Комплексные тригонометрические числа: Представьте комплексное чтсло в тригонометрической форме z=2i

Для всех \(x \in \R\text{,}\)

\begin{уравнение*} \sabs{\sin(x)} \leq 1, \qquad \sabs{\cos(x)} \leq 1 . \end{уравнение*}

Для всех \(x \in \R\)

\begin{уравнение*} \frac{d}{dx} \bigl[ \cos(x) \bigr] = -\sin(x) \qquad \text{и} \qquad \frac{d}{dx} \bigl[ \sin(x) \bigr] = \cos(x) . \end{уравнение*}

Для всех \(x \geq 0\text{,}\)

\begin{уравнение*} \sin(x) \leq x . \end{уравнение*} 92 \leq 1 . \end{уравнение*}

Итак, \(\sabs{\sin(x)} \leq 1\) и аналогично \(\sabs{\cos(x)} \leq 1\text{.}\)

Мы оставляем вычисление производных читателю в качестве упражнений.

Теперь докажем, что \(\sin(x) \leq x\) для \(x \geq 0\text{.}\) Рассмотрим \(f(x) := x-\sin(x)\) и дифференцировать:

\begin{уравнение*} f'(x) = \frac{d}{dx} \bigl[ x — \sin(x) \bigr] «=» 1 — \cos(x) \geq 0 , \end{уравнение*}

для всех \(x\) as \(\sabs{\cos(x)} \leq 1\text{. }\) Другими словами, \(f\) возрастает и \(f(0) = 0 \text{.}\) Таким образом, \(f\) должно быть неотрицательным, когда \(x \geq 0\text{.}\)

Мы утверждаем, что существует положительный \(x\) такой, что \(\cos(x) = 0\text{.}\) As \(\cos(0) = 1 > 0\text{,}\) \ (\cos(x) > 0\) для \(x\) вблизи \(0\text{.}\) А именно, существует некоторое \(y > 0\text{,}\) такое, что \(\cos (x) > 0\) на \([0,y)\text{.}\) Тогда \(\sin(x)\) строго возрастает на \([0,y)\text{.}\) Поскольку \(\sin(0) = 0\text{,}\), то \(\sin(x) > 0\) для \(x \in (0,y)\text{.}\) Возьмем \( a \in (0,y)\text{.}\) По теореме о среднем значении существует \(c \in (a,y)\) такое, что

\begin{уравнение*} 2 \geq \cos(a)-\cos(y) = \sin(c)(y-a) \geq \sin(a)(y-a) . \end{уравнение*}

Как \(a \in (0,y)\text{,}\), то \(\sin(a) > 0\) и так

\begin{уравнение*} y \leq \frac{2}{\sin(a)} + a . \end{уравнение*}

Следовательно, существует некоторое наибольшее \(y\) такое, что \(\cos(x) > 0\) в \([0,y)\text{,}\) и пусть \(y\) будет наибольшим таким число. {-i\pi}\) показывает, что мы получаем все. 92 = 1\) для всех \(z \in \C\text{.}\)

Упражнение 11.4.7.

Докажите тригонометрические тождества \(\sin(z + w) = \sin(z) \cos(w) + \cos(z) \sin(w)\) и \(\cos(z + w) = \ cos(z) \cos(w) — \sin(z) \sin(w)\) для всех \(z,w \in \C\text{.}\)

Упражнение 11.4.8.

Определите \(\operatorname{sinc}(z) := \frac{\sin(z)}{z}\) для \(z \not=0\) и \(\operatorname{sinc}(0) : = 1\text{.}\) Покажите, что функция sinc является аналитической, и вычислите ее степенной ряд в нуле.

Определите 9{-z}}{2}. \end{уравнение*}

Упражнение 11.4.9.

Получите ряд степеней в начале координат для гиперболических синуса и косинуса.

Упражнение 11.4.10.

Показать

1. \(\sinh(0) = 0\text{,}\) \(\cosh(0) = 1\text{.}\)

2. \(\frac{d}{dx} \bigl[ \sinh(x) \bigr] = \cosh(x)\) и \(\frac{d}{dx} \bigl[ \cosh(x) \bigr] = \sinh(x)\text{.}\)

3. \(\cosh(x) > 0\) для всех \(x \in \R\) и показать, что \(\sinh(x)\) строго возрастает и биективно от \(\R\) до \ (\R\текст{. }\) 9к}{2к+1} «=» \ гидроразрыва {\ пи} {4} . \end{уравнение*}

Тождества триггеров из сложных экспонент

Существует множество полезных тождеств триггеров. Вы можете потратить время на то, чтобы выучить их наизусть или просто посмотреть их в Википедии, когда это необходимо. Но у меня всегда были проблемы с запоминанием, куда идут знаки и тому подобное, когда я пытался запомнить это напрямую. По крайней мере, для меня это сработало лучше: потратьте несколько часов на ознакомление с комплексными числами, если вы еще этого не сделали; после этого большинство тождеств, которые вам понадобятся на практике, легко вывести из формулы Эйлера:

Давайте сначала выполним основные формулы сложения. Формула Эйлера дает:

и как только мы снова применим тождество, мы получим:

умножая:

Члены в круглых скобках — все действительные числа; приравнивание их к нашему исходному выражению дает результат

Обе формулы сложения по цене одной. (Фактически это использует тот факт, что формулы сложения для тригонометрических функций и формулы сложения для показателей степени — это одно и то же). Суть в том, что если вы знаете сложное умножение, вам никогда не придется помнить, как группируются множители и знаки, что раньше мне было трудно запомнить.

Подстановка x=y в вышеприведенное также немедленно дает формулы двойного угла:

, поэтому, если вы знаете формулы сложения, нет причин изучать их отдельно.

Затем есть хорошо известные

, но на самом деле это просто замаскированная теорема Пифагора (поскольку cos(x) и sin(x) — длины сторон прямоугольного треугольника). Так что это тоже не новая формула!

Перемещение членов косинуса или синуса вправо дает два очень полезных уравнения:

В частности, второе идеально подходит, если вам нужен квадрат синуса угла, для которого у вас есть только косинус (обычно потому, что вы определили его с помощью скалярного произведения). Разумное применение этих двух методов, как правило, является отличным способом упростить лишнюю математику в шейдерах (и в других местах), что является одной из моих любимых мозолей.

Для практики применим эти два тождества к формуле косинуса двойного угла:

ведь это же формулы половин угла! Странно встретить тебя здесь!

Можем ли мы сделать что-нибудь и с формулой синуса двойного угла? Что ж, это не слишком красиво, но мы можем получить это:

Теперь давайте вернемся к исходным формулам сложения и посмотрим, что произойдет, если мы подставим отрицательные значения для y. Используя и , мы получаем:

Эй, смотрите, перевернутые знаки! Это означает, что теперь мы можем добавить их к исходным формулам (или вычесть их из них), чтобы получить даже больше тождества!

На этот раз это произведение на сумму тождеств. У меня есть еще один! Мы намеренно перевернули знаки, а затем добавили/вычли формулы сложения, чтобы получить приведенный выше набор.