Комплексные числа корень из 1: Извлечение корня из комплексного числа онлайн

Содержание

Лекции по алгебре

ПРЕДИСЛОВИЕ
ГЛАВА I. ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Теория делимости целых чисел
2. Деление с остатком.
3. Наибольший общий делитель.
4. Алгоритм Евклида.
5. Взаимно простые числа.
6. Простые числа.
§ 2. Теория сравнений
2. Действия над классами.
3. Приведенная система вычетов и примитивные классы.
§ 3. Некоторые общие понятия алгебры
2. Кольца и поля.
3. Изоморфизм.
ГЛАВА II. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Обоснование комплексных чисел
3. Свойства действий.
4. Возвращение к обычной форме записи.
5. Вычитание и деление комплексных чисел.
§ 2. Тригонометрическая форма комплексного числа
2. Модуль и аргумент комплексного числа.
3. Тригонометрическая запись комплексного числа.
4. Неравенства для модуля суммы и модуля разности двух комплексных чисел.

5. Умножение комплексных чисел в тригонометрической записи.
6. Возведение комплексного числа в степень с целым показателем и формула Муавра.
7. Применения формулы Муавра к преобразованиям тригонометрических выражений.
§ 3. Извлечение корня из комплексного числа
2. Исследование формулы извлечения корня.
3. Извлечение квадратного корня.
§ 4. Корни из единицы
§ 5. Показательная и логарифмическая функции комплексной переменной
ГЛАВА III. ПРОСТЕЙШИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АЛГЕБРЕ ПОЛИНОМОВ
§ 1. Полиномы от одной буквы
2. Высший член и степень полинома.
3. Степени элемента в ассоциативном кольце.
4. Значение полинома.
5. Схема Хорнера и теорема Безу.
6. Число корней полинома в коммутативной области целостности.
7. Теорема о тождестве.
§ 2. Алгебраическое решение уравнений третьей и четвертой степени
2. Исследование формулы Кардано.
3. Решение уравнений четвертой степени.
§ 3. Полиномы от нескольких букв

3. Теорема о тождестве.

4. Теорема о несущественности алгебраических неравенств.
ГЛАВА IV. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
§ 1. Матрицы и действия над ними
2. Сложение матриц и умножение матрицы на число.
3. Умножение матриц.
4. Транспонирование матриц.
5. Обзор действий над матрицами.
§ 2. Теория определителей
2. Элементарные сведения теории перестановок.
3. Определитель порядка n. Определение.
4. Свойства определителя.
5. Алгебраические дополнения и миноры.
6. Вычисление определителей.
7. Определитель Вандермонда.
9. Некоторые следствия из теоремы Крамера.
§ 3. Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов)
2. Линейные зависимости столбцов матрицы с линейно зависимыми строками.
3. Теорема о линейной зависимости линейных комбинаций.
4. Базис и ранг совокупности строк.
5. Линейно эквивалентные совокупности строк.
6. Ранг матрицы.
7. Условие линейной зависимости множества строк квадратной матрицы.
8. Ранг матрицы в терминах определителей.

9. Определение ранга матрицы при помощи элементарных преобразований.
§ 4. Системы линейных уравнений общего вида
§ 5. Дальнейшие свойства определителей
2. Умножение матриц, разбитых на клетки.
3. Умножение матрицы на вспомогательную матрицу как линейное преобразование строк (столбцов).
4. Определитель произведения двух квадратных матриц.
5. Примеры применения теоремы об определителе произведения квадратных матриц к вычислению определителей.
6. Теорема Бине — Коши.
§ 6. Обращение квадратных матриц
§ 7. Характеристический полином матрицы
2. Теорема Кэли—Гамильтона.
ГЛАВА V. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
§ 1. Преобразование квадратичной формы к каноническому виду линейной подстановкой букв

§ 2. Закон инерции квадратичных форм
2. Критерий Сильвестра положительности квадратичной формы.
3. Закон инерции квадратичных форм.
§ 3. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду
2. Собственные значения вещественной симметричной матрицы.

3. Построение ортогональных матриц.
4. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду.
5. Коэффициенты канонического вида квадратичной формы и столбцы преобразующей ортогональной матрицы.
6. Одновременные преобразования двух квадратичных форм к каноническому виду.
§ 4. Эрмитовы формы
2. Свойства эрмитовых форм.
ГЛАВА VI. ПОЛИНОМЫ И ДРОБИ
§ 1. Теория делимости для полиномов от Одной буквы
§ 2. Производная
2. Разложение полинома по степеням линейного двучлена.
3. Разделение множителей различной кратности.
§ 3. Рациональные дроби
2. Поле частных.
3. Правильные рациональные дроби.
4. Разложение рациональной дроби на простейшие.
5. Разложение рациональной дроби на простейшие над полем С комплексных чисел.
6. Разложение рациональной дроби на простейшие над полем R вещественных чисел.
7. Разложение на простейшие правильной рациональной дроби, знаменатель которой разложен на попарно простые линейные множители.

§ 4. Интерполяция
2. Интерполяционная формула Лагранжа.
3. Способ интерполяции Ньютона.
4. Приближенная интерполяция.
ГЛАВА VII. СРАВНЕНИЯ В КОЛЬЦЕ ПОЛИНОМОВ И РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
§ 1. Сравнения в кольце полиномов над полем
§ 2. Расширение полей
2. Конструирование простых расширений.
ГЛАВА VIII. ПОЛИНОМЫ С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. ПОЛИНОМЫ НАД ФАКТОРИАЛЬНЫМИ КОЛЬЦАМИ
§ 1. Полиномы с целыми коэффициентами
§ 2. Полиномы от одной буквы над факториальным кольцом

ГЛАВА IX. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА
§ 1. Существование корней в С
§ 2. Распределение корней на плоскости комплексной переменной
2. Принцип аргумента.
3. Теорема Руше.
4. Непрерывность корней полинома.
§ 3. Распределение вещественных корней полинома с вещественными коэффициентами
2. Теорема Штурма.
3. Построение ряда Штурма.
§ 4. Обобщенная теорема Штурма
§ 5. Приближенное вычисление корней полинома
2. Метод непрерывных дробей.
ГЛАВА X. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
§ 2.

Нормальные подгруппы и факторгруппы
§ 3. Гомоморфизм
§ 4. Прямое произведение групп
§ 5. Группы преобразований
2. Классы сопряженных элементов.
3. Строение однородных пространств.
4. К теории подстановок.
5. Примеры из геометрии.
6. Централизатор элемента и нормализатор подгруппы.

7. Центр p-группы.
8. Преобразования.
9. Автоморфизмы группы.
§ 6. Свободная группа
§ 7. Свободные произведения групп
§ 8. Конечные абелевы группы
§ 9. Конечно порожденные абелевы группы
ГЛАВА XI. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ
§ 1. Выражение симметрических пэлииов через основные
§ 2. Значения симметрических полиномов от корней полинома
2. Степенные суммы.
3. Дискриминант полинома.
4. Алгебраическое решение уравнений третьей и четвертой степени в свете теории симметрических полиномов.
§ 3. Результант
2. Другой способ построения результанта.
3. Линейное представление результанта.
4. Применение результанта к исключению неизвестного из системы двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными.

5. Связь дискриминанта полинома с результантом полинома и его производной.
ГЛАВА XII. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

2. Линейные комбинации, линейная зависимость и линейная независимость.
3. Координаты вектора.
4. Замена базиса и преобразование координат.
§ 2. Подпространства
3. Прямая сумма подпространств.
4. Относительная линейная независимость и относительный базис.
5. Факторпространство.
§ 3. Линейные функции
§ 4. Линейные отображения векторных пространств
§ 5. Линейные операторы в векторном пространстве
2. Действия над операторами.
3. Инвариантные подпространства.
4. Циклическое подпространство и минимальный аннулятор вектора.
5. Матрица оператора на циклическом подпространстве и ее характеристический полином.
6. Минимальный полином оператора.
7. Разложение пространства с оператором в прямую сумму примарных подпространств.
8. Разложение примарного пространства в прямую сумму циклических примарных подпространств.
9.

Модули над кольцом главных идеалов.
10. Некоторые следствия.
11. Каноническая форма матрицы оператора.
12. Оператор проектирования.
13. Полуобратные линейные отображения.
§ 6. Операторы в векторных пространствах над полем С комплексных чисел
2. Корневые векторы.
3. Нильпотентный оператор.
4. Каноническая форма Жордана матрицы оператора.
5. Пример.
§ 7. Операторы в векторных пространствах над полем R вещественных чисел
ГЛАВА XIII. ЕВКЛИДОВО И УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВА
1. Скалярное произведение.
§ 2. Подпространства унитарного (или евклидова) пространства
§ 3. Пространства, сопряженные с евклидовым и унитарным пространствами
§ 4. Операторы в унитарном пространстве
§ 5. Операторы в евклидовом пространстве
§ 6. Преобразование уравнения гиперповерхности второго порядка к каноническому виду
§ 7. Линейные отображения унитарного пространства в унитарное
§ 8. Объем параллелепипеда в евклидовом пространстве

ГЛАВА XIV. ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ТЕНЗОРОВ
§ 2.

Найдите корень четвертой степени из 5(1 + i√3)

Действительные и мнимые числа объединяются в комплексные числа. Мнимая составляющая I (йота) указывает на квадратный корень из -1. Мнимая часть комплексного числа равна i. a + ib — это типичное представление комплексных чисел в их прямоугольной или стандартной форме. Например, 100 + 25i — это комплексное число, в котором 100 представляет собой действительную часть, а 25i — мнимую часть.

Представление комплексных чисел в полярной форме

Для представления комплексного числа здесь записываются полярные координаты действительной и мнимой составляющих. представляет собой угол, под которым числовая линия наклонена к действительной оси, то есть к оси x. Длина, указанная линией, известна как ее модуль и представлена буквой r в алфавите. Действительные и мнимые компоненты представлены как a и b соответственно, а модуль представлен как OP = r на диаграмме ниже.

Чтобы получить длину r, нужно использовать теорему Пифагора. Тригонометрические соотношения можно использовать для вычисления аргументов. Полярная форма комплексного числа типа z = a + ib представлена следующим образом:

r = Modulus[cos(аргумент) + isin(аргумент)]

Альтернативно, z = r[cosθ + isinθ]

В этом случае r = и θ = tan ^-1 {b/a}.

Вычисление корней комплексных чисел

Теорему Де Муавра можно использовать для упрощения комплексных чисел более высокого порядка. Его можно использовать для определения корней комплексных чисел, а также для расширения комплексных чисел в соответствии с их показателем степени.

Дано: , тогда его корни:

Где k лежит в диапазоне от 0 до n – 1, а n – показатель степени или радикал.

Найдите корни четвертой степени из 5(1 + i√3). Оставить в тригонометрической форме.

Решение:

Модуль заданного числа = = 10
Аргумент = tan ^-1 [5√3/5] = π/3.
Таким образом, полярная форма 5 + 5√3i =
Согласно формуле Де Муавра, все n-е корни комплексного числа задаются как:
, где k лежит между 0 и n — 1, а n — показатель степени или радикально.
Здесь r = 10, θ = π/3 и n = 4.
Найдите 4 корня, подставив значения k как 0, 1, 2 и 3 соответственно.
для k = 0 , z =
=
для K = 1 , z =
=
для K = 2 , Z =
.
Для k = 3 , z =
=
Таким образом, четыре корня из 5(1 + i√3) равны и .

Аналогичные задачи

Вопрос 1: Найдите кубические корни из -2 – 2√3i.

Решение:

r = = √(16) = 4, θ = 4π/ 3. лежит между 0 и n – 1, а n является показателем степени или радикалом.
Найдите 3 корня, подставив значения m как 0, 1 и 2 соответственно,
для m = 0 , z =
= 0,27 + 1,56i
для M = 1 , z =
= −1,49 — 0,54i
для M = 2 , z =
= 1,21 −1,02i
Таким образом, корни равны 0,27 + 1,56i, −1,49 − 0,54i и 1,21 – 1,02i.

Вопрос 2: Найдите корни пятой степени из 32 + 0i.

Решение:

Модуль =  = 32.
Аргумент = θ = тангенс ^-1 (0/32) = 0.
Согласно формуле Де Муавра, все n-е корни комплексного числа равны:
, где k лежит между 0 и n – 1, а n – показатель степени или радикал .
Найдите 5 корней, подставив значения m вместо 0, 1, 2, 3 и 4. =
= 0,62 + 1,9i
Для m = 2
z =
= −1,62 + 1,18i
для M = 3,
= −1,62 — 1,18i
для M = 4,
= 0,62 –1,
9
9
9
9
9
9
9
9
19921
9
9
9
9
= 0,62 — 1,9000 2
= 0,62 — 1,9000 2
= 0,62 — 1,9000 2
= 0,62 — 1,9000 2
. корни равны 2, 0,62 + 1,9i, -1,62 + 1,18i, -1,62 – 1,18i и 0,62 – 1,9i.

Вопрос 3: Найдите корни четвертой степени из -8√3 + 8i.

Решение:

Полярная форма =
Имеем k = 2, n = 4 и θ = 5π/ 6,
Согласно формуле Де Муавра, все n-е корни комплексного числа задаются следующим образом:
, где k находится между 0 и n – 1, а n — показатель степени или радикал.
Найдите 4 корня, подставив значения m как 0, 1, 2 и 3 соответственно.
для M = 0,
для M = 1,
для M = 2,
для M = 3,
Таким образом, четыре корта Z — 1,58 + 1.21. i, -1,21 + 1,58i, -1,58 -1,21i и 1,21 — 1,58i.

Вопрос 4: Найдите корень шестой степени из -27i. Оставить в тригонометрической форме.

Решение:

Модуль =
Аргумент = θ = tan ^-1 (-27/0) = π/2.
Полярная форма =
Согласно формуле Де Муавра, все n-е корни комплексного числа задаются следующим образом:
, где k находится между 0 и n – 1, а n – показатель степени или радикал.
Найдите 6 корней, подставив значения m как 0, 1, 2, 3, 4 и 5.
для M = 0, z =
=
для M = 1 , z =
=
для M = 2, Z =
95995959595959595959595959959599595995995959599599595995995995995995995995995959959959959959959959959959.
.
для M = 3 , z =
=
для M = 4, z =
=
для M = 5, Z =
999919191919191919191995919591959195919591959195919591991995919599591959195919591959195919591959195919591000009а
. Вопрос 5: Найдите корень четвертой степени из 81i. Оставить в тригонометрической форме.
Решение:
Полярная форма =
Имеем k = 81, n = 4 и θ = π/ 2.
, где k лежит в диапазоне от 0 до n – 1, а n – показатель степени или радикал.
Найдите 4 корня, подставив значения m как 0, 1, 2 и 3 соответственно.
Для m = 0, z = =
Для m = 1, z = =
Для m = 2, z = =
Для m = 3, z =

Объяснение урока: произвольные корни комплексных чисел
найти 𝑛-й корень комплексного числа и изучить их свойства.
Нас интересует нахождение комплекснозначных решений 𝑧 уравнений вида 𝑧=𝑧, где 𝑛 — натуральное число, а 𝑧 — заданное комплексное число. Решения уравнений в этом форма известна как 𝑛-й корень 𝑧. В частности, при 𝑧=1 вспоминаем что уравнение 𝑧=1 имеет 𝑛 различных комплекснозначных решений 𝑧, которые называется 𝑛-м корнем из единицы. В этом объяснении мы хотим заменить правую часть этого уравнения на общее комплексное число 𝑧 и найти корни произвольного комплексного числа.

Давайте начнем с примера, где мы будем вычислять квадратный корень из комплексного числа, используя алгебраические методы.
Пример 1. Нахождение квадратных корней комплексных чисел в декартовой форме
Учитывая, что 𝑧=−28+96𝑖, определить квадратные корни из 𝑧 без предварительного преобразования к тригонометрической форме.
Ответ
В этом примере нам нужно вычислить квадратный корень комплексного числа без преобразования его в тригонометрическую форму. Мы можем начните с обозначения квадратного корня из 𝑧 с помощью 𝑥+𝑦𝑖 для переменных с действительным знаком 𝑥 и 𝑦. Поскольку это комплексное число является квадратным корнем из 𝑧, мы можем написать (𝑥+𝑦𝑖)=−28+96𝑖.
Мы можем распределить квадрат в левой части этого уравнения как 𝑥+(𝑦𝑖)+2𝑥𝑦𝑖=𝑥−𝑦+2𝑥𝑦𝑖.
Следовательно, 𝑥−𝑦+2𝑥𝑦𝑖=−28+96𝑖.
Напомним, что два комплексных числа равны друг другу, если действительные и мнимые части комплексных чисел равны. Следовательно, приведенное выше уравнение приводит к 𝑥−𝑦=−28,2𝑥𝑦=96.
Хотя этих двух уравнений достаточно для нахождения двух неизвестных 𝑥 и 𝑦, эти одновременные уравнения беспорядочны. Вместо этого мы можем использовать другое уравнение, включающее 𝑥 и 𝑦. Напомним, что свойство модуля говорит нам для любого комплексного числа 𝑤, ||𝑤||=|𝑤|. Поскольку у нас есть (𝑥+𝑦𝑖)=𝑧, это говорит нам |𝑥+𝑦𝑖|=|−28+96𝑖|.
Напомним, что модуль комплексного числа 𝑎+𝑏𝑖 определяется выражением √𝑎+𝑏. Следовательно, √𝑥+𝑦=(−28)+96𝑥+𝑦=100.
Теперь мы можем использовать одновременные уравнения 𝑥+𝑦=100,𝑥-𝑦=-28.
Сложение двух уравнений приводит к 2𝑥=72, что совпадает с 𝑥=36. Следовательно, 𝑥=±6. Вычитание этих двух уравнений приводит к 2𝑦=128, что означает 𝑦=64; следовательно, 𝑦=±8.
На первый взгляд кажется, что у нас есть четыре решения, так как 𝑥=±6 и 𝑦=±8. Однако, мы должны помнить, что 𝑥 и 𝑦 должны по-прежнему удовлетворять нашему предыдущему уравнению 2𝑥𝑦=96. В частности, произведение 𝑥 и 𝑦 должно быть положительным. Это ограничивает пары наших решений для (𝑥,𝑦)=(6,8)(−6,−8).или
Мы можем проверить, что обе эти пары удовлетворяют уравнению 2𝑥𝑦=96. Это дает нам корни 6+8𝑖 и −6−8𝑖.
Таким образом, квадратные корни из −28+96𝑖 равны (6+8𝑖),−(6+8𝑖).
В предыдущем примере мы использовали алгебраический метод для нахождения квадратных корней заданного комплексного числа. Пока этот метод работает хорошо для нахождения квадратных корней, его нельзя обобщить для нахождения корней более высоких степеней. Для вычисления корней большей мощности, лучше преобразовать комплексное число в полярную или экспоненциальную форму и применить теорему де Муавра для корней.
Теорема: теорема де Муавра для корней
Для комплексного числа в полярной форме 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)косинус 𝑛-е корни √𝑟𝜃+2𝜋𝑘𝑛+𝑖𝜃+2𝜋𝑘𝑛𝑘=0,1,…,𝑛−1.cossinfor
корни можно записать как √𝑟𝑒𝑘=0,1,…,𝑛−1. для
В следующем примере мы применим теорему де Муавра для нахождения квадратных корней заданного комплексного числа.
Пример 2. Нахождение квадратных корней комплексных чисел с помощью теоремы Муавра
Используйте теорему де Муавра, чтобы найти два квадратных корня из 165𝜋3−𝑖5𝜋3коссинус.
Ответ
В этом примере нам нужно вычислить квадратный корень из комплексного числа, заданного в полярной форме. Вспомним де Муавра. теорема для корней, которая утверждает, что для комплексного числа 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)косинус, 𝑛-е корни 𝑧 задаются формулой √𝑟𝜃+2𝜋𝑘𝑛+𝑖𝜃+2𝜋𝑘𝑛𝑘=0,1,…,𝑛−1.cossin for
Мы можем использовать теорему де Муавра для вычисления корней, но сначала нам нужно сделать уверен, что мы начинаем с правильная форма 𝑟(𝜃+𝑖𝜃)коссин, которая является полярной формой комплексного числа. Представленная форма 165𝜋3−𝑖5𝜋3коссин похожа на эту форму, но она отличается от полярной формы отрицательным знаком в скобках. Чтобы устранить это различие, напомним четные/нечетные тождества для функций синуса и косинуса sinsincoscos(−𝜃)=−𝜃,(−𝜃)=𝜃.
Следовательно, мы можем переписать данную форму комплексного числа как 165𝜋3−𝑖5𝜋3=165𝜋3+𝑖−5𝜋3=16−5𝜋3+𝑖−5𝜋3.cossincossincossin
Теперь, когда мы можем использовать полярную форму нашего комплексного числа значения 𝑟=16 и 𝜃=−5𝜋3. Кроме того, поскольку мы ищем квадратный корень, мы можем использовать 𝑛=2, что означает 𝑘=0,1. Подставляя эти значения в приведенную выше теорему де Муавра, квадратные корни получаются как √16−5𝜋6+𝑖−5𝜋6,√16𝜋6+𝑖𝜋6.cossincossin
Преобразуем эти квадратные корни в декартову форму. Мы знаем, что √16=4. Также с помощью единичный круг, мы можем найти тригонометрические отношения cossincossin−5𝜋6=−√32,−5𝜋6=−12,𝜋6=√32,𝜋6=12.
Подставляя эти значения в корни, имеем 4−√32−𝑖12,4√32+𝑖12.
Умножая через скобки, получаем квадратные корни −2√3−𝑖2 и 2√3+𝑖2.
Следовательно, два квадратных корня из 165𝜋3−𝑖5𝜋3косинуса равны ±2√3+2𝑖.
В предыдущем примере мы нашли квадратные корни заданного комплексного числа, используя теорему де Муавра для корней. Этот метод можно обобщить для корней более высоких степеней, поскольку теорема Муавра применима для общих корней.
В следующем уравнении мы найдем корни пятой степени комплексного числа и нанесем их на диаграмму Аргана.
Пример 3. Корни комплексного числа
Решите 𝑧=16√2+16𝑖√2.
Нанеся эти решения на диаграмму Аргана или иным образом, опишите геометрические свойства решений.
Ответ
Часть 1
В этой части нам нужно вычислить корень пятой степени комплексного числа 16√2+16𝑖√2, что является декартовой формой комплексного числа. Напомним теорему де Муавра для корней, которая утверждает, что для комплексного числа в экспоненциальной форме 𝑧=𝑟𝑒 корни 𝑛-й степени 𝑧 даются √𝑟𝑒𝑘=0,1,…,𝑛−1. для
Мы можем использовать теорему де Муавра, чтобы найти корни пятой степени, но сначала нам нужно преобразовать заданное комплексное число в экспоненциальную форму. Напомним, что экспоненциальная форма комплексного числа с модулем 𝑟 и аргумент 𝜃 есть 𝑟𝑒.
Начнем с нахождения модуля и аргумента числа 16√2+16𝑖√2, чтобы выразить его в полярной форме. форма. Напомним, что модуль комплексного числа 𝑎+𝑏𝑖 задается как √𝑎+𝑏. Мы можем найти модуль данного комплексного числа, подставив 𝑎=16√2 и 𝑏=16√2, что дает 16√2+16√2=√1024=32.
Следовательно, 𝑟=32. Также напомним, что аргумент комплексного числа 𝑎+𝑏𝑖, лежащего в первый квадрант диаграммы Аргана задается arctan𝑏𝑎. С 𝑎=16√2 и 𝑏=16√2 положительны для данного комплексного числа, мы знаем, что наше комплексное число лежит в первом квадранте. Тогда его аргумент определяется выражением арктанарктан16√216√2=(1)=𝜋4.
Следовательно, 𝜃=𝜋4. Тогда экспоненциальная форма 16√2+16𝑖√2 является 32𝑒.
Теперь мы можем найти решения уравнения 𝑧=32𝑒.
Корни пятой степени можно найти, применяя теорему Муавра для корней с 𝑛=5, 𝑟=32, 𝜃=𝜋4, что дает 32𝑒𝑘=0,1,…4.для
Следовательно, учитывая каждое значение 𝑘, решения 2𝑒,2𝑒,2𝑒,2𝑒,2𝑒.
Вспомним, что по аргументу комплексного числа соглашение, должно лежать в стандартном диапазоне ]−𝜋,𝜋]. Два последних корня пятой степени имеют аргументы 25𝜋20 и 33𝜋20, которые не лежат в этом диапазоне. Поскольку эти аргументы превышают верхнюю границу 𝜋, мы можем получить эквивалентный аргумент, вычитая полный оборот 2𝜋 радиан от этого значения: 25𝜋20−2𝜋=−15𝜋20=−3𝜋4,33𝜋20−2𝜋=−7𝜋20.
Используя эти аргументы в стандартном диапазоне, последние два корня пятой степени могут быть записаны как 𝑒 и 𝑒. Следовательно, корни пятой степени 16√2+16𝑖√2 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒, 2𝑒.
Часть 2
В этой части нам нужно нанести корни пятой степени, полученные в предыдущей части, на диаграмму Аргана. Корни пятерки в предыдущая часть в экспоненциальной форме, и мы помним, что комплексное число в экспоненциальной форме 𝑟𝑒 имеет модуль 𝑟 и аргумент 𝜃. Наблюдая за корнями пятой степени из предыдущих частей, мы можем видеть, что модуль всех корней пятой степени равен 2. Это означает, что все корни пятой степени лежат на окружности с центром в начале координат с радиусом 2 на диаграмме Аргана.
Мы также можем видеть, что их аргументы образуют арифметическую последовательность −3𝜋4,−7𝜋20,𝜋20,9𝜋20,17𝜋20.
Начиная с начального члена −3𝜋4 аргументы увеличиваются на общую разность 8𝜋20=2𝜋5радиан. Это означает что начинается с точки на окружности под углом −3𝜋4 радиана, что представляет собой угол по часовой стрелке 3𝜋4 радиана от положительной действительной оси диаграмме Аргана, мы можем повернуть окружность против часовой стрелки на 2𝜋5 четыре раза, чтобы получить все корни пятой степени.
Ниже приведен график этих комплексных чисел на диаграмме Аргана.
Из приведенной выше диаграммы Аргана видно, что корни лежат в вершинах правильного пятиугольника, вписанного в окружность. радиуса 2 в начале координат.
В предыдущем примере мы нашли корни пятой степени комплексного числа и заметили, что эти корни образуют вершины правильного многоугольник, вписанный в окружность на диаграмме Аргана. Напомним, что это точное свойство верно и для 𝑛-й корень из единицы, где одна вершина находится в тривиальном корне из единицы 1.
В следующем примере мы продемонстрируем связь между 𝑛-м корнем из единицы и произвольным корнем из комплексное число.
Пример 4: Связь между произвольными корнями и корнями из единицы
Найдите решения уравнения 𝑧=125𝑒. Каковы их геометрические свойства?
Укажите 6-й корень единства.
Какая связь между 6-м корнем единства и решениями уравнение 𝑧=125𝑒?
Ответ
Часть 1
Мы знаем, что решения уравнения 𝑧=125𝑒 являются корнями шестой степени комплекса число в правой части уравнения. Напомним теорему де Муавра для корней, утверждающую, что 𝑛-е корни комплексного числа 𝑧=𝑟𝑒 задаются формулой √𝑟𝑒𝑘=0,1,…,𝑛−1.для
Применяя теорему де Муавра с 𝑛=6, получаем корни уравнения √125𝑒𝑘=0,1,…,5.для
Мы знаем, что 125=5, что дает √125=√5. Подставляя в каждое значение 𝑘 и упрощая так, чтобы аргументы каждого комплексного числа лежали в стандартном диапазоне ]−𝜋,𝜋], имеем √5𝑒, √5𝑒, √5𝑒, √5𝑒, √5𝑒, √5𝑒.
Теперь, давайте нанесите эти числа на диаграмму Аргана. Напомним, что комплексное число в показательной форме 𝑟𝑒 имеет модуль 𝑟 и аргумент 𝜃. Наблюдение за шестым корней выше, мы видим, что модуль всех корней равен √5. Это означает, что все шестые корни лежат на окружности с центром в начале координат и радиусом √5 на диаграмме Аргана.
Мы также можем видеть, что их аргументы образуют арифметическую последовательность −8𝜋9,−5𝜋9,−2𝜋9,𝜋9,4𝜋9,7𝜋9.
Начиная с начального члена −8𝜋9 аргументы увеличиваются на общую разность 3𝜋9=𝜋3 радиана. Это означает, что начиная с точки на окружности под углом −8𝜋9 радиан, то есть по часовой стрелке. угол 8𝜋9 радиан от положительного реальную ось диаграммы Аргана, мы можем повернуть окружность против часовой стрелки на 𝜋3 пять раз, чтобы получить все корни шестой степени.
Нанеся эти корни на диаграмму Аргана, мы увидим, что они лежат в вершинах правильного шестиугольника с центром в начале координат, вписан в окружность радиусом √5.
Часть 2
Напомним, что корни 𝑛-й степени из единицы в экспоненциальной форме задаются формулой 1,𝑒,…,𝑒.()
Подставив 𝑛=6 и найдя эквивалентные аргументы в диапазоне ]−𝜋,𝜋], получаем шестой корень из единицы: 1,𝑒,𝑒,−1,𝑒,𝑒.
Часть 3
Геометрически напомним, что корни шестой степени из единицы образуют вершины правильного шестиугольника, вписанного в единичную окружность с одна вершина под вещественным числом 1. Сравнивая это свойство с фигурой шестого корня, приведенной в первой части, мы можем видим, что корни расширены с коэффициентом масштабирования √5 и повернуты против часовой стрелки на 𝜋9 радиан.
Вспомним геометрическое свойство умножения пары комплексных чисел: Дана пара ненулевых комплексных чисел 𝑧 и 𝑧,
|𝑧𝑧|=|𝑧||𝑧|,
argargarg(𝑧𝑧)=𝑧+𝑧.
Следовательно, расширение комплексного числа в масштабном коэффициенте √5 и вращение против часовой стрелки на 𝜋9 радиан эквивалентно умножение комплексного числа на другое число, имеющее модуль √5 и аргумент 𝜋9. Это число можно записать в экспоненциальной форме как √5𝑒.
Это говорит нам о том, что мы можем получить корень шестой степени из нашего числа, умножив корень шестой степени из единицы на √5𝑒. Мы можем проверить это, используя свойство умножения комплексных чисел в полярной форме. Мы помним, что 𝑟𝑒×𝑟𝑒=𝑟𝑟𝑒. ()
Таким образом, умножая каждый из корней шестой степени из единицы на √5𝑒, 1×√5𝑒=√5𝑒,𝑒×√5𝑒=√5𝑒,𝑒×√5𝑒=√5𝑒,−1×√5𝑒=−√5𝑒=√5𝑒,𝑒×√5=𝑒=√5𝑒×√5𝑒,𝑒 √5𝑒. 
Следовательно, решениями уравнения являются корни 6-й степени из единицы, умноженные на √5𝑒.
В предыдущих примерах мы заметили, что некоторые корни 𝑛-й степени комплексного числа образуют вершины правильного шестиугольник с центром в начале координат. Мы можем обобщить это наблюдение на любые корни 𝑛-й степени комплексного числа. Теорема де Муавра для корней говорит нам, что корни 𝑛-й степени комплексного числа в экспоненциальной форме 𝑧=𝑟𝑒 задаются √𝑟𝑒𝑘=0,1,…,𝑛−1.для
Из этого выражения видно, что все эти 𝑛-е корни имеют одинаковый модуль, т.е. √𝑟. Это говорит нам о том, что все эти комплексные числа лежат на окружности с центром в начале координат и радиусом √𝑟 диаграммы Аргана. Кроме того, мы можем видеть, что аргументы этих комплексных чисел образуют арифметическая последовательность с 𝑛 членами, с начальным членом 𝜃𝑛 и общим разница 2𝜋𝑛. Чтобы нанести эти корни на диаграмму Аргана, мы можем найти первую точку с аргументом 𝜃𝑛 на окружности с центром в начале координат и радиусом √𝑟. Тогда мы можем поверните против часовой стрелки 𝑛−1 раз на 2𝜋𝑛, чтобы построить оставшиеся корни. Мы отмечаем, что этот метод всегда будет приводить к правильному многоугольнику, вписанному в окружность. Мы резюмируем этот факт ниже.
Свойство: произвольные корни комплексного числа в диаграммах Аргана
На диаграмме Аргана 𝑛 корни комплексного числа с модулем 𝑟 и аргументом 𝜃 образуют вершины правильного 𝑛-угольника, вписанного в окружность радиуса √𝑟, где одна из вершин — точка на окружности с аргументом 𝜃𝑛.
Используя те же рассуждения, что и в предыдущем примере, мы можем использовать это геометрическое свойство, чтобы связать произвольную 𝑛-ю корни комплексного числа в корни 𝑛-й степени из единицы. Мы знаем, что 𝑛-е корни из единицы образуют правильный 𝑛-угольник, вписанный в единичную окружность, где одна вершина находится в тривиальном корне из единицы 1. Следовательно, 𝑛-угольник, представляющий произвольные корни комплексного числа с модулем 𝑟 и аргументом 𝜃 можно получить, растянув 𝑛-угольник от 𝑛-го корня из единицы с масштабный коэффициент √𝑟 и поворот против часовой стрелки на угол 𝜃𝑛 радиан. Это эффект, данный путем умножения каждого 𝑛-го корня из единицы на комплексное число √𝑟𝑒.
Это приводит к следующему утверждению.
Свойство: произвольные корни комплексного числа и 𝑛-е корни из единицы
𝑛-е корни комплексного числа с модулем 𝑟 и аргументом 𝜃 могут можно получить, умножив каждый 𝑛-й корень из единицы на √𝑟𝑒.
Рассмотрим геометрическое применение этого свойства для произвольных корней комплексного числа.
Пример 5: Координаты правильных многоугольников в начале координат
Найти координаты вершин правильного пятиугольника с центром в начале координат с одной вершиной в (3,3). Дайте ответ в виде точных декартовых координат.
Ответ
В этой задаче нам нужно определить декартовы координаты вершин правильного многоугольника. Мы можем решить это задача с использованием геометрического свойства произвольных корней комплексного числа. Напомним, что на диаграмме Аргана 𝑛 корни комплексного числа с модулем 𝑟 и формой аргумента 𝜃 вершины правильного 𝑛-угольника, вписанного в окружность радиуса √𝑟, где одна из вершин является точкой на окружности с аргументом 𝜃𝑛.
Чтобы решить эту задачу, предположим, что правильный пятиугольник лежит на плоскости Аргана, а не на декартовой плоскости, где декартовы координаты (𝑥,𝑦) соответствуют комплексному числу 𝑥+𝑦𝑖 на диаграмме Аргана. Сначала найдем комплексные числа, соответствующие пяти вершинам. правильного пятиугольника на диаграмме Аргана. Затем мы можем преобразовать комплексные числа в координаты декартовой плоскости с помощью этого отношения. Поскольку у нас есть правильный пятиугольник с центром в начале координат, этот пятиугольник можно вписать по кругу.
Согласно свойству произвольных корней комплексного числа вершины этого пятиугольника на диаграмме Аргана соответствуют корням пятой степени комплексного числа. Найдем это комплексное число.
Нам дано, что одна вершина имеет декартовы координаты (3,3), что соответствует комплексное число 3+3𝑖 на диаграмме Аргана. Это говорит нам о том, что 3+3𝑖 является корнем пятой степени. нашего комплексного числа, а другие вершины пятиугольника представляют другие корни пятой степени того же числа. Мы можно найти другие корни пятой степени, вычислив (3+3𝑖), а затем применив де Муавра теорема для корней брать корень пятой степени этого числа, но проще использовать свойство корней комплексного числа.
Мы знаем, что существует 𝑛 различных комплексных чисел, являющихся корнями 𝑛-й степени данного комплексное число. Модули всех 𝑛-х корней одинаковы, а аргументы 𝑛-х корни комплексного числа образуют арифметическую прогрессию с общей разностью 2𝜋𝑛. В этом Например, мы знаем, что один из корней пятой степени комплексного числа равен 3+3𝑖. Таким образом, модуль этого Комплексное число также является модулем других четырех корней пятой степени того же комплексного числа. Также, начиная с аргумент 3+3𝑖, мы можем составить арифметическую прогрессию с общей разностью 2𝜋5 из 5 терминов, чтобы получить аргументы остальных четырех корней пятой степени.
Найдем модуль и аргумент числа 3+3𝑖. Напомним, что модуль комплексного числа 𝑎+𝑏𝑖 задается как √𝑎+𝑏. Мы можем найти модуль данного комплекса число, заменив 𝑎=3 и 𝑏=3, что дает √3+3=√18=3√2.
Следовательно, модуль 3+3𝑖 равен 3√2, что также является модулем остальных четырех корни пятой степени.
Далее вычислим аргумент этого числа. Напомним, что аргумент комплексного числа 𝑎+𝑏𝑖 лежащий в первом квадранте диаграммы Аргана, задается arctan𝑏𝑎. С 𝑎=3 и 𝑏=3 оба положительны для нашего заданного комплексного числа, мы знаем, что наш комплекс число лежит в первой четверти. Тогда его аргумент определяется выражением арктанарктан33=(1)=𝜋4.
Следовательно, аргумент 3+3𝑖 равно 𝜋4 радиана. Мы можем вычислить аргументы остальных четырех корней пятой степени, составив арифметическую последовательность, начинающуюся с этого аргумента. с общей разностью 2𝜋5. Мы можем написать 𝜋4,13𝜋20,21𝜋20,29𝜋20,37𝜋20.
Напоминаем, что аргумент комплексного числа по соглашению должен лежать в стандартном диапазоне ]−𝜋,𝜋]. Последние три аргумента больше, чем 𝜋, поэтому мы вычтем полный оборот 2𝜋 радиана от этих аргументы для записи эквивалентных аргументов -19𝜋20, −11𝜋20 и −3𝜋20 соответственно.
Наконец, напомним, что комплексное число с модулем 𝑟 и аргументом 𝜃 может быть выражается в полярной форме 𝑟(𝜃+𝑖𝜃).cossin
Тогда корни пятой степени 3√2𝜋4+𝑖𝜋4,3√213𝜋20+𝑖13𝜋20,3√2−19𝜋20+𝑖‼20−1920 11𝜋20+𝑖−11𝜋20,3√2−3𝜋20+𝑖−3𝜋20. cossincossincossincossin
Первый корень можно упростить, используя cossin Подставив эти значения в первый корень, получим 3√2√22+𝑖√22=3+3𝑖, который является первым корнем, с которого мы начали. Остальные корни не упрощают, так как их аргументы не принадлежат специальному углы единичной окружности. Мы можем умножить через круглые скобки для каждого из этих корней, чтобы записать их как 3+3𝑖,3√213𝜋20+3√2𝑖13𝜋20,3√2−19𝜋20+3√2𝑖 —19𝜋20, 3√2 —11𝜋20+3√2𝑖 — 11𝜋20, 3√2 — 3𝜋20+3√2𝑖 — 3𝜋20.cossincossossossossin
Это вершины правильный пятиугольник на диаграмме Аргана. Мы можем найти эквивалентные декартовы координаты эти точки, связав комплексное число 𝑥+𝑦𝑖 с декартовыми координатами (𝑥,𝑦).
Следовательно, координаты правильного пятиугольника с центром в начале координат и одной вершиной в точке (3,3) являются (3,3),3√213𝜋20,3√213𝜋20,3√2−19𝜋20,3√2−19𝜋20,3√2−11𝜋20,3√2−11𝜋20,3√2−3𝜋20,3√2−3𝜋20. cossincossincossin 90 произвольных корней комплексного числа. Из предыдущих примеров видно, что для любого комплексного числа 𝑧 выражение 𝑧 имеет несколько возможных значений. В комплексных числах мы говорим, что такие выражения многозначны.
В последнем примере мы идентифицируем все возможные значения многозначного выражения.
Пример 6. Выражения с корнями 𝑛-й степени
Найдите возможные действительные значения 1√3(𝑖)+(𝑖).
Ответ
Из данного выражения отметим члены (𝑖) и (𝑖), которые являются третьими корнями 𝑖 и обратными числами. Мы знаем, что для комплексного числа 𝑧 существует 𝑛 различных значений, которые являются его 𝑛-ые корни. Это означает, что выражение (𝑖) имеет три возможных значений, а также что его обратная величина (𝑖) имеет три возможных значения. Сначала определим все возможные значения этих выражений.
Чтобы найти третий корень из 𝑖, вспомним теорему Муавра для корней, которая утверждает, что для комплексное число в экспоненциальной форме 𝑧=𝑟𝑒, корни 𝑛-й степени 𝑧 даются √𝑟𝑒𝑘=0,1,…,𝑛−1. для
Чтобы применить эту формулу, сначала нужно записать 𝑖 в экспоненциальной форме. Напомним, что экспоненциальная форма комплексного числа с модулем 𝑟 и аргументом 𝜃 равно 𝑟𝑒. Мы знаем, что комплексное число 𝑖 имеет модуль 1. Мы также знаем, что оно лежит на положительной мнимой ось в диаграмме Аргана, что означает, что ее аргумент равен 𝜋2. Следовательно, 𝑖=𝑒.
Тогда мы можем применить теорему де Муавра с 𝑛=3, чтобы найти возможные значения (𝑖): √1𝑒𝑘=0,1,…,𝑛−1.для
Это дает (𝑖)∈𝑒,𝑒,𝑒.
Далее найдем все возможные значения выражения (𝑖). Мы можем написать (𝑖)=(𝑖); следовательно, мы можем найти все возможные значения этого выражения, возведя каждое значение для (𝑖) в степени −1. Напомним теорему де Муавра для целых степеней комплексного числа, которая утверждает что 𝑛-я степень комплексного числа 𝑧=𝑟𝑒 определяется выражением 𝑧=𝑟𝑒. 
Применяя эту теорему с 𝑛=−1 для каждого возможного исхода (𝑖), мы получаем (𝑖)∈𝑒,𝑒,𝑒.
Следовательно, существует 3 возможных значения для (𝑖) и 3 возможных значения для (𝑖). На первый взгляд может показаться, что у нас будет 9 разных возможностей. для суммы этих двух выражений, но суммы могут иметь одинаковое значение.
Чтобы сложить пару комплексных чисел, проще сначала преобразовать их в декартову форму. Напомним, что мы можем преобразовать комплексное число в экспоненциальной форме 𝑟𝑒 в декартовой форме путем вычисления 𝑟𝜃+𝑖𝑟𝜃.коссин
Следовательно, (𝑖) ∈тем 𝜋6+𝑖𝜋6,5𝜋6+𝑖5𝜋6,3𝜋2+𝑖3𝜋2, (𝑖) ∈ глав 𝑖−3𝜋2.cossincossincossincossincossincossin
Мы можем упростить выражения для (𝑖), вспомнив тождества sinsincoscos(−𝜃)=−𝜃,(−𝜃)=𝜃.
Мы можем написать (𝑖)∈𝜋6−𝑖𝜋6,5𝜋6−𝑖5𝜋6,3𝜋2−𝑖3𝜋2.cossincossincossin
Используя единичный круг, мы можем найти тригонометрические отношения cossincossincossin𝜋6=√32,𝜋6=12,5𝜋6=−√32,5𝜋6=12,3𝜋2=0,3𝜋2=−1.
Подставляя эти значения, получаем (𝑖)∈√32+𝑖12,−√32+𝑖12,−𝑖,(𝑖)∈√32−𝑖12,−√32−𝑖12,𝑖.
Мы можем выписать 9 различных комбинаций, чтобы найти возможные значения (𝑖)+(𝑖). Мы должны не забыть умножить результат на 1√3. в конце концов. Затем мы можем вычислить сумму, построив таблицу, в которой первая строка имеет возможные значения (𝑖) и первый столбец имеет возможные значения (𝑖):

√32+𝑖12 −√32+𝑖12 −𝑖
√32−𝑖12 √3 0 √32−𝑖32
−√32−𝑖12 0 −√3 −√32−𝑖32
𝑖 √32+𝑖32 −√32+𝑖32 0
This gives us seven distinct values for the sum, which are 0,√3,−√3,√32+𝑖32,√32−𝑖32,−√32+𝑖32,−√32−𝑖32.
Умножая каждое число на 1√3, получаем все возможные значения данного многозначного выражения.
No related posts.