§ Как избавиться от иррациональности
Квадратный корень Квадратный корень из произведения Квадратный корень из дроби Как избавиться от иррациональности Как вынести из-под корня Как внести под знак корня
Важно!
Иррациональностью в знаменателе (нижней части дроби) называют наличие корней в знаменателе.
Что такое иррациональность в знаменателе дроби
Рассмотрим на примерах ниже, в каких дробях в знаменателе есть иррациональность, а в каких её нет.
- в знаменателе нет корней, значит иррациональности нет;
-
в знаменателе есть
корень «√6» — иррациональность в знаменателе есть.
в знаменателе есть корни «√7» и «√3» — иррациональность есть.4 √7 − √3
в знаменателе естьa + b √c − 3 
Запомните!
Избавиться от иррациональности в знаменателе означает убрать все корни из знаменателя.
Возникает логичный вопрос, как это можно сделать?
Чаще всего встречаются два вида примеров. Рассмотрим решение обоих видов.
Как избавиться от иррациональности, когда в знаменателе только один корень
На помощь приходит основное свойство дроби. Вспомним, что оно позволяет умножить и разделить дробь на одно и то же число, чтобы в конечном итоге дробь не изменилась.
Запомните!
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе с одним корнем, нужно умножить и числитель, и знаменатель на корень из знаменателя.
По традиции разберемся на практике.
Разбор примера
Исключить иррациональность из знаменателя:
Зададим себе вопрос, на что нужно умножить «√5» в знаменателе, чтобы избавиться от корня.
Ответ: на «√5».
В самом деле, если квадратный корень умножить сам на себя получится число под корнем. Проверим.
√5 · √5 = √5 · 5 = √52 = 5
Используем основное свойство дроби, умножим и числитель, и знаменатель на «√5», чтобы избавиться от корня в знаменателе.
=
| 3 · √5 |
| √5 · √5 |
=
| 3 · √5 |
| √5 · 5 |
=
| 3 · √5 |
| √52 |
=
=
| 3 · √5 |
| 5 |
Как избавиться от иррациональности, когда в знаменателе несколько корней
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе c несколькими корнями, нужно использовать
формулы сокращённого умножения.
Разберемся по традиции на примере.
Разбор примера
Исключить иррациональность из знаменателя:
| 1 |
| 2 − √3 |
На что нужно умножить знаменатель «2 − √3», чтобы убрать из него корень?
Теперь недостаточно умножить знаменатель на «√3», ведь в таком случае все равно остается квадратный корень.
(2 − √3) · √3 = 2√3 − √3 · √3 =
= 2√3 − 3
Мы видим, что корень никуда не исчез. Нужно искать другие варианты решения.
Вспомним формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
Формула разности квадратов также работает в обратную сторону.
(a + b)(a − b) = a2 − b2
Представим, что «2 − √3» — это часть формулы.
(a + b)(a − b) = a2 − b2
(? + ?)(2 − √3) = ?2 − ?2
Логично предположить, что в формуле «a» — это
«2», «b» —
«√3».
Подставим вместо знаков «?» числа.
(a + b)(a − b) = a2 − b2
(2 + √3)(2 − √3) = 22 − √32 = 4 − 3 = 1
То есть, чтобы избавиться от иррациональности в дроби
требуется умножить знаменатель
«2 − √3»
на
«2 + √3»
и через формулу «Разность квадратов» убрать квадратные корни.
Не забываем, что по основному свойству дроби мы обязаны также умножить числитель на «2 + √3».
| 1 |
| 2 − √3 |
| 1 · (2 + √3) |
| (2 − √3) · (2 + √3) |
=
| 2 + √3 |
| 22 − √32 |
| 2 + √3 |
| 4 − 3 |
| 2 + √3 |
| 1 |
Примеры
освобождения от иррациональности в знаменателеРазбор примера
Исключить иррациональность из знаменателя:
2)
=
| 2 · √6 |
| √6 · √6 |
=
| 2 · √6 |
| √6 · 6 |
=
| 2· √6 |
| √62 |
=
=
| 2 · √6 |
| 6 |
Рассмотрим пример, когда в знаменателе несколько корней.
7)
| √5 − √7 |
| √5 + √7 |
=
Используем формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
(a + b)(a − b) = a2 − b2
Умножим и числитель, и знаменатель на «(√5 − √7)», чтобы использовать формулу сокращённого умножения в знаменателе и избавиться от корней.
| √5 − √7 |
| √5 + √7 |
=
| (√5 − √7)(√5 − √7) |
| (√5 + √7)(√5 − √7) |
=
=
| (√5 − √7)2 |
| √52 − √72 |
Используем в числителе (наверху в дроби) формулу «Квадрат разности».
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
| √5 − √7 |
| √5 + √7 |
=
| (√5 − √7)(√5 − √7) |
| (√5 + √7)(√5 − √7) |
=
=
| (√5 − √7)2 |
| √52 − √72 |
=
=
| (√5)2 − 2 · √5 · √7 + (√7)2 |
| √52 − √72 |
=
=
| 5 − 2√5 · 7 + 7 |
| 5 − 7 |
=
| 12 − 2√35 |
| − 2 |
=
=
−
| 12 − 2√35 |
| 2 |
= …
Вынесем общий множитель в числителе и
сократим дробь.
| √5 − √7 |
| √5 + √7 |
=
| (√5 − √7)(√5 − √7) |
| (√5 + √7)(√5 − √7) |
=
=
| (√5 − √7)2 |
| √52 − √72 |
=
=
| (√5)2 − 2 · √5 · √7 + (√7)2 |
| √52 − √72 |
=
=
| 5 − 2√5 · 7 + 7 |
| 5 − 7 |
=
| 12 − 2√35 |
| − 2 |
=
= −
| 12 − 2√35 |
| 2 |
= −
| 2 · (6 − √35) |
| 2 |
=
=
−
| 2 (6 − √35) |
| 2 |
=
=
−
(6 − √35)
= −6 + √35
Разбор примера
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
5)
| 1 |
| √a − √b |
Используем формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
Умножим и числитель, и знаменатель на «(√a + √b)», чтобы использовать формулу «Разность квадратов» в знаменателе и освободиться от корней.
5)
| 1 |
| √a − √b |
=
| 1 · (√a + √b) |
| (√a − √b) · (√a + √b) |
=
=
| √a + √b |
| (√a)2 − (√b)2 |
=
| √a + √b |
| a − b |
Квадратный корень Квадратный корень из произведения Квадратный корень из дроби Как избавиться от иррациональности Как вынести из-под корня Как внести под знак корня
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
| Отправить |
3-8
Квадратный корень из 6 — Как найти квадратный корень из 6?
LearnPracticeDownload
Квадратный корень из 6 выражается как √6 в радикальной форме и как (6) ½ или (6) 0,5 в экспоненциальной форме.
Квадратный корень из 6, округленный до 7 знаков после запятой, равен 2,4494897. Это положительное решение уравнения x 2 = 6.
- Корень квадратный из 6: 2,449489742783178
- Квадратный корень из 6 в экспоненциальной форме: (6) ½ или (6) 0,5
- Квадратный корень из 6 в подкоренной форме: √6
| 1. | Что такое квадратный корень из 6? |
| 2. | Является ли квадратный корень из 6 рациональным или иррациональным? |
| 3. | Как найти квадратный корень из 6? |
| 4. | Важные примечания |
| 5. | Часто задаваемые вопросы о квадратном корне из 6 |
Что такое квадратный корень из 6?
Квадратный корень из числа n записывается как √n. Квадратный корень из 6 можно записать по-разному.
- Радикальная форма: √6
- Десятичная форма: 2,449
- Форма экспоненты: (6) 1/2
Является ли квадратный корень из 6 рациональным или иррациональным?
- Квадратный корень из 6 — это иррациональное число с неконечными цифрами.
- Квадратный корень из 6 нельзя записать в виде p/q. Следовательно, это иррациональное число.
Как найти квадратный корень из 6?
Есть 2 основных метода, которые мы используем, чтобы найти квадратный корень из 6.
- Факторизация простых чисел
- Длинное деление
Факторизация простых чисел
- Чтобы найти квадратный корень из 6, мы сначала выразим его через простые множители.
6 = 2 × 3 - Теперь найдем квадратный корень.
√6 = √(2 × 3)
√6 = √2 × √3
= 1,414 × 1,732
= 2,449
Следовательно, квадратный корень из 6 равен 2,449
Длинное деление
- Шаг 1: Составьте пару цифр (поместив над ними черту) с места, как показано на рисунке.
- Шаг 2: Найдите такое число, чтобы при умножении его на себя произведение было меньше или равно 6. Мы знаем, что 2 × 2 = 4, что меньше 6. Поместите 2 в частное и разделите на 6 на 2, чтобы получить остаток как 2.
- Шаг 3: Поместите десятичную дробь после частного, так как мы сейчас делим, используя 0 из десятичной части 6. Не забудьте перетащить пару нулей вниз, получив делимое 200. Кроме того, добавление 2 само по себе дает нам 4 который становится начальной цифрой нашего следующего делителя.
- Шаг 4: Теперь у нас есть новый делитель 4X. Нам нужно найти такое значение X, чтобы 4X × X дало нам значение меньше 200. Число 4 заполняет позицию X, поэтому делимое равно 44, а частное теперь равно 2,4.
- Шаг 5: Следующим делителем будет 44 + 4, а делимое будет 2400. Мы будем продолжать делать те же шаги, пока не получим необходимое количество десятичных знаков.
Итак, наше длинное деление теперь выглядит так:
Следовательно, квадратный корень из 6 равен 2,449
Исследуйте квадратные корни с помощью иллюстраций и интерактивных примеров
- Квадратный корень из 5
- Квадратный корень из 8
- Квадратный корень из 9
- Квадратный корень из 4
- Квадратный корень из 3
Важные примечания
- Квадратный корень из 6 = 2,449
- √6 иррационально и не завершается.
- Квадратный корень из 6 имеет 2 действительных корня: +2,449 и -2,449
Решенные примеры
Пример 1: У Кати есть кубик. Площадь всех 6 сторон куба равна 36 см 2 . Помогите ей рассчитать длину ребра куба.
Решение:
Общая площадь поверхности 36 см 2
Площадь поверхности каждой стороны = 36/6 = 6 см 2
Длина ребра = квадратный корень (6) = 2,45 см
Следовательно, длина ребра куба равна 2,45 см.Пример 2: Какое расстояние пройдет человек, бегущий со скоростью 6√6 миль в час за 1 час?
Решение:
Пройденное расстояние = скорость × время
.
Следовательно, человек преодолевает общее расстояние 6√6 × 1 = 14,697 × 1 = 14,697 мильПример: Если площадь поверхности сферы составляет 24π в 2 . Найдите радиус сферы.
Решение:
Пусть ‘r’ будет радиусом сферы.
⇒ Площадь сферы = 4πr 2 = 24π в 2
⇒ г = ±√6 в
Поскольку радиус не может быть отрицательным,
⇒ г = √6
Квадратный корень из 6 равен 2,449.
⇒ г = 2,449 в
перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду
Есть вопросы по основным математическим понятиям?
Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, почему стоит математика, с нашими сертифицированными экспертами
Закажите бесплатный пробный урок
Часто задаваемые вопросы о квадратном корне из 6
Каково значение квадратного корня из 6?
Квадратный корень из 6 равен 2,44948.
Почему квадратный корень из 6 является иррациональным числом?
При простой факторизации 6, т.е. 2 1 × 3 1 , 2 находится в нечетной степени. Следовательно, квадратный корень из 6 иррационален.