сложение, умножение, вычитание и др.
О чем статья
Понятие комплексного числа
Комплексные числа – это мнимые числа или выражение такого вида, как , где и – действительные числа (ещё про них говорят вещественные числа), а – это мнимая единица, символ, квадрат которого равен 1 . Число – действительная часть, – мнимая часть комплексного числа . Если тогда вместо пишется просто . Из вышесказанного понятно, что действительные числа – частный случай комплексных чисел.
С комплексными числами можно проводить разные арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление.
Рассмотрим уравнение . Его можно отнести к возведённому квадратному уравнению ., корни которого находятся по формуле .
Для данного случая получается:
.
Среди действительных чисел выражение не имеет смысла, то есть не есть действительным числом. Запишем формально .
Символ принято обозначать буквой , то есть . Его называют мнимой единицей.
Корни нашего уравнения теперь запишутся:
.
Проверка:
Для имеем:
.
Аналогично для .
Значит, введение символа , где помогает нам записывать выражение для корней квадратного уравнения и тогда, когда дискриминант отрицательный.
Алгебраические формы комплексного числа
Алгебраические формы комплексного числа – это комплексное число в виде , где и – действительные числа; число называется действительной, а – мнимой частью комплексного числа.
Обозначения: ; символ формально определяется равенством называется мнимой единицей.
Два комплексных числа называются равными, если в соответствии равные их действительные и мнимые числа.
Ниже будут рассмотрены более подробно основные операции над комплексными числами в алгебраической форме.
Дальше договоримся выражения и т. д. считать комплексными числами, записанными в алгебраической форме, значит, и т. п. приобретаются только действительные значения.
Пусть дано число .
Если , тогда – действительное число: ; если тогда – это мнимое число:
Сложение и вычитание комплексных чисел
;
.
Допустим:
.
Умножение комплексных чисел
Умножение комплексных чисел выполняется согласно правилу (считая, что ):
.
Деление комплексных чисел
Деление комплексных чисел согласно правилу (при условии .
= = = = = .
Сопряженные комплексные числа
Сопряженные числа – это числа и . Таким образом, если и сопряженные числа, тогда и .
Очевидно, если – действительное число, тогда ; если – чисто мнимое число, тогда . Наоборот, если и , тогда соответственно и – действительные и чисто мнимые числа.
Модуль комплексного числа
Модуль числа называется число .
Модуль действительного числа равняется его абсолютной величине. Правда, если , тогда .
Нужна помощь в написании работы?
Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата.
Правки вносим бесплатно.
Заказать работу
Примеры решения задач
Пример 1
Задача
Решить уравнение , где – действительные числа.
Решение
Из уравнения комплексных чисел получается: , . Решая эту систему, у нас получается , .
Ответ
, .
Рассмотрим на примере сложение и вычитание комплексных чисел.
Пример 2
Задача
Решить уравнение:
Решение
Согласно формуле на сложение и отнимание комплексных чисел – .
Ответ
Рассмотрим на примере умножение комплексных чисел.
Пример 3
Задача
Найти произведение комплексных чисел и
Решение
Ответ
Делить комплексные числа необходимо исключительно ориентируясь на формулу.
Пример 4
Задача
Найти частное:
Решение
.
Ответ
.
Средняя оценка 5 / 5. Количество оценок: 1
Поставьте вашу оценку
Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!
Позвольте нам стать лучше!
Расскажите, как нам стать лучше?
5702
Закажите помощь с работой
Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке
Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке
Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел
С
алгебраической формой комплексного
числа мы уже познакомились,
–
это и есть алгебраическая форма
комплексного числа. Почему речь зашла
о форме? Дело в том, что существуют еще
тригонометрическая и показательная
форма комплексных чисел, о которых
пойдет речь в следующем параграфе.
Действия с комплексными числами не представляют особых сложностей и мало чем отличаются от обычной алгебры.
Сложение комплексных чисел
Пример 1
Сложить два комплексных числа ,
Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:
Просто, не правда ли? Действие настолько очевидно, что не нуждается в дополнительных комментариях.
Таким нехитрым способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части.
Для комплексных чисел справедливо правило первого класса: – от перестановки слагаемых сумма не меняется.
Вычитание комплексных чисел
Найти разности комплексных чисел и , если ,
Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:
Результат
не должен смущать, у полученного числа
две, а не три части.
Просто действительная
часть – составная:
.
Для наглядности ответ можно переписать
так:
.
Рассчитаем вторую разность: Здесь действительная часть тоже составная:
Чтобы не было какой-то недосказанности, приведу короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: . Вот здесь без скобок уже не обойтись.
Умножение комплексных чисел
Настал момент познакомить вас со знаменитым равенством:
Пример 3
Найти произведение комплексных чисел ,
Очевидно, что произведение следует записать так:
Что напрашивается? Напрашивается раскрыть скобки по правилу умножения многочленов. Так и нужно сделать! Все алгебраические действия вам знакомы, главное, помнить, что и быть внимательным.
Повторим, omg,
школьное правило умножения многочленов:
Чтобы умножить многочлен на многочлен
нужно каждый член одного многочлена
умножить на каждый член другого
многочлена.
Я распишу подробно:
Надеюсь, всем было понятно, что
Внимание, и еще раз внимание, чаще всего ошибку допускают в знаках.
Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: .
В учебной литературе и на просторах Сети легко найти специальную формулу для вычисления произведения комплексных чисел. Если хотите, пользуйтесь, но мне кажется, что подход с умножением многочленов универсальнее и понятнее. Формулу приводить не буду, считаю, что в данном случае – это забивание головы опилками.
Деление комплексных чисел
Пример 4
Даны комплексные числа , . Найти частное .
Составим частное:
Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.
Вспоминаем
бородатую формулу
и
смотрим на наш знаменатель:
.
В знаменателе уже есть
,
поэтому сопряженным выражением в данном
случае является
,
то есть
Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на , и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число :
Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе воспользоваться формулой (помним, что и не путаемся в знаках!!!).
Распишу подробно:
Пример я подобрал «хороший», если взять два числа «от балды», то в результате деления почти всегда получатся дроби, что-нибудь вроде .
В ряде случаев перед делением дробь целесообразно упростить, например, рассмотрим частное чисел: . Перед делением избавляемся от лишних минусов: в числителе и в знаменателе выносим минусы за скобки и сокращаем эти минусы: . Для любителей порешать приведу правильный ответ:
Редко, но встречается такое задание:
Пример 5
Дано
комплексное число
.
Приём тот же самый – умножаем знаменатель и числитель на сопряженное знаменателю выражение. Снова смотрим на формулу . В знаменателе уже есть , поэтому знаменатель и числитель нужно домножить на сопряженное выражение , то есть на :
Пример 6
Даны два комплексных числа , . Найти их сумму, разность, произведение и частное.
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Иногда для решения предлагается навороченный пример, где нужно выполнить много действий с комплексными числами. Никакой паники: будьте внимательны, соблюдайте правила алгебры, обычный алгебраический порядок действий, и помните, что
Умножение комплексных чисел — формула, полярная форма, примеры, часто задаваемые вопросы
Умножение комплексных чисел — это основная операция над комплексными числами, при которой умножаются два или более комплексных числа.
Давайте разберемся с концепцией умножения комплексных чисел, используя распределительное свойство, его формулу, умножение действительного числа и чисто мнимого числа на комплексные числа. Мы также рассмотрим возведение комплексных чисел в квадрат вместе с некоторыми решенными примерами для лучшего понимания.
| 1. | Что такое умножение комплексных чисел? |
| 2. | Умножение комплексных чисел Формула |
| 3. | Умножение комплексных чисел в полярной форме |
| 4. | Умножение комплексных чисел на чисто действительные и мнимые числа |
5. | Мультипликативное обращение комплексных чисел |
| 6. | Часто задаваемые вопросы об умножении комплексных чисел |
Что такое умножение комплексных чисел?
Умножение комплексных чисел – это процесс умножения двух или более комплексных чисел с использованием распределительного свойства. Математически, если у нас есть два комплексных числа z = a + ib и w = c + id, то умножение комплексных чисел z и w записывается как zw = (a + ib) (c + id). Мы используем распределительное свойство умножения, чтобы найти произведение комплексных чисел.
Формула умножения комплексных чисел
Умножение комплексных чисел аналогично умножению многочленов. Мы используем следующее полиномиальное тождество для решения умножения комплексных чисел: (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd. Формула умножения комплексных чисел выглядит так:
(a + ib) (c + id) = ac + iad + ibc + i 2 bd
⇒ (a + ib) (c + id) = (ac — bd) + i(ad + bc) [Потому что я 2 = -1]
Умножение комплексных чисел в полярной форме
Комплексное число в полярной форме записывается как z = r (cos θ + i sin θ), где r — модуль комплексного числа, а θ — его аргумент.
Теперь формула умножения комплексных чисел z 1 = r 1 (cos θ 1 + I sin θ 1 ) и z 2 = R 2 (COS θ 2 + I SIN θ 2 ) в полярной форме приведены как:
Z 1 Z 555555 2 = [R 1 (COS θ 1 + I SIN θ 1 )] [R 2 (COS θ
= R 1 2 ). r 2 (cos θ 1 cos θ 2 + i cos θ 1 sin θ 2 + i sin θ 1 cos θ 2 + I 2 SIN θ 1 SIN θ 2 )
= R 1 R 2 (COS θ 1 COS θ 2 + I COS 1 COS θ 2 + I COS 1 1 . 2 + I sin θ 1 cos θ 2 — sin θ 1 sin θ 2 ) {потому что I 2 = -1}
= R 1 R 6 [Cope θ 1 cos θ 2 — sin θ 1 sin θ 2 + i (cos θ 1 sin θ 2 + sin θ 1 cos θ 2 )]
= R 1 R 2 [COS (θ 1 + θ 2 ) + I SIN (θ 1 + θ 2 ) + I SIN (θ 1 + θ θ 2 ) + I SIN (θ 1 + θ + θ θ θ θ θ ).
2 )] {Потому что cos a cos b — sin a sin b = cos (a + b) и sin a cos b + sin b cos a = sin (a + b)}
Отсюда формула умножения комплексных чисел в полярной форме [r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 )] [r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 )] = r 1 r 2 [cos (θ 1 + θ 2 ) + i sin (θ 1 + θ 2 )]
Умножение комплексных чисел на чисто действительные и мнимые числа
Мы знаем, что формула умножения комплексных чисел: (a + ib) (c + id) = (ac — bd) + i(ad + bc). Если у нас есть b = 0, то два комплексных числа — это «a» и «c + id». Формула умножения комплексного числа на действительное число выглядит следующим образом: (c + id) = ac + iad. Например, мы умножаем 2 на 1 + 3i как:
2 × (1 + 3i) = 2 + 6i
Теперь, если мы умножим чисто мнимое число вида bi на комплексное число, то формула станет (bi) (c + id) = ibc — bd.
Например, если мы умножим комплексное число 2 + 3i на -5i, мы получим:
(-5i) (2 + 3i) = -10i -15i 2
= -10i + 15
Возведение комплексных чисел в квадрат
Как мы знаем, формула умножения комплексных чисел (a + ib) (c + id) = (ac — bd) + i(ad + bc). Если у нас есть a + ib = c + id, то мы имеем a = c и b = d, т. е. мы умножаем одно и то же комплексное число на себя. Итак, формула умножения комплексного числа на само себя принимает вид:
(a + ib) (a + ib) = (a.a — b.b) + i(ab + ba)
= (a 2 — b 2 ) + i 2ab
Например, возведите комплекс в квадрат номер 3 — 7и. Имеем (3 — 7i) 2 = (3 2 — (-7) 2 ) + i 2 × 3 × (-7) = (9 — 49) — 42i = -40 — 42i
Мультипликативное обращение комплексных чисел
Мультипликативная инверсия комплексного числа при умножении на данное комплексное число приводит к мультипликативной идентичности 1. Мультипликативная инверсия комплексного числа z = a + ib равна z 92}\) = 5.
А мультипликативная обратная z -1 = \(\dfrac{3 — 4i}{5}\) = 3/5 — 4i/5.
Важные замечания по умножению комплексных чисел
- Умножение комплексных чисел в декартовой форме: (a + ib) (c + id) = (ac — bd) + i(ad + bc)
- Умножение комплексных чисел в полярной форме: [r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 )] [r 2 (cos θ 2 i ) 7 0 7 0 7 0 2 i + ] = г 1 r 2 [cos (θ 1 + θ 2 ) + i sin (θ 1 + θ 2 )]
- Возведение комплексного числа в квадрат: (a + ib) 2 = (a 2 — b 2 ) + i 2ab
Темы, связанные с умножением комплексных чисел
- Деление комплексных чисел
- Сложение и вычитание комплексных чисел
- Комплексные числа
Часто задаваемые вопросы об умножении комплексных чисел
Что такое умножение комплексных чисел в алгебре?
Умножение комплексных чисел – это процесс умножения двух или более комплексных чисел с использованием распределительного свойства.
Математически, если у нас есть два комплексных числа z = a + ib и w = c + id, то умножение комплексных чисел z и w записывается как zw = (a + ib) (c + id).
Что такое формула умножения комплексных чисел?
Формула умножения комплексных чисел: (a + ib) (c + id) = (ac — bd) + i(ad + bc).
Каковы шаги для умножения комплексных чисел?
Шаги для умножения комплексных чисел:
- Шаг 1: Примените свойство распределения и умножьте каждый член первого комплексного числа на каждый член второго комплексного числа.
- Шаг 2: Упростить i 2 = -1
- Шаг 3: Объедините действительные и воображаемые части и упростите их, чтобы получить продукт.
Как умножить комплексные числа в полярной форме?
Формула для умножения комплексных чисел в полярной форме: + i sin θ 2 ) в полярной форме задается как [r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 )] [r 2 (cos θ θ 6 + i 2 2 )] = г 1 r 2 [cos (θ 1 + θ 2 ) + i sin (θ 1 + θ 2 )].
Что происходит, когда вы умножаете два мнимых числа?
При умножении двух чисто мнимых чисел получается действительное число. Если у нас есть два чисто мнимых комплексных числа ai и bi, то их произведение равно (ai) (bi) = i 2 ab = -ab.
Что такое мультипликатив, обратный комплексному числу?
Мультипликативная инверсия комплексного числа z = a + ib равна z 92}\) является сопряженным комплексным числом.
Как умножать комплексные числа?
Два комплексных числа умножаются следующим образом:
(a + ib) (c + id) = ac + iad + ibc + i 2 bd
⇒ (a + ib) (c + id) = ( ac — bd) + i(ad + bc) [Потому что i 2 = -1]
Теперь мы просто подставляем значения a, b, c, d в приведенную выше формулу.
Как умножение комплексных чисел связано с умножением двух двучленов?
Рабочий механизм умножения комплексных чисел подобен биномиальному умножению дистрибутивного свойства. Точно так же, как мы перемножаем два бинома (a + bx) (c + dx) = ac + (ad + bc) x + bd x 2 .
В случае комплексных чисел x принимает значение i.
Что такое умножение комплексных чисел на действительное число?
Умножение комплексных чисел на действительные числа вычисляется как a(c + id) = ac + i ad, что является комплексным числом.
Как умножать комплексные числа
Все математические ресурсы ACT
14 Диагностические тесты 767 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
ACT Math Help » Алгебра » Экспоненты » Возведение в квадрат / Квадратные корни / Радикалы » Комплексные числа » Как умножать комплексные числа
Решением является набор всех действительных чисел таких, что:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
квадратный ответ:
Объяснение:
Умножение комплексных чисел похоже на умножение двучленов, вы должны использовать фольгу.
Единственная разница в том, что когда вы умножаете два термина, в которых есть , вы можете упростить до отрицательного 1. Фольга — это первая, снаружи, внутри, последняя
Первая
Снаружи:
Внутри
Последний
Сложите их все, и вы получите
Сообщить об ошибке
Упростите следующее:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Начните эту задачу с простого FOIL, обрабатывая как любую другую переменную. Таким образом, вы знаете:
Напомним, что с , . Следовательно, можно еще упростить:
Сообщить об ошибке
Комплексные числа имеют вид , где – действительный член комплексного числа, – недействительный (мнимый) член комплексного числа.
Распределить:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Это уравнение можно решить так же, как и бином, например .
Распределение происходит как в действительных, так и в недействительных терминах внутри комплексного числа, где это применимо.
Сообщить об ошибке
Комплексные числа имеют вид , где – действительный член комплексного числа, – недействительный (мнимый) член комплексного числа.
Распределите и решите:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Эта задача может быть решена так же, как биномиальная задача типа .
Сообщить об ошибке.
Что из следующего эквивалентно ?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Помните об этом при работе с комплексными числами .
Если возвести в квадрат, то получим.
Еще одна экспонента дает нам ИЛИ .
Но когда мы нажимаем , мы обнаруживаем, что
Таким образом, у нас есть повторяющийся шаблон со степенями , где каждые 4 степени повторяют шаблон. Это означает, что любая степень числа, делящегося без остатка на 4, будет равна 1, любая степень числа, кратного остатку 1, будет равна , и так далее.
Таким образом,
Поскольку остаток равен 3, мы это знаем.
Сообщить об ошибке
Упростите следующее:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Начните с того, что обработайте это так же, как любой обычный случай FOIL. Обратите внимание, что на самом деле это форма разности квадратов. Поэтому раздача очень проста.
Таким образом:
Вспомните это . Следовательно, является . Исходя из этого, мы можем еще упростить:
Сообщить об ошибке
Что из следующего равно ?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Помните, что с тех пор вы знаете, что это есть . Следовательно, есть или . Это делает наш вопрос очень простым.
то же самое, что или
Таким образом, мы знаем, что то же самое, что или .
Сообщить об ошибке
Комплексные числа имеют вид , где – действительный член комплексного числа, а – недействительный (мнимый) член комплексного числа.
Упростите следующее выражение, не оставляя комплексных чисел в знаменателе.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Решение этой задачи требует исключения недействительного члена знаменателя.