятности

    P(A∩B)\маленький P(A \cap B)P(A∩B) AAA И BBB

    P(A)∗P(B)\маленький P(A) * P(B)P(A)∗P(B)

    P(A∪B)\маленький P(A \чашка B)P(A∪B) AAA ИЛИ BBB

    P(A)+P(B)−P(A∩B)\small P(A) + P(B) — P(A \cap B)P(A)+P(B)−P( А∩Б)

    P(A△B)\маленький P(A\треугольник B)P(A△B) AAA XOR BBB

    P(A)∗P(B′)+P(B)∗P(A′)\маленький P(A) *P(B’) + P(B) * P(A’)P(A )∗P(B′)+P(B)∗P(A′)

    P((A∪B)′)\small P((A \cup B)’)P((A∪B)′) ни AAA, ни BBB

    P(A′)∗P(B′)\маленький P(A′) * P(B′)P(A′)∗P(B′)

    P(A′)\маленький P(A′)P(A′) не AAA

    1-П(А)\маленький 1-П(А)1-П(А)

    P(B′)\маленький P(B′)P(B′)не BBB

    1-П(Б)\маленький 1- П(Б)1-П(Б)

    Где:

    • P(A∩B)\small P(A \cap B)P(A∩B) вероятность AAA и BBB встречаются вместе ;
    • P(A∪B)\small P(A \cup B)P(A∪B) — вероятность либо AAA , либо BBB;
    • P(A△B)\small P(A \треугольник B)P(A△B) — вероятность того, что произойдет ровно одно из двух событий;
    • P((A∪B)′)\small P((A \cup B)’)P((A∪B)′) — вероятность того, что не произойдет ни AAA, ни , ни BBB;
    • P(A′)\small P(A′)P(A′) — вероятность того, что ААА не произойдет ; и
    • P(B′)\small P(B’)P(B′) — вероятность того, что BBB не произойдет .

    Используя эти определения вероятности и формулы, найдите ответы на наши предыдущие вопросы. Проверьте свои результаты с помощью этого калькулятора вероятности. Интересно, как расширить это, чтобы включить три события? Узнайте больше с помощью нашего калькулятора вероятности трех событий.

    Как повторение испытания влияет на вероятность события?

    Когда мы повторяем попытку несколько раз, скажем, бросаем кости несколько раз, 9н\\ \end{align*}P(A всегда возникает)P(A никогда встречается)P(A появляется хотя бы один раз)​=P(A)n=P(A′)n=1−P(A′)n​

    Предположим, вы хотите вычислить вероятность хотя бы одного 666 из трех последовательных бросков костей.

    1. Сначала вы определяете вероятность выпадения 666 за один бросок, P(6)=16P(6) = \frac{1}{6}P(6)=61​.
    2. Затем найдите P(6′)=1−16=56P(6′) = 1- \frac{1}{6} = \frac{5}{6}P(6′)=1−61​= 65​.
    3. Наконец, используйте приведенную выше формулу вероятности, чтобы получить: 93\\ &= 1 — \влево(\frac{125}{216}\вправо)\\ P(6 \text{ хотя бы один раз})&= \frac{91}{216} = 42,13\% \end{align*}P(6 хотя бы один раз)P(6 хотя бы один раз)​=1−P(6′)3=1−(65​)3=1−(216125​)=21691​=42,13 %​

      Как использовать этот калькулятор вероятности двух событий

      Наш калькулятор вероятности двух событий идеально подходит для тех, кто хочет рассчитать вероятности A и B и вероятности их различных комбинаций.

      Чтобы определить вероятность различных комбинаций двух событий в испытании, выполните следующие действия:

      1. Введите вероятности событий A и B.
      2. В разделе «Какую вероятность вы хотите увидеть?» раздел, выберите, какое сочетание этих двух событий вас интересует. Вы также можете выбрать, чтобы увидеть их все.
      3. Устройтесь поудобнее и расслабьтесь. Калькулятор мгновенно выдаст нужный вам ответ.

      Чтобы узнать, насколько вероятно событие, когда мы повторяем испытание несколько раз, выполните следующие действия:

      1. Введите вероятность A или B. Вы можете ввести обе, если хотите сравнить.
      2. В разделе «Вероятности для серии событий» введите количество повторений проб в поле При попытке . Кроме того, выберите, какой тип события вас интересует.
      3. Калькулятор покажет, как повторение изменило шансы события.

      Если вы не хотите полагаться на вероятность во время своих поездок, наш калькулятор стоимости бензина является идеальным инструментом для эффективного планирования.

      Кришна Нелатуру и Давиде Борчиа

      Сколько событий?

      Вероятности отдельных событий

      Вероятность A, P(A)

      Вероятность B, P(B)

      Какую вероятность вы хотите увидеть?

      P (A∩B)

      Вероятности для серии событий

      при попытке

      раз …

      Вероятность

      Вероятность события: Простые шаги в простом английском


      СОДЕРЖА


      • Вероятность простого события
      • Вероятность события при наличии другого события
      • Вероятность события , а не , происходящего

      См. также:
      Вероятность одновременного наступления двух событий.

      Вероятность простых событий имеет определенный шанс произойти. Например, вероятность дождя сегодня составляет 10%. Когда возможны две или более вероятностей, они складываются вместе, чтобы получить общую вероятность. Вероятность снега 10 % и вероятность града 15 % означают 10 % + 15 % = 25 % вероятности плохой погоды. Эта статья расскажет вам, как найти вероятность простого события.

      Если у вас есть вопрос другого типа, ознакомьтесь с Индексом вероятности, чтобы узнать о других типах вопросов, например о нескольких событиях одновременно.


      Вероятность простого события: Шаги

      Пример задачи №1 : Согласно недавнему исследованию, пятьдесят процентов семей в США не имеют детей, живущих дома. Двадцать два процента имеют одного ребенка. Двадцать два процента имеют двоих детей. Четыре процента имеют троих детей. Два процента имеют четырех или более детей. Если в семье выбрано наугад , какова вероятность того, что в семье будет трое или на больше детей?

      • Шаг 1: Определите отдельные вероятности и измените проценты на десятичные дроби. Вопрос касается вероятности того, что в семье будет трое и более детей. Другими словами, вы ищете, сколько семей имеют трех или четырех детей.
        Четыре процента семей имеют троих детей, а 2 процента — четверых и более детей. Наши индивидуальные вероятности (в виде десятичных дробей) равны .04 и .02 .
      • Шаг 2: Сложите вероятности .
        .04 + .02 = .06 .
        Вероятность 0,06 или 6%.
        Готово!

      Пример задачи № 2 : Согласно опросу, проведенному Humane Society в 2013–2014 годах, у людей было 95,6 миллиона кошек.

      • 46 процентов — процент владельцев с одной кошкой.
      • 31 процент — процент владельцев с двумя кошками.
      • 23 процента — процент владельцев с тремя или более кошками.

      Если владелец кошки выбран случайным образом , какова вероятность того, что в семье будет менее трех кошек?


      • Шаг 1: Определите отдельные вероятности и измените проценты на десятичные дроби. Вопрос касается вероятности того, что у владельца кошки будет менее трех кошек. Другими словами, вы хотите узнать, сколько владельцев кошек имеют одну или две кошки.
        46 процентов имеют одну кошку и 31 процент имеют двух кошек. Наши индивидуальные вероятности (в виде десятичных дробей) равны .46 и .31 .
      • Шаг 2: Сложите вероятности .
        .46 + .31 = .77 .
        Вероятность равна 0,77, или 77%.
        Готово!

      Посмотрите видео для примера:

      Вероятность зависимых событий

      Посмотрите это видео на YouTube.

      Видео не видно? Кликните сюда.

      Вероятность события с учетом другого события: обзор

      Если вы столкнулись с вопросом о вероятности события с учетом другого события, эти проблемы на самом деле спрашивают вас: «Учитывая определенную ситуацию, какова вероятность того, что произойдет что-то еще?» Например:

      • Если я буду водить машину, каковы мои шансы попасть в аварию?
      • Если я полечу, каковы мои шансы на задержку рейса?

      Это так называемые зависимые события . Если вы не уверены, есть ли у вас зависимое событие, см. Зависимое или независимое? Это практическое руководство проведет вас через краткий набор шагов для определения вероятности зависимых событий.

      Вероятность события при наличии другого события: шаги

      Опросы часто включают зависимые события.
      Пример вопроса: Найдите вероятность того, что ответ был отрицательным, если респондент был мужчиной.
      Результаты опроса

      Пол Да № Всего
      Мужской 15 25 40
      Женский 10 50 60
      Итого 25 75 100
      • Шаг 1: Найдите число для обоих событий в вопросе, происходящих вместе . В нашей выборке, вопрос, нас спросили о вероятности отсутствия + мужчина. Из таблицы количество самцов 25 .
      • Шаг 2: Разделите ответ на шаге 1 на общую цифру. В нашем примере это опрос, поэтому нам нужно общее количество респондентов (100, из таблицы).
        25/100 = 0,25
      • Шаг 3: Определите, какое событие произошло первым (т.е. найдите независимую переменную) . В нашем примере мы идентифицировали мужскую подгруппу 90 502, а затем 90 503 сделали вывод, сколько из них ответили «нет», поэтому «общее количество мужчин» является независимым событием. Вопрос обычно раскрывает эту информацию, говоря вам «учитывая, что респонденты были мужчинами…» (как в нашем вопросе).
      • Шаг 4: Найдите вероятность события на шаге 3. В нашем примере нам нужна вероятность участия в опросе мужчины. В нашем опросе 40 мужчин, всего 100 человек, поэтому вероятность оказаться мужчиной в опросе составляет 40/100, или .4 .
      • Шаг 5: Разделите число, полученное на шаге 2, на число, полученное на шаге 4.
        0,25 / 0,4 = 0,625

      Вот оно!

      Посмотрите видео для примера:

      Вероятность того, что событие НЕ произойдет

      Посмотрите это видео на YouTube.

      Видео не видно? Кликните сюда.

      Как рассчитать вероятность того, что событие НЕ произойдет: Обзор

      Какова вероятность того, что событие НЕ произойдет?
      Вероятностные вопросы часто представляют собой словесные задачи, которые кажутся более сложными, чем они есть на самом деле. Хитрость заключается в том, чтобы определить тип вашей проблемы. Эта статья расскажет вам, как найти вероятность простого события , а не . Вы также можете проверить Индекс вероятности для других типов вопросов.

      Как рассчитать вероятность того, что событие НЕ произойдет: Шаги

      • Шаг 1: Выберите один из приведенных ниже примеров вопросов, наиболее точно соответствующий вашей проблеме, и перейдите к указанному шагу. При выборе обратите особое внимание на жирный шрифт слов.
        1. В определенный год 12,9В результате падения обломков пострадали 42 строителя. Шесть городов с наибольшим количеством травм: Нью-Йорк 141, Хьюстон 219, Майами 112, Денвер 140 и Сан-Франциско 110. Если травмированный строитель выбран случайным образом , какова вероятность того, что выбранный рабочий получит травму в городе , отличном от Хьюстона, Майами или Денвера? Если проблема выглядит так, перейдите к шагу 2.
        2. Если вероятность того, что сильный ураган обрушится на Флориду в этом году, равна 0,49., какова вероятность крупного урагана , а не , обрушившегося на Флориду в этом году? Если ваша проблема выглядит так, перейдите к шагу 5.
        3. Двадцать семь процентов взрослых американцев поддерживают Universal Health Care. Если взрослый американец выбран случайным образом, какова вероятность того, что он не поддержит Universal Health Care? Если проблема выглядит так, перейдите к шагу 6. ​​
      • Шаг 2: Сложите указанные города.
        Хьюстон (219) + Майами (112) + Денвер (140) = 471
      • Шаг 3: Разделите число, которое вы нашли на шаге 2, на общее количество людей или предметов, указанных . При этом нам сообщили, что пострадали 12 942 строителя. Итак:
        471 / 12 942 = .0364 .
      • Шаг 4: Вычтите число, которое вы нашли на шаге 3, из 1 (то есть число один, а не шаг 1).
        1 – 0,0364 = 0,9636 (округлено до четырех знаков после запятой). Готово!
      • Шаг 5: Вычесть вероятность «нет» из 1 .
        1 – 0,49 = 0,51 . Вот и все!
      • Шаг 6: Преобразование процента в десятичное число .
        Двадцать семь процентов = 0,27
      • Шаг 7: Вычесть число в шаге 6 из 1 (то есть число один не шаг 1!) .

        No related posts.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *